拉格朗日中值定理教学设计
(完整版)拉格朗日插值及中值定理的应用毕业设计
湘潭大学毕业论文题目：拉格朗日插值及中值定理的应用学院：数学与计算科学学院专业：信息与计算科学姓名：周维指导教师：戴永泉完成日期： 2015年5月20日湘潭大学毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：拉格朗日插值及中值定理的应用指导教师：系主任：一、主要内容及基本要求主要内容：充分了解拉格朗日公式起源以及背景, 研究拉格朗日插值在函数逼近中问题的适定性,数值的近似计算算法,以及拉格朗日插值在实际生活中的应用.利用拉格朗日中值定理证明不等式;求函数极限,以及研究函数在区间上性质的应用,基本要求：1、理解拉格朗日插值公式和中值定理的证明2、熟练运用线性插值公式和抛物线插值公式3、熟练运用拉格朗日中值定理解决函数极限与不等式证明问题4、用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质二、重点研究的问题1、拉格朗日插值在实际生活中的应用2、拉格朗日的数值计算算法编程三、进度安排四、应收集的资料及主要参考文献[1]黄云清，舒适，陈燕萍，金继承，文立平编著的《数值计算方法》[2]由高等教育出版社发行，由陈纪修，於崇华，金路编著的《数学分析》第二版上册[3]由李庆扬，王能超，易大义编写的《数值分析》第四版４版. 武汉：华中科技大学出版社,2006年版）.1999年第3期.[5]由潘铁编写的<浅谈应用多项式的拉格朗日插值公式解题>中等数学报.2010年第10期.[6]由张可村，赵英良编写的《数值计算算法与分析》[M]科学出版社2003年湘潭大学毕业论文（设计）评阅表毕业论文（设计）题目：拉格朗日插值及中值定理的应用湘潭大学毕业论文（设计）鉴定意见毕业论文（设计说明书）19 页图表14 张目录摘要 ............................................................................................................................................................ Abstract ..................................................................................................................................................第一章:引言...................................................................................................................................1.1 插值逼近——Lagrange插值............................................................................................1.2 中值定理——Lagrange中值定理...................................................................................第二章: Lagrange插值..................................................................................................................2.1 Lagrange插值的适定性.....................................................................................................2.2 线性插值和抛物线插值 ......................................................................................................2.2.1 线性插值多项式的定义 .................................................................................................2.2.2 抛物线插值多项式的定义 .............................................................................................2.3 拉格朗日的数值算法计算（见附录1） .......................................................................2.4 拉格朗日插值在实际生活中的应用 ...............................................................................2.4.1 资产的评估公式: ...........................................................................................................2.4.2 理论与实际生活中的联系 .............................................................................................2.4.3 计算机运行方法分析 .....................................................................................................2.4.4 结论 .................................................................................................................................2.4.5 评价与总结 .....................................................................................................................第三章：Lagrange中值定理.....................................................................................................3.1 Lagrange中值定理证明不等式 .......................................................................................3.2 Lagrange中值定理求极限 ................................................................................................3.3 Lagrange中值定理研究函数在区间上的性质............................................................3.3.1 一阶导数与单调性的关系 .............................................................................................3.3.2 二阶导数和函数凸性的关系 .........................................................................................结束语 .......................................................................................................................................................参考文献..................................................................................................................................................附录 ............................................................................................................................................................拉格朗日插值及中值定理的应用摘要：本文在引言部分介绍了拉格朗日插值公式和中值定理的起源与背景,并给出其证明过程。
说课：拉格朗日中值定理
二. 教法分析
（四）具体措施
根据以上的分析，本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课 形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉快的 环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性， 以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流 的合作意识。
情景 引入
几何 意义 具体 运用
复习 引入
2、时间安排：
新课引入约10分钟， 探索求知约10分钟， 灵活运用约20分钟， 小结提高约5分钟。
概念 建构
演 练
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究 — 合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。 力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验，能够很快的 形成知识结构，并将其转化为数学能力。
教学过程 （三）灵活运用 透析内涵 求函数 f ( x) x 在[0,2]上满足拉 格朗日中值定理条件的 ？
2
设计意图
' f 解： ( x) 2 x，
由拉格朗日中值定理得：
22 02 2 (2 0)
这是学生思维上升的 又一个层次，设计该 题目的在于加深学生 对导数刻画函数单调 性的理解，通过它及 时发现学生的问题， 及时纠正，能对学生 情况给予及时评价。
拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量 联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态，如单 调性、变化快慢和极值等性态，这是本章的关键内容。
拉格朗日中值定理讲课稿
尊敬的评委老师：大家下午好！我们知道，导数是研究函数以及曲线的某些形态的重要工具，而微分中值定理则是导数应用的理论基础，因此对微分中值定理的理解和掌握是非常必要的。
下面请同学们回忆一下我们上一节课所学的罗尔定理的基本内容和数学意义，罗尔定理有三个条件分别是在闭区间上连续、在开区间内可导和区间端点的函数值相等，结论是至少存在一点属于开区间，使得函数在这个点的导数值等于零，它的代数意义是方程函数的导数等于零在开区间内至少有一个实根；几何意义是，在曲线段AB上有平行于弦AB的切线存在，那么请大家思考这样一个问题：如果罗尔定理中第三个条件（也就是函数在区间端点的函数值不相等）不成立的话，在曲线段AB上还会有平行于弦AB的切线存在吗？带着这个问题，让我们走进今天的新课：拉格朗日中值定理及其应用。
首先我们来认识一下数学家拉格朗日，拉格朗日是一位法国数学家，他在方程论、解析函数论以及数论等方面做出了重要贡献，是对分析数学产生全面影响的数学家之一。
拉格朗日中值定理就是他的诸多成果中的一个。
下面我们来看一下拉格朗日中值定理的条件和结论，定理的条件是函数满足在闭区间上连续、在开区间内可导，结论是在开区间内至少存在一点，使得函数在该点的导数值等于……，该式也称为拉格朗日中值公式或微分中值公式。
我们来分析一下拉格朗日中值定理的数学意义，首先来看几何意义，通过图示可以看到弦AB的斜率为……，设曲线上两个点……处的切线分别为……，对应的横坐标为……，那么对应切线的斜率分别为……，如果满足……，可以直观的看到两条切线是和弦AB平行的，也就是说拉格朗日中值定理的几何意义是在曲线弧AB上有平行于弦AB的切线存在，这就回答了我们最初提出的问题，很容易知道，罗尔定理就是拉格朗日中值定理在区间的两个端点的函数值相等时的特殊情形。
这个定理的代数意义是方程在开区间内至少有一个实根。
下面我们来证明一下这个定理，首先来看一下该定理的证明思路，我们可以从它的代数意义出发，假设存在一个函数……，那么要证明的结论就化为证明方程……在开区间内至少有一个实根，而这恰恰与罗尔定理的结论不谋而合，因此可以考虑对函数在闭区间上应用罗尔定理加以证明，如何找到满足罗尔定理条件的函数就成为了证明中的一个难点，所以大家必须注意这个函数的构造方法，下面就是函数构造的思路，注意到待构造的函数满足……，而……，由导数的四则运算法则，……，因此可以选取……，其中…为任意常数。
拉格朗日中值定理说课稿
二、说学生
打好基础，够用为度，少讲推理，多讲应用
三、说教学目标
1.知识目标：记忆Lagrange中值定理的条 件和结论，了解其几何意义，并用它来建立 导数与函数单调性之间的关系。
2.能力目标：会求满足Lagrange中值定理
一般 课后作业：P99-4（1）、7
罗尔（Rolle）定理与Lagrange中值定 理
f()f(b)f(a).
ba
f()0.
f()f(b)f(a).
ba
令 a x 0 ,b x 0 x , y f ( x 0 x ) x ( 0 1 )
总结归纳
知识点总结：三个定理各自的条件和结论 方法总结：形象思维---抽象思维，特殊---
中的 值并应用Lagrange中值定理进行简
单的不等式、等式证明,会用单调性定理求 函数的单调区间。
四、说教学重点、难点
1.教学重点：
Lagrange中值定理及其推论的应用，会用单调 性定理求函数的单调区间。
2.教学难点：
Lagrange中值定理的证明。
五、说教学方法
讲授法 探究法 练习法 启发式
六、说教学过程
遵循着“复习旧知---讲授新知---总结归纳” 的原则，本节课的教学内容由以下六部分组 成：
导入
Fermat引理
Rolle定理
Lagrange中值定理
单调性定理
总结
费尔马引理与罗尔( Rolle )定理
yA
y A y f(x)
B
o x0 x
f(x0)0
o
a bx
拉格朗日中值定理说课
（六）布置作业 拓展提高
针对学生素质的差异进行分层
(1)阅读作业：收集有关微积分创立的时代背 景和有关人物的资料
(2)书面作业：1． 2.
训练，既注重“双基”，又兼 顾提高，为学生指明课后继续 学习的方向，同时为以后的学
(3)拓展作业：3.
习留下悬念，激发学生探索的
兴趣。
小结提高
直观
理解
知识
拉格朗日
教材分析
教法分析
教学目标
教学过程
评价反思
一. 教材分析
（1） 教材的地位和作用 （2）重点难点 （3） 课时安排
一. 教材分析
（一）教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了 2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学 过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。微分 中值定理是微分学理论的重要组成部分，在导数应用中起着 桥梁作用，也是研究函数变化形态的纽带，在微分学中占有 很重要的地位.
三. 教学目标
掌握知识与技能
通过实验探求拉格朗日中值定理条件， 理解拉格朗日中值定理在研究函数性态 中的作用，培养学生分析、抽象、概括 等思维能力。
三. 教学目标
体会过程与方法
在寻找存在某直线与连接曲线两端点的线段平行的过 程中，使学生通过认识用导数来研究函数形态，发现 数学的美，数学知识的融会贯通；
练
灵活运用约20分钟，
小结提高约5分钟。
作业
过程反思
本节课设计为一节“科学探究—合作学习”的活 动课，在整个教学过程中学生以探索者的身份学 习，在问题解决过程中，通过自身的体验对知识 的认识从模糊到清晰，从直观感悟到精确掌握。
力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精 确的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。
pflqbAAA微分中值定理教案
p f l q b A A A微分中值定理教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】 一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
理的内容：若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导 ③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f 二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)(' 注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
Lagrange中值定理教学设计共4页word资料
Lagrange中值定理教学设计一、教材背景分析在数学分析中，Lagrange中值定理是数学分析中的重要组成部分，为后面Cauchy中值定理具有重大影响作用；同时，在导数中的应用也起着桥梁的作用。
Lagrange中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学目标1.知识目标掌握Lagrange中值定理及对应的几何意义，掌握基本的一些推论。
2.能力目标首先让同学们了解四大定理（Roll定理，Lagrange中值定理，Cauchy 中值定理，泰勒定理），然后通过前期学习的Roll定理，类比学习Lagrange 中值定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感态度与价值观在教学的过程中，让学生发现教学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
三、教学重难点分析重点：Lagrange中值定理的引入及其证明。
难点：Lagrange中值定理满足条件的探求，Lagrange中值定理的应用。
四、教学目标1.通过上节内容学习的Roll中值定理，类比学习和理解Lagrange中值定理，培养数学分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2.通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
五、新课讲解1.Roll定理的回?与Lagrange中值定理的引入①在闭区间[a，b]连续；②在开区间（a，b）可导；Roll定理的几何意义已经讲过，如下所示现在我们将这个图形进行旋转，请同学们注意发生的变化大家看看有什么不同。
通过旋转得到的图形和原来的图形只是位置发生了改变，但是它的作用也发生了一些变化，通过旋转得到的图形几何意义就是本节课探讨的内容，Lagrange中值定理。
2. Lagrange中值定理类比前面Roll定理的几何意义猜想出Lagrange中值定理满足的条件若函数f满足如下条件：①f在闭区间[a， b]上连续；②f在开区间（a，b）上可导，则在（a，b）上至少存在一点ξ，使得称为Lagrange中值定理.显然，特别当f（a）=f（b）时，为Roll定理.3. Lagrange中值定理的证明具体证明通过借助辅助函数可以证明证明：作辅助函数显然，①②F（x）在[a， b]连续，③F[x]在（a，b）可导可得：命题得证.4. Lagrange中值定理的几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数，a与b是它定义区间内的两点（），假定此函数在（a，b）上处处可导，也就是在（a，b）内的函数图象上处处有不垂直与x轴的切线，那么我们从旋转的图容易看到，差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机会会达到离割线最远的一点处成为曲线的切线，尔切线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此成立.补充说明：它有几种常用的等价形式，可以根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：希望以上资料对你有所帮助，附励志名3条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。
拉格朗日中值定理教学设计
教学设计第六章微分中值定理及其应用§ 1拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1. 知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2. 能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3. 情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1. 重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的2. 难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：_____ 升华、理解新知____________ 课堂小结作业六、教学情境设计(1学时)：1、知识回顾费马定理：设函数f(x)在X。
的某领域内有定义，且在X。
可导。
若X。
为f 的极值点，则必有f(x。
) 0。
它的几何意义在于：若函数 f (x)在X X。
可导，那么在该点的切线平行于X轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理 ----------------- 罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle)中值定理)若函数f满足如下条件：(i) f在闭区间a,b上连续；(ii) f在开区间a,b内可导；(iii) f a f b，则在a,b内至少存在一点，使得f 0 . 1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1).证因为f在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况来讨论：(1)若m M，贝U, f在a,b上必为常数，从而结论显然成立.(2)若m M，则因fa f b，使得最大值M与最小值m至少有一个在a,b内某点处取得，从而是f的极值点•由条件(ii) ，f在点处可导，故由费马定理推知f 0 .注定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)例1设f为R上可导函数，证明：若方程f x 0没有实根，则方程f x 0至多有一个实根.证这可反证如下：倘若 f X 0有两个实根X i和X2(设X i X2)，贝U函数f在X i , X2上满足罗尔定理三个条件，从而存在X i, X2 ，使f 0，这与f X 0的假设相矛盾，命题得证.3、类比学习，理解定理定理6.2 (拉格朗日(Lagrange )中值定理)若函数满足如下条件:i f在闭区间a,b上连续；ii f在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点，使得f f b fab a显然，特别当fa f b时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1).这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.证作辅助函数F X f X f a ◎ Hxa .b a显然，Fa f b 0，且F在a,b上满足罗尔定理的另两个条件.故存在(a,b),使F() f() 0b a移项后即得到所要证明的(2)式。
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教学设计第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性题目：罗尔定理与拉格朗日定理一、教学目的：1.知识目标：分别掌握罗尔定理和拉格朗日定理及对应的几何意义，掌握三个推论。
2.能力目标：首先让同学们知道微分中值定理包括四大定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理），然后通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日定理，培养学生分析、抽象、概括和迁移的学习能力。
3.情感目标：在教学过程中，让学生发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法，从而亲近数学，爱上数学。
二、教学重点与难点：1.重点：罗尔定理和拉格朗日定理，定理是基石，只有基石牢固，大厦才能建的高。
2.难点：罗尔定理和拉格朗日定理的应用与推广，以及这两个定理之间的区别与联系。
三、教学方法：教师启发讲授和学生探究学习的教学方法四、教学手段：板书与课件相结合五、教学基本流程：六、教学情境设计（1学时）：1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)(0='x f 。
它的几何意义在于：若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用，它包括四大定理，分别是罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理，先学习拉格朗日定理的预备定理——罗尔定理。
定理6.1 (罗尔(Rolle )中值定理) 若函数f 满足如下条件：(i)f 在闭区间[]b a ,上连续； (ii)f 在开区间()b a ,内可导； (iii)()()b f a f =，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf . ()1罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线(图6—1)．证 因为f 在[]b a ,上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况来讨论：(1)若M m =，则，f 在[]b a ,上必为常数，从而结论显然成立．(2)若M m <，则因()()b f a f =，使得最大值M 与最小值m 至少有一个在()b a ,内某点ξ处取得，从而ξ是f 的极值点．由条件(ii)，f 在点ξ处可导，故由费马定理推知()0='ξf ．注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立(图6—2)。
例1 设f 为R 上可导函数，证明：若方程()0='x f 没有实根，则方程()0=x f 至多有一个实根．证 这可反证如下：倘若()0=x f 有两个实根1x 和2x (设21x x <)，则函数f 在[]21,x x 上满足罗尔定理三个条件，从而存在()21,x x ∈ξ，使()0='ξf ，这与()0≠'x f 的假设相矛盾，命题得证．3、类比学习，理解定理定理6.2 (拉格朗日(Lagrange )中值定理) 若函数满足如下条件：()f i 在闭区间[]b a ,上连续；()f ii 在开区间()b a ,内可导， 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得 ()()()ab a f b f f --='ξ. ()2显然，特别当()()b f a f =时，本定理的结论(2)即为罗尔定理的结论(1)．这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形． 证 作辅助函数()()()()()()a x ab a f b f a f x f x F -----=． 显然，()()()0==b f a F ，且F 在[]b a ,上满足罗尔定理的另两个条件．故存在),,(b a ∈ξ 使0)()()()(=---'='ab b f a f f F ξξ移项后即得到所要证明的（2）式。
拉格郎日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB ，（如图6—3所示 ）。
定理的结论称为拉格朗日公式。
4、升华、理解新知 注解Note 1.定理的几何意义：在)(x f y =上至少存在一点))(,(ξξf P ，该曲线在该点出的切线平行于曲线两端点的连线AB 。
Note 2.定理只论证了ξ的存在性，),(b a ∈ξ，不知道ξ的准确数值，但并不妨碍它的应用.Note 3.拉格朗日公式还有下面几种等价表示形式：;),)(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ （3）;1),))((()()(<<--+'=-θθo a b a b a f a f b f （4） ;10,)()()(<<+'=-+θθh h a f a f h a f （5） 值得注意的是，拉格朗日公式无论对于b a <，还是b a >都成立，而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数，而（4）、（5）两式的特点，在于把中值点ξ表示成了)(a b a -+θ，使得不论b a ,为何值，θ总可为小于1的某一正数。
例题讲解例2 证明对一切0,1≠->h h 成立不等式<+hh1 h h <+)1ln( 。
证 设)1ln()(x x f +=，则.10,11ln )1ln()1ln(<<+=-+=+θθhhh h当h >0时，由0<θ<1可推知1<h h h h h h h <+<++<+θ11,11. 当—1<h <0时，由0<θ<l 可推得1>.11,011h hh h h h h <+<+>+>+θθ 从而得到所要证明的结论。
推论推论1 若函数f 在区间I 上可导，且I x x f ∈≡',0)(，则f 为I 上一个常量函数．证 任取两点I x x ∈21, (设21x x <)，在区间[21,x x ]上应用拉格朗日定理，存在I x x ⊂∈),(21ξ，使得.0))(()()(1212=-'=-x x f x f x f ξ这就证得f 在区间I 上任何两点之值相等． 由推论1又可进一步得到如下结论：推论2 若函数f 和g 均在区间I 上可导，且),()(x g x f '≡'，I x ∈，则在区间I 上)(x f 与)(x g 只相差某一常数，即c x g x f +=)()((c 为某一常数)．推论3 (导数极限定理) 设函数f 在点0x 的某邻域U(0x )内连续，在)(0x U 内可导，且极限)(lim 0x f x x '→存在，则f在点0x 可导，且)(lim )(00x f x f xx '='→. (6)证 分别按左右导数来证明(6)式成立．(1) 任取)(0x U x+∈，)(x f 在[x x ,0]上满足拉格朗日定理条件，则存在),(0x x ∈ξ，使得)()()(00ξf x x x f x f '=-- (7)由于x x <<ξ0，因此当 +→0x x 时，随之有 +→0x ξ，对 (7)式两边取极限，得到)0()(lim )()(lim 0000+'='=--++→→x f f x x x f x f x x x x oξ (2) 同理可得 )0()(00-'='-x f x f ．因为k x f x x ='→)(lim 0存在，所以,)0()0(00k x f x f =-'=+' 从而='+)(0x f .)(,)(00k x f k x f ='='-即导数极限定理适合于用来求分段函数的导数例题讲解例3 求分段函数⎩⎨⎧>+≤+=0),1ln(,0,sin )(2x x x x x x f的导数。
解 首先易得⎪⎩⎪⎨⎧>+<+='.0,11,0cos 21)(,2x xx x x x f进一步考虑f 在 0=x 处的导数．在此之前，我们只能依赖导数定义来处理，现在则可以利用导数极限定理．由于),0(0)sin (lim 0(lim ),0(0)1ln(lim )(lim 2000f x x x f f x x f x x x x ==+===+=++++→→→→因此f 在0=x 处连续，又因,111lim )00(,1)cos 21(lim )00(020=+=+'=+=-'+-→→xf x x f x x所以.1)(lim 0='→x f x 依据导数极限定理推知f 在0=x 处可导,且.1)0(='f5、 课堂小结与作业1、罗尔中值定理的条件及几何意义。
2、拉格朗日中值定理的条件及几何意义。
3、加深定理理解的几个注解。
4、三个推论。
5、预习函数的单调性。
作业：习题2,4。