人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析

的值为（ ）
A． 11 13
【答案】C 【解析】
B． 13 15
C． 15 17
D． 17 19
【分析】
根据折叠的性质可得出 DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF 可得出△OEF≌ AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出 0E=OB、EF=BP，设 EF=x，则 BP=x、DF=4-x、 BF=PC=3-x，进而可得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦 的定义即可求出 cos∠ADF 的值． 【详解】
3
【答案】D 【解析】 【分析】 根据相似三角形的性质解答． 【详解】 三边的长度都扩大为原来的 3 倍， 则所得的三角形与原三角形相似， ∴锐角 A 的大小不变， ∴锐角 A 的余弦值不变， 故选：D． 【点睛】 此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等 是解题的关键．
3．在半径为1的 O 中，弦 AB 、 AC 的长度分别是 3 ， 2 ，则 BAC 为（ ）度．
A． 75
B．15 或 30
C． 75 或15
D．15 或 45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为 C 点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD= 3 ，AE 2 ．
解得: x= 3 5
∴DF=4-x= 17 5
∴cos∠ADF= AD 15 DF 17
故选: C.
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x，求出 AF 的长度是解题的关键．
7．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需 求，游客可以乘坐垂直升降电梯 AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道 BC 的坡度（或 坡比）为 i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8 米，∠D＝36°，（其中点 A、B、C、D 均在同一 平面内）则垂直升降电梯 AB 的高度约为（ ）米．（精确到 0.1 米，参考数据： tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
2
2
sin∠AOD= 3 ，∴∠AOD=60°； 2
sin∠AOE= 2 ，∴∠AOE=45°； 2
∴∠BAC=75°． 当两弦共弧的时候就是 15°． 故选：C． 【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
4．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔 A 离河边的距离 AB ，采取了如下措施：如 图在江边 D 处，测得信号塔 A 的俯角为 40，若 DE 55米， DE CE ， CE 36米， CE 平行于 AB ， BC 的坡度为 i 1: 0.75，坡长 BC 140 米，则 AB 的长为( )（精确 到 0.1 米，参考数据： sin 40 0.64 ， cos 40 0.77 ， tan 40 0.84 ）
＝0.73，
解得 AB＝0.73×32＝23.36m． 由线段的和差，得 AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m， 故选：C． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出 CE，BE 的长是解题关键，又利用了正 切函数，线段的和差．
8．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P， 连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）
∴底面周长为 2 ∴侧面积为 1 2 2 2 ，∵底面积为 r2 ，
2
∴全面积是 3 ．
故选：C． 【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
6．如图，矩形纸片 ABCD， AB 4 ， BC 3，点 P 在 BC 边上，将 CDP 沿 DP 折 叠，点 C 落在点 E 处， PE 、 DE 分别交 AB 于点 O 、 F ，且OP OF ，则 cos ADF
∴tan40°=
DG AG
167 y 120
0.84
解得：y=78.8 故选：C 【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆， 根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．
【答案】C 【解析】 【分析】
13．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A＝30°，则 sin∠E 的值为（ ）
2
2
又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，
∴AE：BE＝AC：BC，
∵在 Rt ABC 中， ACB 90 ， tan B 3 ， 4
∴AC：BC＝3:4， ∴AE：BE＝3:4
∴AE＝ 3 AB， 7
∵ CD 为 AB 边上的中线，
∴AD＝ 1 AB， 2
∴
AE
3 7
AB
6
，
AD 1 AB 7
得 AD＝ 1 AB，进而可求得 AE 的值．
2
AD
【详解】
解：∵ CE 平分 ACB ，
∴点 E 到 ACB 的两边距离相等， 设点 E 到 ACB 的两边距离位 h，
则 S△ACE＝ 1 AC·h，S△BCE＝ 1 BC·h，
2
2
∴S△ACE：S△BCE＝ 1 AC·h： 1 BC·h＝AC：BC，
∵BC 的坡度为 1:0.75 ∴设 CF 为 xm，则 BF 为 0.75xm ∵BC=140m
∴在 Rt△BCF 中， x2 0.75x2 1402 ，解得：x=112
∴CF=112m，BF=84m ∵DE⊥CE，CE∥AB，∴DG⊥AB，∴△ADG 是直角三角形 ∵DE=55m，CE=FG=36m ∴DG=167m，BG=120m 设 AB=ym ∵∠DAB=40°
A． 3 2
【答案】A 【解析】
B． 2 2
C． 3 2
D．1
【分析】
根据特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】
解：原式 1 1 3 ． 22
故选 A． 【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
11．把 RtABC 三边的长度都扩大为原来的 3 倍，则锐角 A 的余弦值（ ） A．扩大为原来的 3 倍 B．缩小为原来的 1 C．扩大为原来的 9 倍 D．不变
A．78.6 米
B．78.7 米
C．78.8 米
D．78.9 米
【答案】C
【解析】
【分析】
如下图，先在 Rt△CBF 中求得 BF、CF 的长，再利用 Rt△ADG 求 AG 的长，进而得到 AB 的长
度
【详解】
如下图，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 延长线于点 F，延长 DE 交 AB 延长线于点 G
个内角为 60°， A 、 B 、 C 都是格点，则 tan ABC （ ）
A． 3 9
B． 3 6
C． 3 3
D． 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出 EF,的长，进而利用
tanABC EC 得出答案． BE
【详解】
解:连接 DC，交 AB 于点 E． 由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,
A． 500sin55 m
【答案】B 【解析】
B． 500cos55 m
C． 500tan55 m
D． 500 m cos55
【分析】
根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可．
【详解】
在 Rt△BDE 中，cosD= DE ， BD
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
故选 B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
AF : FG : GD 4 : 3:1，可以求出 DG 的长度，再根据余角的性质算出∠DCE 的大小，根
据三角函数即可算出 DC 的长度.
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=8，∠DCB= 90 ，
又∵ AF : FG : GD 4: 3:1
∴ GD 1 AD 1 AD 1,
人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析
一、选择题 1．如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 ， tan B 3 ， CD 为 AB 边上的中线， CE 平分
4 ACB ，则 AE 的值（ ）
AD
A． 3 5
【答案】D 【解析】
B． 3 4
C． 4 5
D． 6 7
【分析】
根据角平分线定理可得 AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得 AE＝ 3 AB，再由点 D 为 AB 中点 7
B． 2
C． 3
D． ( 3 1)
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．可计算边长
为 2，据此即可得出表面积． 【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 3 的正三角形．
∴正三角形的边长 3 2 ． sin 60
∴圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 2，
4 3 1
8
∵∠ECB=60°，
∴∠DCE= 90 60 30，
又∵ tan 30 3 GD 1 ， 3 CD CD
∴ CD 3 ,
故答案为 C. 【点睛】 本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长 度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.