《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

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北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题

第四章总练习题000000001..()()[()()].()(),[0,].()()(),(0)0.L ag ran g e ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y =f (x )在[x -h ,x +h ](h >0)内可导证明存在,0<<1使得令g (x )=(x )在[0,h ]内可导,根据公式存在使得证00000()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞''+--=++-≥=≤≤=====+=++=+-即证明当时等式中的满足且证).11()(12),44111()(12)(1(1)2).44211lim ()lim(12).441lim ()lim(12)41lim4x x x x x xx x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞→+∞≥+=-=+-≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得22111limlim.4423,0123.()()[0,2]1, 1,01(2)(0)1().120, 1x xxx f x f x x x x x f f f x x x →+∞→+∞====⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩-≤≤⎧-⎪'==⎨--<<+∞⎪⎩设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.解2/23/21.221111,;,()[0,2]222x x x f x x-=--=-=-=-=1在闭区间上的微分中值定理的中间值为或22324.[1,1]C au ch y ()()()30(1,1),C au ch y (1)(1)()()0,()200,(0)0,.(1)(1)()()5.()[,],(,f x x g x x g x x f f f c f c f c c c g g g g c g c f x a b a -=='=∈-''--''======''--在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.(,),()0,R o lle (,),(,)()()0.()[,](,),()0,()0,(,).(b f x x a b f a f b x a b f x c a b f c a c c c b f c f c f x c c c c f f x x a b f ξξ''≠∈==∈≠∈=∈∈''=='''''∈=≠∈''上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c 证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.x x a b D a rb o u x f x f x a f a a b f b b f x x a b f x a b f a f b c a b f c a b x f x ''''≠∈==<∈==∈>''<根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f 下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c 12121221021()()()(,),()0,()()()(,),()0.()[,]L ag ran g e (,),()()()0.,()0,(,),[,],(,(f c f a f c a c f c c a c af b f c f c c b f c b cc af x c c c c f c f c f x c c f x x a b f a b a f a -'∈==>----'∈==<--'∈''-''=<-''≥∈0满足存在满足对于在应用公式,存在x 使得若不然在下凸曲线在连结12c 证二))(,0)(,())(,0),()0,(,).a b f b b f x x a b ==≤∈的弦下方故1201120121100112121201120127.1-12101.(),1111-121()1-12n n n n n n n nn n n n n n n n n a a a a a a x a xa xa n nn a xa xa a a a x a xa a f x x n nn n n n a a a a f x a x a x a x a n n n ---+-----++++=++++++⎛⎫=++++-+++++ ⎪+-+⎝⎭'=++++-++++++ 证明方程在与之间有一个根考虑函数证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-12101.n nn n n n n a f f R o lle c f c c a a a a a a x a xa xa n nn ---⎛⎫ ⎪⎝⎭'==∈=++++=++++++ 由定理存在即是在与之间的一个根00000008.()(,),,().?L ag ran g e ,()()()(),|()||()()()||()||()||()||(f x a b f x f x f x f c x x f x f x f c x x f x f c x x f x ''∈∈'-=-''=+-≤+-≤0设函数在有限区间内可导但无界证明在(a ,b )内也无界逆命题是否成立试举例说明.若不然设f (x )在(a ,b )内有界M ,取定x (a ,b ),则对于任意 x (a ,b ),根据公式证,)|||().(0,1),01,(0,1)M b a +-<<=逆命题不成立.例内有界但是内无界.(1)(1)00002009.()[,](),(),()[,].(:()()()()()0,()).()[,]2,()()()()0,()n n kf x a b n k k f x fx a b f x f x x x g x g x x f x k n f x a b x f x x x g x g x f x --=-≠'=-≠若函数在区间上有个根一个重根算作个根且存在证明在至少有一个根注意若可以表示成且则称为的重根我们对于作归纳法证明函数在区间上有2个根.如果是重根则且则证.2000121212012001002()()()(),().()[,],,,[,]R o lle ,(,),()0..()[,]11,()()()()0,()(n x x g x x x g x f x x f x a b x x x x x x x x x f x n f x a b n f n x f x x x g x g x f x +''=-+-<'∈=++=-≠'=有根如果在区间上有2个不同的根在应用定理存在使得设结论对于个根的情况成立现在假定在区间上有个根.如果有重根重根则且则10000011000111211121)()()()()()((1)()()()),(1)()()()(),()(1)()0,().1,,[,],,[,]R o lle ,(,),,(n n nn n n n n n n x x g x x x g x x x n g x x x g x n g x x x g x g x g x n g x f x x f n x x x x x x c x x c x x ++++'+-+-=-++-'++-==+≠+∈∈ 有n 重根如果如果有个单重根在区间上应用定理存在,11112111121111])()()0,().,,,,,,11, 1.[,],,[,]R o lle ,(,),,()()()0.()1(1)n kk k i i k k k kk ii f c f c f x n f x n n n k n n x x x x c x x c f c f c f x k nn =---='''===+>>=+∈∈''''===-+-=∑∑ 1k -1k 使得至少有个根如果有不同的根x 重数分别为在上应用定理存在x ,x 使得至少有根个.对f (x )()(1)(())().n n f x fx +'=用归纳假设,至少有一个根22111111112111110.:L eren d re ()[(1)](1,1).2!1()(1)],(1)(1)0,[ 1.1]R o lle 2!(1,1),()0.(1)(1)0(1),1)(,1)R o lle 1),n nn nnnndP x x n n d xf x x f f f n c f c f f n f c c c c =---=-=-''''∈-=-==>-∈-证明多项式在内有个根对于在应用定理，存在使得当时对于在（，应用定理，存在（，证=2122211211(-1)(-1)111111121()12,1)()()0.()(1,1),,(1)(1)0R o lle ,,,(1,1)()()0.()n n n n n n n n n n n n n n c c f c f c x c c ffc c c c x x f x P x P x --------''∈==--==∈-== (n -1)1（使得如此下去，f 在有零点，，在（-1,）,(,),,(,1)应用定理, 得到x 使得是n 次多项式，至多有n 个零点()n P x n ，故恰有个零点.00011.(,),lim ()lim ().:(,),()0.()lim ()lim ().(,),(,),()0.(),().,,(,),()(x x x x f f x f x c f c f x f x f x A x c f c f x A f x A a b x a b f a f x →-∞→+∞→-∞→+∞-∞+∞='∈-∞+∞=≡==∈-∞+∞∈-∞+∞'=≠><∈<设函数在内可导且证明必存在一点使得证若取任意一点都有设存在不妨设根据极限不等式存在a ,b ,满足:000000),()().[,],[,]()()(),()()(),(,),,F erm at ,()0.()()lim ()0lim0.lim ()0x x x f b f x f a b c a b f c f x f a f c f x f b x a b x f c f x f x f x xf x x →+∞→+∞→+∞<∈≥>≥>∈'='∞=='=0在连续必在一点取最大值. 故为极大值点根据引理12.设函数在无穷区间(x ,+)可导,且,证明证由于,根据极限定义,存在正数101111111111,|()|()()()()()())|()|()|()||()||()||()|.,.m ax {,},()(),2,lim0.x x f x f x f x f x f c x x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x X x xx f x f x x X xxεεεεεεε→+∞'>'-+-++==≤<+<>=><=11使得x >x 时<.(x -x 为使只需令当时必有故13.()[,),()0,()()0,,()0.()0,()()()()()()0,(),,,,f x a f x l f a f a a a l f x f a f a f a f a a f a f c f a l l l l f a f a a l a a '+∞>>⎛⎫<-⎪⎝⎭=<⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=+->+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设函数在无穷区间内连续且当x >a 时其中l 为常数.证明:若则在区间内方程有唯一实根证在连续由连续怀念书函数的中间值定理在区间()()0.,()R o lle ,(),,()0.14.()(,)lim ()0.()(1)(),lim ()0.lim ()lim ((1)())lim (x x x x x f a f x l f a f x a a f x l l f x f x g x f x f x g x g x f x f x f →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫''->> ⎪⎝⎭'-∞+∞==+-='=+-=内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x θθ+<<=12121215.()[,]L ip sch iz ,0,,[,],|()()|||.(1)()[,],()[,]L ip sch iz (2)(1)?(3)[,]L ip sch iz (1)()[,]0,f x a b L x x a b f x f x L x x f x a b f x a b a b f x a b L >∈-≤-''>称函数在满足条件若存在常数使对于任意都有若在连续则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数.解在连续,存在常数12121212122121|()|.[,].,[,],,[,],|()()||()()||()|()().(2).()[,]L ip sch iz ()[,]()||[1,1]L ip sch iz f x L x a b x x a b x x c x x f x f x f c x x f c x x L x x f x a b f x a b f x x '≤∈∈<∈''-=-=-≤-'=-使得根据中值公式,对于任意存在使得否在满足条件,未必处处可导,更谈不到在连续.例如,在满足条件111111(3)()[0,1],L ip sch iz ()(0,1].16.()[,],()()[,],()()().()()(()())()()()()b annii i i i i i ni i i i f x f x F x a b F x f x a b f x d x F b F a F b F a F x F xF x x f x x ξξ--==-=='='==-'-=-=--→⎰∑∑∑,但在0不可导.连续但不满足条件,因其导函数无界设在可导且其导函数在上可积证明证1()(()0).{}[,].17.()(),(,),()()(),1,,b ai n f x d x x a b P x a P x b c a b P x c P x n P x x x n λ∆→--∈-∈<<+⎰为的分割设多项式与的全部根都是单实根证明对于任意实数多项式的根也全都是单实根.证不妨设a =0,b >0,c (0,b ),是次多项式,且首项系数为正.有单实根则这些根把实轴分为个区间每个区间保持固定正负号且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为111232322212221222lim ().0(),,(,),,,(,),(,),().nx k k k k k k i n k P x b P x b x x x x x x x x x x x x x x P x b →∞----=''∞>=<<'''''''<∈∈∈+∞= 零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设为偶数,则=+设且有n 个单实根.必有根据连续函数的中间值定1122233322222*********,(0,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),().,k k k k k k k k i i c b c x c x x c x x c x x c x x c x P c c P n c ------'∈∈-∞∈'''∈∈∈+∞∈+∞=理对于存在使得为次多项式是P (x )=c 的所有单实根.。

高等数学习题答案第四章

高等数学习题答案第四章高等数学学习题答案第四章第四章是高等数学中的一块重要内容，主要涉及到微分和积分的应用。

这一章的学习题难度适中，但需要对基本的微积分概念和公式有一定的掌握。

下面将为大家提供第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 计算下列函数的导数：(1) f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4f'(x) = 3x^2 - 4x + 3(2) g(x) = sin(x) + cos(x)g'(x) = cos(x) - sin(x)(3) h(x) = e^x + ln(x)h'(x) = e^x + 1/x(4) k(x) = 2x^3 + 4x^2 - 6x - 8k'(x) = 6x^2 + 8x - 62. 计算下列函数的不定积分：(1) F(x) = 2x^2 - 3x + 4∫F(x)dx = (2/3)x^3 - (3/2)x^2 + 4x + C(2) G(x) = sin(x) + cos(x)∫G(x)dx = -cos(x) + sin(x) + C(3) H(x) = e^x + ln(x)∫H(x)dx = e^x + xln(x) - x + C(4) K(x) = 3x^2 + 4x - 6∫K(x)dx = x^3 + 2x^2 - 6x + C 3. 计算下列定积分：(1) ∫(0 to π) sin(x)dx= [-cos(x)](0 to π)= -cos(π) - (-cos(0))= 2(2) ∫(0 to 1) x^2dx= [x^3/3](0 to 1)= 1/3(3) ∫(1 to e) 1/xdx= ln(x)(1 to e)= ln(e) - ln(1)= 1(4) ∫(0 to 2π) cos(x)dx= [sin(x)](0 to 2π)= sin(2π) - sin(0)= 04. 求下列函数的极限：(1) lim(x→0) (sin(x)/x)= 1(2) lim(x→∞) (1 + 1/x)^x= e(3) lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)= 2(4) lim(x→0) (1 - cos(x))/x^2= 1/2以上是第四章学习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。

高等数学-高数习题精讲-4中值定理与导数的应用

⾼等数学-⾼数习题精讲-4中值定理与导数的应⽤第4章中值定理与导数的应⽤§4.1 微分中值定理1．费马定理设()f x 在0x 的某邻域连续，且0()f x '存在，则0()()f x f x ≤或0()()f x f x ≥ ? 0()0f x '=2．罗尔定理若)(x f 在[]b a ,连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则⾄少存在⼀点),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf⼏何意义：()y f x =在点))(,(ξξf 处有⽔平切线。

3. 拉格朗⽇定理若)(x f 在[]b a ,连续，在),(b a 内可导，则⾄少存在⼀点),(b a ∈ξ，使得)()()(ξf ab a f b f '=-- ⼏何意义：()y f x =在点))(,(ξξf 的切线平⾏于连接曲线在区间两端点的直线。

推论1：若)(x f 在),(b a 内恒有0)(='ξf ，则c x f =)(，),(b a x ∈推论2：若在),(b a 内，)()(x g x f '='，则c x f =)(，),(b a x ∈4. 柯西定理若)(),(x g x f 在[]b a ,连续，在),(b a 内可导，且0)(≠'x f ，则⾄少存在⼀点),(b a ∈ξ，使得 )()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- ⼏何意义：在参数坐标系下点((),())g f ξξ的切线平⾏于连接曲线两端点直线。

5. 泰勒公式若)(x f 在0()U x 具有1n +阶导数，则00(,)x x x δδ?∈-+，有()(1)10000()()()()()!(1)!k n n k n k f x f f x x x x x k n ξ++==-+-+∑，ξ介于0x 与x 之间余项估计式：设(1)max ()n M fx +=，[],x a b ∈，则 (1)110()()()()(1)!(1)!n n n n f M R x x x b a n n ξ+++=-≤-++常⽤函数的麦克劳林（当00x =时的泰勒公式）展开式：21()2!!nx n x xe x R x n =+++++；2ln(1)(1)()2nn n x x x x R x n +=-++-+；321sin (1)()3!(21)!n n n x x x x R x n +=-++-++；2(1)(1)(1)(1)1()2!!n n n x x x x R x n ααααααα---++=+++++§4.2 导数的应⽤∞∞∞→→,)()(lim 00)(0x g x f x x ∞∞∞→→'',)()(lim 00)(0x g x f x x ∞振荡⽆极限⾮未定式A注意：振荡⽆极限法则失效2. 导数在⼏何⽅⾯的应⽤（1）单调性判别法：(,)x a b ∈()0()()0()f x f x f x f x '≥??'≤?单增单减；()0()()0()fx f x f x f x '>??'（2）极值：0000()()()()()()f x f x f x f x f x f x ?称极⼤值称极⼩值0()x U x ∧∈驻点：⼀阶导数为零的点极值必要条件：可导函数的极值点必为驻点极值第⼀充分条件：000000()0()0,,()()0()0,,()f x f x f x f x f x f x δδδδ''->+?为极⼤值为极⼩值极值第⼆充分条件：若00()0()0f x f x '=??''≠?，则0000()0()()0()f x f x f x f x ''?为极⼤值为极⼩值（3）函数的最值： {}f f =最最驻点、不可导点、端点（4）曲线的凹向：12121212()()()()22()()()()22x x f x f x f f x x x f x f x f f x ++?>++?上凹（下凸）（12,x x I∈）凹向判别法：=<''=>''下凹上凹)(0)()(0)(x f y x f x f y x f ),(0b a x ∈?拐点：曲线凹向的分界点拐点必要条件：若))(,(00x f x 是拐点，且0()f x ''存在，则必有0)(0=''x f拐点第⼀充分条件：00()()0f x f x δδ''''-?+<，则))(,(00x f x 为拐点拐点第⼆充分条件：若0)(0=''x f ，0)(0≠'''x f ，则))(,(00x f x 为拐点b x f x =∞→)(lim ? b y =为⽔平渐近线∞=→)(lim 0x f x x ? 0x x =为铅直渐近线a x x f x =∞→)(lim ，[]b ax x f x =-∞→)(lim ? b ax y +=为斜渐近线§4.3 典型例题解析1. 关于微分中值定理的验证命题解题思路验证定理的条件是否满⾜；若条件满⾜，求出定理结论的ξ例2 验证拉格朗⽇中值定理对2(3)/21()1/1x x f x x x ?-≤=?>?在[]0,2上的正确性解显然)(x f 在[)(]2,11,0 上连续，在)2,1()1,0( 内可导123)1(12=-==x x f ，213(1)lim 12x x f --→-==，11(1)lim 1x f x ++→==故)(x f 在1=x 处连续，从⽽)(x f 在[]2,0上连续。

(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案.doc

第三章中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ．一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ．无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ．只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。

微积分习题答案第四章中值定理与导数的应用

练习4.11. 下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？若满足，请求使定理结论成立的ε值：（1） 5252)(23+--=x x x x f ， [-1，1]解：5252)(23+--=x x x x f Θ是初等函数。

在其有意义的区间),(+∞-∞内连续，∴在[-1，1]上连续。

又2106)(2--='x x x f Θ在（-1，1）内可导，内可导在)1,1()(-∴x f 而0)1()1(==-f f因此)(x f 在[-1，1]上满足罗尔定理所有条件。

故有0)153(2)(2=--='εεεf )11(<<-ε 得 )1,1(63751-∈-=ε 舍去)1,1(63752-∉+=ε 于是6375-=ε （2） )ln(sin )(x x f =，]65,6[ππ 解：)ln(sin )(x x f =Θ是初等函数，在其有定义的区间),0(π内连续，]65,6[ )(ππ在x f ∴上连续。

又)65,6(cot )(ππ在x x f =Θ内有定义21ln )65()6()65,6()(==∴ππππf f x f 内可导，而且在因此件。

上满足罗尔定理所有条在]65,6[)(ππx f 故有0cot )(==εεf )656(πεπ<<得)65,6(2πππε∈=(3) 422)(xx x f -= , [-1,1]解：点处不连续在0)(=x x f Θ条件。

上不满足罗尔定理所有在]1,1[)(-∴x f（4） ⎪⎩⎪⎨⎧=01cos )(xx x f 00=≠x x ]2,2[ππ- 解：处不可导在0)(=x x f Θ条件上不满足罗尔定理所有在]2,2[)(ππ-∴x f .2. 证明上存在一个实根在]1,0[0133=+-x x 。

证明：令上连续在则]1,0[)(,13)(3x f x x x f +-=，01)1(,01)0(<-=>=f f 且由)()1,0(11=x f x 内使零值定理知至少存在点ε。

高等数学第四章

f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有且只有一个实根．
证明设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ，故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章微分中值定理与导数的应用
第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数单调性第四节函数的极值与最值第五节曲线的凹凸性与拐点第六节函数图形的描绘
第一节微分中值定理
一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根．综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内

经管类微积分资料答案详解第四章中值定理与导数应用

第四章中值定理与导数应用一、填空1、)4()3()2()1(f f f f ===，)(x f 在[1,2] ，[2,3] ，[3,4] 上均满足罗尔定理条件，所以在每个开区间内都存在且仅存在一点i ξ使得0)(='i f ξ，即方程0)(='x f 在每个区间内都有且仅有一个根，共有3个根。

2、34)(x x f ='，151212)(44=--='ξf ，即1543=ξ，3415=ξ 3、因为)(x F 在0=x 处连续，所以有)(lim )0(0x F F x →=即)(lim 0x F A x →=a b a f xxa x f x f x x a x f x F A x x x x +=+'=+--=+==→→→→)0(sin lim 0)0()(lim sin )(lim)(lim 0004、3ln ,13ln 3ln 3lim 13lim 00====-→→a aa ax x x x x5、0232=+='p x y ，将驻点1±=x 代入得23-=p 6、令22)1(2)1()1()1(+=+--+='x x x x y 函数在[0,4]内无驻点和不可导点， 1|0-==x y ，53|4==x y ，函数在[0,4]上的最小值是1min -=y 7、令0134)1()1(32)(322312=-='-⋅-='-x x x x x f ，得驻点01=x ，函数有不可导点13,2±=x ， 1)0(=f ，0)1()1(==-f f 函数在[-1,1]上的最大值是1，最小值是0 8、∞=-→xx e 11lim0，铅垂渐近线为0=x ；111lim =--∞→x x e ，011lim =-+∞→xx e ，水平渐近线是0=y 和1=y9、由于函数只有一条水平渐近线1=y 且∞=+∞→)(lim x f x ，所以1)(lim =-∞→x f x 10、2arctan lim lim ,2arctan lim lim21ππ-====⋅==-∞→-∞→+∞→+∞→x x x x y a x x x x y a x x x x1111lim 12arctan lim )2arctan (lim 22-=-+=-=-=∞→∞→∞→xx x x x x x b x x x ππ斜渐近线为2条，分别为12-=x y π和12--=x y π11、0)()()()()(lim )()(2)(lim 020=''=-----+=-+-+→→a f hh a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h h 12、0)(6|),(6212=-=''-=''=b a a y b ax a y x ，a 与b 的关系为0≠=b a13、a x x f b ax x x f 26)(,23)(2+=''++='⎪⎩⎪⎨⎧=+=''=='==026)1(0)0(1)0(a f b f c f ⎪⎩⎪⎨⎧==-=103c b a 13)(23+-=x x x f二、选择题1、A ，B 不满足第三个条件，C 不满足第二个条件，选D2)(x f 在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，在(a,b)内至少存在一点ξ使得ab a f b f f --=')()()(ξ成立，0)(,0,0)()(>'∴>->-ξf a b a f b f 选B3、)(x f 在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件，在(1,3)内至少存在一点ξ使得2113)1()3()(-=--='f f f ξ成立，由导数的几何意义知曲线在ξ点的切线与x y 21-=平行。

高等数学习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用

习题4-11．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值：(1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44ππ-上满足罗尔定理；(2) 验证函数()f x =[4,9]上满足拉格朗日中值定理；(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()cos 2f x x =在[,]44ππ-上连续，在(,)44ππ-内可导，且()()044f f ππ-==，又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ-内，存在一点0ξ=使()00(2sin 2)0.f x ξ='==-=(2) ()f x =[4,9]上连续，()f x '=，即知()f x =(4,9)内可导，由(9)(4)1945f f -==-得254x =，即在(4,9)内存在254ξ=使拉格朗日中值公式成立.(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于 ,3712)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f,23)()(x x g x f ='' 令,3723=x 得.914=x 取),2,1(914∈=ξ则等式 )()()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=--成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.解因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.证因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在()a a ξ∈-，，使()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--.由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有()()f a af ξ'=.4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) 当0b a >>时,ln b a b b aa ab -->>; (2) 若1x ≠, 则xe xe >.证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1(),f x x '=且111,a bξ>>得：ln b a b b a b aa a bξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<< 从而1xe xe e xe xe ξξ=+->>.5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤;(2) arctan 2x π+=.证(1) 设()arcsin arccos f x x x =+,],1,1[-∈x,01111)(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,220arccos 0arcsin )0(ππ=+=+=x f 即.2π=C∴.2arccos arcsin π=+x x(2)设()arctan f x x =+因为21()01+f x x '==，所以 ()f x C ≡,是常数. 又(1)arctan1442f πππ=+=+=, 即.2π=C故arctan 2x π+=.6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-证作辅助函数3(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)1,0(内至少存在一点,ξ使2(1)(0)().103f f f ξξ'-=-即 2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-习题4-21．写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=， ,0)1(=f22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,f '''= (4)6(),f x x= ,6)1()4(=f,6)(2)5(x x f -= .6)(2)5(ξξ-=f 于是所求泰勒公式为x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+x 3)1(!311-+x 4)1(!46-+x ,)1(!5652--x ξ其中ξ在1与x 之间.2. 写出函数1()f x x=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1()f x x =，(1)0,f -= 21(),f x x '=- (1)1,f '-=-32(),f x x ''=(1)2,f ''-=- 46(),f x x'''=- (1)6,f '''-=- ()1!()(1),n n n n f x x+=- ()(1)!n f n -=-于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为()0(1)()(1)((1))!k nk n k f f x x o x k =-=+++∑(1)((1)).nk n k x o x ==-+++∑3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1)x xe x f -=)(；(2) 1()1xf x x-=+. 解 (1)因为),()!1()(!2)()(1112---+--++-+-+=n n xx o n x x x e所以312(1)()2!(1)!n n xn x x xe x x o x n ---=-+-++-11(1)()(1)!k nkn k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(1112n n x o x x x x+++++=- 知211(1)()1n n n x x x o x x=-+-+-++ 故1()1x f x x -=+212111x x x--==-++ 22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-1(1)2()nk k n k x o x ==-+-⋅+∑.4. 用泰勒公式计算下列极限：(1) 2230cos limsin x x x ex x-→-；(2) 0(cos )sin x x e x→-⋅ 解 (1) x cos ),(!4!21442x o x x ++-=22x e -244211(),222!x x o x =-++⋅ ∴22cos x x e--44211()(),4!22!x o x =-+⋅ 又3sin x x 4~,x 从而2230cos lim sin x x x e x x -→-44401()12lim x x o x x →-+=1.12=- (2)24661131()242!83!x x x o x =+-++⋅⋅∴22x -46611()44x x o x =-++x cos ),(!4!21442x o x x ++-=2x e ),(!211442x o x x +++= ∴2cos x x e -2443(),224x x o x =--+ 又2sin x 2~,x从而20(cos )sin x x x e x →-⋅46646611()443()224x x o x x x o x -++=--+114362-==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6ln5；(2) e .解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nn n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中，取3n =得2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以15x =代入得6ln 525111110.182752535≈-+=，(取小数点后四位) 其误差 4R 4444111()=4105454(1)5θ-=<⨯⨯+. (2) xe 12)!1(!!21+++++++=n xn x n e n x x x θ (01)θ<<. 取,1=x 5n =得 e 111111 2.7083,2!3!4!5!≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e <30.0042.6!<= 习题4-31．计算下列极限：(1) 0lim sin x xx e e x-→-；(2) 2ln cos 2lim ()x xx ππ→-;(3) 02lim sin x x x e e xx x -→---；(4) 1ln(1)limarctan 2x x x π→+∞+-； (5) cot limcot 3x xxπ→；(6) 0ln lim ln cot x xx+→；(7) 20tan lim tan x x xx x→-;(8) 22301lim sin 2x x e x x x-→+-; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x xx+→;(10) 2lim xx x e-→+∞;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-;(12) 2011lim()sin x x x x→-; (13) 11lim 1ln x x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (14) 011lim 1xx e x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (15) 1lim(cos 2)x x x →;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞;(17) lim x xx xx e e e e --→+∞-+; (18) sin lim sin x x x x x →∞-+; 解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→-+==；(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim 2()x xx ππ→-=-24sec 2lim 2x x π→-==-2; (3) 02limsin x x x e e x x x-→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→+--+====-； (4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 11x x x x →+∞-+=-+221lim11x x x x →+∞-+=-+221lim x x x x →+∞+=+=1； (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim 3sin x xx π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x x π→⋅=⋅；sin 3cos3limlim sin cos x x x x x x ππ→→=⋅3cos3lim 1cos x xxπ→=⋅=3 (6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-201lim csc cot x x x x+→=-0sin cos lim x x x x+→=-=-1； (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2203lim 3tan x x x→==;(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301lim (2)x x e x x x -→+-=23022lim 84x x xe x x -→-+=⋅2201lim 16x x e x -→-= 2021lim3216x x xe x -→==;(9) 0ln sin 3limln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x xx+→==;(10) 2lim xx x e -→+∞2lim x x x e→+∞=22lim lim 0x x x x x e e →+∞→+∞===;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-2ln()2lim tan x x x ππ+→-=2212lim sec x x x ππ+→-= 22cos lim 2x x x ππ+→=-22cos sin lim 01x x xπ+→-==;(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x xx →-=20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim 6x x x →-=16=-; (13) 11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x→=-+1211lim112x xx x →==+;(14) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01limx x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2xx x x e xe e →-=+12=-;(15) 2221ln cos2ln cos2limlim(cos 2)lim x x x x xx x x x ee →→→==,又20ln cos 2limx x x →002tan 2tan 2lim lim 22x x x xx x→→--===-故1lim(cos 2)x x x →=2e -;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞=ln ln 1lim xx x e-→+∞,又11ln ln ln lim lim 011x x x x x x →+∞→+∞⋅==-, 故11lim (ln )x x x -→+∞=0e =1;(17) lim x x xx x e e e e --→+∞-+221lim 11xxx e e --→+∞-=+;(18) sin 1lim1sin 1x x x x x→∞-=+. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求20()2lim x f x xx→-. 解 20()2l i mx f x x x →-0()2l i m 2x f x x →'-=0()lim 2x f x →''=(0)32f ''==. 习题4-41．判断函数xy e x =-的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少；在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.解 cos y x x '=,在区间3(,)22ππ，,0<'y ∴函数单调减少.3．求下列函数的单调区间： (1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x =(4) 2()1x f x x=+.解 (1) ).,(:+∞-∞D 2()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x 解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加；当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少；当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加.(2) :(0,).D +∞1()4f x x x '=-241x x-=,解方程0)(='x f 得12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(,)2+∞单调增加.(3) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；故函数在4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加. (4) :(,1)(1,).D -∞--+∞21()111x f x x x x ==-+++,221(2)()1(1)(1)x x f x x x +'=-=++, 令,0='y 解得12,x =-20,x =在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加；在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少；在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少；在(0,)+∞内，,0>'y 函数单调增加.4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：(1) 2x +>(2) 21ln(1)2x x x x >+>-.证 (1) 令()2f x x =+- 则()1f x '==.当0>x 时,,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加，,0)0(=f ∴当0>x 时，()(0)0,f x f >=即2x +-，故2x +>(2)设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>又设21()ln(1),2g x x x x =+-+因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x'=-++,12x x += 当0>x 时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0>x 时，()(0)0,g x g >=所以.21)1ln(2x x x ->+ 综上，当0>x 时，有21ln(1)2x x x x >+>-，证毕. 5．证明方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证令53()21f x x x x =++-，因)(x f 在闭区间[0,1]连续，且)0(f 1=-,0<(1)f 30=>.根据零点定理)(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程53210x x x ++-=至少有一个小于1的正根.在(0,1)内，)(x f '42561x x =++,0> 所以)(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)(x f y =在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.综上所述，方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1) 14334+-=x x y ；(2) 2y = (3) 241y x =+；(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎫ ⎛-=''x x y 令,0=''y 得,01=x .22=x)(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '13=- y ''=函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,0<''y 曲线是凸的，时，,0>''y 曲线是凹的.故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)；(3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '228(1)x x =-+ , y ''223248(1)x x -=+ 令,0=''y 得1x =2x =在(,-∞，,0>''y 曲线是凹的；在(，,0<''y 曲线是凸的；在)+∞，,0>''y 曲线是凹的.因此凹区间为(,-∞,)+∞，凸区间为[，拐点为(3)和.(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 5233(y x x x =-=-,y '21335233x x -=-=, y ''143310299x x --=+=令,0=''y 得11,5x =-在20x =处y ''不存在，在1(,)5-∞-，,0<''y 曲线是凸的；在1(,0)5-，,0>''y 曲线是凹的；在(0,)+∞，,0>''y 曲线是凹的；故凹区间为1(,0]5-,[0,)+∞，凸区间为1(,]5-∞-，拐点为1(,5-.7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2()x y xyxe ye x y e++>+成立.证令()tf t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为()()<()22f x f y x yf ++.因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.由()t t f t te e '=+，()2t tf t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，于是不等式成立.习题4-51．求下列函数的极值： (1) 32()393f x x x x =--+；(2) 2()1xf x x =+; (3) 2()2ln f x x x =-;(4) ()f x =(5) 23()(1)1f x x =--;解 (1) )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-.(2) 2221(1)(1)()11x x x f x x x--+'==++,令,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-=所以, 极小值(1),2f -=-极大值(1)2f =. (3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x '=-241x x-=，令,0)(='x f 得驻点12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f )(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f )(x f 在1(,)2+∞单调增加.所以,有极小值11()ln 222f =+.(4) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.因此，有极大值4()33f =极小值(2)0f =. (5) 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f因(0)60,f ''=>/故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.2. 设3x π=是函数1()sin sin 33f x a x x =+的极值点，则a 为何值？此时的极值点是极大值点还是极小值点？并求出该值.解由()cos cos3f x a x x '=+,因3x π=是极值点，故()coscos 033f a πππ'=+=,得a =2,又()(2cos cos3)2sin 3sin3f x x x x x '''=+=--,()2sin 3sin 033f πππ''=--=<,所以，3x π=是极大值点，极大值为：1()2sinsin 333f πππ=+=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：(1) 42()23f x x x =-+, 3[2]2-，;(2) ()f x x =[3,1]-;(3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.解 (1)3()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+-解方程,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==计算357();216f -=(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =. 比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.(2) ()1f x '==,令,0)(='x f 得34x =，计算(3)1f -=-，35()44f =，(1)1f =.从而得最大值35()44f =,最小值(3)1f -=-.(3) ()cos f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ-得驻点123,0,.22x x x ππ=-==计算()()222f f πππ-==，(0)1f =，()()1f f ππ-==-.故得到，最大值为()()222f f πππ-==，最小值为()()1f f ππ-==- .4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1sin x y x+=; (2) 111x y e-=+.解 (1)因1sin lim0x xx →∞+=, 得水平渐近线0;y = 因01sin limx xx→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x (2) 因11lim(1)2x x e-→∞+=, 得水平渐近线2;y =因111lim(1)x x e +-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =5. 作出下列函数的图形： (1) 3()31f x x x =-+； (2) 43()21f x x x =-+;(3) 2y =(4) 2()1x f x x=+.解 (略)6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？解设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为()6)f x x =≤≤求导()f x '=，令()0f x '=，在[0,6]内，得为唯一驻点,容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.习题4-61．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为21()200100040C =++Q Q Q (元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？解 (1) 日产量为100件的总成本为2100(100)20010010002125040C =+⨯+=(元)平均成本为21250(100)212.5100C ==(元). (2) 日产量为Q 件的平均成本为()1000()20040C C ==++Q Q Q Q Q， 211000()40C '=-Q Q，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .D又20031000(200)0C =''=>Q Q ，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为1000()20021040200200200C =++= (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为()L Q 21400()400200100040C ==---Q -Q Q Q Q 21200100040=-+-Q Q ， 1()20020L '=-+Q Q ，令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1()020L ''=-<Q ，因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为21()200100075 00040400400400L =-⋅+⨯-=(元) 相应的平均成本为1000()200212.540400400400C =++=(元).2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.解利润函数为()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ，求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ，令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ，此时，22000()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-⨯⨯=-<Q Q ，因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为23()10000.003(0.013000200020002000)L =-+⨯-⨯=(元).3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义.解设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =⋅Q Q由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数2()(100.01)100.01.R =-⋅=-Q Q Q Q Q平均收入函数为 ()()100.01.R R ==-Q Q Q Q 边际收入函数为2()(100.01)100.02.R ''=-=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2=⨯-⨯=R 平均收入为 ,730001.010)300(=⨯-=R边际收入为 (300)100.02300R '=-⨯=，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元).(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义.(2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?解 (1)已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有2()(800.1)800.1,R P =⋅=-=-Q Q Q Q Q Q2()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q边际利润函数为2()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q当200=Q 时的边际利润为(200)0.22006020.L '=-⨯+=当400=Q 时的边际利润为.20604002.0)400(-=+⨯-='L可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x02.0)300(<-=''L故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元).5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为16004P=Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？解 (1) 需求弹性为)()()(P Q P Q P P '=η1600416004P P P '⎛⎫ ⎪⎝⎭=1600ln 4416004P PP -=⋅ln 4P =-⋅P )2ln 2(-=.39.1P -≈需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %.(2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=⨯-≈η 这表示价格10=P (元)时,价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.6．某商品的需求函数为3P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求：(1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =，时的需求弹性, 并解释其经济意义. 解 (1) 需求弹性为33()()3P Pe PP Pe η--'==-； (2) 2(2)13η=<,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；(3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同；4(4)>13η=,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.7．已知某商品的需求函数为275P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：元).(1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义. (2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义.(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解设,75)(2P P f Q -==需求弹性)(0P P =)()(|0000P f P P f P P ⋅'==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5(5)210P f P='=-=-它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性225(5)(5)(10)175755P f P η'=⋅=-⨯=---它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%.(3) 由 ()(1)R f P η'=⋅+. 又 ()R P P f P =⋅=⋅Q ,于是()()1()()ER P R P R P EP R P f P η''=⋅==+ 由(5)1η=-，得5110P EREP==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.(4) 由,753P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2675333,P P ==-=-66(6)0.85(6)P ER R EP R ='=⋅≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.复习题4（A ）1．设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=-()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<；C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)；D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<).答：C 2．当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =A ．-2 B． CD ．2答：B3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧.答：D4．曲线y =322(1)x x -A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线；B ．只有水平渐近线；C ．有垂直渐近线x =1；D ．没有渐近线.答：C5．用中值定理证明下列各题：(1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在),(b a <<ξξ使得()()f k f ξξ'=. (2) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==，试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξηξξ-'+=证 (1) 对任意实数k ，设()()kx F x e f x -=，()()()kx kx F x ke f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在),(b a <<ξξ使()0F ξ'=，即()()()0k k F ke f e f ξξξξξ--''=-+=，整理得()()0kf f ξξ'-+=，即()()f k f ξξ'=.(2)设()()x F x e f x =，()()()x x F x e f x e f x ''=+，在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理()()()b a e f b e f a F b aξ-'=-，(,)a b ξ∈即[()()]b a e e e f f b aξξξ-'+=-令()xG x e =，()[()()]b a e e G e e f f b aηξηξξ-''===+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξηξξ-'+=，,(,)a b ξη∈.6．求函数1()3f x x=-的1n +麦克劳林公式.解 1()3f x x =-=13(1)3x =-01()33k n nk k x o x ==+∑10()3k nn k k x o x +==+∑7. 计算下列极限：(1) lim(arctan )2x x π-；(2) 011lim()1x x e x→--; (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→；(4) 110(1)lim xxx x e →⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 (1) lim(arctan )2x x π-arctan 2lim x x π→+∞-=211lim x x →+∞+=2lim0x →+∞=-=； (2) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2xx x x e xe e →-=+12=-；(3) 1ln 0lim(cot )xx x +→ln cot ln cot lim ln ln 00lim x xxxx x e e+→+→==而0ln cot lim ln x x x +→20csc cot lim 1x xx x+→-=20csc lim cot x x x x+→-= 20csc lim cot x x xx+→-=0lim 1cos sin x x x x +→-==-，所以原式=1e -；(4) 110(1)lim xxx x e→⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1ln(1)10lim x x xx e ++-→= 01ln(1)1lim x x x x →+-20ln(1)lim x x x x →+-=0111lim 2x x x→-+= 01lim2(1)x x →-=+12=- 所以原式=12e-.8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线32y x ax bx c =+++的拐点，且是驻点？解 32y x ax bx c =+++，232y x ax b '=++，62y x a ''=+，由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =，2(1)3(1)23(1)0y b '-=-+⨯-+=，得3b =，点(-1,1)代入曲线方程：32(1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c =9. 证明方程 1ln -=e xx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e '=-e xex-=，（1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110ef e e e=-+=>，0lim ()x f x +→=-∞，例如11121()ln 10e f e e e e---=-+=-<，因此，函数在(0,)e 内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(0,)e 内有且只有一个根；（2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e <又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11xf x x e =-+<于是ln xx e<，因此lim ()x f x →+∞=-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(,)e +∞内有且只有一个根；综上，即证方程 1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根..10．确定函数32()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与最值.解 2()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-=所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=；又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =.（B ）1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点.答： D2. 设()(1)f x x x =-，则（）A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点；D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点.答：B3. 设120ea ->>，证明方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.证：因120ea ->>，则12e a ->，即21a e <令()ax f x x ae =-，显然()f x 在1[0,]a -连续，由(0)0f a =-<，1112()(1)0f a a ae a a e ---=-=->，所以方程axx ae =在1(0,)a -内至少有一实根，又2()1ax f x a e '=-，在1(0,)a -内0ax e e <<，所以220ax a e a e <<，于是2()10ax f x a e '=->，即函数()ax f x x ae =-在1(0,)a -单调增加，至多与x 轴有一个交点；因此，方程axx ae =有且只有一个小于1a -的正根.4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有1212()()()f x x f x f x +<+.证由()0f x ''<，知)(x f '单调减少，对任意120,0x x >>，在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ∃∈使11111()()(0)()0f x f x f f x x ξ-'==- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ∃∈+使12212221122()()()()()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'==+-)(x f '单调减少,∴)()(21ξξf f '>' ⇒122111()()()f x x f x f x x x +-<所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕.5. 当10x >>时，证明不等式212xx +<成立.证令2()12x f x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==,()22ln 2x f x x '=-,又2()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加，由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为k .易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有212x x +<(0k x >>)在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有212x x +<(1x k >>)因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k .综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式212xx +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f abηηξ''=.证 )(x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得- 21 - ()()()f b f a f b a ξ-'=-，又()f x ，1x在[a , b ]上满足柯西中值定理的条件，故在(a , b )内至少存在一点η，使 2()()().f b f a f b a ηη'-=--整理得：2()()()f b f a f b a ab ηη'-=-.因此得到，在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f ab ηηξ''=.证毕.。

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第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。

A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。

（2014年4月真题）[单选题]28、设函数，则下列结论正确的是（）．A、f（x）在（0，＋∞）内单调减少B、f（x）在（0，e）内单调减少C、f（x）在（0，＋∞）内单调增加D、f（x）在（0，e）内单调增加【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】解得x＝e，当0＜x＜e时，y＇＞0∴f（x）在（0，e）内单调增加，选择D．参见教材P100～101。

（2014年4月真题）[单选题]29、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝1B、y＝3C、x＝1D、x＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】因此选择B．参见教材P110～111。

（2014年10月真题）[单选题]30、设函数f（x）可导，且＝0，则x0一定是函数的（）．A、极大值点B、极小值点C、驻点D、拐点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】本题考查驻点的定义，驻点：函数的一阶导数为0的点．因此选择C．参见教材P102～104。

（2014年10月真题）[单选题]31、下列函数在区间(-∞，+∞)上单调减少的是（）。

A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】为指数函数，它在(-∞，+∞)上是单调递减的，故A正确，B、C、D在整个R上是非单调函数。

参见教材P100。

[单选题]32、已知是函数的驻点，则常数（）。

A、-3B、-2C、-1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】因为是函数的驻点，因此，而，代入可得a=-1。

参见教材P92。

[单选题]33、设函数可导，且，则在处（）.A、一定有极大值B、一定有极小值C、不一定有极值D、一定没有极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】导数为零不一定是极值点，还需要判断两侧导数的正负，故本题选C。

参见教材P102。

[单选题]34、曲线的拐点为（）.A、（0，1）B、（1，0）C、（0，2）D、（2，0）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】得，代入所以在（1，0）处二阶导数为0，二阶导数在（1，0）两端符号相反，所以（1，0）是曲线的拐点。

参见教材P107。

[单选题]35、曲线的铅直渐近线为（）.A、x=-1B、x=1C、y=-1D、y=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】 x-1=0，解得x=1。

[单选题]36、函数的单调减少区间为（）.A、（－∞，－1）B、（5，+∞）C、（－∞，－1）与（5，+∞）D、（－1，5）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，得到－1＜x ＜5.参见教材P100。

[解答题]37、函数在区间［0，1］上满足拉格朗日中值定理的中值=_________．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】在区间［0，1］上，由拉格朗日中值定理可得：，即[解答题]38、函数在区间［-1,1］上的最小值为_________．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】，在［-1,1］上，故单调递减，故.[解答题]39、求曲线的凹凸区间及拐点．【从题库收藏夹删除】【正确答案】，，令，所以上凸区间为；上凹区间为；拐点为【您的答案】您未答题[解答题]40、证明当x>0时，【从题库收藏夹删除】【正确答案】令，所以，当x>0时为单增函数，所以当x>0时，有即【您的答案】您未答题[解答题]41、求极限【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题]42、求的单调区间，极值，凹凸区间，拐点【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题]43、某厂生产某种产品，固定成本为400万元，多生产一个单位产品，成本增加10万元。