高职班“微分中值定理”教学设计方案[论文]
高职微积分课程设计
高职微积分课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解微积分的基本概念，掌握极限、连续性、导数和积分的定义及性质；2. 掌握微分和积分的计算方法，并能运用其解决实际问题；3. 了解微积分在工程技术等领域中的应用，理解其重要性。
技能目标：1. 能够运用极限、导数和积分的知识解决实际问题，具备一定的数学建模能力；2. 能够运用微积分的方法分析函数的性质，提高数学分析能力；3. 能够运用所学知识，进行简单的数学证明和推导。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对微积分的兴趣，激发学习热情，形成主动探索的学习态度；2. 培养学生的团队合作精神，学会与他人共同解决问题，增强沟通与协作能力；3. 使学生认识到微积分在科学研究和实际应用中的价值，提高学生的科学素养。
课程性质：本课程为高职微积分课程，旨在帮助学生掌握微积分的基本概念、方法和技能，培养学生的数学思维能力和实际应用能力。
学生特点：高职学生具有较强的实践能力和动手能力，但在理论学习方面可能存在一定困难。
因此，课程设计应注重理论联系实际，以激发学生的学习兴趣。
教学要求：注重启发式教学，引导学生主动探究，培养其独立思考和解决问题的能力。
同时，结合实际案例，使学生更好地理解微积分的应用价值。
在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，确保每个学生都能达到课程目标。
通过分解课程目标为具体的学习成果，便于后续的教学设计和评估。
二、教学内容1. 极限与连续性：包括数列极限、函数极限、连续函数的性质和运算；2. 导数与微分：导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、微分概念及应用；3. 微分中值定理与导数的应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式、函数的单调性与极值、最值问题；4. 不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念、基本积分公式、定积分的定义、性质、计算方法及应用；5. 定积分的应用：平面几何图形的面积、体积、弧长、质心、转动惯量等；6. 微积分在实际应用中的案例分析：结合专业背景，分析微积分在工程技术、经济管理等领域的具体应用。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
微分中值定理教案
微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)('注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
关于微分中值定理的教学设计
图 ２ 拉 格 朗 日 中 值 定 理
图 ３ 柯 西 定 理
进而 由 图 １ 说 明 罗 尔 中 值 定 理 的 三 个 条 件 缺 一 不 可,ξ 的值有可能不唯一,点ξ 就是函数的 驻 点 (或 临 界 点). 由 图 ２说明拉格朗日中值 定 理 满 足 前 两 个 条 件,ξ 的 值 有 可 能 不 唯一.罗尔中值定理与拉格朗日中值 定 理 相 比 较,条 件 中 去 掉了f(a)＝f(b),因此 拉 格 朗 日 中 值 定 理 是 罗 尔 中 值 定 理 的推广;而 罗 尔 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 当 f(a)＝ f(b)时的特例.由图３ 说 明 柯 西 中 值 定 理 中 将 函 数 曲 线 变 为参数曲线,因 此 柯 西 中 值 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 推 广;而拉格朗日中值定理 是 柯 西 中 值 定 理 当 g(x)＝x 时 的 特例.同时通过图１、图２、图３说明 三 个 中 值 定 理 的 几 何 意 义.经过这样设计教 学 过 程 可 以 非 常 直 观 形 象 的 显 示 这 三 个定理,在课堂教学中,这点是非常重 要 的;应 用 函 数 图 形 进 行说明能使学生更直观理解定理的几何背景.并且图形化 的这种直接表示能启发和引导学生从观察几何图形开始加 深对微分中值定理的认识,增加学生对这 三 个 定 理 的 学 习 兴 趣,使学生直观理解 三 个 定 理 的 相 同 点 和 不 同 点,通 过 对 比 讲授使学生更容易 记 忆 和 理 解,采 用 这 种 教 学 设 计,学 生 容 易接受,变抽象为形象,达到较好的教 学 效 果,为 后 续 微 分 中 值定理的应用打下坚实的基础.
关于微分中值定理的教学设计
微分中值定理教案
微分中值定理教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用。
3. 能够运用微分中值定理解决实际问题。
二、教学内容1. 罗尔定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f'(x)和g'(x)在区间(a, b)内至少有连续的一阶导数，则当f(x)和g(x)满足f(a) = f(b)和g(a) = g(b)时，有(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c) / g'(c)，其中c是区间(a,b)内某个点。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念、证明和应用。
2. 利用示例和练习题，让学生巩固微分中值定理的理解和应用。
3. 通过小组讨论和报告，培养学生的合作和表达能力。
四、教学步骤1. 引入微分中值定理的概念，讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和意义。
2. 对每个定理进行详细的证明，并结合示例进行解释。
3. 布置练习题，让学生应用微分中值定理解决问题。
4. 组织小组讨论和报告，让学生深入理解和探讨微分中值定理的性质和应用。
五、教学评估1. 课堂练习题的完成情况，评估学生对微分中值定理的理解和应用能力。
2. 小组讨论和报告的表现，评估学生的合作和表达能力。
3. 课后作业和考试，评估学生对微分中值定理的掌握程度。
六、教学拓展1. 探讨微分中值定理的推广形式，如蒙日中值定理和泰勒公式。
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高职班“微分中值定理”教学设计方案
摘要：根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，在“微分中值定理”一课中运用启发式教学法，利用图形直观降低理论难度，通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.
关键词：微分中值定理教学设计启发式教学讲练结合
一、课程设置分析
（一）课程的地位
《应用数学》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础.主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容.要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力.
（二）本次课的地位
本课教学内容是微分中值定理和函数的单调性，是导数应用的基本内容.微分中值定理是获得可导函数单调性判定方法的理论基础.单调函数在《应用数学》课程中占有重要的地位，函数单调性的讨论是解决诸如“用料最省”“产值最高”“质量最好”“耗时最少”等最值问题的重要方法.
（三）教学设计理念与思路
学院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职数学教育教学中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展.根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，课运用启发式教学，精讲多练，突出重点，通过图形直观降低理论难度，重视知识在实际问题中的应用.
二、教学设计分析
（一）教学目标
1.掌握函数极值的概念.
2.了解罗尔定理、拉格朗日中值定理，能运用.
3.掌握函数单调性的判定方法，能熟练运用.
（二）教学重点和难点
重点：函数单调性的判定.
难点：拉格朗日中值定理的理解与运用.
（三）教学方法
根据教学大纲要求和当前职业教育改革的先进理念，本次课运用启发式教学，利用图形直观直接得出微分中值定理（拉格朗日中值定理），通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，突出重点，重视知识的运用.
（四）教学设计
[板书设计]整个黑板分左中右三大栏，左栏用来书写新课知识要
点，如拉格朗日中值定理及其两个推论、函数的极值及极值点概念、极值点的必要条件、单调性判断定理等；中栏右栏用来书写即写即擦的内容，如例题示范和课堂练习讲评等.
以下是教学过程.
[新课引入]通过前面的学习，我们已经认识了导数，它描述函数随自变量而变化的瞬时变化率.我们现在已经能够熟练地计算函数的导数了.本章我们开始学习导数的应用.
[新课讲授]§3.1微分中值定理
定理（拉格朗日中值定理）：如果函数y=f（x）满足下列两个条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则至少存在一点使得或.
推论：如果函数f（x）在区间（a，b）内满足f′（x）≡0，则在（a，b）内（c为常数）.
推论：如果对（a，b）内任意x，均有f′（x）=g′（x），则在（a，b）内f（x）与g（x）之间相差一个常数，即（c为常数）. [课堂练习]验证拉格朗日中值定理对函数y=4x-5x+x-2在[0，1]上的正确性.
[新课讲授]§3.2函数的单调性
函数的极值：极大值与极小值的统称.
极值点：使函数f（x）取得极值的点x称为函数f（x）的极值点.
注意：函数在一个区间上可能有几个极大值和几个极小值，其中
有的极大值可能比极小值小；函数的极值概念是局部性的，它们与最大值、最小值不同.
定理（极值点的必要条件）：设函数f（x）在x处可导，且在点x处取得极值，那么.
可导函数的极值点必是驻点，驻点不一定是极值点.如：在x=0处.
对一个连续函数，极值点还可能是尖点（使导数不存在的点）.如：在x=0处.
定理（单调性判断定理）：设f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，那么
①若在（a，b）内f′（x）>0，则函数f（x）在[a，b]上单调增加；
②若在（a，b）内f′（x）ex.
思路：令可证f（x）在（-∞，1]上严格单调减少，在[1，+∞）上严格单调增加.故对任意x≠1，有即e>ex.
[课堂练习]
1.证明当x>0时.
提示：令，则在[0，+∞）上单调增加，所以，当x>0时，有即即这时.
2.求函数的单调性与极值.
答案：函数的定义域为（-∞，+∞）.减区间为（-∞，3），增区间为（3，+∞），极小值y（3）=-.
[课堂练习及讲评]（略）
[本课小结]
1.中值定理.
2.函数的极值和极值点概念.
3.函数单调性的判定和运用.
参考文献：
[1]孙薇荣等.微积分[m].高等教育出版社，2004.
[2]王玉华.应用数学基础[m].高等教育出版社，2010.
[3]赵强.浅析高职数学课程教学的研究与实践[j].时代教育，2011（8）.。