2020年高考数学三轮题型突破 3 解答题突破 题型17 数列的综合问题(学生版不含答案)

第三篇主题17 数列的综合问题【主题考法】本主题考题形式为解答题，主要考查等差数列与等比数列定义、性质及通项公式，考查利用构造法、叠加法、叠乘法及第n 项与前n 项和公式法求数列通项公式方法，主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法等求和方法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为12分.【主题考前回扣】1.求数列的通项公式的常见类型和解法：(1)观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.(2)累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+L =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++L ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数(3)累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯L =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯L ，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数(4)构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+(其中p 是常数)型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.(5)利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.2.数列求和的主要方法：(1)分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.(2)拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a 1n n ++1n n +(3)倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想(4)错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++L L= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++L L ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++L L ② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -= 221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++--L L =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-L L ，转化为等比数列211,,,,n q q q -L L ，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.(5)并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．【易错点提醒】1.已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2.利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项．7．裂项相消法求和时，一注意分裂前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12)111(+-n n ；二注意要注意消去了哪些项，保留了哪些项.学=科网8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．【主题考向】考向一 等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式【解决法宝】对等差数列、等比数列基本量问题，利用等差数列、等比数列通项公式、性质、前n 项和公式列出关于首项、公差(公比)的方程组，解出首项、公差(公比)即可解决问题.例1【2020届福建省福州适应性练习】已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和. 【分析】 【解析】考向二 已知递推公式求数列的通项公式【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法：(1)观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变化的，变化部分与序号的关系，，归纳出n a 的通项公式，再用数学归纳法证明.(2)累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题，化为1()n n a a f n +-=，通过累加得n a =112211()()()n n n n a a a a a a a ----+-++-+L =1(1)(2)(1)f n f n f a -+-+++L ，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数(3)累积法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题，化为1()n na f n a +=，通过累积得n a =121121n n n n a a a a a a a ---⨯⨯⨯⨯L =1(1)(2)(1)f n f n f a -⨯-⨯⨯⨯L ，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数(4)构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+(其中p 是常数)型，常用待定系数法将其化为1(1)[()]n n a Af n p a Af n +++=+，由等比数列定义知{()n a Af n +}是公比为p 的等比数列，由等比数列的通项公式先求出()n a Af n +通项公式，再求出n a 的通项公式.学科-网(5)利用前n 项和n S 与第n 项n a 关系求通项：对递推公式为n S 与n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.例2【2020江苏如皋期初考】已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：2n n n b a a +=-，1232n n n n c a a a ++=++． (1)若{}n b 是等差数列，且公差1121d b a a ====，求数列{}n c 的通项公式n c ；(2)若{}n b 、{}n c 均是等差数列，且数列{}n c 的公差136d a ==，119c =，求数列{}n a 的通项公式． 【分析】 【解析】考向三 数列求和【解决法宝】数列求和的主要方法：(1)分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n 和公式求前n 项和.(2)拆项相消法：若数列的每一项都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项.常用拆相公式: ①若{}n a 是各项都不为0公差为(0)d d ≠的等差数列，则11n n a a +=1111()n n d a a +=-②n a 1n n ++1n n +(3)倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n 项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想(4)错位相减法：若数列{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，{}n b 是公比为(1)q q ≠的等比数列，则在数列{}n n a b 的前项和n S =112233n n a b a b a b a b ++++L L= 211121311n n a b a b q a b q a b q -++++L L ①，两边同乘以公比q 得n qS =231121311n n a b q a b q a b q a b q ++++L L ② ，①式与②式错位相减得(1)n q S -= 221111211131211111()()()n n n n n n a b a b q a b q a b q a b q a b q a b q a b q ---+-+-++--L L =21111(1)n n n a b d q q q a b q -++++-L L ，转化为等比数列211,,,,n q q q -L L ，的前n 项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和．例3【2020届百校联考百日冲刺金卷(三)】已知正项等比数列{}n a 满足12a =，23732a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，22n b n =-. (1)求{}n a 的通项公式与n S ； (2)设11n n n c a S +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【分析】 【解析】例4【2020届山西省运城一模】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*11911,02,,6n n n a n a a n S n N +--=->≥=∈，各项均为正数的等比数列{}n b 满足1234,b a b a ==(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式； (2)若1,2n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T 【分析】 【解析】例5．【2020届慕华优策第一次联考】已知各项为正数的数列{}n a ，前n 项和为n S ，且11a =，21(n n S S -=(2,n n N ∈…). (1)证明：数列为等差数列，并求出数列{}n a 通项公式na；(2)设11n n n b a a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【分析】 【解析】考向四 数列与不等式等知识的交汇【解题法宝】1.求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视； (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.例6 【2020届全国大联考第六次联考】设数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且32a =，954S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)13⋅⋅⋅+>. 【分析】 【解析】【主题集训】1．【2020湖湘名校3月线上检测】设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+(2n ≥)，3412a a +=. (1)求{}n a 的通项公式： (2)求数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 2.【2020河北省石家庄二中质量检测】已知数列{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22a =，36S a =，数列{}n b 满足：2124b b ==，当3n ≥，n *∈N 时，()1122...222n n n a b a b a b n b +++=-+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令*nn na c n Nb =∈，，证明：12...2n c c c +++<. 3.【2020届河省新乡二中第四次月考】在数列{}n a 和等比数列{}n b 中，10a =，32a =，()1*2n a n b n N +=∈.(1)求数列{}n b 及{}n a 的通项公式； (2)若12n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 4.【2019届湖南省郴州市二质监】已知数列和满足，若数列为等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.5.【2020福建3月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n S a n +-=-. (1)求证：12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； (2)若4n n b =，求数列{}4n n a b 的前n 项和n T . 6.【2019届山东省第一次大联考】已知数列，，且满足.(1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和.7.【2020福建省福清3月线上检测】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22n n a S -= (1)求n a ；(2)若数列{}n b 满足14nn n n a b S S +=(*n N ∈)，求{}n b 的前n 项和n T .8.【2019届黑龙江省齐齐哈尔市二模】已知等差数列的前项和为，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前项和，求满足的最小的值.9.【2020届江西省吉安期末】数列{}n a 是首项为1，公差不为0的等差数列，且1a ，2a ，5a 成等比数列；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且12b =，1213n n S S +=+()*n ∈N . (1)求n a ，n b ；(2)若n n n c a b =⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：9n T <. 10.【2019届贵州省凯里一中模拟(二)】在等差数列中，已知.(I)求数列的通项公式；(II)记为数列的前项和，求的最小值.11.【2020江苏省南通市海安市3月月考】已知数列{}n a 的首项为1，各项均为正数，其前n 项和为n S ，112n nn n na a S a a ++=-,n *∈N .(1)求2a ,3a 的值;(2)求证：数列{}n a 为等差数列；(3)设数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=，求证：1121nn i ia b =≥-∑. 12.【2019届天津市十二重点中学联考(一)】设等比数列的前项和为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式；(2)若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．13.【2020届内蒙古赤峰二中三模】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,0n S An Bn C A =++≠. (Ⅰ)当2A =、0C =，且210a =-时，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设{}n a 的各项均为负实数，当1336,9a a =-=-时，求实数A 的取值范围. 14.【2019届河北省衡水中学一调】已知数列的前项和满足，.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的前100项中，是否存在两项，(，且)，使得，，三项成等比数列？若存在，求出所有的，的取值；若不存在，请说明理由..15．【2020吉林省吉林第二次调研】已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.16.【2019届湖南省衡阳市第二次联考】已知数列，满足，，，.(1)证明：数列，为等比数列；(2)记为数列的前项和，证明：.17．【2020河南省郑州第二次质量预测】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若12111n n T S S S =+++L ，证明：34n T <. 18．【2019届安徽省六安市一中模拟(四)】已知分别为的三内角A ，B ，C 的对边，其面积，在等差数列中，，公差．数列的前n 项和为，且．(1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n 项和．19．【2020届浙江宁波鄞州中学下期初考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()221n n S n a =+-，*n N ∈.(1)证明：11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，并求n a ； (2)令2sin2n nn a b a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．【2019届安徽省宣城市八校期末】设递增数列满足，、、成等比数列，且对任意，函数满足.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若数列的前项和为，，数列的前项和为，证明：.。