拉格朗日中值定理教学设计

教学设计

第六章微分中值定理及其应用

§1 拉格朗日定理和函数的单调性

题目：罗尔定理与拉格朗日定理

一、教学目的：

1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推

论。

2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗

日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格

朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。

3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的

思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。

二、教学重点与难点：

1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的

高。

2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别

与联系。

三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法

四、教学手段：板书与课件相结合

五、教学基本流程：

六、教学

情境设计（1学时）：

1、知识回顾

费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。

2、引出定理，探究案例

微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括

四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。

定理

6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：

(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，

则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得

()0='ξf . ()1

罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．

证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：

(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．

(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知

()0='ξf ．

注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。

例

1 设f 为R 上可导函数，证明：若方程()0='x f 没有实根，则方程

()0=x f 至多有一个实根．

证 这可反证如下：倘若()0=x f 有两个实根1x 和2x (设21x x <)，则函数f 在

[]21,x x 上满足罗尔定理三个条件，从而存在()21,x x ∈ξ，使()0='ξf ，这与()0≠'x f 的

假设相矛盾，命题得证．

3、类比学习，理解定理

定理

6.2 (拉格朗日(Lagrange )中值定理) 若函数满足如下条件：

()f i 在闭区间[]b a ,上连续；

()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()()()a

b a f b f f --=

'ξ. ()2

显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形． 证 作辅助函数

()()()()()()a x a

b a f b f a f x f x F ----

-=． 显然，()()()0==b f a F ，且F 在[]b a ,上满足罗尔定理的另两个条件．故存在),,(b a ∈ξ 使

0)

()()()(=---

'='a

b b f a f f F ξξ

移项后即得到所要证明的（2）式。

拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点

))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB ，（如图6—3所示 ）。

定理的结论称为拉格朗日公式。

4、升华、理解新知 注解

Note 1.定理的几何意义：在)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB 。

Note 2.定理只论证了ξ的存在性，),(b a ∈ξ，不知道ξ的准确数值，但并不妨碍它的应用.

Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：

;),)(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ （3）

;1),))((()()(<<--+'=-θθo a b a b a f a f b f （4） ;10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f （5） 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于b a <，还是b a >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点ξ表示成了)(a b a -+θ，使得不论b a ,为何值，θ总可为小于1的某一正数。

例题讲解

例2 证明对一切0,1≠->h h 成立不等式

<+h

h

1 h h <+)1ln( 。 证 设)1ln()(x x f +=，则

.10,11ln )1ln()1ln(<<+=

-+=+θθh

h

h h

当h >0时，由0<θ<1可推知

1

11. 当—1

1>.11,

011h h

h h h h h <+<+>+>+θθ 从而得到所要证明的结论。

推论

推论1 若函数f 在区间I 上可导，且I x x f ∈≡',0)(，则f 为I 上一个常量函数．

证 任取两点I x x ∈21, (设21x x <)，在区间[21,x x ]上应用拉格朗日定理，存在

I x x ⊂∈),(21ξ，使得

.0))(()()(1212=-'=-x x f x f x f ξ

这就证得f 在区间I 上任何两点之值相等． 由推论1又可进一步得到如下结论：

推论2 若函数f 和g 均在区间I 上可导，且),()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间

I 上)(x f 与)(x g 只相差某一常数，即

c x g x f +=)()((c 为某一常数)．

推论3 (导数极限定理) 设函数f 在点0x 的某邻域U(0x )内连续，在

)(0x U 内可导，且极限)(lim 0

x f x x '→存在，则f

在点0x 可导，且