八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系(第2课时)课时检测华
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
华师版八年级上册数学 第14章 勾股定理 勾股定理 第1课时 直角三角形三边的关系
第14章 勾股定理
14．1 勾股定理
1．直角三角形三边的关系 第1课时 直角三角形三边的关系
知识点：勾股定理 1．下列说法正确的是( D) A．若a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 B．若a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2 C．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2 D．若a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
解：(1)∵AE＝BE，∴S△ABE＝12AE·BE＝12AE2.又∵AE2＋BE2＝ AB2，∴2AE2＝AB2，∴S△ABE＝14AB2＝14×32＝94.
(2)同理可得 S△AHC＋S△BCF＝14AC2＋14BC2. 又∵AC2＋BC2＝AB2，∴阴影部分的面积为14AB2＋14AB2＝12AB2＝12 ×32＝92.
易错点：斜边不确定时，应用勾股定理求边长漏解 9．已知直角三角形两边长分别为3和5，则第三边的长为____3_4_或__4_．
10．如图，直线l同侧有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5 和11，则b的面积为( C ) A．4 B．6 C．16 D．55
11．(2016·荆门)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分 线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( C) A．5 B．6 C．8 D．10
2．利用如图所示的两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学 中一个十分著名的定理，这个定理称为___勾__股__定__理____，该定理中结 论的数学表达式是____a_2_＋__b_2_＝__c_2 _____．
3．求图中直角三角形中未知边的长度：c＝___1_5__，b＝___1_2__．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB， 对角线AC⊥CD，求CD的长．
2022秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系__认识勾股定理授课课
解： 根据勾股定理， 可得
长度，可以求出第三 边的长度.
AB2 + BC2 = AC2. 所以 AC = A B 2 ＋ B C 26 2 ＋ 8 2 1 0 .
知1－讲
例2 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a， b，c， ∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝,4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
知1－导
要点精析： (1)勾股定理揭示的是直角三 角形的三边的平方关系， 只有在直角三角形中才可 以使用勾股定理； (2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的 数量关系，已知其中任意两边可以求出第三边； (3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2； (4) 运用勾股定理，若分不清 哪条边是斜边时，则要 分 类讨论，写出所有可能的 情况，以免漏解或解 ．
知1－讲
利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般 都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分 清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2 ＝c2及两边之间的关系式；三化简．
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
应用勾股定理，由直
角三角形任意两边的
知1－讲
例3 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第 三边的长．
错解：第三边的长为 32＋ 42 255. 错解分析：由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是 斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角 边长，而题中并没有任何说明，因而所求的 第三边长可能为斜边长，也可能为直角边 长．所以需要分情况求解．
正方形R的面积=
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验
八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法,利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为(a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形,有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b—a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积;②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出。
【解】①②可以验证勾股定理。
【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2)x+22222(14)56--=，解x x=+=，两式相减得：2215,13AD x AD得:5x=．在Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响?如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
华师版八年级数学 14.1勾股定理(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
2-1. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能
有( B )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
感悟新知
知识点 2 勾股定理的证明
知2－讲
1. 常用证法 验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几 何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形， 并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.
出第三边.
3. 运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解.
感悟新知
知1－练
例 1 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b， c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(结果保留根号). 解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.
感悟新知
知1－练
1-1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b； 解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15. ∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
图形
赵爽的“赵 爽弦图”
知2－讲
证明
∵ 大正方形的边长为c，
∴ 大正方形的面积为c2.
又∵大正方形的面积＝
4×
1 2
ab＋(a－b)2＝a2＋b2，
∴ a2＋b2＝c2
感悟新知
续表： 方法
刘徽的“青 朱出入图”
图形
知2－讲
证明
设大正方形的面积为S，则 S＝c2. 根据“出入相补， 以盈补虚”的原理，有S＝ a2＋b2，∴ a2＋b2＝c2
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.1 直角三角形的三边关系(第2课时
A.30cm2B．130cm2C．120cm2D．60cm2
3.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
图14－1－
图14－1－
4.如图14－1－，受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高.
在例题的基础上进行拓展，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，运用勾股定理解决实际问题的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为()
A.600米；B．800米；C．1000米；D．不能确定
情感态度
在勾股定理的应用过程中，培养探究能力和合作精神，感受勾股定理的作用，培养数学素养．
Hale Waihona Puke 教学重点应用勾股定理解决简单的实际问题．
教学难点
将实际问题转化为数学问题中数形结合的思想．
授课类型
新授课
课时
第一课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
上节课的勾股定理是怎么得到的？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法
活动
一：
创设
情境
导入
新课
伽菲尔德是美国第二十任总统，同样他也是一名卓越的数学家，1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明，他的方法直观、简捷、易懂、明了，人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)
第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形的三边关系教学目标1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.教学重难点重点：用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：用拼图法证明勾股定理.教学过程导入新课2002年国际数学家大会在我国北京召开，投影显示本届国际数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.画一个两直角边长分别为3和4的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长，再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42＝52，52+122＝132，那么就有勾2+股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究新知1.勾股定理的证明活动1：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图所示的图形，利用面积证明.222(),ABCD ABCD S c S ab b a +-正方形正方形＝，＝从而222222(),.c ab a b c a b =+-+即＝活动2：给学生如图所示的图形，利用面积证明.分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.左边S ＝2214,2ab c S a b ⨯++右边＝() .左边和右边的面积相等，即2214,2ab c a b ⨯++＝（）教学反思222.c a b +化简可得＝教学说明：以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长活动：出示习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝____； （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝20，则BC ＝____； （3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是__________.【答案】（1）13 （2）15 （3）10或教学说明：先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，分8为直角边长或斜边长两种情况.最后教师板书：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长，则c a b【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 如图，在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°，AB ＝6， BC ＝8，求AC .解：根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝AC ²，所以AC10.例2 如图，Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm ，另一直角边BC 长为6 cm ，求AC 的长.解：由已知AB ＝AC -2，BC ＝6cm ，根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝（AC -2）²+6²＝AC ²，解得AC ＝10(cm).例3 如图，为了求出湖边两点A ，B 之间的距离，一名观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到160米，BC 的长为128米，问A ，B 解：Rt △ABC 中，AC ＝100，BC ＝128， 根据勾股定理得教学反思96AB (米).答： A ，B 两点之间距离96米.课堂练习1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长. （1）已知a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝_______.（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 的面积等于_______. （3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a 2＝______.2.直角三角形三边长是连续偶数，则这三角形的各边长分别为_______.3.△ABC 的周长为40 cm ，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝15∶8，则它的斜边长为______.4.直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________.5.在Rt △ABC 中，已知两直角边长a ＝1，b ＝3，那么斜边c 的长为（ ）.A.2B.4C.22D.106.直角三角形的两直角边分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为（ ）.A.6 cmB.5 cmC.3060cm D.1313cm 参考答案1.（1）4 （2）60 （3）1622.6 8 103.17 cm4.4.8 6和85.D6.D课堂小结教师提问：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝. 方法：（1） 观察——探索——猜想——验证——归纳——应用； （2）“割、补、拼、接”法.思想：（1） 特殊——一般——特殊； （2） 数形结合思想.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计直角三角形的三边关系勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝.教学反思。
华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。