关于积分限函数的小结 习题课选例
积分函数练习题
积分函数练习题在数学中，积分函数是一种重要的工具，它可以用来求解曲线下面的面积、计算变量间的关系以及解决一系列实际问题。
为了帮助大家更好地理解积分函数的应用，接下来我将为大家提出一些积分函数的练习题，通过分析和求解这些题目，来加深对积分函数的认识。
练习题一：曲线下面的面积求解函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的曲线下面的面积。
解析：根据积分的定义，曲线下面的面积可以用定积分来表示。
对于给定的函数f(x)，我们可以使用不定积分来求解。
具体步骤如下：1. 首先，我们对f(x)进行积分运算，得到其不定积分F(x)。
由于f(x) = x^2，我们可以得到F(x) = (1/3)x^3 + C，其中C为任意常数。
2. 然后，我们计算曲线在区间[0,1]内的面积。
根据定积分的性质，可以将曲线下面的面积表示为∫[0,1]f(x)dx = [F(x)]0^1 = F(1) - F(0) = (1/3) - (0/3) = 1/3。
练习题二：变量关系的积分给定函数g(x) = 2x，求解函数h(x) = ∫[0,x]g(t)dt。
解析：根据积分的性质，我们知道对函数进行积分运算后可以得到一个新的函数。
对于给定的函数g(x)，我们可以求解h(x)的函数表达式。
具体步骤如下：1. 首先，我们对g(x)进行积分运算，得到其不定积分G(x)。
由于g(x) = 2x，我们可以得到G(x) = x^2 + C，其中C为任意常数。
2. 然后，我们用得到的不定积分G(x)来表示h(x)。
根据定义，h(x) = ∫[0,x]g(t)dt = G(x) - G(0) = G(x) - 0 = G(x) = x^2。
练习题三：实际问题的积分求解一个物体的运动速度v(t)在时刻t的值为v(t) = 3t^2 - 2t + 1，求解在区间[0,2]上该物体移动的总路程。
解析：根据物理学的知识，速度的积分可以表示为位移。
对于给定的速度函数v(t)，我们可以求解总路程的大小。
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思路与方法
定积分专题05：含参数定积分极限与变限积分极限问题求解思
路与方法
本系列专题由学友“亭亭小可爱”整理分享，专题内容既适用于课程学习，也适用于竞赛、考研，内容为总结性概括，例题属于提高型典型问题。
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：证明如下等式成立.
练习2：设 ,
(1) 求极限；
(2) 证明单调递减.
练习3：求.练习4：求.练习5：设在上连续，求练习6：设在上连续，求练习7：求.
练习8：求.
练习9：已知，求极限练习10：设在区间上连续，由积分中值公式，有
若存在且非零，求.
练习11：试求正常数，它们由下式确定：
【注】对于例题或练习题，建议自己在草稿纸上动手做完以后再参见下面给出的参考答案！参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
参考解答
更多相关专题可以参见如下列表：
•定积分专题01：定积分关键定义、定理、公式与相关结论总结•定积分专题02：定积分部分结论、公式的证明思路与方法
•定积分专题03：定积分计算常用方法与典型题分析
•定积分专题04：应用定积分定义求部分和极限题型与典型例题解析
•一道积分算一天，你确信积分对了吗？。
无穷限积分的计算例题
无穷限积分的计算例题近年来，积分在科学、工程和经济中发挥着重要的作用。
积分的定义是把无穷多的有限的曲线下的特定区域分割成有限的几部分，计算各部分的面积和。
本文以无穷限积分的计算例题为例，详细介绍其计算过程。
无穷限积分是一种比较典型的类型，它不仅涉及到曲线的面积和，而且还涉及到曲线下的区域面积和。
无穷限积分也被称为定积分、无穷积分或限定积分。
计算无穷限积分的方法主要有蒙特卡洛法和Riemann-Stieltjes法，其中Riemann-Stieltjes法是一种比较常用的方法。
无穷限积分的计算过程主要依据Riemann-Stieltjes法，其具体步骤如下：（1）准备计算所需的数据，它包括积分的上限和下限、函数的值，以及相应的参数。
（2）确定分割粒度，将积分的上限和下限分成若干等份，比如n=2，三等份，n=3，四等份，依次类推。
（3）计算每一等份的函数值，并计算每一等份的有多少积分。
（4）计算每一等份的积分结果，将各部分的结果相加，得到无穷限积分的具体结果。
（5）验证结果是否正确。
下面以一个具体例题来介绍无穷限积分的计算方法：求函数f(x)=2x2+6x+2在0和1之间的积分。
解：（1）积分的上限和下限是0和1，函数值为f(x)=2x2+6x+2。
（2）n=3，将积分的上限和下限分成三等份，区间分别为[0,1/3]、[1/3,2/3]和[2/3,1]。
（3）计算每一等份的函数值，即f(0)=20+60+2=2；f(1/3)=2(1/3)+6(1/3)+2=4.3333；f(2/3)=2(2/3)+6(2/3)+2=6.4444；f(1)=21+61+2=10。
每一等份的积分为f(0)/3+f(1/3)/3+f(2/3)/3+f(1)/3=2/3+4.3333/3+6.4444/3+10/3= 8.81。
（4）计算三个等份的积分，得到无穷限积分的结果为26.43。
（5）用数值积分法计算得出的结果是26.4342，与手算结果接近，验证结果正确。
专题辅导9 关于积分上限函数
当 x ≠ 0 时， ϕ ′( x) =
xf ( x) − ∫ f (u )du
0
x
x2
；
当 x = 0 时，由导数定义， = ϕ ′(0) lim
x →0
ϕ ( x) − ϕ (0)
= x
∫ f (u )du lim =
0 x →0
x
x
2
f ( x) A ， = lim x →0 2 x 2
xf ( x) − x f (u )du ∫0 ,x ≠ 0 x2 故 ϕ ′( x) = ， A ,x =0 2
（三）变上限积分的极限
例 9.5 [分析] 求极限 I = lim
x →0
x 2 − ∫ cos(t 2 )dt
0
x2
sin10 x
0 0
显然，此极限为 ( ) 型.先利用等价无穷小代换，将 sin10 x 替代为 x10 ，然后利用
洛必达法则求极限.
x 2 − ∫ cos(t 2 )dt 2 x − 2 x cos x 4 1 0 解 I lim = = lim = x →0 x →0 x10 10 x9 10
（七）含变上限积分的不等式的证明（见专题 10） （八）综合问题
例 9.10 设 f ( x) 连续， ϕ ( x) =
∫
1
0
f ( xt )dt ，且 lim
x →0
f ( x) ，求 ϕ ′( x) ，并 = A （A 为常数） x
讨论 ϕ ′( x) 在 x = 0 处的连续性. [分析]
ϕ ( x) 是用含参变量 x 的定积分表达的函数，其自变量 x 出现在被积函数中，需经过
专题辅导 9
关于积分上限函数
变限积分函数范文
变限积分函数范文一、引言积分是微积分的重要概念之一，它在数学以及其它学科中都有广泛的应用。
最基本的积分运算是定积分，它可以求解给定函数在一定区间上的面积或者变化量。
然而，在一些特殊情况下，我们需要对一个函数在无穷区间上的积分进行计算，这就引出了变限积分函数的概念。
本文将首先介绍变限积分函数的基本概念和性质，然后通过几个例子来说明变限积分函数的计算方法。
最后，我们还将讨论一些常见函数对应的变限积分函数的特点和应用。
二、基本概念和性质对于函数f(x)在[a,b]上的定积分∫[a,b] f(x) dx 可以看作是一个变量 x 的函数 F(t)，其中 t 是一个变量，它的取值范围是 [a,b]。
这个变量函数 F(t) 称为变限积分函数。
F(t) = ∫[a,t] f(x) dx在这个定义中，F(t)是x的函数，x的取值范围是[a,t]，所以t是x 的取值范围的上限。
变限积分函数F(t)描述了在区间[a,t]上函数f(x)的积分值。
对于变限积分函数，我们有以下性质：1.F(a)=0，即当t=a时，变限积分函数的值为0，这是因为积分的下限与上限相同时，积分值为零。
2.当t的取值范围在[a,b]时，F(t)是关于t连续的函数。
3.当函数f(x)连续时，变限积分函数也是连续的。
4.如果函数f(x)是可积函数，那么变限积分函数F(t)也是可积的。
5.当函数f(x)是连续函数且在[a,b]上可导时，变限积分函数F(t)也是可导的，并且其导数等于原函数f(t)。
三、计算方法举例接下来，我们通过几个例子来说明如何计算变限积分函数。
例一：计算函数f(x)=x在区间[a,t]上的变限积分函数F(t)。
根据定义式，我们有：F(t) = ∫[a,t] x dx = [x²/2]（从 a 到 t）= t²/2 - a²/2例二：计算函数 f(x) = sin(x) 在区间 [0,t] 上的变限积分函数F(t)。
高数：《变限积分函数》参考课件节选及典型题举例
高数：《变限积分函数》参考课件节选及典型题举例
● 积分上限函数为被积函数的一个原函数，因此，积分上限函数是连续可导函数
● 在已知条件或者结论中包含有积分上限函数的问题，一般直接的思路就是先对积分上限函数求导
● 积分上限函数也称为变上限函数，因此，有变下限函数，以及上下积分限都为函数的积分限函数，对于它们都可以转换为变上限函数来处理，即
于是结合积分上限函数的复合函数可以得到以上变限函数的导数表达式
● 对于积分变限函数求导的基本原则是在求导之前将被积表达式要变换成与求导变量无关，而仅仅与积分变量相关的表达式；积分上下限为求导变量的函数的结构，这样就可以直接使用变限积分求导公式直接套用！即将被积函数的积分变量替换为变限表达式，然后乘以变限函数的导数即得导数结果，即依据课件及上面的公式将最终所求的变限积分式子转换如下，并有如下求导结果
即如果被积表达式中包含有求导变量，则要提出来，如果提不出来，则通过积分的换元法的方式转换，使得其不包含有求导变量参考课件，内容结合老师课堂讲授理解：
小贴士。
函数极限，连续与积分解答
函数极限、连续与积分习题解答1． 用函数极限的定义证明：（1）2221lim 2.3x x x →∞+=-证明： 0,ε∀> 欲使2222172,33x x x ε+-=<--易见当||3x >时，有2277|3|||.|3|||x x x x ->⇒<-于是，只要7,||x ε<即7||x ε>时，有222123x x ε+-<-成立。
取7max 3,.M ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 故对0,ε∀>7max 3,.M ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭对||,x M ∀>有 222123x x ε+-<-，即2221lim 2.3x x x →∞+=- （2）11lim arc .12x tg x π-→=- 证明：0(0),2πεε∀><<要使不等式 11arc arc 1221tgtg x xππε-=-<-- (1)x < 成立，解得11.()2x tg πε-<- 取δ=1()2tg πε-，于是10,0,(1,1),()2x tg εδδπε∀>∃=>∀∈--有1arc ,12tgx πε-<- 即11lim arc .12x tg x π-→=- （3）0x →∞=。
证明：sin =1,x<<0ε∀>，取11N x N ε⎢⎥=+∀>⎢⎥⎣⎦，有1sin ,x ε<<(lim 0.x →∞∴=2. 求下列极限：(1) 11lim(sincos ).x x x x→∞+ 解：22211112lim(sin cos )lim[(sin cos )]lim(1sin )→∞→∞→∞+=+=+x x x x x x x x x x x2sin 122sin 2lim[(1sin )].→∞=+=xx xx e x或2111sin cos 11sin211lim []1111sin cos 11111lim sin cos lim 1sin cos 1.x x x x x xxx xx x x x e e x x x x →∞+--+-→∞→∞⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=++-==⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭(2) 120lim(1sin ).xx x →+解：11sin 2sin 20lim(1sin )lim[(1sin )]x xx xx x x x →→+=+=(3) 210ln(1)lim .ln(1)x x x x x →∞-+++解: 222210109109101111ln[(1)]2ln ln(1)ln(1)lim lim lim 1111ln(1)ln[(1)]10ln ln(1)→∞→∞→∞-++-+-+==+++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x291011ln(1)21ln lim .115ln(1)10ln →∞-++==+++x x x x x x x(4) 2221lim .1x x x x →∞⎛⎫-⎪+⎝⎭解：22222112111lim lim .112lim 11x tt x t t t t x t e x t t -→∞→+∞--→+∞⎛⎫--⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦3. 求解下列各题：(1)已知极限lim )0x ax b →+∞-=，确定a 与b .解：已知lim )lim→+∞-=x x ax b222lim0==x成立，从而210,a -= 120.ab +=解得11,.2a b =±=当11,2a b =-=时，极限1l i m 1)2x x →++-不存在，于是11,.2a b ==- (2) 讨论极限111lim x x x →⎛⎫⎡⎤-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是否存在？解：在点01x =的左右两侧附近，当1x >时有 11010,x x ⎡⎤<<⇒=⎢⎥⎣⎦于是有1lim x +→11x x ⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭=11lim 1;x x +→=当1x <（限定0x >）时，有111,x x ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦故由夹逼定理得11l i m 1,x x -→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦从而有111lim 0.x x x -→⎛⎫⎡⎤-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭即111111lim lim ,x x x x x x +-→→⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤-≠- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭所以111lim x x x →⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭不存在。
无穷限积分的计算例题
无穷限积分的计算例题无穷限积分是数学中一种重要的积分方式，它包含了无穷个有限积分叠加在一起，用数学形式表示可以表示为：$$int_{a}^{b}f(x)dx=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i$$其中，$a$和$b$为上下限，$f(x)$为函数，$n$表示有限积分个数，$x_i$表示每一个有限积分的分割点，$Delta x_i$表示每一个有限积分的间隔。
二、无穷限积分的计算方法无穷限积分的计算方法有很多，最常用的一种是梯形法，而能够使用梯形法进行计算的函数要求具有简单的极限性，即：存在分割点$x_0$,$x_1$，$x_2$…$x_n$,使得：$$lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Deltax_i=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))frac{Delta x_i}{2},$$其中，宗旨就是将积分区间分为多个相等的子区间，使得该积分区间分为若干个梯形，再用加法原理把梯形加起来，即可得到此区间的积分值。
这里有一个重要的定律，就是梯形定理：$$int_a^bf(x)dx=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i) )frac{Delta x_i}{2}$$根据这个定理，可以进行无穷限积分的计算，由此可以得到关于无穷限积分的计算公式：$$int_a^bf(x)dx=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i) )frac{x_i-x_{i-1}}{2}=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[f (x_i)+f(x_{i-1})](x_i-x_{i-1})$$三、无穷限积分的计算例题例题1：求下列积分：$$int_1^2x^2dx$$解：将积分区间分为$n$个等分，即$x_0=1,x_1=1.1,x_2=1.2,ldots,x_n=2$，则：$$begin{aligned}int_1^2x^2dx&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(x_{i-1}^2+x_i^2)fra c{Delta x_i}{2}&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(x_{i-1}^2+x_i^2)frac{x_i-x_{i-1 }}{2}&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[x_i^2+x_{i-1}^2](x_i-x_{i-1})end{aligned}$$由此，可以得到：$$begin{aligned}int_1^2x^2dx&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[x_i^2+x_{ i-1}^2](x_i-x_{i-1})&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}[(1.0^2+1.1^2)(1.1-1.0)+(1.1^2+1. 2^2)(1.2-1.1)cdots+(2.0^2+2.1^2)(2.1-2.0)]&=frac{11}{6}end{aligned}$$故答案为：$int_1^2x^2dx=frac{11}{6}$例题2：求下列积分：$$int_1^5sqrt{x}dx$$解：将积分区间分为$n$个等分，即$x_0=1,x_1=1.2,x_2=1.4,ldots,x_n=5$，则：$$begin{aligned}int_1^5sqrt{x}dx&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(sqrt{x_{i-1}}+s qrt{x_i})frac{Delta x_i}{2}&=lim_{ntoinfty}sum_{i=1}^n(sqrt{x_{i-1}}+sqrt{x_i})frac{x_ i-x_{i-1}}{2}&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[sqrt{x_i}+sqrt{x_{i-1 }}](x_i-x_{i-1})end{aligned}$$由此，可以得到：$$begin{aligned}int_1^5sqrt{x}dx&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}sum_{i=1}^n[sqrt{x_i}+sqrt{x_{i-1}}](x_i-x_{i-1})&=lim_{ntoinfty}frac{1}{2}[(sqrt{1.0}+sqrt{1.2})(1.2-1.0)+( sqrt{1.2}+sqrt{1.4})(1.4-1.2)cdots+(sqrt{4.8}+sqrt{5.0})(5.0-4.8)]&=frac{97}{12}end{aligned}$$故答案为：$int_1^5sqrt{x}dx=frac{97}{12}$四、总结以上就是关于无穷限积分的计算例题，两个例题其实只是冰山一角，实际上，无穷限积分的计算可以应用于许多不同的情况，从而解决许多实际问题。
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一 关于积分限函数的理论
定理 1 如果 f (x) 在 [a,b] 上可积，则
F ( x)
x
a
f
(t)dt
在[a,b] 上连续.
定 理 2 如 果 f (x) 在 [a,b] 上连续，则
x
F (x) a f (t)dt
在
[a, b]
上
可导
，且
F (x) d [ x f (t)dt] f (x). dx a
推论 1 d [ b f (t)dt] f (x)
dx x
推论 2 d [ (x) f (t)dt] f [(x)] (x) dx c 推论 3
d [ (x) f (t)dt] f [ (x)] (x) f [(x)] (x)
dx ( x)
三 有积分限函数参与的题型举例
（1） 极限问题：
例1
x2
3
sin 2 tdt
lim 0
x0
x
t(t sin t)dt
0
（答：12）
x
例 2 lim 0 sin t dt （提示：本题用洛必达法则求不出结果，
x
x
可用夹逼准则求。 答： 2 ）
例 3 已知极限 lim
1
x sin t dt 1，试确定其中的非
(4) 积分问题
例 10 计算
1 xf (x)dx ，其中 f (x)
x2 sin t dt .
0
1t
(提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时,
总是用分部积分法求解, 且取 u(x) 为积分上限函数. 答: 1 (cos1 1).) 2
例 11 设 f (x) 在 (,) 内连续, 证明
(说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注意对
任一取定的 x , 积分变量 t 在[0, x] 内变动.
0
1
x
2
答:
(
x)
2 1
1
(
x
2)
2
2
1
x 0,
0 x 1, .
1 x 2,
x2
(5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例 13 设函数(x) 连续，且满足
e
(1 ln t)dt ,
1
x
然后求出 A(x),再求出其驻点. 答: e .)
例 9 设 x 0， n 为正整数. 证明 f (x) x (t t 2 ) sin 2n tdt 0
的最大值不超过
1
.
(2n 2)(2n 3)
(提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.)
求证
(x) 0 tf (t)dt x
在 (0,) 内单调增加.
0 f (t)dt
(3) 最大最小值问题 例 8 在区间[1,e] 上求一点 , 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小
y
y = ln x 1
1
e
x
(提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和: A(x)
x
ln tdt
,
即(x) 为周期为 T 的周期函数.
例 18 设 f (x) 在 (,) 内连续,
F(x)
x
(2t x) f (t)dt .
证明:
0
(a) 如果 f (x) 是偶函数, 则 F(x) 也是偶函数;
(b) 如果 f (x) 是单调减少函数, 则 F(x) 也是单调减少函数.
(6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等. 例 15 设 f (x), g(x) 均在[a,b] 上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:
( b f (x)g(x)dx)2 b f 2 (x)dx b g 2 (x)dx.
a
a
a
说明: 本题的通常证法是从不等式 b[ f (x) tg(x)]dx 0 出发, 由关于 t 的二次函数非负 a
0
0
0
0
（2）比如
F(x)
x
tf (t x)dt
0
( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面
来)
在求 F (x) 时，先对右端的定积分做变量代换 u t x（把 x
看作常数），此时，dt du ，t 0 时，u x ；t x 时，u 0 ，
这样， F (x) 就化成了以 u 作为积分变量的积分下限函数：
F(x)
0
0
(x u) f (u)du x
f (u)du
0 uf (u)du ，然后再
x
x
x
对 x 求导。
( 3 )
比如
F(x)
1
f (xt)dt
0
(这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去)
注：（Ⅰ）从以上两个定理可看出，对
f (x) 作变上限积分后得到的函数，性
质比原来的函数改进了一步：可积改进 为连续；连续改进为可导。这是积分上 限函数的良好性质。而我们知道，可导
函数 f (x) 经过求导后，其导函数 f (x)
甚至不一定是连续的。
（Ⅱ）定理（2）也称为原函数存在定理。 它说明：连续函数必存在原函数，并通过 定积分的形式给出了它的一个原函数。我 们知道，求原函数是求导运算的逆运算， 本质上是微分学的问题；而求定积分是求 一个特定和式的极限，是积分学的问题。 定理（2）把两者联系了起来，从而使微分 学和积分学统一成为一个整体，有重要意 义。
x0 e x bx a 0 t c
零常数 a, b, c.
（答： a 1, b 1, c 1. ）
(2) 求导问题
例 4
已知
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
t
0 (1 cosu)du, 求 dy .
t
sin udu.
dx
0
(答: 2
sin t ) t (1 cost)
由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例.
例 16 设 f (x) 在[0,1]上连续且单调减少. 证明: 对任一 0 1,
有
f (x)dx
1
f (x)dx.
0
0
1
x
(提示: 即证
0
f (x)dx 0 f (x)dx .
于是作 F(x)
0
f (t)dt ,
x
x
0
f
t
dt
t
u
x
0
f
ud
u
x
0
f
udu
f偶
x
0
f
udu
x,
即x为奇函数.
若
T
0
f
xdx
0
，则
x
T
xT
0
f
tdt
x
0
f
t
dt
xT
x
f
t
dt
x
T
0
f
tdt
x
关于积分限函数的小结 ----习题课选例
积分上限函数（或变上限定积分）
F (x) x f (t)dt 的自变量是上限变量 x ， a
在求导时，是关于 x 求导，但在求积分时， 则把 x 看作常数，积分变量 t 在积分区间
[a, x] 上变动。弄清上限变量和积分变量的
区别是对积分限函数进行正确运算的前 提。
(x) e x
x
t(t)dt x
x
(t )dt.
求 (x).
0
0
(答: (x) 1 (cosx sin x ex ) )
2 （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，
然后求解. . 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: (x) cosx sin x ）
x
xu
0 f (u)( x u)du 0 [0 f (t)dt]du.
(提示: 对右端的积分施行分部积分法.)
x 0 x 1, 例 12 设 f (x) 2 x 1 x 2,
0 x 0 , x 2.
求 (x) x f (t)dt 在 (,) 内的表达式. 0
例 5 已知
y et dt
xy
cos tdt
0.
求
dy
.
(答:
y cos(xy) )
0
0
dx
e y x cos(xy)
例 6 求 d x sin(x t)2 dt dx 0 (答: sin x2 )
x
例 7 设 f (x) 在 (,) 内连续且 f (x) 0,
(提示: 令 F(x)
x
f (t)dt
b
g(t)dt .
对 F(x) 在[a,b] 上用 Rolle 定理即可证得结论)
a
x
4. 关于积分限函数的奇偶性与周期性
定理 3
设
f
x
连续，
x
x 0
f
t
dt
.如果
f x 是奇（偶）函数，则x是偶（奇）函数；
如果
f