微分中值定理及其应用大学毕业论文
微分中值定理证明不等式方法研究毕业论文
微分中值定理证明不等式方法研究毕业论文JIU JIANG UNIVERSITY毕业论文题目微分中值定理证明不等式方法研究英文题目Using differential mean valuetheorem proving inequalitymethod studying院系理学院专业数学与应用数学姓名胡霞班级 A0811班指导教师强毅二零一二年五月摘要不等式的证明有很多种，其中微分中值定理是证明不等式的一种重要的方法。
本文分别给出罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定义以及分别利用其定理证明的一些不等式。
新课程标准更加注重理论联系实际且应用实际的原则，因此本文最后还给出一些基本不等式在现实生活中的应用。
关键词:罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式证明；不等式的应用AbstractThere are many ways to prove inequality，And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem，Lagrange Mean Value Theorem，Cauchy Mean Value Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical，therefore this paper finally give some basic inequality in real life application.Key Word s:Roller Mean Value Theorem; Lagrange Mean Value Theorem; Cauchy Mean Value Theorem; Taylor Mean Value Theorem; Apply of inequality; Prove inequality.目录引言 (1)第一章知识准备 (2)1.1微分中值定理定义 (2)1.2微分中值定理证明不等式的步骤 (3)第二章利用罗尔中值定理证明不等式 (4)2.1罗尔中值定理的意义及分析 (4)2.2 罗尔中值定理的应用 (4)第三章利用拉格朗日中值定理证明不等式 (5)3.1拉格朗日中值定理的意义及分析 (5)3.2拉格朗日中值定理证明不等式 (5)第四章利用柯西中值定理证明不等式 (8)4.1柯西中值定理的分析 (8)4.2柯西中值定理证明不等式 (8)第五章利用泰勒中值定理证明不等式 (11)5.1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳 (11)5.2泰勒中值定理证明不等式 (11)第六章综合利用微分中值定理证明不等式 (14)6.1通过求极值点证明不等式 (14)第七章微分中值定理证明不等式在解题中的应用 (16)第八章基本不等式在现实生活中的应用 (18)第九章研究总结 (20)参考文献 (21)致谢 (22)引言不等式是数学中的重要内容,也是数学中的重要的方法和工具.在微分学中,微分中值定理,函数单调性判定定理及极值等重要的结论都可以用来证明不等式.本文通过几个具体的例子来具体说明微分中值定理在证明不等式中的运用,以及不同的微分中值定理在解决证明不等式的区别，并且还给出基本不等式在现实生活中的应用.数学问题的解决关键在于我们对待数学问题的方法，如果在学习数学的过程中，我们能有意识地将数学问题系列化，解决数学问题的方法系列化，那么解决数学问题的能力将会得到升华.在高等数学的学习中，不等式的证明是可以作为一个系列问题来看待的，不等式的证明是数学的重要内容之一，也是难点之一，其常用的方法有：比较法、综合法、分析法、重要不等式法、数学归纳法等，而有一些问题用上述方法解决是困难的，在学完中值定理与导数的应用的内容以后，可以利用微分中值定理、函数的单调性、常数变易法、函数极值性、凸凹性等知识解决一些不等式证明的问题.因此，微分中值定理为证明不等式注入了新的活力，这一创造性思维有效合理的使不等式获得证明，从而体现出初等数学与高等数学的紧密联系.随着时代的发展，科技的进步及课程改革的不断深入，微分中值定理的应用必将渗透到社会领域的方方面面.第一章 知识准备1.1微分中值定理定义微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在数学分析及高等数学中的地位是不容置疑的,且在解题中的应用也是十分广泛的.在这里我们就利用微分中值定理证明不等式的方法作一简述.首先我们要先介绍一下微分中值定理:定理1 罗尔中值定理:如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且满足()()f a f b =,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=.定理2 拉格朗日中值定理:如果函数()f x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导, 那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.当函数()f x 在(),a b 内的变化范围已知时,有()m f x M '≤≤,于是可以利用拉格朗日定理来证明()()()()m b a f b f a M b a -≤-≤-一类的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函数(),()f x g x 在闭区间[],a b 上连续,在开区间(),a b 内可导,且()g x '在(),a b 内每一点均不为零,那么在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-. 定理4 泰勒中值定理:如果函数()f x 在含有点0x 的区间D 上有直到(1)n +阶的导数,则函数()f x 在D 内可表示成一个多项式()n P x 与一个余项式()n R x 的和:20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+. 其中11()()()(1)!n n n f R x x n ξξ++=-+,0(,)x x ξ∈. 注:当0n =时,即为拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.这个公式又称为带有朗格朗日型余项的泰勒公式.1.2微分中值定理证明不等式的步骤在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用,我们可以根据不等式的两边的代数式选取不同的函数()f x ,应用微分中值定理得出一个等式之后,对这个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式,以下通过例子来说明微分中值定理在证明不等式的应用.因此给出利用微分中值定理证明不等式的步骤（1） 构造辅助函数()f x（2）构造微分中值定理需要的区间[]b a ,（2） 利用()b a ,∈ξ，对f ,ξ进行适当的放缩第二章 利用罗尔中值定理证明不等式2.1罗尔中值定理的意义及分析罗尔中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点,使得过该点(,())P f ξξ的切线平行于x 轴.在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理.2.2 罗尔中值定理的应用例1 设函数()f x 在[]b a ,上连续，在()1,0内可导，且()()010==f f .证明：()1,0内必存在一点ξ，使得ξξξ-'=''1)(2)(f f . 分析：由结论令)(2)()1()(x f x f x x F '-''-=''→⎰''='dx x F x F )()(⎰=()[])()()1()(2)(1x f x f x dx x f x f x -'-='-''-→()[])()1()()(1)()(x f x dx x f x f x dx x F x F -=-'-='=⎰⎰.证明：令)()1()(x f x x F -=，由于)(x F 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且)()()1()(x f x f x x F -'-='，又0)1()0(==F F ,则由罗尔定理知：存在()1,0∈c ，使得0)()()1()(=-'-='c f c f c c F ，又0)1()1(=-='f F ，从而)(x F '在()1,c 上.再由罗尔定理知：必存在一点()()1,01,∈∈c ξ，使得0)(2)()1()(='-''-=''ξξξξf f F 即ξξξ-'=''1)(2)(f f第三章 利用拉格朗日中值定理证明不等式3.1拉格朗日中值定理的意义及分析拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线()y f x =上必有一点(,())P f ξξ,使得过该点的切线平行于曲线两端点的连线(,())a f a ,(,())b f b 两点的弦.我们在证明中引入的辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a-=----,正是曲线()y f x =与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当()()f a f b =时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形()y f x =.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ()()()()f b f a f b a ξ'-=-,a b ξ<<; (2) ()()(())()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<; (3) .0,)()()(h h h a f a f h a f <<+'=-+θθ值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于a b <,还是a b >都成立.而ξ则是介于a 与b 之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点ξ表示成了()a b a θ+-,使得不论a ,b 为何值,θ总可为小于1的某一整数.3.2拉格朗日中值定理证明不等式 例2 (1)如果0x >,试证ln(1)1xx x x<+<+; (2)求证: arctg arctg αβαβ-≤-.证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()f x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,应用拉格朗日中值定理,则有ln(1)ln(1)1xx ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 由于在闭区间[]0,x 上,有11x x x x ξ<<++,所以ln(1)1x x x x<+<+(0)x >.(2)当αβ=时,显然等号成立.当αβ≠时,不妨设αβ>.设()(),,f x arctgx x βα=∈, 由拉格朗日中值定理得,211arctg arctg αβαβξ-=-+ ,(,)ξβα∈. 则有 21()1arctg arctg αβαβξ-=-+ 所以 21()1arctg arctg αβαβαβξ-=-≤-+. 以上两个例子都是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些.例3 当0x ≥时,函数()f x 在其定义域上可导,且()f x '为不增函数,又()0f x =, 0,1,2,...,,i x i n ≥=求证 11()()nni i i i f x f x ==≤∑∑.证明 用数学归纳法 当1n =时,显然不等式成立.当2n =时,若12,x x 均为0,或者一个为0时,当一个为0时, 显然有 1212()()()f x x f x f x +=+.设12,x x 均大于0,不妨设12x x ≤,在[]10,x 应用拉格朗日中值定理可得:()1111111()()(0)(),0,0f x f x f f x x ξξξ-'==∈-. 在[]212,x x x +上再次利用拉格朗日中值定理可得:()122122222121122()()()()(),,f x x f x f x x f x f x x x x x x x ξξ+-+-'==∈++-显然12ξξ<,由题设知, 12()()f f ξξ''≥. 所以122111()()()f x x f x f x x x +-≤,即 )()()(2121x x x x f f f +≤+.假设当n k =时不等式成立,即 11()()k ki i i i f x f x ==≤∑∑.取1111()()k ki i k i i f x f x x ++===+∑∑,显然10k x +=的情况不证而明,,所以只考虑10k x +>的情况.取1ki i u x ==∑,由前面已证的结论有11()()()k k f u x f u f x +++≤+,再用归纳假设可得 1111()()k k i i i i f x f x ++==≤∑∑,即当1n k =+时结论成立.所以. 11()()n ni i i i f x f x ==≤∑∑.第四章 利用柯西中值定理证明不等式4.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究两个函数(),()f x g x 的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为()g x )取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例2用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下: 证明 (1)令()ln(1)f x x =+,()g x x=.(),()f x g x 在区间[]0,(0)x x >上连续,在()0,(0)x x >内可导,且()g x '在[]0,(0)x x >内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:ln(1)ln(1)1(1)11x x ξ+-=+-+,(0,)x ξ∈则有 ln(1)ln(1)1xx ξ+-=+,(0,)x ξ∈. 下面与例2中解法同,这里就不再赘述了.4.2柯西中值定理证明不等式例4 (1)设0x >,对01α<<的情况,求证: 1x x ααα-≤-. (2)设0x >，求证: sin 1x x e <-. 证明 (1)设xx f α=)(,x x g α=)(.当1x =时结论显然成立.当1x ≠时,取[],1x 或[]1,x ,(),()f x g x 在闭区间[],1x 或[]1,x 上连续,在开区间(),1x 或()1,x 可导,且()g x '在内(),1x 或()1,x 每一点均不为零,由柯西中值定理可得:()(1)()()(1)()f x f fg x g g ξξ'-='-,(,1)x ξ∈或(1,)x ξ∈即111x x ααααξξααα---==-. 所以1x x ααα-≤-得证.(2)设()sin f t t =,()t g t e =,[]0,t x ∈,(),()f x g x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,x 内可导,且()g x '在()0,x 内每一点均不为零,那么由柯西中值定理可得:()(0)()()(0)()f x f fg x g g ξξ'-='-,()0,x ξ∈.即 sin cos 1tx e e ξξ=-,()0,x ξ∈. 因为10x e ->,10e ξ>>,所以sin cos 11t x e eξξ=<-. 即 sin 1x x e <-.注意:例4中的两个不等式能用柯西中值定理来证明,但不能用拉格朗日中值定理证明.例 5 如果函数()f x 满足两个条件:(1)在闭区间[],a b 上有二阶导数()f x ''; (2) ()()0f a f b ''==.试证明:在开区间(),a b 内至少存在一点c , 使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--.证明 令24()()()k f b f a b a =--.在此我们利用用反证法来证明本题, 我们不妨假设()f x k ''<,a x b <<.对于构造的辅助函数[]000()()()()()F x f x f x f x x x '=-+-及20()()G x x x =-(其中0x 是[],a b 中任意固定的一点),两次利用柯西中值定理,可得:200001()()()()()()2f x f x f x x x x x f ξ'''=+-+-其中ξ介于0x 与x 之间(即0x x ξ<<或0x x ξ<<),x 为[],a b 上任意点,特别地,在上式中取0x a =,2a bx +=,并利用已知条件()0f a '=,则有:21()()()()28a b b a f f a f c +-''=+,其中1c 满足12a b a c +<<,于是 2()()()28a b b a f f a k +--<. 同理再取0x b =,2a bx +=,并利用已知条件()0f b '=,则得: 22()()()()28a b b a f f b f c +-''=+,其中2c 满足22a b c b +<<.于是: 2()()()28a b b a f b f k +--<. 因此,2()()()()()()()()()224a b a b b a f b f a f b f f f a k f b f a ++--≤-+-<=-.这是不可能的.所以在区间(),a b 内至少存在一点c , 使得 24()()()()f c f b f a b a ''≥--.第五章 利用泰勒中值定理证明不等式5.1泰勒中值定理证明不等式的方法归纳泰勒公式的余项大体分两种:佩亚诺型余项,拉格朗日型余项.与带拉格朗日型余项的泰勒公式相比,带佩亚诺型余项的泰勒公式对函数()f x 的假设条件较少,只需函数()f x 在0x 处n 阶可导,不需要1n +阶可导,也不需要在0x 的邻域内存在n 阶连续导数,因此应用范围较广.但是在证明不等式时,精确度却不如带拉格朗日型余项的泰勒公式好.利用此原理可以证明一般的不等式,积分不等式,估值不等式等多种不等式,这种方法的用法非常广泛.证明方法:(1)根据已知条件,围绕证明目标,寻取适当的点将函数在该点展成泰勒展式. (2)根据已知条件,向着有利于证明不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止.5.2泰勒中值定理证明不等式例6 当02x π<<时,求证:2221200(1)sin (1)(21)!(21)!k k k kn n k k x x x k x k -==--<<++∑∑.分析:由于朗格朗日中值定理很容易证明sin 01xx<<, 而利用泰勒中值定理时,当1n =时,不等式为:224sin 113!3!5!x x x x x -<<-+. 显然第二个比前一个的不等式的精确度高得多,随着n 的增大,不等式的精确度会大幅度地提高,所以我们在做题过程中,按题目的要求来选择适当的方法来证明不同的不等式.证明 令()sin f x x =,那么函数()f x 在00x =点展开前2n 项的泰勒公式, 余项取拉格朗形式,那么有:212430(1)sin ()(21)!k k nn k x x R x k ++=-=++∑43434343433sin()sincos 2()(43)!(43)!(43)!n x n n n n x R x x x x n n n ξπξξ+=+++++-===+++. 因为02x πξ<<<,所以cos 0ξ>,从而21()0n R x +<,所以有 2120(1)sin (21)!k k nk x x k +=-<+∑.即 220(1)sin (21)!k knk x x k =-<+∑.同理,因为412sin()2()0(41)!n n R x x n πξ++=>+,所以左端的不等号也成立. 另外,在遇到高阶导数的不等式,一般都首先考虑泰勒中值定理.像之前的例4.我们也可以用泰勒中值定理来证明,下面具体来说明:例5的另一种证法: 由题设条件,应用泰勒展开式有:211()()()()()2222a b b a b a f f a f a f ξ+--'''=++, 221()()()()()2222a b a b a b f f b f b f ξ+--'''=++,其中1ξ介于a 与2a b +之间,2ξ介于2a b+与b 之间.上述两式相减,且有()()0f a f b ''==,得:2211()()()[()()]22a b f b f a f f ξξ-''''-=⋅-, ()221()()()()()8a b f b f a f f ξξ-''''-≤+.令21max{(),()}()f f f ξξξ''''''=,(,)a b ξ∈,则有:2()()()()4a b f a f b f ξ-''-≤,(,)a b ξ∈.即 24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.例7 设函数()f x 在[],a b 上二阶可导,且()0f x ≥,()0f x ''<.求证:对任意的[],x a b ∈,有2()()ba f x f tb a≤-⎰. 证明: 对任意的[],x a b ∈,将()f x 在t 点展开[](,)t a b ∈.2()()()()()()2!f f x f t f t x t x t ξ''=+-+-(其中ξ介于x 与t 之间). 注意到()0f x ''<,所以有()()()f x f t f x t '≤+-. 对上述不等式的两边对t 积分,得:()()()()bb baaaf x dt f t dt f t x t dt '≤+-⎰⎰⎰()()()()()()bbba aab a f x f t dt f x x t f t dt -≤+-+⎰⎰2()()()()()baf t dt f b x b f a x a =+---⎰因为()0()()()()0f x f b x b f a x a ≥⇒---≤.所以2()()ba f x f tb a≤-⎰.第六章 综合利用微分中值定理证明不等式6.1通过求极值点证明不等式利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性,其方法是:如果函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,则有:(1)如果在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '>,则函数()f x 在[],a b 上单调增加; (2) 如果在(),a b 内函数()f x 的导数()0f x '<,则函数()f x 在[],a b 上单调减少.另外,函数()f x 在(),a b 内除有个别点外,仍有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在[],a b 上单调增加(或减少)的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函数的单调性.再利用函数的单调性及函数图象上峰值点与各极值点的性质,便可以方便地求出函数的极值,从而证明出不等式.其方法为:确定函数()f x 的定义域,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()f x 连续但()f x '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()f x '的符号变化情况,确定函数()f x 的极值点,并求出相应的极大值点与极小值点,从而进一步证明不等式.例8 求证 (1)当0x >时,证明2ln(1)2x x x +>-成立.(2)当(0,)2x π∈时,证明tan sin x xx x >成立. 证明 (1)令2)1ln()(2xx x x f +-+=,因为函数()f x 在[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 21()111x f x x x x'=-+=++. 当0x >时,2()01x f x x'=>+,所以当0x >时,函数()f x 是单调递增的.故当0x >时,有:()(0)0f x f >=,即()0f x >,从而 2ln(1)2x x x +>-成立.(2)因为(0,)2x π∈,所以sin 0x >,tan 0x >.令函数2()sin tan f x x x x =-,则有:21()sin sec sin 2tan (cos )cos f x x x x x x x x'=+-=+因为(0,)2x π∈时, 1cos 2cos x x+>,tan x x >,所以()0f x '>.即()f x 在(0,)2x π∈时严格递增的,又因为0)0(=f ,所以()0((0,))2f x x π>∈,即tan sin x xx x>成立. 例9 设函数()f x 在闭区间[],a b 上二次可微,且满足()0f x ''>, 试证:当a x b <<时,有不等式:()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立. 证明 令()()()f x f a x x a ϕ-=-,那么()()()()f x f x a x x aξϕξ''-'=<<-.由于()0f x ''>,可知()f x '在闭区间[],a b 上是严格递增的,即()()f x f ξ''>, 从而有 ()0x ϕ'>,故函数()x ϕ在闭区间[],a b 上也是严格递增的,于是当[],x a b ∈时,有:()()x b ϕϕ<,即 ()()()()f x f a f b f a x a b a--<--成立.第七章 微分中值定理证明不等式在解题中的应用例10 a>1,n 1≥.证明 ()na aa an n n n an 2111111ln 12<-<+++分析：即证 ()a ana a a n a n n nn ln ln 211112111<-<+++注意：()a a a x x ln =' 对a x x f =)(用微分中值定理 证明：令a xx f =)()(111)11()1(ξf n n n f n f '=+-+- )111(nn ，+∈ξ 即 a n n a a an nln )1(1111ξ=+-+ ()na aa a n a nn nn n n a21111211)1(ln 1<+=-<+++ξ例11 设0<a<b ，证明不等式ab a b aba --<+ln ln 222证明：)(b a ，∈∃ξ ξξ1ln ln /)(ln ==--'=x x ab a bab aba111222<<<+ξ b a ab 222+< aab11<即证例12：证明不等式（1）；，，，1022>>≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n y x y x y x nnn（2）y x ee ey x yx≠>++，22证明：（1）设()x f =x n ,则当n>1时xn n x f 1)(-=' 00)1()(2>∀>-=''-x n n x f x n ，所以()x f 在（0，+∞）上严格下凸，因而；，，，1022>>≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n y x y x y x nnn(2)设()x f =e x ,则()，，，∞+∞-∈>=''='x x f x f e x0)()( 所以()x f 在()∞+∞-，上严格下凸，因而y x ee e yx yx≠>++，22例13 设()x f 在[]b a ,连续，在()b a ,二阶可导，证明存在()b a ,∈η 使()())(2222ηf b a f a f b f a b ''=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-证明：设()()⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2a b x f x f x g 由于 (),22a f b a f b a g -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2b a f b f b g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+b b a ，2上对()x g 应用Lagrange 中值定理，即得到()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'2222a b b a g b g b a f a f b f g ξ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--'-'=22a b a b f f ξξ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=22a b f η即证第八章 基本不等式在现实生活中的应用数学是来源于生活且应用于生活.在新课标的标准下，我们的课程标准更加注重理论联系实际，摆脱曾经所出现的“书呆子”一说.无一例外，基本不等式在现实生活中有着广泛的应用，下面举例介绍如何利用基本不等式解决生活中的实际问题.一 商品销售价格例14 某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售件数为=p )40(1025-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价格为多少元？分析：利润=销售数X （销售价格—进货价格），再利用基本不等式可求得利润最大值.解：由题意知x>50元时，可知利润：)1050(10)40(102525)50()50(+---=-=x x x x p2050100)50(100)50(20)50(10)50(10525+-+-=+-+-=-x x x x x因为x-50>0，所以2050100)50(≥-+-x x ，当且仅当5010050-=-x x ，即x=60或x=40（不合题意）时，p=2500成立.所以当销售价格为每件60元时，每天获得利润最多.二 节省纸张问题例15 在一页书上所印文字要占S cm 2,上下页空白处要留a cm 宽，左右要留b cm 宽，若从节约纸张出发，如何设计书页的高和宽的尺寸最为有利？解：设书页的高为x cm,宽为y cm ，则书页的面积为cm S xy 21=. 因为（x-2a ）(y-2b)=S,所以b ax Sy 22+-=，)2(221b x bx x a x S S >+-=. abS ab S a x b ax aSab S a x b a x aS ab S s 44)2(22224)2(22241++=-•-++≥-+-++= 当且仅当)2(222a x b a x aS-=-，即baS a x +=2时，S1取最小值为abS ab S 44++.此时所求的书页的高为,2cm b aS a x +=宽为cm abSb y +=2.所以书页高为cm baS a +2,宽为cm a bSb +2时最省纸张.三 费用最少例16 近年随着我国国民经济的发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，据有关部门抽样调查的结果显示，我国城乡居民拥有量比2005年初翻了一番.某种汽车，购车费是10万元，每年支付的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，这种汽车使用多少年时，它的平均费用最少？解：设用x 年平均费用最少，由于年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，可知汽车维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此汽车x 年总的维修费用为x x 22.0)1(2.02.0-++万元.设汽车平均费用为y 万元，则有：x x x x x x y x 21.01022.0)1(2.02.09.010++=•-++++= 32110101=+≥++=xx . 当且仅当1010x x=，即x=10时，它的平均费用最少.第九章研究总结通过本论文的写作，我们可以看出微分中值定理在证明不等式方面的贡献.其实，在我们数学的学习中，很多地方都用到了微分中值定理.可见，微分中值定理不仅在不等式方面，在其他高等数学中也有很大的贡献.本文主要是通过罗尔中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理来证明不等式.由于新课程标准注重理论联系实际原则，且数学是来源于生活、应用于生活.因此，本文在最后给出了不等式在现实生活中的应用.从中学阶段，我们就开始接触了不等式，并且也学会了不少解决不等式的方法.如分析法、级数法、对数法、导数法、综合法、数学归纳法等等.在学习了微分中值定理证明不等式后，我们将对不等式有了更深刻的理解，也体现出初等数学与高等数学的联系，培养我们的思维能力和逻辑推理能力，提高解题效率，锻炼了学生的创造性思维和发散思维.一题多解也是现代素质教育所提倡的解题方法，学生在学习了微分中值定理证明不等式后，对不等式的证明有了更多的解题方法.这样可以促使学生在今后解决不等式方面的问题时可以根据需要灵活的选用解题方法.参考文献[1]D.S.密斯特利诺维奇.解析不等式[M].北京:科学出版社.1987.[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨.微积分学教程（第八版）.北京:高等教育出版社.2006．[3]Ｒ.科朗等.微积分和数学分析引论[M].北京:科学出版社.2002.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,1991.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,1994.[6]刘玉莲.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,1999.[7]林丽绿.利用微分中值定理证明不等式[J].泉州师专学报,1997,第一卷.[8]赵文祥.微分中值定理与不等式[J].天津电大学报,2007,增刊.[9]孙学敏.微分中值定理的应用[J].数学教学研究,2008,第28卷第10期.[10]邵士敏．高等数学基础[M]．科学出版社，2000．11.[11]陈光曙．大学数学（理工类）上册[M]．同济大学出版社，2007.2[12] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导[M].成都科技大学出版社， 1995.12[13] 马德炎. 常见的代数不等式的证明[J].高等数学研究.2009（5）27-29.[14] Black, F, M. Jensen, and M. Stoles, “The Capital Asset Pricing Model: SomeEmpirical Tests”, in Jensen, M “Studies in the Theory of Capital”, 1972 [15] Cox, J, Ingersoll, J. E. and S.A. Ross, 1985b, A theory of term structure ofinterest rates, Econometrical, 53,385-407.[16] Engle, Robert F, 2000, “The econometrics of Ultra-High-Frequency Data”,Econometrical, Vol. 68, No. 1, 1-22.[13]AI Jing-hua. Characters Equal Definitions and application of Convex Function[J].Journal of Kaifeng University, Vol.17, No.2,Jun.2003.122-164.[14] W. Rmdin, Principle of Mathematical Analysis （Second edition）, McGraw-Hill , New York, 1964.96-102.致谢本文是在强毅老师的悉心教诲指导下完成的，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，但强毅老师一直都本着细心、严谨的态度对我的论文进行指导.由于我的知识水平有限，在完成一稿时，论文基本上是不成型的，不管是内容、格式，各方面都存在非常大的缺陷.强毅老师对我的论文耐心的分析，然后教导我本论文的研究方向，给我列出论文大纲，指引我如何进行二稿的修改.二稿结束后，虽然比一稿有了很大的进步，但在强毅老师严谨治学、耐心批改下，还是发现了很多的瑕疵.论文排版、格式、字体等很多细节上都存在不少问题.所以，在论文三稿时，在这方面就有了很大的改善.在论文的写作过程中，我还查找了图书馆的不少资料，以及向同学请教了很多问题.所以，在此，向图书馆的老师及同学表示忠心的感谢.由于我的学术水平有限，论文还有很多不足，恳请各位老师和学友批评和指正!。
微分中值定理及其应用
提示：对出现若干阶导数的界，估计另外某个导数 的界的问题，往往用Taylor公式。
证明：由Taylor公式有：
f (x0 )
f (x)
f
' (x)( x0
x)
1 2
f
" ( )( x0
x)2
取x0 b, 有
f (b)
f (x)
f
' (x)(b x)
同理，f (x)在[c,b]上连续，(c,b)内二阶可导，
由Lagrange中值定理知，存在点2 (c,b),使得
f ' (2 )
f (b) f (c) bc
而点A(a, f (a))、B(b, f (b))、C(c, f (c))共线，
所以：f (c) f (a) f (b) f (c)，
ca
bc
即f ' (1 ) f ' (2 )。
又f ' (x)在[1,2 ]上连续，在(1,2 )内可导， 由Rolle定理知， (1,2 ) (a,b),使得f‘' ( ) 0。
此题可以推广为： 设f (x)在[a,b]上连续，(a,b)内n 1阶可导，连接点 A(a, f (a))和B(b, f (b))的直线交曲线y f (x)于n个 点Ci (ci , f (ci ))(a c1 c2 cn b)。
1 2
f
" (1 )(b x)2
(1)
取x0 a, 有
f (a)
f (x)
f
' (x)(a x)
1 2
f
微积分中的中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。
微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。
而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。
中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。
具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。
根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。
例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。
积分中值定理的推广及应用(论文)
衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分中值定理的推广及应用学号：姓名：年级：学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：信息与计算科学指导教师：完成日期：年月日摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。
有关ξ点的渐进性，我们对第一积分中值定理的ξ点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。
而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。
对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。
在此基础上，我们还讨论了在几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。
在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,]f x的积分中值a b讨论函数()定理情形转换为在开区间(,)a b上讨论函数()f x上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。
不仅如此，我们还将几何形体Ω上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。
关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性AbstractThe main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.About the Progressive of ξpoint, we have discussed the ξpoint of the mean-value theorem in detail and give clear proof of the process. While the gradual issues of the secondintegral mean value theorem has been demonstrated one of these situations. And the otherprocess of proving has been expressed in brief.According to application,we presented a simple situation, for example, estimate integralvalue ,solve the limits of definite integral, define integral sign, compare the magnitude of integralvalue, prove the monotonic of function and Abel test and Dirichlet testWe have discussed the definite integral mean-value theorem, the first mean value theorem,the second integral mean-value theorem, and have given a detailed proof of these theoremsprocess. On this basis, we also have discussed the Riemann first integral mean-value theorem onthe geometryΩ. It makes the integral mean-value theorem is more general, the case has asignificant role in the discussion of practical issues in general.In the promotion of integral mean value theorem, we have discussed the integralmean-value theorem of function ()a b in the case off x in the initial closed interval [,]discussing it in the open interval(,)a b, the change has more convenience in solving some practical mathematical problem. In addition, we will promote the Riemann first integral mean-value theorem on the geometryΩto the situation of the first and second type curve in integral theorem and The second type surface integral mean-value theorem.Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 引言 (1)2 积分中值定理的证明 (2)2.1 定积分中值定理 (2)2.2 积分第一中值定理 (3)2.3 积分第二中值定理 (3)2.4 几何形体上黎曼积分第一中值定理 (6)3 积分中值定理的推广 (9)3.1 定积分中值定理的推广 (9)3.2 定积分第一中值定理的推广 (9)3.3 定积分第二中值定理的推广 (11)3.4 第一曲线积分中值定理 (12)3.5 第二曲线积分中值定理 (12)3.6 第一曲面积分中值定理 (13)3.7 第二曲面积分中值定理 (14)4 第一积分中值定理中值点的渐进性 (16)5 第二积分中值定理中值点的渐进性 (20)6 积分中值定理的应用 (23)6.1 估计积分值 (23)6.2 求含定积分的极限 (24)6.3 确定积分号 (24)6.4 比较积分大小 (25)6.5 证明函数的单调性 (25)6.6 证明定理 (25)7 结论 (29)谢辞 (30)参考文献 (31)1引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。
独立学院微积分教学中对微分中值定理论文
独立学院微积分教学中对微分中值定理的讨论【摘要】在微积分中，微分中值定理是学好导数应用的基础，因而其教学也显得尤为关键.探讨微分中值定理及其相关内容的教学以及怎样构造辅助函数去解决问题，历来是独立学院师生所关注的热点课题之一.【关键词】中值定理；教学；辅助函数；独立学院罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统称为微分中值定理.它们是沟通函数及其导数之间的桥梁，是研究函数性态的有力工具.微分中值定理对于独立学院学《微积分》这门专业课来说是一个比较重要但又不容易掌握的章节.很多老师讲解完这节课后学生仍然不会解题，这其中一个重要原因就是在教学过程中老师只注重传授给学生中值定理的内容而忽略过程的分析，大多数教师遵循传统的教学方法已经形成一种思维定式：教学生解题时总是习惯从已知条件推导待求结论.显然这种单一思维方式已经不适用于现在微积分特别是独立学院的学生的学习，原因有两点：一是本节课理论性强，二是学生基础相对薄弱.如何让学生更好地掌握微积分中微分中值定理并有效运用，我们针对教学中遇到的一些普遍现象经过研究摸索得到一些体会，与大家共同探讨.一、微分中值定理的内容1rolle）中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零，即f′(ξ)=0.2lagrange）中值定理如果函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)成立.3如果函数f(x)及f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)内每一点处均不为零，那么在(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式f(a)-f(b)f(a)-f(b)=f′(ξ)f′(ξ)成立.二、微分中值定理之间的关系1理是罗尔中值定理的推广（即在拉格朗日中值定理中，若f(a)=f(b)，可推出罗尔中值定理）.2拉格朗日中值定理的推广（即在柯西中值定理中，若取g(x)=x时，就可推出拉格朗日中值定理）.三者的关系可表示为：柯西中值定理g(x)=x拉格朗日中值定理f(a)=f(b)罗尔中值定理.三、教学体会1由于本节三个定理教材已经给出了详细的证明过程，因此教师在讲解过程中就不能照本宣科，而应启发学生发掘证明过程背后的实质.例如：用罗尔中值定理去证明拉格朗日中值定理，为什么要构造辅助函数？辅助函数是怎样构造出来的？又是怎么想到用罗尔中值定理来证明该定理的？针对这样的疑问教师可以采用以下顺序来引导启发学生.首先，让学生比较该定理与罗尔中值定理在内容上的异同，特别是结论上的区别.罗尔中值定理结论是“至少存在一点ξ(a<ξ<b)使得f′(ξ)=0”，拉格朗日中值定理结论是“至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)”，从表面上看这两者没有任何相同点，但仔细分析后就会发现罗尔中值定理结论的几何特点是存在开区间(a，b)内的点ξ使得函数所对应的曲线在该点有水平的切线，由于此时函数在区间端点处函数值相等，因而端点连线也是水平的，这样一来也就可以理解为存在的ξ点处的切线平行于端点连线；而拉格朗日中值定理结论的几何意义就是存在点ξ∈(a，b)使得函数所对应的曲线在ξ点的切线与函数端点连线平行.通过这样的分析找到两个定理的相同点，从而启发学生明白了用罗尔中值定理证明此定理的原因.接下来在解释辅助函数的构造时可以启发学生利用数形结合的方法来思考：在满足罗尔中值定理的函数图形中将两端点连接起来可得到一条平行于x轴的直线，而在满足拉格朗日中值定理的函数图形中此直线很明显是不平行的，那么就要求我们利用辅助函数将其变成平行的，如下图所示.在分析讲解的过程中若能充分调动学生的主动性，不仅可以锻炼他们的逻辑思维能力，更能增强他们解决问题的信心，在教学过程中起到事半功倍的效果.2教学目标的实现，体现在教学内容的具体安排上，即先教什么，后教什么.一堂课的学习内容必须划分成若干个可操作的阶段.根据教育学家加涅对教学目标的分类，“微分中值定理”是一堂智力技能学习课，它有很强的理论性和操作性.在具体实施教学过程中，宏观上把整堂课按rolle中值定理、lagrange中值定理、cauchy中值定理划分三个阶段，由浅到难，逐步加深.cauchy中值定理留给学生自学，以培养学生的自学能力和学习迁移能力.在第一阶段我们把学习的起点确定在已有的导数概念和导数的几何意义上，在第二阶段则把学习的起点确定在前面的定理基础上，而每个定理的学习又分为几个阶段，并且有相似的教学组织形式、教学方法等教学策略.以lagrange中值定理为例，教学过程分为学生讨论阶段、教师引导阶段和应用举例阶段.这三个阶段所完成的主要任务分别是:探索归纳、形成定理、应用形成技能.。
微分中值定理的证明及其应用
微分中值定理的证明及其应用[摘要] 微分中值定理是微分学的基本理论,也是微分学的理论基础。
数学分析中,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。
本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造,结合教学过程中出现的问题,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。
[关键词] 中值定理辅助函数根的存在性待定系数法数学分析中,一般在证明罗尔定理的基础上,通过构造辅助函数,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。
其关键是如何构造辅助函数,一旦辅助函数构造出来,余下的问题便容易解决了。
首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。
一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨若函数在闭区间上连续,其图形是一段连续的曲线弧。
当在区间两个端点的函数值相等(即)时,线段ab平行于轴,其斜率为零。
若函数在内每一点都可导,对应曲线弧上每一点都有切线,此时,从图可以看出,在曲线弧上,至少可以找到一点m,弧在此点的切线与线段ab平行,即切线的斜率为零。
若记m,则切线mt的斜率为,且。
上述的几何直观进行归纳,得到如下定理:定理1:(罗尔定理)若函数满足下列三个条件:(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3)。
则至少存在一点,使。
(如图)以上只是从几何直观得出罗尔定理,但要注意,图形的直观并不是严格意义的数学证明(数学分析教材中已给出定理的详细证明)。
罗尔定理中的三个假设条件,缺一不可,否则定理结论不一定成立。
例如:(1)在处不连续,缺少第一条假设。
(2)在处不可导,缺少第二条假设。
(3) 因为,缺少第三条假设。
这三个函数都不能在各自的定义域内找到,使得。
若将图形绕a点旋转,将旋转后的图形所对应的函数仍记作,函数的定义域区间仍记作,由于旋转后所得曲线两个端点不相等,即,由于罗尔定理中条件(1)和(2)保持不变,而弦ab的斜率为 .由图形可以看出, 在曲线弧上,至少可以找到一点m,过此点的切线与线段ab 平行。
微分中值定理及其应用
微分中值定理摘 要微分中值定理，是微分学的核心定理，研究函数的重要工具，历来受到人们的重视。
本文介绍了三个微分中值定理及其证明，并且举出几种中值定理的应用。
关 键 词 微分中值定理 罗尔定理 朗格朗日中值定理 柯西中值定理1、引言人们对微分中值定理的认识上溯到公元前古希腊时代，古希腊数学家在几何研究中，得到这样的结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线的底”，这正是拉格朗日定理的特殊情况。
希腊著名数学家阿基米德（Archimedes ，公元前287—前221）正式巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积。
人们对微分中值定理的研究，从微积分建立之始就开始了，按时历史顺序：1673年著名法国数学家费马（Fermat ，1601—1665）在《求最大者最小值的方法》中给出费马定理，在教科书中，人们通常将它作为微分中值定理的第一个定理。
1691年法多数学家罗尔(Rolle ，1652—1719)在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理。
1797年，法国数学家拉格朗日（Lagrange ，1736—1813）在《解析函数论》中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明。
对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy ，1789—1857），他首先赋予中值定理以重要作用，使其成为微分学的核心定理。
在《无穷小计算教程概论》中，柯西首先严格地证明了拉格朗日定理，又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理，从而发现了最后一个微分中值定理。
2、中值定理及证明：1) Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
证明：因为f 在［a,b ］上连续，所以有最大值与最小值，分别用M 与m 表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 f 在［a,b ］上必为常数，从而结论显然成立。
(精品积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文)
积分中值定理在数学分析中的应用(优秀毕业论文)毕业论文题目积分中值定理在数学分析中的应用学生姓名李正邦学号0609014168所在院(系) 数学系专业班级数学与应用数学专业2006级5班指导教师李金龙完成地点陕西理工学院2010年 5月 30日积分中值定理在数学分析中的应用优秀论文范慕斯（云南师范大学数学学院数学与应用数学专业20111级2班）指导老师：成龙[摘 要] 本文主要介绍了积分中值定理在数学分析中应用时的注意事项及几点主要应用,这些应用主要是：一.求函数在一个区间上的平均值;二.估计定积分的值;三.求含有定积分的极限;四.确定积分的符号;五.证明中值ξ的存在性命题;六.证明积分不等式;七.证明函数的单调性.[关键词] 积分;中值;定理;应用1 引言积分中值定理是数学分析中的主要定理之一,同时也是定积分的一个主要性质,它建立了积分和被积函数之间的关系,从而我们可以通过被积函数的性质来研究部分的性质,有较高的理论价值和广泛应用.本文就其在解题中的应用进行讨论.2 预备知识定理 2.1[1](积分第一中值定理) 若()x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a.证明 由于()x f 在区间[a,b]上连续,因此存在最大值M 和最小值m .由()],[,b a x M x f m ∈≤≤,使用积分不等式性质得到()()()a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰,或()()M dx x f a b m b a ≤-≤⎰1. 再由连续函数的介值性,至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()().1dx x f a b f ba⎰-=ξ定理 2.2[1] (推广的积分第一中值定理) 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得()()()().,b a dx x g f dx x g x f bab a≤≤=⎰⎰ξξ证明 推广的第一中值积分定理不妨设在[]b a ,上()0≥x g 则在[]b a ,上有()()()()，x Mg x g x f x mg ≤≤ 其中m ,M 分别为()x f 在[]b a ,上的最小值和最大值,则有()()()(),dx x g M dx x g x f dx x g m bab ab a⎰⎰⎰≤≤若()0=⎰dx x g ba ,则由上式知()()0=⎰dx x g x f ba,从而对[]b a ,上任何一点,定理都成立.若()0≠⎰dx x g ba则由上式得()()(),M dxx g dx x g x f m b aba≤≤⎰⎰则在[]b a ,上至少存在一点ξ,使得()()()(),⎰⎰=b abadxx g dx x g x f f ξ 即()()()().,b a dx x g f dx x g x f baba≤≤=⎰⎰ξξ显然,当()1≡x g 时,推广的积分第一中值定理就是积分中值定理3 积分中值定理的应用由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.在使用积分中值定理时要注意以下几点：(1) 在应用中要注意被积函数在区间[]b a ,上连续这一条件,否则,结论不一定成立.例如显然()x f 在0=x 处间断.由于()()()()⎰⎰⎰⎰⎰=+-=+=--40440444,0cos cos ππππππxdx dx x dx x f dx x f dx x f但⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ在上,()0≠x f ,所以,对任何⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ都不能使 ()()ξππf dx x f 244=⎰-.(2) 定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉. 例如 令()(),2,2,sin ,sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈==ππx x x g x x f由于()()()0|cos sin 21sin 2222222=-==---⎰⎰ππππππx x x xdx dx x g x f ,但()⎰⎰--==2222,0sin ππππxdx dx x g所以,不存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππξ, 使()()()().2222dx x g f dx x g x f ⎰⎰--=ππππξ(3) 定理中所指出的ξ并不一定是唯一的,也不一定必须是[]b a ,的内点.例如令()[]b a x x f ,,1∈=,则对[],,b a ∈∀ξ都有()()()a b f dx x f ba-=⎰ξ,这也说明了ξ未必在区间[]b a ,的内点. 下面就就其应用进行讨论.3.1 求函数在一个区间上的平均值例1 试()x f sin x =求在[]π,0上的平均值.解 平均值().2|cos 1sin 100πππξππ=-==⎰x xdx f例2 试求心形线()πθθ20,cos 1≤≤+=a r 上各点极经的平均值.解 平均值()()().|sin 2cos 1212020a a d a r =+=+=⎰ππθθπθθπϕ注 在解某区间上一个函数的平均值时,我们只需要在这个区间上对这个函数进行积分,然后积分结果除以区间的差值.在这里主要是应用了积分第一中值定理,所以求解其类问题时,一定要理解积分中值定理的定义. 3.2 估计定积分的值例3 估计dx xx ⎰+1036191的值.解 由推广的积分第一中值定理,得,112011113611936103619ξξ+=+=+⎰⎰dx x x x 其中[]1,0∈ξ 因为,10≤≤ξ所以,11121363≤+≤ξ即，201112012201363≤+≤ξ 故.201122011036193≤+≤⎰dx x x例 4 估计dx x ⎰+π20cos 5.011的值.解 因为()xx f cos 5.011+=在[]π2,0上连续,且[]2)(max 2,0=x f π,[]32)(min 2,0=x f π, 所以由积分第一中值定理有πππππ422cos 5.0112324320=⋅≤+≤⋅=⎰dx x.在估计其类积分的值时,首先我们要确定被积函数在积分区间上连续的基础上确定被积函数在积分区间上的最大值和最小值,然后再利用积分中值定理就迎刃而解了.例 5 估计dx x x ⎰+191的值.解 因为()xx x f +=19在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()()238121718x x x x f ++='在()1,0内无解,即()[]1,0,0∈≥'x x f ,等号仅在0=x 时成立.故()x f 在[]1,0内严格单调增, 即()()()21100=<<=f x f f ,所以由积分第一中值定理有211019<+<⎰dx xx .在估计其类积分的值时,首先要确定要积分的函数在积分闭区间上连续,在开区间上可导,然后判断函数在积分区间上的单调性,最后利用积分中值定理就可以估计积分的值了.综上,在利用积分中值定理估计积分的值时,我们要根据不同的题型给出不同的解决方法,这也是我们在学习过程中逐渐要培养的,积累的好习惯. 3.3 求含有定积分的极限例6 求极限n p dx xxpn n n ,,sin lim⎰+∞→为自然数.解 利用中值定理,得因为()xxx f sin =在[]p n n +,上连续,由积分中值定理得[]p n n p dx x x pn n+∈⋅=⎰+,,sin sin ξξξ当∞→n 时,∞→ξ,而|ξsin |1≤. 故dx x x pn nn ⎰+∞→sin lim =p .sin lim ξξξ∞→=0.例7 求xdx n n ⎰+∞→2sin limπ.解 若直接用中值定理xdx n n ⎰+∞→2sin limπ=ξπn sin 2,因为20πξ≤≤而不能严格断定x n sin 0→,其症结在于没有排除,故采取下列措施xdx nn ⎰+∞→20sin limπ=xdx n⎰-ξπ20sin +xdx n ⎰-22sin πξπ.其中ξ为任意小的正数.对第一积分中值定理使用推广的积分第一中值定理,有xdx n n ⎰-+∞→ξπ2sin lim.=0sin 2lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→ξξπn n ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<-≤≤220πξπξ. 而第二个积分⎰-22sin πξπxdx n≤dx x n ⎰-22sin πξπ≤⎰-22πξπdx =ε,由于ε得任意性知其课任意小. 所以xdx nn ⎰+∞→2sin limπ=xdx n⎰-ξπ20sin +xdx n ⎰-22sin πξπ=0.注 求解其类问题的关键是使用积分中值定理去掉积分符号.在应用该定理时,要注中值ξ不仅依赖于积分区间,而且还依赖于根式中自变量n 的趋近方式. 3.4 确定积分的符号例8 确定积分dx e x x ⎰-333的符号.解dx e x x⎰-333=dx e x x ⎰-033+dxx e x x⎰33=()()t d e t t ----⎰330+dx e x x ⎰303=dt e t t -⎰033+dx e x x ⎰33=-dt e tt-⎰303+dx e x x ⎰33=()dx e e x x x --⎰303利用积分中值定理,得dx e x x ⎰-333=()ςςς--e e 33≥0.(其中30≤≤ς)又x e x 3在[]3,3-上不恒等于0,故0333>⎰-dx e x x.注 在解决其类题时,我们常常会以0作为上下限的中介点,然后把原积分写成以0为中介点的两个积分的和,积分化就成两个以0为中介点且上下限一样的积分相加,最后利用积分中值定理确定积分的符号.这里主要使用了积分中值定理和函数的单调性. 3.5 证明中值ξ的存在性命题例9 设函数()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且()()⎰=13203f dx x f ,证明()1,0∈∃ξ,使()0='ξf ,证明 由积分中值定理得()()()()ηηf f dx x f f =⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰321330132,（其中132≤≤η）又因为()x f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导.故()x f 在[]η，0上满足罗尔定理条件,可存在一点()()100，，⊂∈ηξ,使()0='ξf . 注 在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时,一般应用积分中值定理求解,掌握积分中值定理在解此类问题时至关重要,是我们必须要好好掌握的. 3.6 证明不等式例10 求证.201122011036193<+<⎰dx x x证明.11201111336119361619ξξ+=+=+⎰⎰dx x dx x x其中[]1,0∈ξ,于是由11121363≤+≤ξ即可获证.例 11 证明21232102<-+<⎰xx dx . 证明 估计连续函数的积分值()dx x f ba⎰的一般的方法是求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,则()()()a b M dx x f a b m b a-<<-⎰.因为2321492222≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+≤x x x []()1,0∈x , 所以21232102<-+<⎰x x dx . 例 12 证明.1011210119<+<⎰dx xx 证明 估计积分()()dx x g x f b a⎰的一般的方法是:求()x f 在[]b a ,的最大值M 和最小值m ,又若()0≥x g ,则()()()()dx x g M dx x g x f dx x g m bababa⎰⎰⎰≤≤.本题中令()()0,119≥=+=x x g xx f ()10≤≤x .因为11121≤+≤x[]()1,0∈x所以1011212101191919=<+<=⎰⎰⎰dx x dx xx dx x . 例13 证明2241222e dx e exx≤≤⎰--.证明 在区间[]20，上求函数()xxe xf -=2的最大值M 和最小值m .()()xxe x xf --='212,令()0='x f ,得驻点21=x . 比较⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ,()0f ,()2f 知4121-=⎪⎭⎫⎝⎛e f 为()x f 在[]20，上的最小值,而()22e f =为()x f 在[]20，上的最大值.由积分中值定理得()()0202220412-≤≤-⎰--e dx e ex x ,即2241222e dx e exx≤≤⎰--.注 由于积分具有许多特殊的运算性质,故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性.在证明含有定积分的不等式时,也常考虑用积分中值定理,以便去掉积分符号,若被积函数是两个函数之积时,可考虑用广义积分中值定理.如果在证明如11和12例题时,可以根据估计定积分的值在证明比较简单方便.3.7 证明函数的单调性例 14 设函数()x f 在()∞+，0上连续,()()()dt t f t x x F k ⎰-=02,试证:在()∞+，0内,若()x f 为非减函数,则()x F 为非增函数.证明 ()()()()()dt t tf dt t f x dt t f t x x F kk k ⎰⎰⎰-=-=00022,对上式求导,得 ()()()()()(),200x xf dt t f x xf x xf dt t f x F k k -=-+='⎰⎰ 利用积分中值定理,得()()()()()[]()x x f f x x xf xf x F ≤≤-=-='ξξξ0,,若()x f 为非减函数,则()()0≤-x f f ξ,所以()0≤'x F ,故()x F '为非减函数.综上所述,积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉,从而使问题简单化.因此,对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式,或者要证的结论中含有定积分,或者所求的极限式中含有定积分时,一般应考虑使用积分中值定理,去掉积分号.在使用该定理时,常与微分中值定理或定积分的其他一些性质结合使用,是所求问题迎刃而解.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.217-219.[2]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.92-95.[3] 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Proof of the existence of the value proposition ;6. To prove integral inequality,7. To provemonotonicity of a function.Key words: intergral;average-value;theory;applied.。
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微分中值定理及其应用大学毕业论文
This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 毕业论文(设计) 题目名称： 微分中值定理的推广及应用 题目类型： 理论研究型 学生姓名： *** 院 (系)： 信息与数学学院 专业班级： 数学10903班 指导教师： ** 辅导教师： 熊骏 时 间： 2012年12月 至 2013年6月 目 录 毕业设计任务书 ................................................ I 开题报告 ..................................................... II 指导老师审查意见 ............................................ III 评阅老师评语 ................................................. IV 答辩会议记录 .................................................. V 中文摘要 ..................................................... VI 外文摘要 .................................................... VII 1 引言 ....................................................... 1 2 题目来源 .................................................... 1 3 研究目的和意义 .............................................. 1 4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 .......................... 1 5 微分中值定理的发展过程 ....................................... 2 6 微分中值定理的基本内容 ....................................... 3 罗尔(Rolle)中值定理 ....................................... 3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 ................................. 4 柯西（Cauchy）中值定理 ..................................... 4 泰勒（Taylor）定理 ........................................ 4 7 微分中值定理之间的联系 ....................................... 5 8 微分中值定理的应用 ........................................... 5 根的存在性证明 ............................................ 6 利用微分中值定理求极限 ..................................... 8 利用微分中值定理证明函数的连续性 ........................... 9 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 ................... 10 利用微分中值定理求近似值 .................................. 10 利用微分中值定理解决导数估值问题 .......................... 10 利用微分中值定理证明不等式 ................................ 11 9 微分中值定理的推广 .......................................... 14 微分中值定理的推广定理 .................................... 14 微分中值定理的推广定理的应用 .............................. 16 参考文献 ..................................................... 18 致 谢 ...................................................... 19微分中值定理的推广及应用 学 生：邓奇峰，信息与数学学院 指导老师：熊骏，信息与数学学院
【摘要】 微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。本文首先介绍了微分中值定理的发展过程、微分中值定理的内容和微分中值定理之间的内在联系，接着再看微分中值定理在解题中的应用,如:“讨论方程根（零点）的存在性” ,“ 求极限”和“证明不等式”等方面的应用。 由于微分中值定理及有关命题的证明方法中往往出现的形式并非这三个定理中的某个直接结论，这就需要借助于一个适当的辅助函数，来实现数学问题的等价转换，但是，怎样构造适当的辅助函数往往是比较困难的。在此重点给出如何通过构造辅助函数来解决中值定理问题，从理论和实际的结合上阐明微分中值定理的重要性。 拉格朗日中值定理及柯西中值定理都是罗尔中值定理的推广。本文从其它角度归纳、推导了几个新的形式，拓宽了罗尔中值定理的使用范围。同时，用若干实例说明了微分中值定理在导数极限、导数估值、方程根的存在性、不等式的证明、以及计算函数极限等方面的一些应用。 【关键词】 微分中值定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 联系 推广 应用The Extension and Application of the Differential Mean Value Theorem Student: Deng Qifeng, School of Information and Mathematics Tutor: Xiong Jun, School of Information and Mathematics
【Abstract】 The differential mean value theorem, is the fundamental theorem of calculus, is the communication bridge between function and its derivative, is an important mathematical tool integrated local research application function derivative, plays a very important role in Calculus. This paper describes the develop progress，the contents and the intrinsic link between the differential mean value theorem; Then look at the differential mean value theorem in solving problems, such as: the discussion of the roots (zero) in existence, limit and proof of in equality. Because often proof of differential mean value theorem and related propositions in the form is not the three theorems of a direct conclusion, this requires the help of a suitable auxiliary function, equivalent to mathematical problems, but, how to construct the auxiliary function appropriate is often more difficult. The key is how to solve the problem of mean value theorem by constructing an auxiliary function, expounds the importance of the differential mean value theorem from the combination of theory and practice. The Lagrange mean value theorem and the Cauchy mean value theorem are extensions of the Rolle mean value theorem. In this article, the Rolle mean value theorem has been concluded and deduced in few more forms that helped to expand the use of the Rolle mean value theorem. Also, the article has demonstrated of the application of differential mean value theorem in derivative limit, derivative estimate value, existence of root of an equation, proof of inequality and calculation of functional limit upon many examples.