15-第15讲微分中值定理教学教案
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
《微分中值定理》课件
积分中值定理的应用：求解 定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在 某区间上的平均值与该区间 内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处 理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和 解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值 题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值 解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西 中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、 庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已 知条件和未知条件，找出题 目中的关键信息
理解题目：明确题目要求， 理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤， 每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧， 如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微 分中值定理的
综合题目
题目来源：教 材、习题集、
03
微分中值定理的基本概 念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线 斜率
导数的计算方法：极限法、导数公 式、导数表
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
《微分学中值定理》课件
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微 分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相 反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多 存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极 值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具， 可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得 极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导 数
实例2：求解函数在某区间上的 最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜 率
实例4：求解函数在某点处的切 线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分 学中值定理的推 广和延伸
泰勒定理将微分 学中值定理中的 函数值扩展到函 数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解
关于微分中值定理的教学设计
图 ２ 拉 格 朗 日 中 值 定 理
图 ３ 柯 西 定 理
进而 由 图 １ 说 明 罗 尔 中 值 定 理 的 三 个 条 件 缺 一 不 可,ξ 的值有可能不唯一,点ξ 就是函数的 驻 点 (或 临 界 点). 由 图 ２说明拉格朗日中值 定 理 满 足 前 两 个 条 件,ξ 的 值 有 可 能 不 唯一.罗尔中值定理与拉格朗日中值 定 理 相 比 较,条 件 中 去 掉了f(a)＝f(b),因此 拉 格 朗 日 中 值 定 理 是 罗 尔 中 值 定 理 的推广;而 罗 尔 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 当 f(a)＝ f(b)时的特例.由图３ 说 明 柯 西 中 值 定 理 中 将 函 数 曲 线 变 为参数曲线,因 此 柯 西 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 广;而拉格朗日中值定理 是 柯 西 中 值 定 理 当 g(x)＝x 时 的 特例.同时通过图１、图２、图３说明 三 个 中 值 定 理 的 几 何 意 义.经过这样设计教 学 过 程 可 以 非 常 直 观 形 象 的 显 示 这 三 个定理,在课堂教学中,这点是非常重 要 的;应 用 函 数 图 形 进 行说明能使学生更直观理解定理的几何背景.并且图形化 的这种直接表示能启发和引导学生从观察几何图形开始加 深对微分中值定理的认识,增加学生对这 三 个 定 理 的 学 习 兴 趣,使学生直观理解 三 个 定 理 的 相 同 点 和 不 同 点,通 过 对 比 讲授使学生更容易 记 忆 和 理 解,采 用 这 种 教 学 设 计,学 生 容 易接受,变抽象为形象,达到较好的教 学 效 果,为 后 续 微 分 中 值定理的应用打下坚实的基础.
关于微分中值定理的教学设计
微分中值定理说课
《微分中值定理》一、教材分析我说课的内容是中国经济出版社《数学分析》教材中第四章第一节《微分中值定理》.《数学分析》课程是师范专科院校小学教育专业的必修课程.中值定理是微分学的基本定理，是一系列中值定理的总称，是应用导数研究函数在区间上整体性态的有力工具.本节课是在已经学习了导数运算的基础上，通过微分中值定理建立函数与其导数之间的联系，使学生对微分学有初步的理论认识，并为今后应用导数把握函数特征打下基础.二、教学目标本着师范专业对《数学分析》课程”必须够用”的原则，根据培养师范生“数学应用能力”的教学要求，我制定了本节课的教学目标如下：1.知识目标：理解和记忆罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件和结论，并深刻理解三个定理之间的异同及其几何意义2.能力目标：会应用三个定理进行简单的不等式、等式证明和方程根存在的证明3.德育目标：通过定理的几何意义体会”形象思维”在数学分析学习中的应用，通过三个定理的联系体会数学中”将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题”的论证思想.三、教学重点、难点我所教授的学生是师范专业科学双语二年级的学生，由于学生的数学基础比较薄弱，对于数学分析中理论性的内容，本着”领会实质，掌握应用“的原则，我将本节课的教学重难点制定如下：1.教学重点：理解和记忆罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理的条件和结论；会应用三个定理进行简单的不等式、等式证明和方程根存在的证明2.教学难点：深刻理解三个定理之间的异同及其几何意义四、教学方法由于数学分析课程自身的特点，本节课我采用以教师讲授为主，学生探究练习为辅的综合讲授法.并在教学中贯穿对学生形象思维能力的培养与训练，激发学生的学习兴趣与潜能，以到达较好的教学效果.五、说教学过程遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳”的原则，本节课的教学内容由以下四部分组成：对于教学过程我将分别从整体和细节两个角度进行说明.（一） 整体把握由于数学分析课程中的理论内容抽象难懂，为了更好的激发学生的学习兴趣，提高学生的理解能力，因此我采用形象思维的方法进行教学，即通过直观信息总结抽象的结论，通过函数图像的变化总结定理之间条件与结论的变化，进一步得到每一个定理的应用方式。
微积分学 P.P.t 标准课件15-第15讲导数概念
(2) 求函数由 x0 到 x0+ x 的平均变化率：
y f ( x0 x) f ( x0 ) ; x x
(3) 求 x 0 的极限：
y f ( x0 x) f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
二.导数的概念
1. 导数的定义
e – x,
x>0
由可导性：
f (0 x) f (0) e x 1 x lim 1 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
f (0 x) f (0) (1 bx) 1 lim lim b x x x 0 x 0
称之为 f (x) 在 (a, b) 内的导函数. 通常我们仍称之
为 f (x) 在 (a, b) 内的导数：
y f ( x x) f ( x) f ( x) lim lim x x 0 x x 0
定义
若 f (x) 在 (a, b) 内可导, 且 f (a) , f (b) 存在,
f ( x0 ) a， y'| x x0 a,
dy d f ( x0 ) a， dx dx
x x0
a.
如果函数 f (x) 在点 x0 处可导, 则
f ( x) f ( x 0 ) f ' ( x0 ) lim ; x x0 x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x 0 x
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第十五讲 导数的概念
脚本编写、教案制作：刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民
第四章 一元函数的导数与微分
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理的重要性
微分中值定理是导数应用的基础，它可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
微分中值定理也是解决一些实际问题的关键工具，例如在物理学、工程学等领域中，微分中值定理的应用非常广泛。
微分中值定理的证明方法有多种，其中最常用的是利用拉格朗日中值定理进行证明。
利用导数求切线方程
总结词
通过导数，我们可以找到函数在某一点的切线斜率，从而确定切线方程。
详细描述
给定一个函数$f(x)$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，它表示函数在$x_0$处的切线斜率。切线方程可以由点斜式得出，即$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$，其中$y_0 = f(x_0)$。
利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理也可以用于证明不等式。
总结词
通过构造适当的辅助函数，我们可以利用微分中值定理来证明一些不等式。例如，如果我们想证明一个函数在某个区间上的最大值或最小值不超过某个常数，我们可以构造一个辅助函数，使其在区间端点的函数值为零，然后在区间内部取正值或负值，这样就可以利用微分中值定理来证明不等式。
导数大于零表示函数在该区间内单调递增，导数小于零表示函数在该区间内单调递减。
总结词
如果函数$f(x)$在区间$(a, b)$内的任一点都可导，并且$f'(x) > 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增；如果$f'(x) < 0$，则函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减。
详细描述
利用导数研究函数的单调性
VS
函数的极值点满足导数为零或不可导的条件，通过这些点可以找到函数的极值。
微分中值定理教案
§3. 1 中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理首先，观察图1. 设曲线弧 是函数[]) ,)((b a x x f y ∈=的图形. 这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两 个端点的纵坐标相等，即)()(b f a f =．可以发现曲线的最高点或最低 点C 处, 曲线有水平的切线. 如果记C 点的横坐标为ξ，那么就有0)(='ξf现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理.费马（Fermat ）引理 设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义，并且在0x 处可导，如果对任意的)(0x U x ∈，有 )()(0x f x f ≤ （或)()(0x f x f ≥）， 那么0)(0='x f .证明 不妨设)(0x U x ∈时，)()(0x f x f ≤ （如果)()(0x f x f ≥，可以类似地证明）.于是，对于)(00x U x x ∈∆+,有 )()(00x f x x f ≤∆+， 从而当0>∆x 时，0)()(00≤∆-∆+xx f x x f ；当0<∆x 时，0)()(00≥∆-∆+xx f x x f .根据函数)(x f 在0x 可导的条件及极限的保号性，便得到0)()(lim )()(0000≤∆-∆+='='+→∆+xx f x x f x f x f x ， .0)()(lim )()(0000- 0≥∆-∆+='='-→∆x x f x x f x f x f x 所以，0)(0='x f .证毕. （通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点））罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.证明 由于)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[]b a ,上必定取得它的最大值M 和最小值m ．这样,只有两种可能情形：(1)M ＝m ．这时)(x f 在区间[]b a ,上必然取相同的数值M ：)(x f ＝M ．由此，),(b a x ∈∀,有0)(='x f .因此，任取),(b a ∈ξ，有0)(='ξf ．(2)M ＞m ．因为)()(b f a f =，，所以M 和m 这两个数中至少有—个不等于)(x f 在区间[]b a ,的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M )(a f ≠(如果设m )(a f ≠，证达完全类似)．那末必定在开区间(b a ,) 内有一点ξ使=)(ξf M ．因此，[]b a x ,∈∀ ，有)()(ξf x f ≤，从而由费马引理可知0)(='ξf .定理证毕. 注 证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理.y图1⌒AB例1 设)(x f 在[]1,0上连续，)1,0(内可导，且1)21(,0)1()0(===f f f ，试证：至少存在一个)1,0(∈ξ，使1)(='ξf . 证明： 令x x f x F -=)()(，则0)0(=F ，21)21(=F ，1)1(-=F .由闭区间上连续函数的零点定理可知，存在)1,21(∈η，使0)(=ηF .再由罗尔定理得，至少存在一个)1,0(),0(⊂∈ηξ，使0)(='ξF ，即1)(='ξf .二、拉格朗日中值定理罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把)()(b f a f =这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理．拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a ,<b ), 使得等式 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ) 成立.在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把（1）式改写成)()()(ξf a b a f b f '=--， 由图2可看出，ab a f b f --)()(为弦AB 的斜率，而)(ξf '为曲线在点C 处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果连续曲线)(x f y =的弦AB 上除端点外处处具有不垂直于x 那末这弧上至少有一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB ．从罗尔定理的几何意义中(图1)看出，由于)()(b f a f =，弦AB 是平行于x 轴的，因此点C 处的切线实际上也平行于弦AB ．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数)(x f 不一定具备)()(b f a f =这个条件，为此我们设想构造一个与)(x f 有密切联系的函数)(x φ(称为辅助函数)，使)(x φ满足条件)()(b a φφ=．然后对)(x φ应用罗尔定理，再把对)(x φ所得的结论转化到)(x f 上，证得所要的结果．我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图3—2中看到，有向线段NM 的值是x 的函数，把它表示为)(x φ,它与)(x f 有密切的联系，当a x =及b x =时，点M 与点N 重合，即有0)()(==b a φφ．为求得函数)(x φ的表达式，设直线AB 的方程为)(x L y =，则)()()()()(a x ab a f b f a f x L ---+=,由于点M 、N 的纵坐标依次为)(x f 及)(x L ，故表示有向线段NM 的值的函数)()()()()()()()(a x ab a f b f a f x f x L x f x -----=-=φ.下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理．定理的证明: 引进辅函数 令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-ab a f b f --)()((x -a ).容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(.根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即 f '(ξ)-ab a f b f --)()(=0.图2由此得ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立. 拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而 f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下推论:推论1 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数. 例2. 证明当x >0时,x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
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则f称 (x0)为 f(x)的极,大 x0为值 函数的极大.点
f(x ) f(x 0 ) x U ˆ(x 0 ),
则f称 (x0)为 f(x)的极,小 x0为函 值 数的极小.点
一. 费马定理
定理 设 f(x )在I区 内间 有 ,且 I定 内 在 义 某
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证 可明 导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
在(a, b)内至少有.一根
分析 2 x ( f( b ) f( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) 0
( x 2 ( f ( b ) f ( a ) ( ) b 2 a 2 ) f ( x ) ) 0 a 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( a )
这些中值定理的创建要归功于费马、 拉格朗日、柯西等数学家.
首先, 从直观上来看看 “函数的差商与函数的导数间的基本关系式” 是怎么一回事.
导数与差商
y yf(x)可微 点P 处切线的斜率：
k f (x0)
PB
相等！
割线 AB 的斜率：
A
k f (x2 ) f (x1) x2 x1
O x1
高等院校非数学类本科数学课程
高等 数 学（上）
—— 一元微积分学
第十五讲 微分中值定理
作业
• 习题3-1（教材125页） • 1；2；3； 4; 5; 6 ;
第三章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理
一. 费马定理 二. 罗尔中值定理 三. 拉格朗日中值定理 四. 柯西中值定理
导数与差商
f (1 ) f (2 ) f (3 ) 0 .
其中, 1 ( a ,b ) ,2 ( b ,c ) ,3 ( c ,d ) .
即f(x)0至少有三.个实根
f(x)是四次, 多项式 f(x)是三次多 , 项式
f(x)0至多有三个. 实根
综上所述, f(x)0仅有三个, 实根 分 ( a ,别 b )( b ,,c )在 ( c ,,d ) 中 .
处取极.大 若 f（ ()存 小 ,在 则 ）必 值有
f()0.
可微函数在区间内部取极值的必要条件是 函数在该点的导数值为零.
费马定理的几何解释
y
如
P
何 证
yf(x)
明
？
aO
bx
证 设 f(x)在区 I内 间有,定 且义 x在 处
取极大f(值 ), 则有 f(x)C是特殊情况
f(x )f() x U ˆ() 如何保证函
x [ a ,b ]
x [ a ,b ]
(1)若 Mm
m f ( x ) M x [ a , b ]
f(x ) mx [ a ,b ]
故 ( a ,b ) ,均 f () 有 0 .
( 2 )若 m M ( 即 M m ) f( x ) C ( a ,[ b ])
y
但是…… yf(x)
Oa
bx
f(x ) C (a [ ,b ]) f(x)在 (a,b)存在
可保证在内部一点取到极值
y
yf(x)
f(a)f(b)
P
f()0
水平的
aO
bx
二. 罗尔中值定理
定理 设 ( 1 )f(x ) C (a ,[b ];) (2) f(x)在 (a,b)内可 ; 导 (3 )f(a ) f(b ),
若 f()存,则 在
数在区间内 部取极值？
f () lx i 0 fm ( x x ) f() 0 ,
f () lx i0 fm ( x x ) f() 0 ,
于是
f()0. （极小值类似可证）
f(x ) C (a [ ,b ])可保 f(x ) 证 在[a, b]内取到它的最大最 . 小值
b 2 (f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 )f( b ) a2f(b)b2f(a)
例2 设 f(x )C (a ,[b ],) 在 (a ,b )内,证 可明 导 2 x ( f( b ) f( a ) ) ( b 2 a 2 ) f( x )
则至少存在一点 ( a ,b ),使 f() 得 0 .
y yf(x)
A
B
O a
bx
实际上, 切线与弦线 AB 平行.
证 f( x ) C ( a ,[ b ])
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次.
令 M m f( x a ),x m m f( x i )n
函数导数的定义为
f(x)lim f(xx)f(x)
x 0
x
即函数在点 x 处的导数等于 x 0时, 函数
在点 x 处的差商 f(xx)f(x) 的极的局部的或“小范围”性质, 推出其整体的 或“大范围”性质. 为此, 我们需要建立函 数的差商与函数的导数间的基本关系式, 这些关系式称为“微分学中值定理”.
证明 f(x 方 )0仅 程有三 ,并个 指实 出根 .根
证 f ( x ) C ( [ a ,b ] [ b ,, c ] [ c ,, d ] ) ,
又 f ( a ) f ( b ) f ( c ) f ( d ) 0 ,
f(x)是四次 ,在 (多 , ) 内 项可 ,式微 在[a, b],[b, c],[c, d]上运用罗尔 ,得 中值
x0 x2 x
将割线作平行移动, 那么它至少有一次会 达到这样的位置：
在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成 为切线, 即在点P 处与曲线的切线重合.
也就是说, 至少存在一点 (x1,x2),使得
f()f(x2)f(x1)
x2x1 该命题就是微分中值定理.
极值的定义
设 f(x)在 U (x0)内有 ,若 定义
f(x)必在 [a, b]上取到它的最大
最小值至少各一次. 又 f(a ) f(b ),
故 f(x )不能 x a 和 同 x b 处 时分 在 M 和 m .别
即至少存 (在 a, b)一 , 使点 得
f() M 或 f() m . 由费马定理可知： f() 0 ( a ,b ).
例1 设 a ,b ,c ,d 皆为 ,a b c 实 d , 数 f ( x ) ( x a ) x b ( ) x ( c ) x ( d ) ,