中考数学锐角三角函数综合题含详细答案

中考数学锐角三角函数综合题含详细答案

一、锐角三角函数

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∠COD＝30°，

∴∠COP＝1

2

∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝1

OA＝5（分米），

2

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3

∵OB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt △OFK 中，KO ＝OF?cos60°＝2（分米），FK ＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米）， ∴BE ＝10?2?26＝（8?26）（分米），

在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米），

在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2）

＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE ＝4．

故答案为：5＋53，4．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为?AC 上的动点，且10

cos B =. (1)求AB 的长度；

(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.

【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】

【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；

（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的

性质可得AD?AE=AF?AG，连接BG，求得AF=3，FG=1

3

，继而即可求得AD?AE的值；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.

【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=

1

2

BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=

10

cos10

BF

B

==

；

（2）连接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴AD?AE=AF?AG，

连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF?FG，

∵AF=22

AB BF

-=3，

∴FG=1

3

，

∴AD?AE=AF?AG=AF?（AF+FG）=3×10

3

=10；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN，

∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．

(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.

图1 图2

【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析

（2）证明见解析

（3）=2π

【解析】

试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长

试题解析：（1）BE=FH．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，

∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

Rt△ENA中，EN =

又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）

∴∠EAC=30°

∴AE=

Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8

AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°

=2π·4·（90°÷360°）=2π

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数

4．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O

于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.

(1)求证：△PAC∽△PDF；

(2)若AB＝5，，求PD的长；

(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.

（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得

，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，

由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.

（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得

，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.

试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.

又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.

（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，

∴.∴.

∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.

∵AB⊥CD，∴.

如图，连接BP，

∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得，即.

∴PD的长为.

（3）如图，连接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.

∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.

∵，∴.

∵△AGP∽△DGB，∴.

∵△AGD∽△PGB，∴.

∴，即.

∵，∴.

∴与之间的函数关系式为.

考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．

（1）AE的长为 cm；

（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；

（3）求点D′到BC的距离．

【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．

【解析】

试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：

∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．

∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．

∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．

（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC

于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．

（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．

试题解析：解：（1）．

（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，

∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．

∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．

∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．

∴点E，D′关于直线AC对称．

如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．

∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，

∴，即DP+EP最小值为12cm．

（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，

∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，

∵AE=EC，∴AD′=CD′=．

在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′

（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．

设D′G长为xcm，则CG长为cm，

在Rt△GD′C中，由勾股定理得，

解得：（不合题意舍去）．

∴点D′到BC边的距离为cm．

考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．

6．如图，矩形OABC 中，A(6，0)、C(0，2

3)、D(0，33)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P 、Q 分别是l 和x 轴的正半轴上的动点，满足∠PQO ＝60o．

(1)点B 的坐标是 ，∠CAO ＝ o，当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标 为 ；

(2)设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．

【答案】（1）（6，3）． 30．（3，3）（2）

)))()243

430x 331333x x 3x 5232

S {231235x 9543

x 9x +≤≤-+-<≤=+<≤>

【解析】

解：（1）（6，3 30．（3，3 （2）当0≤x≤3时， 如图1，

OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，

可得

EF PE DC31

==

OQ PO DO3

33

==，∴EF=

1

3

（3+x），

此时重叠部分是梯形，其面积为：

EFQO

14343

S S EF OQ OC3x x43 233

==+?=+=+梯形

（）（）

当3＜x≤5时，如图2，

()

HAQ

EFQO EFQO

22

1

S S S S AH AQ

2

43331333

x43x3=x x

32232

?

=-=-??

=+---+-

梯形梯形

。

当5＜x≤9时，如图3，

12

S BE OA OC3x

23

23

=x123

=+?=-

-+

（）（）

。

当x＞9时，如图4，

11183543

S OA AH 6=

22x x

=

?=??

． 综上所述，S 与x 的函数关系式为：

()()()()243

x 430x 33

31333x x 3x 5S {23x 1235x 93543

x 9+≤≤-+-<≤=-+<≤>．

（1）①由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标： ∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，

∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）． ②由正切函数，即可求得∠CAO 的度数： ∵OC 233

tan CAO ==

OA ∠=

，∴∠CAO=30°． ③由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，

∵∠PQO=60°，D （0，3∴3 ∴0

PE AE 3tan 60

=

=．

∴OE=OA ﹣AE=6﹣3=3，∴点P 的坐标为（3，3）．

（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x ＞9时去分析求解即可求得答案．

7．如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以

为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：

（1）点的坐标（用含的代数式表示）；

（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的

值．

【答案】解：（1）过作轴于，

，，

，，

点的坐标为．

（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，

，，

．

②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，

过作于，则，

，．

③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，

则，，

．

过作轴于，则，

，

化简，得，

解得，

，

．

所求的值是，和．

【解析】

（1）过作轴于,利用三角函数求得OD、DC的长，从而求得点的坐标

⊙P与菱形OABC的边所在直线相切，则可与OC相切；或与OA相切；或与AB相切，应分三种情况探讨：①当圆P与OC相切时，如图1所示，由切线的性质得到PC垂直于OC，再由OA=+t，根据菱形的边长相等得到OC=1+t，由∠AOC的度数求出∠POC为30°，在直角三角形POC中，利用锐角三角函数定义表示出cos30°=oc/op，表示出OC，

等于1+t列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；②当圆P与OA，即与x轴相切时，过P作PE垂直于OC，又PC=PO，利用三线合一得到E为OC的中点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；③当圆P与AB所在的直线相切时，设切点为F，PF与OC交于点G，由切线的性质得到PF垂直于AB，则PF垂直于OC，由CD=FG，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义由OC表示出CD，即为FG，在直角三角形OPG中，利用OP表示出PG，用PG+GF表示出PF，根据PF=PC，表示出PC，过C作CH垂直于y轴，在直角三角形PHC中，利用勾股定理列出

关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．

8．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：

3≈1.7，2≈1.4）．

【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速

【解析】

分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解

直角三角形即可.

详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，

∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，

∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=

tan

PH

PAH

∠

33，

∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，

则PH=BH=50，∴3，

∵60千米/时=50

3

米/秒，∴时间

50350

3

+

3≈8.1（秒），

即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．

点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是⊙C外一点，连接CP交⊙C于点Q，点P关于点Q的对称点为P′，当点P′在线段CQ上时，称点P为⊙C“友好点”．已知A(1，0)，

B(0，2)，C(3，3)

(1)当⊙O的半径为1时，

①点A，B，C中是⊙O“友好点”的是；

②已知点M在直线y＝﹣3

x+2 上，且点M是⊙O“友好点”，求点M的横坐标m的取值

范围；

(2)已知点D(23，0)，连接BC，BD，CD，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N，使点N是⊙T“友好点”，求圆心T的横坐标t的取值范围．

【答案】(1)①B；②0≤m3(2)﹣3t＜3

【解析】

【分析】

(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；

②设M(m 3

+2 )，根据“友好点”的定义，OM

2

2

3

22

2

m m

??

+-+≤

?

?

??

，由此

求解即可；

(2)B(0，2)，C(3，3)，D30)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点

H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT 3

，直线BD：y

3

x+2，可知H(t，﹣

3 3t+2)，继而可得NT＝﹣

1

2

t+

33

2

，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.

【详解】

(1)①∵r＝1，

∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，

∴点B是⊙O“友好点”，

∵OC22

33

+2>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，

故答案为B；

②如图，

设M (m ，﹣

3

m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝2

23

22

2m m ??+-+≤ ? ???

， 整理，得2m 2﹣23m ≤0， 解得0≤m ≤3；

∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；

(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，

∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．

∵tan ∠BDO ＝

3

3

23OB OD ==

∴∠BDO=30°， ∴∠OBD ＝60°， ∴∠THN=∠OBD=60°， ∴NT ＝HT?sin ∠3

，

∵B(0，2)，D(23，0)，∴直线BD：y＝﹣3

3

x+2，∵H点BD上，

∵H(t，﹣3t+2)，

∴HT＝﹣3

3t+2﹣(﹣1)＝﹣

3

3

t+3，

∴NT＝3HT＝3(﹣3t+3)＝﹣1

2t+

33

，

∴﹣1

2t+

33

≤2，

∴t≥﹣4+33，

当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，

此时点N不是“友好点”，

∴t＜33，

故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．

【点睛】

本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．

10．如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O上一点，C在AB的延长线上，AD⊥CE交CE的延长线于点D，且AE平分∠DAC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB＝6，∠ABE＝60°，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）9 2

【解析】

【分析】

（1）利用角平分线的性质得到∠OAE＝∠DAE，再利用半径相等得∠AEO＝∠OAE，等量代换即可推出OE∥AD，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt△ABE中，AE＝

AB·cos30°， 在Rt △ADE 中，AD=cos30°×AE 即可解题. 【详解】

证明：如图，连接OE ， ∵AE 平分∠DAC ， ∴∠OAE ＝∠DAE ． ∵OA ＝OE ， ∴∠AEO ＝∠OAE ． ∴∠AEO ＝∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∵DC ⊥AC ， ∴OE ⊥DC ． ∴CD 是⊙O 的切线．

（2）解：∵AB 是直径， ∴∠AEB ＝90°，∠ABE ＝60°． ∴∠EAB ＝30°，

在Rt △ABE 中，AE ＝AB·

cos30°3

33 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝∠BAE ＝30°， ∴AD=cos30°3

3392.

【点睛】

本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.

11．如图，已知二次函数2

12

y x bx c =

++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ． （1）求这个二次函数解析式；

（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标；

（3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1）点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）点P（7，0）；（3）点N（-

7 5，

14

5

）．

【解析】【分析】

（1）将点A、

B坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）利用S△ABC= 1

2

×AC×BH=

1

2

×BC×y A，求出sinα=

22

2105

BH

AB

==，则tanα=

1

2

，在

△PMD中，tanα= MD

PM

=

1

2

22

x

=

+

，即可求解；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．

【详解】

（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：

9

633

2

1

2

b

b c

?

=-+

??

?

?=--+

??

，解得：

1

3

2

b

c

=-

?

?

?

=-

??

，

故：抛物线的表达式为：y=1

2

x2-x-

3

2

，

令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-3

2

，

故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；

（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC=∠BAC=α，

由题意得：AB=210，AC=62，BC=4，PC=22，

S△ABC=1

2

×AC×BH=

1

2

×BC×y A，

解得：BH=22，

sinα=BH

AB

=

22

210

=

5

，则tanα=

1

2

，

由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD=MC=x，

在△PMD中，tanα=MD

PM

=

22

x+

=

1

2

，

解得：x=22，则CD=2x=4，

故点P（7，0）；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），

过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，

直线AP表达式中的k值为：8

4-

=-2，则直线A′N表达式中的k值为

1

2

，

设直线A′N的表达式为：y=1

2

x+b，

将点A′坐标代入上式并求解得：b=7

2

，

故直线A′N的表达式为：y=1

2

x+

7

2

…①，

当x=1时，y=4，

故点M（1，4），

同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，

联立①②两个方程并求解得：x=-7

5

，

故点N（-7

5

，

14

5

）．