锐角三角函数的经典测试题及答案

锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D 四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上， D 地在 A 地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从 A 地到D地的距离是( )A．30 3m B．20 5 m C．30 2 m D．15 6 m【答案】D【解析】分析：过点 D 作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠ DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB 的长，从而得到AB+BC+CD的长．详解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠ DAC=75°﹣30°=45°．∵△ BCD是等边三角形，∴∠ DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴ DH= 3× 30=15 3，∴2AD= 2 DH=15 6 m．故从 A 地到D 地的距离是15 6 m．故选D．点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面2积是125，小正方形面积是25，则sin cos 2 ( )根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5，再根据直角三 角形的边角关系列式即可求解．【详解】 解：∵大正方形的面积是 125，小正方形面积是 25， ∴大正方形的边长为 5 5 ，小正方形的边长为 5，5 5cos5 5sin5，cos sin5，521 sin cos．5故选： A ．【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cos sin 5 ．53．如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A ′处，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕 BM 的长为 ( )答案】 A 解析】 分析】1BE= AB ，A ′B=AB=，4∠BA ′M=∠A=90°，∠ ABM=∠MBA ′，可得∠2EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠ E BA ′=60 °，进而可得∠ ABM=30°，在 Rt △ABM中，利用∠ ABM 的余弦求出 BM 的长即可 .1A ．5 【答案】 A 【解析】【分析】B ． 5C ． 3 5D ．A ． 83 3B ． 4 3C ．8D ． 8 3根据折叠性质可得【详解】∵对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合， AB=4，1∴BE= AB=2，∠ BEF=90°，2∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 A '处，并使折痕经过点 B ， ∴A ′B=AB=4，∠ BA ′M= ∠ A=90°，∠ ABM=∠ MBA ′， ∴∠ EA ′B=30°， ∴∠ EBA ′=60°， ∴∠ ABM=3°0 ，∴在 Rt △ABM 中， AB=BM cos ∠ ABM ，即 4=BM cos30 °， 解得： BM=8 3 ，3故选 A.【点睛】 本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角 三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻 边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键 .4．如图，矩形纸片 ABCD ， AB 4，BC 3，点 P 在BC 边上，将 CDP 沿DP 折 叠，点C落在点 E 处， PE 、 DE 分别交 AB 于点O 、 F ，且OP OF ，则cos ADF根据折叠的性质可得出 DC=DE 、CP=EP ，由∠ EOF=∠BOP 、∠ B=∠ E 、 OP= OF 可得出 △OEF ≌AOBP （AAS 根） 据全等三角形的性质可得出 0E=OB 、EF=BP ，设 EF=x ，则 BP=x 、 DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出 AF=1+x ，在 Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦的定义即可求出 cos ∠ADF 的值．【详解】 解：∵矩形纸片 ABCD ，点 P 在BC 边上，将 CDP 沿DP 折叠，点 C 落在点 E 处， 根据折叠性质，可得： △DCP ≌△ DEP ， ∴.DC=DE=4， CP= EP，11A ．13【答案】 C 【解析】【分析】 B ．13 15 C ．1517D ．17 19的值为（ ）在△OEF和△OBP 中EOF BOP B E 90OP OF∴△ OEF≌△ OBP(AAS)∴ОE=OB，EF= ВР.设EF=x,则BP=x，DF= DE-EF=4-X，又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PCР, С=ВC-BP=3-x, ∴AF=AB-BF=1+x.在Rt△DAF中，AF2+AD2= DF2，即(1+x) 2+32= (4-x)23解得: x=5DF=4-x=17∴cos∠ADF= AD 15DF 17故选:C.点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF 的长度是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD中E是CD 的中点，EA平分BED, PE AE交BC于点P，连接PA ，以下四个结论：① EB平分AEC；② PA BE；③ AD 3AB；2④ PB 2PC ．其中结论正确的个数是（）A．4 个B． 3 个C． 2 个D． 1 个【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△ BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ ABP（SSS），进而得出∠ EAP＝∠ PAB＝30°，再分别得出AD 与AB，PB与PC的数量关系即可．【详解】解：∵在矩形ABCD中，点 E 是CD的中点，∴DE＝CE，又∵ AD＝BC，∠ D＝∠ C，∴△ ADE≌△ BCE（SAS），∴AE＝BE，∠ DEA＝∠ CEB，∵EA平分∠ BED，∴∠ AED＝∠ AEB，∴∠ AED＝∠ AEB＝∠ CEB＝60°，故：①EB 平分∠ AEC，正确；∴△ ABE是等边三角形，∴∠ DAE＝∠ EBC＝30°，AE＝AB，∵PE⊥ AE，∴∠ DEA＋∠ CEP＝90°，则∠ CEP＝30°，故∠ PEB＝∠ EBP＝30°，则EP＝BP，又∵ AE＝AB，AP＝AP，∴△ AEP≌△ ABP（SSS），∴∠ EAP＝∠ PAB＝30°，∴AP⊥BE，故② 正确；∵∠ DAE＝30°，∴tan∠DAE＝DE＝tan30 °＝∴AD＝3 DE，即ADAD 3∵AB＝CD，∴③AD∵∠ CEP＝30°，∴CP＝EP，2∵EP＝BP，1∴CP＝BP，∴④ PB＝2PC正确．综上所述：正确的共有 4 个．故选：A．【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30 度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30 海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 之间的距离为（）P的南偏东30°方向上的 B 处，则此时轮船A．60 海里B．45 海里C．20 3 海里D．30 3 海里答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠ B=30°，AP=30 海里，∠ APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠ B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置 B 处与灯塔P之间的距离为：BP= AB2AP230 3（海里）故选：D．点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．7．如图，已知AB是⊙O 的直径，点C在⊙ O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠ A=30°，PC=3，则⊙ O的半径为（答案】A解析】∴∠ OCA=∠ A=30°，∴∠ COB=∠ A+∠ ACO=6°0 ，∵PC是⊙ O切线，∴∠ PCO=9°0 ，∠ P=30°，∵PC=3，∴OC=PC?tan30 °= 3，故选A【分析】如图，过点D作DE⊥ AB于E，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠ 为∠ BAC的角平分线可得∠ DAC=3°0 ，根据角平分线的性质可得DE=CD，求出CD的值即可得答案．【详解】∵∠ B=30°，∠ C=90°，∴∠ BAC=60°，∵AD 平分∠ BAC，C．D．2 338．如图，在RtVABC 中，C＝90 ，则点D 到AB 的距离为( )B 30 ，AD是BAC 的角平分线，AC＝6 ，B．3A．33【答案】 C【解析】C．23 D．33BAC=60°，由AD利用∠ DAC的正2∴∠ DAC=3°0 ， DE=CD ， ∵AC=6，∴CD=A ·Ctan ∠DAC=×6 3 =2 3 ，即 DE=2 3，3∴点 D 到 AB 的距离为 2 3 ，故选： C ．【点睛】 本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜 边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两 边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．9．在半径为 1的eO 中，弦 AB 、 AC 的长度分别是 3， 2，则 BAC 为（ ）度． A ．75 B ．15或30 C ． 75或15 D ． 15或45【答案】 C 【解析】【分析】 根据题意画出草图，因为 C 点位置待定，所以分情况讨论求解． 【详解】 利用垂径定理可知： AD= 3，AE 2 ．，∴∠AOD=6°0 ； 2 ，∴∠AOE=4°5 ；∴∠ BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C．2【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形310．如图，在 RtVABC 中， ACB 90 ，tanB ，CD 为 AB 边上的中线， CE 平4AE分 ACB ，则 AE 的值（ ）AD1 AE 得 AD ＝ 21 AB ，进而可求得 A AE D 的值．详解】 解：∵ CE 平分 ACB ， ∴点 E 到 ACB 的两边距离相等，设点 E 到 ACB 的两边距离位 h ，又∵ S △ACE ： S △BCE ＝ AE ： BE， ∴AE ：BE ＝AC ： BC ，3∵在 RtVABC 中， ACB 90 ， tanB ， 4 ∴AC ：BC ＝ 3:4， ∴AE ：BE ＝3:43∴ AE ＝ AB ，7∵ CD 为 AB 边上的中线，34B．D3 5 案析 ．答 解A 【 【4C．6D．根据角平分线定理可得 AE ：BE ＝AC ：BC ＝3:4，进而求得AE ＝ 3AB ，再由点7D 为 AB 中点则 S △ACE ＝ 2 AC ·h ，1S △BCE ＝ 2BC ·h ，∴S△ACE ： S △BCE ＝1 AC ·h： 1BC ·h ＝ AC ：BC ，A ．8 3B ． 9 3C ． 6 3 【答案】 A 【解析】 【分析】 【详解】解：∵∠ MAB=4°5 ， BM=10 2 ，∴AB= BM 2 MA 2 = (10 2)2 (10 2)2 =20km ， 过点 B 作 BD ⊥AC ，交AC 的延长线于 D ， 在 Rt △ADB 中，∠ BAD=∠MAC ﹣∠ MAB=7°5﹣45°=30°，BD 3tan ∠ BAD== ，AD 3∴AD= 3 BD ， BD 2 +AD 2 =AB 2，即 BD 2+( 3 BD )2=202，∴BD=10，∴ AD=10 3 ， 在 Rt △BCD 中， BD 2+CD 2=BC 2， BC=43 ，∴ CD=2 3 ， ∴AC=AD ﹣ CD=10 3 ﹣ 2 3 =8 3 km ， 答：此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为 8 3 km ．∴AD ＝ 1 AB ，2 AE AD3 AB7 1 AB 267， 故选： D ． 【点睛】 本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得 是解决本题的关键． AE ： BE ＝AC ：BC 11．已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 45°方向，且其到 A 观测点正北风向的距离 BM 的长 为 10 2 km ，一艘货轮从 B 港口沿如图所示的 BC 方向航行 4 7 km 到达 C 处，测得 C 处 位于 A 观测点北偏东 75°方向，则此时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长为（ ） D ． 7 3解直角三角形的应用 -方向角问题．12．如图， AB 是⊙ O 的直径， C 是⊙ O 上的点，过点 C 作⊙ O 的切线交 AB 的延长线于点解析】分析】继而求得∠ E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【详解】 如图，连接 OC ，∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠ OCE=9°0 ， ∵OA=OC ，∴∠ OCA=∠ A=30°，∴∠ COE=∠ A+∠ OCA=6°0 ，∴∠ E=180°-90 °-60 °=30°， ∴ sinE=sin30 =°2故选 A ． 考点】C ． 32D ．首先连接 OC ，由 CE 是⊙O 切线，可证得 OC ⊥ CE ，又由圆周角定理，求得∠ B OC 的度数，22答案】 A )故选 A.13．将一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长上， AB ∥CF ，∠ F ＝∠ ACB ＝ 90°，∠ E)【答案】 B 【解析】 【分析】过点 B 作 BM ⊥FD 于点 M ，根据题意可求出 BC 的长度，然后在 △EFD 中可求出∠ EDF ＝ 60°，进而可得出答案． 【详解】解：过点 B 作 BM ⊥ FD 于点 M ，在△ACB 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝ 45°，AC ＝12 2 ， ∴BC ＝ AC ＝ 12 2 ． ∵AB ∥CF ， ∴BM ＝ BC ×sin45＝° 12 2 2122CM ＝BM ＝12， 在△EFD 中，∠ F ＝ 90°，∠ E ＝30°， ∴∠ EDF ＝ 60°， ∴MD ＝BM ÷tan60＝°4 3 ， ∴CD ＝CM ﹣MD ＝12﹣ 4 3 ． 故选 B ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用 所学的三角函数的关系进行解答．14．如图，在 Rt △ABC 中，∠ ABC=90°， AB= 2 3 ， BC=2，以 AB 的中点为圆心， OA 的长为D ． 63C ．12﹣ 6 33 半径作半圆交 AC 于点 D ，则图中阴影部分的面积为 ( )A ． 5 3B ． 5 3C ． 2 3D ． 4 34 2 4 2 2 【答案】 A【解析】 【分析】连接 OD ，过点 O 作 OH ⊥ AC ，垂足为 H ，则有 AD=2AH ，∠ AHO=9°0 ，在 Rt △ABC 中，利用 ∠A 的正切值求出∠ A=30°，继而可求得 OH 、AH 长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°， 然后根据 S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形 BOD 进行计算即可 .详解】连接 OD ，过点 O 作 OH ⊥ AC ，垂足为 H ， 则有 AD=2AH ，∠ AHO=9°0 ，本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线， 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键 .15．已知圆锥的底面半径为 5cm ，侧面积为 60π cm 2，设圆锥的母线与高的夹角为 θ，则 sinθ的值为( )在 Rt △ABC 中， ∠ ABC=90°， AB= 2 3 ，BC=2， tan ∠A= BCAB 2 3 3， 3， ∴∠ A=30°，∴OH= 1 OA= 3 ， AH=AO?cos ∠ A= 3 22 32，∠ BOC=2∠A=60∴AD=2AH=3 ，∴ S 阴影 =S△ABC -S △AOD -S扇形BOD= 1 2 3 222 3 260 3360故选 A.点睛】解析】 分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式 求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案 【详解】 解：∵圆锥底面周长为 2 5 10 ，∴ sin θ= 512 故选 C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识 .利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键解析】 【分析】首先证明 △ABF ≌△ DEA 得到 BF=AE ；设 AE=x ，则5B ．135C ．1212 D ．13S 1 lr 可 2且圆锥的侧面积为 60π，∴圆锥的母线长为2 6012 ，10ABCD 边 CD 上一点，连接 AM ，作 DE ⊥AM 于点E ， 四边形 ABED 的面积为 BF ⊥ AM 于6，则∠ EBF 的余弦值是(3 1313C ．D ． 1313BF=x ，DE=AF=1，利用四边形 ABED 的面 A ．13 【答案】 C B ．答案】 B16． 如图，点 M 是正方形 点 F ，连接 BE ，若 AF ＝1积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到?x?x+?x × 1=，6解方程求出x得到AE=BF=3，2则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝AD，∠ BAD＝90°，∵DE⊥AM 于点E，BF⊥ AM 于点F，∴∠ AFB＝90°，∠ DEA＝90°，∵∠ ABF+∠BAF＝90°，∠ EAD+∠ BAF＝90°，∴∠ ABF＝∠ EAD，在△ABF和△DEA中BFA DEAABF EADAB DA∴△ ABF≌△ DEA（AAS），∴BF＝AE；设AE＝x，则BF＝x，DE＝AF＝1，∵四边形ABED的面积为6，11∴x x x 1 6 ，解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去），22∴EF＝x﹣1＝2，在Rt△BEF中，BE 223213，∴BF 3 3 13∴cos EBF ．BE 13 13故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．17．如图，点 E 是矩形ABCD的边AD的中点，且BE⊥ AC于点F，则下列结论中错误的是（）31A ． AF ＝ CF2B ．∠ DCF ＝∠ DFCC ．图中与 △AEF 相似的三角形共有 5 个 答案】D 解析】 分析】1 1 AE AF 1 由 AE= AD= BC ，又 AD ∥BC ，所以，故 A 正确，不符合题意；22BC FC 21过 D 作 DM ∥BE 交 AC 于 N ，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= BC ，得到CN=NF ，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故 B 正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故 C 正确，不符合题意；由△BAE ∽△ ADC ，得到 CD 与 AD 的大小关系，根据正切函数可求 tan ∠CAD 的值，故 D 错 误，符合题意．【详解】 解： A 、∵ AD ∥BC ， ∴△ AEF ∽△ CBF ，BC FC11 ∵AE ＝ AD ＝ BC ，22 AF 1∴ ＝ ，故 A 正确，不符合题意；FC 2B 、过 D 作 DM ∥BE 交 AC 于 N ， ∵DE ∥BM ，BE ∥DM ，∴四边形 BMDE 是平行四边形，1∴BM ＝ DE ＝ BC ， ∴BM ＝CM ， ∴CN ＝NF ，∵BE ⊥ AC 于点 F ， DM ∥BE ， ∴DN ⊥CF ， ∴DF ＝ DC ，∴∠ DCF ＝∠ DFC ，故 B 正确，不符合题意；C 、图中与 △AEF 相似的三角形有 △ACD ，△BAF ，△CBF ，△CAB ，△ABE 共有 5 个，故 C 正 确，不符合题意．AEAF D ． ta n2ba D 、设 AD ＝a ，AB ＝b 由△BAE ∽△ ADC ，有 ＝ ．a2∵tan ∠CAD ＝ CD ＝ b ＝ 2 ，故 D 错误，符合题意． AD a 2 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线 是解题的关键．18．如图，等边 VABC 边长为 a ，点O 是VABC 的内心， FOG 120 ，绕点 O 旋转FOG ，分别交线段 AB 、 BC 于D 、 E 两点，连接 DE ，给出下列四个结论：① VODE 形状不变； ② VODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一； ④ VBDE 周长的最小值为 1.5a ．上述结论中正确的【分析】连接 OB 、OC ，利用 SAS 证出 △ODB ≌△ OEC ，从而得出 △ODE 是顶角为 120°的等腰三角1 形，即可判断 ① ；过点 O 作 OH ⊥DE ，则 DH=EH ，利用锐角三角函数可得 OH= OE 和2DE= 3 OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE = 3 OE 2，从而得出 OE 最小时， S △ODE 最4小，根据垂线段最短即可求出 S △ODE 的最小值，然后证出 S 四边形 ODBE =S △OBC = 3 a 2即可判断12② 和③ ；求出 VBDE 的周长 =a ＋DE ，求出 DE 的最小值即可判断 ④ ． 【详解】 解：连接 OB 、OC③ 四边形 ODBE 的面积始终不变；C ．2D ．1故选： D ．3解析】∵ VABC 是等边三角形，点O 是VABC 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ ABC和∠ ACB11∴∠ OBA=∠OBC= ∠ABC=30°，∠ OCA=∠OCB= ∠ACB=30°22 ∴∠ OBA=∠OCB，∠ BOC=18°0 －∠ OBC－∠ OCB=12°0 ∵ FOG 120 ∴ FOG ∠ BOC∴∠ FOG－∠ BOE=∠ BOC－∠ BOE∴∠ BOD=∠COE 在△ODB 和△OEC中BOD COEBO COOBD OCE∴△ ODB≌△ OEC∴OD=OE∴△ ODE是顶角为120°的等腰三角形，∴ VODE 形状不变，故① 正确；过点O 作OH⊥DE，则DH=EH∵△ ODE是顶角为120°的等腰三角形∴∠ ODE=∠ OED=1（180°－120°）=30°213∴OH=O·Esin∠OED= OE，EH= OE·cos∠OED= 3 OE22∴DE=2EH= 3 OE∴ S△ODE= DE·OH= 324 OE2∴OE最小时，S△ODE 最小，过点O作OE′⊥BC于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值22 在Rt △OBE′中OE ′ =BE ′·∠OtaBnE ′= 1 a × 3 = 3 a2 3 6 a∴S △ODE 的最小值为 3 OE ′2= 3 a 24 48∵△ ODB ≌△ OEC13 2∴S 四边形 ODBE =S △ODB ＋ S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC = BC · OE ′= a 2 2 12 ∵3a 2=1× 3 a 248 4 12∴ S △ODE ≤ S 四边形 ODBE4即 VODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一，故 ② 正确； ∵ S 四边形ODBE = 3 a 212∴四边形 ODBE 的面积始终不变，故 ③ 正确； ∵△ ODB ≌△ OEC∴DB=EC ∴VBDE 的周长 =DB ＋BE ＋ DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE ∴DE 最小时 VBDE 的周长最小 ∵DE= 3 OE∴OE 最小时， DE 最小 而 OE 的最小值为 OE ′=3 a61 a = a 2综上： 4 个结论都正确， 故选 A ． 【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面 积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键． 19．如图，一架飞机在点 A 处测得水平地面上一个标志物 P 的俯角为 α，水平飞行 m 千米后到达点 B 处，又测得标志物 P 的俯角为 β，那么此时飞机离地面的高度为 ( )∴ VBDE 的周长的最小值为 1a ＋a =1.5a ，故④ 正确； 2锐角三 ∴DE 的最小值为6A．千米B．千米C．cot cot cot cot tan tan 千米D．千tan tan答案】A解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cot ，BO=PO cot ，又AB=m=AO-BO= PO cot - PO cot cot cot .所以答案选 A.【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键20．cos60o tan45o的值等于(答案】A解析】分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式故选A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．。