决策及博弈论

“啤酒和热狗”信号博弈
支付的定性特征是，软弱型宁愿热狗，粗暴型 宁愿啤酒，两种类型都不愿意与接收者冲突，而接 收者宁愿与软弱型冲突，但不愿与粗暴型冲突。具 体地，对两种类型的发送者来说，偏好的早餐价 值 b0 ，不偏好的早餐价值为0，而避免冲突价 值 d 0 。对接收者来说，与软弱型（粗暴型）冲突 的支付为1（-1），所有其他支付为0。
它满足：
n
（i）a
(m)
arg
max aA
1
(
|
m)u2
(
,
m,
a)
（（iiii）i）m((| m) )是a接rg收mm者aM使x 用u贝1(叶,斯m法, a则从(m先))验概率 p( )、观察
到的信号 m 和发送者的最优策略 m( )得到的（在可能的情况
下）。
( | m)
p( ) pS (m | )
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不完全信息下的博弈与决策
市场进入博弈树
自然
在位者 L
进入者
O
E
H 自然
L 自然
在位者 H
自然
R
N
[0.4] [0.6]
(0,0)
(0,40)
R
N
R
N
RHale Waihona Puke Baidu
N
[0.4] [0.6]
[0.4] [0.6]
[0.4] [0.6]
(0,160)
(0,200) (-120,-80) (-80,-40) (40,40)
者的类型 ，n p( ) 1 ；
p( )，而告知发送者
，接收者不知道发送
1
（ii）发送者从信号集M [0, )中选择一信号m发送；
（iii）接收者观察到m后，从可行行动集A [0, )中选择行动a ；
（iv）发送者的效用函数为 或给出接收者的最优反应函数
u1
( , m, a，) 接收者的效用函数为 a( , m，) 两者为共同知识。
同均衡和准分离均衡。更加具体地，它们分别定义如下：
分离均衡（separating equilibrium） 这种均衡中，不同类型 的发送者以概率1选择不同的信号，也就是说，没有两种类型选 择同一信号。在分离均衡中，信号准确地表现类型，特定的类型 发送特定的信号。接收者完全可以通过信号准确判断出发送者的
在正常需求的情况下，如果进入者选择不进入，则进入者的支付 为0，在位者选择低价时的支付为40，选择高价时的支付为200；如果 进入者选择进入，则当在位者选择低价时，进入者的支付为-80，在位 者支付为-40，当在位者选择高价时，进入者和在位者各得支付80。在 萎缩需求时，在每种情况下，在位者的支付比正常情况少了40；而进 入者选择进入时，其支付比正常情况下也少了40。
类型，即后验概率 ( | m) 要么为0要么为1。
u1(i , mi , a(mi )) u1(i , mj , a(mj ))
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
定义
混同均衡（pooling equilibrium）在这种均衡中，不同类型 的发送者选择了相同的信号，换句话说，没有任何类型选择与其 他类型不同的信号。这时，接收者无法从信号中得到新的信息， 也就无法对先验信念进行修正。因此，后验概率( | m) 等于自
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
Cho和Kreps(1987)的“啤酒和热狗(beer and quiche”信号博弈中， 博弈顺序为 ：
（i）自然从可行的类型集 {1,2} 中赋予发送者类型 的概率
为 p( ) 0 ，并将 p( )告知接收者，而将 告知发送者，接收者不 知道发送者的类型 ，p(1) 0.1且 p(2 ) 0.9 ；
（ii）发送者从信号集 M {B,Q}中选择一信号发送； （iii）接收者观察到信号后，从可行行动集A {D, N}中选择行动； （iv）发送者和接收者的效用见图4.2.1，两者为共同知识。
在博弈顺序中，类型1 代表软弱型（wimpy）， 2 代表粗暴型 （surly）；B代表啤酒，Q代表热狗；D代表与发送者冲突（duel）， N代表不与发送者冲突。 [p]表示当接收者接收到信号 Q后，认为发 送者的类型为 1的概率，即 p (1 | Q) 。
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
b,1
b+d,0 0,-1
d,0
D [p] Q
N
R D
[1-p] Q N
1
0.1
N
0.9
2
0,1 D B [q]
N d,0 R
D b,-1
B [1-q] N
b+d,0
图4.2.1 “啤酒和热狗”信号博弈
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
第四章 不完全信息动态博弈
4.1.1 基本概念
不完全信息意味着至少有一个参与人拥有私人信息， 通常用类型表示拥有不同私人信息的参与人，类型由 “自然”或“上帝”给定。
博弈顺序： （1）“自然”选择参与人的类型，并 将类型告诉参与人自己，不告诉其他参与人，只将类型 分布告诉其他参与人；（2）参与人开始行动，参与人 的行动有先有后，后行动者能观察到先行动者的行动， 而不能观察到先行动者的类型。
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不完全信息下的博弈与决策
根据上面的的行动顺序，可以画出进入者的决策树 （decision tree)，见图4.1.3。
进入者
O
E
0 自然
在位者
L
H
[0.5] [0.5]
自然
R
N
[0.4] [0.6]
-120
-80
R
N
[0.4] [0.6]
40
80
图4.1.3 市场进入决策树
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1
L
R
(2.5,3)
(2.5,3)
2
A
B
A
B
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(3,3)
图4.1.1 海萨尼转换后的情形
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4
1
L
M
R
(2.5,3)
2
A
B
A
B
(1,1)
(1,2)
(2,1)
(3,3)
图4.1.2
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博弈有两个纯策略纳什均衡，（L, A）和(R, B)。 给定参与人1选择L，参与人2的信息集没有达到；给 定参与人2选择A，参与人1的最优选择是L，因此，
先行动者 的类型
行动 推断
后行 动者
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1
先行 动者
预测 信息
后行动者 的行动
后续博弈（continuation game): 从每一个信息集开始 的博弈的剩余部分。
与子博弈的区别：子博弈必须开始于单结信息集，并 且不能切割信息集，而后续博弈可以始于任何完全信息集 （不论是否为单结）。
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“啤酒和热狗”信号博弈
在啤酒和热狗博弈中，(Q |1, B |2)是发送者的一个分离策略，这里
Q |1 代表在发送者是软弱类型的情况下，选择热狗。如果 b d ，那 么，发送者的策略 (Q |1, B |2)和接收者的策略 (D | Q, N | B)以及后验概率
p 1 和 q 0是这个博弈的完美贝叶斯均衡。这里 D | Q 代表在发送 者选择热狗的情况下，接收者选择冲突，也可以类似地解释 N | B。
完美贝叶斯均衡要求：（1）在每一个信息集上，决策者 必须有一个定义在属于该信息集的所有决策结上的一个概率 分布（信念）；（2）给定有关其他参与人类型的信念，参与 人的策略在每一个信息集开始的后续博弈上构成贝叶斯均衡； （3）在所有可能的情况下（贝叶斯法则能适用），参与人使 用贝叶斯法则修正有关其他参与人类型的信念。
n
p( ) pS (m | )
1
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
定义
如果不知道接收者的效用函数，但知道完全信息下接收者
的最优反应函数，那么，定义4.2.1中的（i）用下面的（i´）代
替
n
（i´）a(m) E [a( , m)] ( | m)a( , m)
1
信号博弈的完美贝叶斯均衡可以分成三类：分离均衡、混
直观标准 如果m之后的信息集处于均衡路径之外，且m为类
型 的均衡劣信号，即均衡效用u( ) max u( , m, a( , m)) ，
则（在可能的情况下）接收者的推断 a( ,m) 。
( | m) 0
直观标准的含义是，在非均衡路径中，接收者认为发送者不 会选择无论接收者怎样采取行动发送者的效用总小于均衡时发送 者效用的信号。
因此，这个博弈的唯一完美贝叶斯均衡是
{R, B; q 0}
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4.1.2 不完全信息下的博弈与决策 服务行业的市场进入模型，博弈顺序为：
（i） 进入者决定进入（E）或不进入（O）； （ii） 在位者选择高价（H）或低价（L）； （iii）自然选择需求，正常需求（N）的概率为0.6，萎缩需求（R） 的概率为0.4；
（L, A）是一个纳什均衡。因为这个博弈只有一个子 博弈（从广义的角度看），即原博弈，所以（L, A） 和(R, B)都是子博弈完美均衡。完美纳什均衡（L, A） 依赖于一个不可置信的威胁：当参与人1偏离L而选择 其他行动时，参与人2的最优行动是选择B，所以, 参 与人1不应该相信参与人2会选择A。
例：在图4.1.1表示的博弈中，自然赋予参与人1两种类 型，L或H，将类型告诉参与人1，但只将参与人1的类型
分布告诉参与人2. 参与人1有两个行动L和R，参与人2有 行动A和B，参与人2能够观察到参与人1的行动，但是不知
道参与人1的类型（或自然的行动）。
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N
L[ P ]
1
L
R
H[1 P ]
u2 ( , m, a)
后验概率 ( | m)表示观察到信号m，接收者相信是 类型发送的概率。
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
定义
定义4.2.1 信号博弈的完美贝叶斯均衡（perfect Bayesian
equilibrium）是策略组合(m( ),a(m)) 和后验概率 ( | m) 的结合，
时，软弱的发送者选择热狗得到的最低支付 b 超过选择啤酒时得
到的最高支付 d ，这样软弱型将不选择啤酒，发送者也许选择的
b,1
b+d,0 0,-1
d,0
D [p] Q
N
R D
[1-p] Q N
1
0.1
N
0.9
2
0,1 D B [q]
N d,0 R
D b,-1
B [1-q] N
b+d,0
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
“啤酒和热狗”信号博弈
当 b d时，是否啤酒和热狗有其他完美贝叶斯均衡？发送者可能 选择的其他策略是 (Q |1,Q |2 ) 、(B |1,Q |2 )和 (B |1, B |2 ) 。当 b d
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完美贝叶斯均衡吸取了子博弈完美纳什均衡和贝叶 斯均衡的精华，是贝叶斯均衡、子博弈完美均衡和贝叶 斯推断的结合。
子博弈完美纳什均衡：策略不仅必须是整个博弈的 纳什均衡，还必须是其中每一个子博弈的纳什均衡。
完美贝叶斯均衡：策略不仅必须是整个博弈的贝叶 斯纳什均衡，而且还必须构成每一个后续博弈的贝叶斯 纳什均衡。
然赋给信号发送者类型 的概率 p( )。
在混同均衡中，对于任何类型的信号发送者，选择均衡信号
m比选择其他任何信号的效用都高，即
u1( , m, a(m)) u1( , m, a(m)) , , m m
准分离均衡（semi-separating equilibrium） 一些类型的发送 者随机地选择信号，另一些类型的发送者选择特定的信号。接收 者得到某些信号时能够准确地判断出发送者的类型，得到另外的 信号时尽管不能完全判断发送者的类型，但是能够修正自己的信 念。
(80,80)
4.1.4 市场进入博弈树
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信号博弈
4.2.1 信号博弈的完美贝叶斯均衡
信号博弈中有两个参与者，具有信息优势的一个称为信号发送者 （S），另一个称为信号接收者（R），博弈顺序为：
（i）自然从可行的类型集 {1,2,,n} 中赋予发送者类型 的先验概率
为 p( ) 0，并告知接收者
（L, A）的剔除：假设参与人2认为参与人1选择 M和R的概率分别为q和1-q。给定这个信念，参与人2
选择A的预期效用是 q1 (1 q)11,选择B的预期效用
是2q 3(1 q) 3 q 1 , 这样，参与人2一定会选择B.
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给定参与人1知道参与人2将选择B，参与人1的最
优选择是R。但给定R是参与人1的最优策略，当参与人 2观察到参与人1没有选择L时，他推断参与人1一定选择 了R，即q 0 。
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信号博弈的完美贝叶斯均衡
信号博弈的完美贝叶斯均衡中一般存在不可置信( (incredible)的 均衡，为了剔除之，可以采用Kreps(1984)或Cho和Kreps(1987)
的直观标准（intuitive criterion）。接收者对类型 发出的信号 m所采取的行动记为 a( , m)，以替代效用函数中的a，下同。