第12章 对策论

象
的一个重要学科。对策论发展的历史并不长，但 由于它所研究的现象与人们的政治、经济、军事
和
活动乃至一般日常生活等有着密切联系，并且处 理问题的方法又有明显特色，所以日益引起广泛
对
的重视。
策
论
二、 对策现象的三要素
对
1.局中人(players)：参与对抗的各方；
策
2.策略(strategies)：局中人选择对付其它局中人
微分对策、阵地对策、凸对策、随机对策等。
的
分
类
引言
矩阵对策的基本理论
对
矩阵对策的解法
策
其他类型对策简介
论
冲突分析简介
矩
阵
二人有限零和对策：（又称矩阵策略）
对
➢局中人为2；
策
➢每局中人的策略集中策略权目有限；
的
基
➢在任一局势下，两个局中人的赢得之 和总等于零，即一个局中人的所得值恰
本
好等于另一局中人的所失值，双方的利 益是完全对抗的。
2
2
3
6
取大则取2 max min aij= 2
ij
取小则取2 min max aij= 2
ji
平衡局势(α2,β2)，这个局势就是双方均可接受的， 且对双方来说都是一个最稳妥的结果。因此，α2和 β2应分别是局中人Ⅰ和Ⅱ的最优纯策略。
矩 阵 对
定义1
设G={S1,S2;A}为一矩阵对策，其中S1={α1,…,αm}， S2={β1,…,βn}，A=(aij)m×n。若
第十二章 对策论
Operational Research ( OR )
引言
矩阵对策的基本理论
对
矩阵对策的解法
策
其他类型对策简介
论
冲突分析简介
对
一、 对策现象和对策论
策
对策论(game theory)亦称博弈论或竞赛论，
现
是研究具有对抗或竞争性质现象的数学理论和方 法。它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学
理
论
矩
阵
记矩阵对策为: G = {S1, S2；A}
对
策
Ⅰ的策略集
Ⅰ的赢得矩阵
的
Ⅱ的策略集
纯
策
“齐王赛马”即是一个矩阵策略。
略
矩 阵 对 策 的 纯 策 略
例6 设有一矩阵对策G={S1,S2;A}，其中
6 1 8
A
3
9
2
4
1 10
3
பைடு நூலகம்
0
6
Ⅰ：采取1至少得益-8
2
2
3
-10
4
-3
Ⅱ：采取1最多损失9
x,
y)
1
2
c(1
x)
c(1 x)
若x=y 若x>y
问这两个企业各选择什么时机出售对自己最有利?
策
在这个例子中，企业Ⅰ,Ⅱ可选择的策略均有无穷
多个。
的
分
类
对
策
问
例3 费用分摊问题 假设沿某一河流有相邻的3个城市A， B， C， 各城
题
市可单独建立水厂， 也可合作兴建一个大水厂。 经 估算， 合建一个大水厂， 加上敷设管道的费用，
为零和对策与非零和对策；
例
(3) 根据各局中人间是否允许合作，分为合作对策和 非合作对策；
及
(4) 根据局中人的策略集中的策略个数，分为有限对 策和无限对策。
对
此外，还有许多其他的分类方式，例如根据策略的选 择是否与时间有关，可分为静态对策和动态对策； 根
策
据对策模型的数学特征，可分为矩阵对策、连续对策、
现
的行动方案称为策略；
象
3.赢得函数(支付函数)(payoff function)：各局中
人各自使用一个对策就形成一个局势，一个局
的
势决定了个局众人 的对策结果（量化）。
三
“齐王赛马”齐王在各局势中的对策结果（单位：千金）
要
素
对
策
三、 对策问题举例及对策的分类
问
题
例1 市场购买力争夺问题 据预测，某乡镇下一年的饮食品购买力将有4 000
题
一番，然后提出第一个报价。接下来由买者报价，
举
每一次报价都要比前一次高，最后谁出的价最高， 拍卖品即归谁所有。假设有n个买主给出的报价分别
例
为p1,…,pn,且不妨设pn>pn-1>…>p1,则买主n只要报价 略高于pn-1，就能买到拍卖品，即拍卖品实际上是
及
在次高价格上卖出的。现在的问题是，各买主之间 可能知道他人的估价，也可能不知道他人的估价，
max i
min j
aij
min j
max i
aij
策 的 纯
成立，记其值为VG，则称VG为对策的值，称使 其成立的纯局势(αi*,βj*)为G在纯策略意义下的解 (或平衡局势)，称αi*和βj*分别为局中人Ⅰ和Ⅱ的 最优纯策略。
策
略
矩 阵 对 策 的 纯 策 略
定理1
矩阵对策G={S1,S2;A}在纯策略意义下有解的充要 条件是：存在纯局势(αi*,βj*)，使得对任意i和j，有 aij*≤ai*j*≤ai*j
举
要比单独建3个小水厂的总费用少。 但合建大厂的
方案能否实施， 显然要看总的建设费用分摊得是否
例
合理。 如果某个城市分摊到的费用比它单独建设水
及
厂的费用还多的话， 它显然不会接受合作的方案。 问题是应如何合理地分摊费用， 使合作兴建大水厂
对
的方案得以实现?
策
的
分
类
对
策
问
例4 拍卖问题 最常见的一种拍卖形式是先由拍卖商把拍卖品描述
对
每人应如何报价对自己能以较低的价格得到拍卖品 最为有利?最后的结果又会怎样?
策
的
分
类
对
策
问
例5 囚犯难题
题
设有两个嫌疑犯因涉嫌某一大案被警官拘留，警官 分别对两人进行审讯。根据法律，如果两个人都承
举
认此案是他们干的，则每人各判刑7年； 如果两人都 不承认，则由于证据不足，两人各判刑1年； 如果只
例
有一人承认，则承认者予以宽大释放，而不承认者
将判刑9年。因此，对两个囚犯来说，面临着一个在
及
“承认”和“不承认”这两个策略间进行选择的难
对
题。
策
的
分
类
对
策
问
对策论中将问题根据不同方式进行分类:
题
(1) 根据局中人的个数，分为二人对策和多人对策；
(2) 根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零，分
举
定理1中式子的对策意义是： 一个平衡局势(αi*,βj*)应具 有这样的性质： 当局中人Ⅰ选择了纯策略αi*后，局中 人Ⅱ为了使其所失最少，只能选择纯策略βj*，否则就 可能失的更多； 反之，当局中人Ⅱ选择了纯策略βj*后， 局中人Ⅰ为了得到最大的赢得也只能选择纯策略αi*， 否则就会赢的更少，双方的竞争在局势(αi*,βj*)下达到 了一个平衡状态。
举
万元。乡镇企业和中心城市企业饮食品的生产情
例
况是：乡镇企业有特色饮食品和低档饮食品两类， 中心城市企业有高档饮食品和低档饮食品两类产
及
品。它们争夺这一部分购买力的结局见下表(单位： 万元)。问题是乡镇企业和中心城市企业应如何选
对
择对自己最有利的产品策略。
策
乡镇策略
中心城市企业的策略 出售高档饮食品 出售低档饮食品
的
出售特色饮食品
2000
3000
分
出售一般饮食品
1000
3000
类
对
策
例2 销售竞争问题
问
假定企业Ⅰ,Ⅱ均能向市场出售某一产品，不妨假定 他们可于时间区间［0,1］内任一时点出售。设企业
题
Ⅰ在时刻x出售，企业Ⅱ在时刻y出售，则企业Ⅰ的 收益(赢得)函数为：
举
c( y x) 若x<y
例 及 对
H
(