论文拉格朗日中值定理

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拉格朗日中值定理的推广及其应用

嘉应学院本科毕业论文（设计）（2014届）题目：拉格朗日中值定理的推广及其应用姓名：徐佳琳学号： 101010045学院：数学学院专业：数学与应用数学（师范）指导老师：温坤文申请学位：学士学位嘉应学院教务处摘要拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有极其重要的意义.本文先对拉格朗日中值定理作了一定的阐述，并将其进行了推广，然后通过对几种类型问题的解决，对拉格朗日值定理的应用作一些探讨和归纳，以起到对定理的深入理解，熟悉掌握并能够正确应用的作用.字典关键词：拉格朗日中值定理，定理的推广及应用，极限，不等式，级数的敛散性.AbstractLagrange mean value theorem is one of the basic theorem of differential calculus，It has extremely important meaning in the theory and application.This article first to make the Lagrange theorem certain, and put it to the promotion, then through several types on the solution of the problem,and it will make some discussions and studies on the application of lagrange mean value theorem .It’s purpose is to have in-depth understanding of theorem, the role of expert knowledge and be able to correct application.Keywords： Lagrange mean value theorem,The generalization and application of the theorem, The limit, Inequality, The convergence and divergence of the series.1. 引言罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理，这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，他们之间的关系可用简图示意如下：以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理，他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态，中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征.拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，它有许多推广，这些推广都有一个基本特点，就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式.除此之外，拉格朗日中值定理在理论和应用上也有着极其重要的意义.该定理叙述简单明了,并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是中值点的含义，就有较大难度.总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具，而著名的拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，是应用数学研究函数在区间整体性态的有力工具，必须深刻认识定理的内容，熟练掌握定理的本质，在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区.现借下文中的若干例子来对拉格朗日中值定理作一些探讨，以起到对定理深入理解、熟练掌握并正确应用的作用.2.拉格朗日中值定理定理2.1（拉格朗日中值定理）若函数满足下列条件：（i）在闭区间上连续；(ii) 在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得.3. 拉格朗日中值定理的推广命题3.1 若函数在开区间内可导，函数极限都存在；则至少存在一点,使得.证明不妨记,,令函数则函数在闭区间上连续,函数在开区间内可导,.由拉格朗日中值定理,至少存在一点，使得又，，，所以.命题3.2 若函数在内可导,函数极限与都存在；则至少存在一点，使得证明令则复合函数在开区间内可导,其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点，使得,令,则时，，并且.所以，至少存在一点，使得命题3.3 若函数在开区间内可导,函数极限与都存在，则至少存在一点使得.证明令,且则复合函数在开区间内可导，其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点使得令则时，所以，至少存在一点使得命题3.4 若函数在开区间,使得证明令，且则复合函数在开区间内可导，其导数为由已知函数极限,与,都存在.由命题3.1，至少存在一点，使得令则时，所以，至少存在一点使得显然,有如下的推论:若把上述命题的第二个条件加强为：有关的函数极限存在且相等,则至少存在一点属于上述各区间,使得.于是我们得到了推广的罗尔中值定理.不难看出,推广的罗尔中值定理,有其明确的几何意义:在符合定理的条件下,曲线在点处有水平的切线.4. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用广泛，可用于计算、证明、估算、判定等，在应用中灵活性较大，下面从求极限、证明不等式、判别级数敛散性等方面对拉格朗日中值定理的应用做进一步的研究.4.1 利用拉格朗日中值定理求极限用拉格朗日中值定理,最重要的是去找函数和相应的区间,而公式可变形为:它的左端是有特点的，恰好是在区间上的增量与的区间长度的比值.因此公式变形后就可以确定函数和相应的区间.例1．求极限：.解函数在或上运用拉格朗日中值定理，得(在与之间).故.例2．设连续,,有公式, （1）试求解对函数在或上运用拉格朗日中值定理，得,代入（1）式，得. （2）将按泰勒公式展开：, （3）由（2）（3）得,故.例3．求极限：.解令在或上对变量运用拉格朗日中值定理，得（在之间）,故.4.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理存在的形式并不是不等式的形式.那么怎么能用拉格朗日中值公式去证明不等式呢?我们知道,在拉格朗日中值公式中而不知道具体是多少,但根据在之间的取值却可以估计的取值范围.或者说可以估计出取值的上、下界，分别用取值的上、下界去代换拉格朗日中值公式中的就可以得到不等式.这就是用拉格朗日中值公式证明不等式的思想.例4．证明当时，.证明设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，故有. （1）又,故（1）式为,则,即.例5．设函数在上连续，有二阶连续导数且,若有使得，则必有，使得.证明由题知，在,上分别满足拉格朗日中值定理的条件，则有,且.因且,故，又由题知在上满足拉格朗日中值定理，即.例6．证明：当时，.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在，使得,即.又因，故.当时，,即.所以当时，不等式成立.4.3 利用拉格朗日中值定理证明恒等式由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点（不妨设），有，那么若恒为0，则有，所以.由的任意性可知，在定义域内函数值恒等.即有下面一个推论：推论如果函数在开区间内的导数恒为零，那么在内是一个常数.利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目.例7．证明恒等.证明令在时，有意义，且.所以，在时，（常数）.又取内任一点，如，有，且，所以端点值也成立，由推论有恒等.4.4 利用拉格朗日中值定理证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项,证明的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，寻找机会应用.例8．设在内可导，且，试证，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.4.5 利用拉格朗日中值定理研究函数在区间上的性质因为拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整体认识.比如研究函数在区间上的符号、单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉格朗日中值定理的结论，通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法.例9．证明：若函数在有穷或无穷的区间内存在有界的导函数，则在内一致连续.证明设当时，对于，在以为端点的区间上由拉格朗日中值定理，有，在之间，那么对于,取，则当，且，就有（在之间），由一致连续定义可知，在内一致连续.4.6 利用拉格朗日中值定理证明估值问题证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便，特别是二阶及二阶以上的导函数估值时.但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明.例10．设在上连续，且，试证：.证明若，不等式显然成立；若不恒等于0，，使，在及上分别用拉格朗日中值定理，有,从而,这里利用了,所以原不等式得证.4.7 利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性在级数敛散性的判别问题上，可以构造辅助函数，研究在各个区间上的特点，最后相加可以进行化简，利用级数敛散性的判别法则给出判断.例11．证明调和级数的敛散性.。

拉格朗日中值定理的一些应用

■匪
．：
刘磊
拉格朗日中值定理的一些应用
（邵阳学院理学与信息科学系２０ｌ０级信息与计算科学专业，湖南邵阳
摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一．它有众多应用．本文阐述了拉格朗日中值定理的一些应用．关键词：拉格朗日中值定理极限不等式恒等式
—
：
０，于是ｆ（）：（。为常数）．任取一实数，如ｖ，有
１＋ｘ。
［２］华东师范大学数学系．数学分析（上册）［Ｍ］．北京：高等教育出版社．２００２．
ｆ（Ｎ／３）＝ａｒｃｔａｎ、／了＋ａｒｃｃ。ｔ、／＿詈＋詈号，所以结论成立．
因为ｆ，（ｘ）单调增加，于是ｆ（ § 。）＜ｆ，（包），所以
ｆ（ｘ１）ｆ（ｘ２－ｆ（ｘ１）
对Ｖｘ＞Ｏ，在［０，ｘ］上运用拉格朗日中值定理可知：
ｘ）一ｆ（０）＝ｎ（ｘ）＝）ｘ壶，￡ ∈ （ｏ，ｘ）
于是一＜ｌｎ（１＋ｘ）： —ｌ＿ｘ＜ｘ
．
从而
Ｘ１
≤
Ｘ２
．
１＋ｘ
３．证明恒等式
１＋６
即函数！在（０）内单调递增

毕业论文拉格朗日中值定理分析

毕业论文题目拉格朗日中值定理指导教师王子华学生姓名卢波学号 201200702049 专业信息与计算科学教学单位德州学院数学科学学院二O 一六年五月二十日德州学院毕业论文课题说明书德州学院毕业论文开题报告书德州学院毕业论文中期检查表院(系)：数学科学学院专业：信息与计算科学 2016年 4备注：目录摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)KeyWord (1)0前言 (1)1对拉格朗日中值定理的理解 (1)1.1承上启下的定理 (1)1.2定理中的条件 (1)1.3定理中的 (2)1.4定理的意义 (2)2 拉格朗日中值定理的证明 (2)3 拉格朗日中值定理的应用 (3)3.1求极限 (3)3.2证明不等式 (5)3.3证明恒等式 (8)3.4证明等式 (9)3.5研究函数在区间上的性质 (10)3.6估值问题 (11)3.7判定级数的收敛性 (12)3.8证明方程根的存在性 (13)3.9误用拉格朗日中值定理 (14)结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)拉格朗日中值定理的应用学生姓名：卢波学号：201200702049院系：数学科学学院专业：信息与还算科学指导老师：王子华职称：教授摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。

本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。

这对于正确的理解掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。

关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性The Application of Lagrange's mean value theoremAbstract：The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special ex plaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many resea rchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order t o make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analy zed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean valu e theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the as pects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for underst anding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant an d profound significance for further study of mathematics.Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots0前言函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

毕业论文拉格朗日中值定理分析

这对于正确的理解掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。

拉格朗日中值定理的证明及其应用

拉格朗日中值定理的证明及其应用【摘要】拉格朗日中值定理是微积分中重要定理之一，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，再应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算、区间套定理四个方面分析构造辅助函数的思路和方法，利用该辅助函数证明了拉格朗日中值定理，并以具体实例说明如何应用拉格朗日中值定理.【关键词】罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；辅助函数1 引言拉格朗日中值定理是微分学的重要定理之一，它的证明通常以罗尔中值定理作为预备定理，其证明方法关键在于构造一个辅助函数，而辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件，证明的过程就是对辅助函数应用罗尔中值定理推出拉格朗日中值定理的结论.罗尔定理中这个条件很特殊，它使罗尔定理的应用受到限制.如果把这个条件取消，但仍保留另外两个条件，并且相应改变结论，即得微分学中十分重要的拉格朗日中值定理.本文从坐标旋转、分析表达式、向量运算三种方法证明了拉格朗日中值定理，并从具体实例说明了如何应用拉格朗日中值定理.2 拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理的证明过程就是对所构造的辅助函数（该辅助函数应满足罗尔中值定理的全部条件）应用罗尔中值定理.由于构造辅助函数的思路不同，拉格朗日中值定理的证法有多种.首先我们给出罗尔中值定理和拉格朗日中值定理[1]如下：罗尔中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导；（3）.则至少存在一点，使.拉格朗日中值定理若函数满足以下条件：（1）在连续；（2）在可导，则在内至少存在一点，使.2.1 利用坐标旋转构造辅助函数如果函数在闭区间上连续；在内可导.图2.1如图2.1所示，由坐标旋转图形的不变形可知，只要把坐标轴旋转到与直线重合，在新坐标下图形显然满足罗尔定理条件，通过罗尔定理即可得出结论.为此可引入旋转坐标变换[2].因为，所以有逆变换.记.取旋转角时，在上连续；在内可导，由，可得，即，因此，满足罗尔定理的条件，故至少存在一点使，亦即，.2.2 利用分析表达式构造辅助函数由拉格朗日中值定理结论可知，欲证，即要证，换言之即证在区间内有零点.据此利用罗尔定理可得拉格朗日中值定理.证明令，则在区间连续，在内可导，且，即.故由罗尔定理知，至少存在一点，使.即.注意这辅助函数所表示的曲线是曲线和直线之差，而这直线通过原点且与曲线在上两端点的连线平行，从而使得满足罗尔中值定理的条件.2.3 利用向量运算构造辅助函数引理 2.1[3]在平面直角坐标系中，已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC面积为.于是可以引用引理证明拉格朗日中值定理如下：若在内连续，在内可导，则在内连续，在内可导，且，所以由罗尔中值定理知：在内至少存在一点使得，而.故.通过对拉格朗日中值定理的证明方法的分类总结，发现证明方法的确多种多样.一般来说大多采用的是构造辅助函数的方法，我们从分析和几何的角度加以分析总结，分析法构造辅助函数主要有原函数构造法；几何法是利用图形的特征进行分析，从而构造出需要的辅助函数，与分析法有异曲同工之妙，同时也可以认为是上面某些分析方法的几何解释.另外我们还总结了一些特殊方法，它们不需要构造辅助函数，仍可以得证，如区间套定理证明法.通过分类总结，有助于开阔我们的思路，对微分中值定理的认识也会更加深入.3 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础.它作为中值定理的核心，有着广泛的应用，在很多题型中都起到了化繁为简的作用.下面通过举例说明拉格朗日中值定理在四个方面的应用.3.1 证明不等式证明不等式的方法很多，但对于某些不等式，用初等解法不一定解得出来.拉格朗日中值定理在不等式中有很重要的应用，往往能够化难为易.在应用中关键是取适当函数，利用中值公式将所要证明的不等式与导函数联系起来，在根据的某些性质证出所要求的不等式.比如描述函数的增量与自变量增量关系的不等式或者中间一项可以表示成函数增量形式等题型.例 3.1 证明对一切都成立.证明设，取闭区间.因为在上满足拉格朗日中值定理条件.所以，至少存在一点，使得.即. （3.1）因为，即，又.所以，（3.2）又因为，所以由（3.1）﹑（3.2）知，即.3.2 函数单调性的判定由拉格朗日中值定理得到下面的结论：设函数上连续，在内可导，则（1）如果，则上单调递增.（2）如果，则上单调递减.下面我们具体的看一下它的应用.例 3.2 证明在上单调增加.证明若令，则只需证明单调增加.，对函数应用拉格朗日中值定理得到，得到.因此，由上面结论推出单调增加，从而在上单调增加.3.3 证明方程根的存在性在拉格朗日中值定理的条件下，若加上条件，则可知在开区间内至少存在一点，使得这是拉格朗日中值定理的特殊情形，称为罗尔中值定理，可用于证明方程的根的存在性.证明方程根的存在性时所给根的范围就是区间，把所给方程设为函数，就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.例 3.5 证明若方程有正根，则方程必有一个小于的正根.证明设= ，.易证在上满足拉格朗日中值定理条件，并且.所以，由罗尔中值定理可知，至少存在一点，使得，即方程，有一个小于的正根.由上面的例题，我们见到了中值定理在求解初等数学题中的优越性.因此，将微积分的方法应用于初等数学中，将它作为教学的辅助手段是可取的.3.4 证明等式用拉格朗日中值定理证明等式也是拉格朗日中值定理应用中很重要的一项，在证明等时中起到了化繁为简的作用，为以后的等式证明提供了方面.例 3.7 设在上连续，在内可导，且，试证，，使得.证明令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，由条件，可得，再令，则在上满足拉格朗日中值定理条件，故存在，使得，综合上述两式可得，即.用初等数学的方法解数学题，有时需要很高的技巧，并且很繁琐，往往此时利用微积分方法会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.结束语著名的拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，在理论和应用上都有着及其重要的意义.该定理叙述简单明了，并有明确的几何意义，一般掌握问题不大，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度.熟练掌握定理本质，在解题时会化繁为简，化难为易.利用拉格朗日中值定理解题的关键是根据题意选取适当的函数，使它们满足拉格朗日定理条件，然后运用定理结论或推论，经过适当的变形或运算等得出所要的结论.参考文献：[1]刘士强.数学分析（上）[M].南宁：广西民族出版社，2000.[2]刘振航.关于拉格朗日中值定理的证明[J].天津商学院学报，2002，22（3）：35-36.[3]张娅莉，汪斌.拉格朗日中值定理的证明和应用[J].信阳农业高等专科学校学报，2005，15（4）：88-90.。

拉格朗日中值定理证明及其应用

拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。

这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。

拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。

具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。

在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。

拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。

拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。

在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。

1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。

在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。

拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。

通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。

这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。

拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。

通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。

拉格朗日中值定理的应用

本科生毕业论文题目:拉格朗日中值定理的应用名:姓学号:业:专级:年院:学完成日期:指导教师:目录1引言12拉格朗日中值定理的应用22.1拉格朗日中值定理在求极限中的应用 (3)2.2拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用 (5)2.3拉格朗日中值定理在研究函数在区间上性质的应用 (6)2.4拉格朗日中值定理在证明恒等式中的应用 (7)2.5拉格朗日中值定理在证明根的存在性中的应用82.6拉格朗日中值定理在证明等式中的应用 (9)2.7拉格朗日中值定理在判定级数收敛性中的应用102.8拉格朗日中值定理在求解估值问题中的应用..11 3结束语11致谢13参考文献13拉格朗日中值定理的应用作者:指导教师:摘要:拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,它有着广泛的应用.本文探讨拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、研究函数区间上的性质、证明恒等式等方面的应用.关键词:拉格朗日中值定理;极限;不等式;函数在区间上的性质Application of Lagrange’s mean value theoremAbstract:Lagrange’s mean value theorem is one of the basic theorems of diﬀerential calculus. It has a wide range of applications.In this paper,we discuss the application of the Lagrange’s mean value theorem in the limit,proving the inequality,studying the property of function on the interval,proving the identity and so on.Keywords:Lagrange’s mean value theorem;limit;inequality;the property of function on the interval1.引言在数学领域上对微分中值定理的研究,从微积分建立之后就开始了.1691年,法国数学家罗尔给出了罗尔定理,1797年,法国数学家拉格朗日了拉格朗日定理,并给出定理原始的证明方法.微分中值定理是微分学理论的重要组成部分,在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微分学中占有重要的位置.微分中值定理是一系列中值定理的总称,主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理.以罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的微分中值定理是整个微分学的理论基础,它们建立了导数值与函数值之间的定量联系,微分中值定理的主要作用在于证明和理论分析,应用导数判断函数的重要性态,例如函数的单调性、极值、凹凸性等.微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论,它架起了利用微分研究函数的桥梁.而拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心,可以说其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,例如,在拉格朗日定理中,如果f(a)=f(b),则变成罗尔定理;在柯西中值定理中,如果g(x)=x,则变成拉格朗日定理.因此,罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况,柯西中值定理是拉格朗日定理的推广.拉格朗日中值定理是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值.课本并没有对拉格朗日中值定理的应用有作专门的讲解,而许多习题集上也只是笼统的概括拉格朗日中值定理的应用[1][2][3],目前,在国内发表有关拉格朗日中值定理的应用的文章也大多只是在单方面的研究,并没有系统的总结,例如:拉格朗日中值定理在初等数学中的应用[4],拉格朗日中值定理在求极限中的应用[5],拉格朗日中值定理在证明不等式的应用[6][7],还有高等教学方面的应用探究,如拉格朗日中值定理及其应用的教学探究[8]等,因此,本文在别人研究的基础之上,通过自己的理解,对拉格朗日中值定理的应用进行探讨和归纳,并通过具体例子进行说明.希望通过对拉格朗日中值定理的应用研究,能对拉格朗日中值定理的应用有更深入的理解,并熟练正确应用.拉格朗日（Lagrange）中值定理[9]：若函数f满足如下条件:(i)f在闭区间[a,b]上连续;(ii)f在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a,拉格朗日中值定理的两个重要推论[10]:推论1若函数f(x)在(a,b)上可导,且f′(x)=0,那么函数在该区间上是一个常数.推论2若函数f(x)与g(x)在开区间I内可导,且f′(x)=g′(x),那么f(x)=g(x)+C, C为常数.拉格朗日（Lagrange)中值定理的几种等价形式[9]:1.f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),a<ξ<b;2.f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),0<θ<1;(称为有限增量定理)3.f(a+ℎ)−f(a)=f′(a+θℎ)ℎ,0<θ<1.2.拉格朗日中值定理的应用微分中值定理是一系列中值定理的总称,是微分学的基本定理,也是应用数学研究函数在区间上整体性的有力工具,而拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心,可以说其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值.本章就通过对拉格朗日中值定理的应用进行探讨和归纳,并通过具体的例子来说明其在高等数学中的应用有求极限、证明不等式、研究函数在区间上的性质、证明恒等式、证明等式、估值问题、证明级数收敛以及研究函数根存在性问题等.2.1拉格朗日中值定理在求极限中的应用运用拉格朗日中值定理求解函数极限的原理:由于对于函数极限表达式有拉格朗日中值定理中的f(b)−f(a)或f(b)−f(a)b−a形式的时候,可以使极限转化为f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)或者f(b)−f(a)b−a=f′(ξ),因为ξ在[a,b]区间内,然后根据题意,通过变量的趋近值,求出ξ的趋近值,最后求出函数极限值.运用拉格朗日中值定理求解函数极限的解题思路:对于函数极限表达式当中出现拉格朗日中值定理中的f(b)−f(a)或f(b)−f(a)b−a形式的时候,先用拉格朗日中值定理将极限进行转化,然后在求解,可达到化繁为简的效果.例2.1.求极限limt→0e t−e sin t t−sin t.解法一：因为所求极限的函数是00型未定式,可运用洛必达法则lim t→0e t−e sin tt−sin t=limt→0e t−e sin t cos t1−cos t=limt→0e t−e sin t cos2t+e sin t sin tsin t=limt→0e t−e sin t cos3t+2e sin t cos t sin t+e sin t cos t sin t+e sin t cos tcos t=1.解法二:运用拉格朗日中值定理求解设f(x)=e x显然f(x)在[t,sin t]上连续,在(t,sin t)内可导.运用拉格朗日中值定理,故存在ξ∈(t,sin t),f′(ξ)=e sin t−e tsin t−t=e t−e sin tt−sin t=eξ,当t→0时,则sin t→0,由介值定理得ξ→0,则lim t→0e t−e sin tt−sin t=limt→0eξ=1.例2.2.求极限limx→1(a1−x a−b1−x b),(a=b,a>0,b>0).解法一：运用洛必达法则求解lim x→1(a1−x a−b1−x b)=limx→1a(1−x b)−b(1−x a)(1−x a)(1−x b)=limx→1a−b−ax b+bx a1−(x a+x b)+x a+b=limx→1−abx b−1+abx a−1−ax a−1−bx b−1+(a+b)x a+b−1=limx→1−ab(b−1)x b−2+ab(a−1)x a−2−a(a−1)x a−2−b(b−1)x b−2+(a+b)(a+b−1)x a+b−2=limx→1−ab(b−1)+ab(a−1)−a(a−1)−b(b−1)+(a+b)(a+b−1)=−b−a2=a−b2.解法二：运用拉格朗日中值定理求解令函数f(x,y)=y1−x y,显然,f(x,y)在[b,a]上连续,在(b,a)内可导,所以f(x,y)满足拉格朗日中值定理,故存在一点ξ∈(b,a),有f(a)−f(b)=f′(ξ)(a−b),则a1−x a−b1−x b=1−xξ+ξxξln x(1−xξ)2(a−b),所以,极限lim x→1(a1−x a−b1−x b)=limx→1(a−b)1−xξ+ξxξln x(1−xξ)2=(a−b)limx→1−ξxξ−1+ξ2xξ−1ln x+ξxξ−12(1−xξ)(−ξxξ−1)=(a−b)limx→1−ξln x2(1−xξ)=(a−b)limx→1−ξ2(−ξxξ−1)=a−b2.注：我们知道求函数极限的方法很多,常用的有运用洛比达法则和一些重要的极限等,但通过以上例题两种解题方法的比较,对于某些函数在运用洛必达法则求解时,计算量比较大,而在运用拉格朗日中值定理求解把极限转化为简单的表达形式时,计算量减小,可达到化繁为简的效果.例2.3.函数g(x)在R上可导,极限limx→∞g(x)与limx→∞g′(x)都存在,证明:极限limx→∞g′(x)=0.证明:∀x∈(−∞,∞),则g(x)在[x,x+1]上可导,记limx→∞g(x)=A,则limx→∞g(x+1)=A,因此limx→∞[g(x+1)−g(x)]=0,由拉格朗日中值定理知g(x+1)−g(x)=g′(ξ),x<ξ<x+1,当x→+∞时,ξ→+∞,于是lim x→∞g′(ξ)=limx→∞[g(x+1)−g(x)]=0,又由limx→∞g′(x)存在及归结原则得lim x→∞g′(x)=limξ→∞g′(ξ)=0.2.2拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用运用拉格朗日中值定理证明不等式的原理:由于拉格朗日中值定理f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)中的ξ在区间(a,b)内,因此f′(ξ)必然存在最大值和最小值,因此,可以运用拉格朗日中值定理证明不等式.拉格朗日（Lagrange)中值定理证明不等式的解题思路:在应用中关键是构造适当函数f(x),运用拉格朗日中值定理f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),将所要证明的不等式与f′(ξ)联系起来,再根据f′(ξ)的某些性质（如有界性,放缩性等),得出要证明的不等式.一、双边不等式的证明例2.4.求证：1−n m<ln m n<m n−1,(0<n<m).证明:构造函数,令g(x)=ln x.x∈[n,m],显然g(x)在[n,m]上满足拉格朗日中值定理的条件,则存在x∈[n,m]且g′(x)=1x.使g(m)−g(n)=g′(ξ)(m−n)=1ξ(m−n),因为n<ξ<m,所以1m<1ξ<1n.因为1m<ln m−ln nm−n<1n,所以m−nm<ln m−ln n<m−nn.即1−n m<ln m n<m n−1.二、含绝对值的不等式的证明例2.5.证明:对任意的实数t1,t2,都有|sin t2−sin t1|≤|t2−t1|.证明:设f(t)=sin t,对∀t1,t2∈R,设t1<t2,因此f(x)在[t1,t2]上满足拉格朗日中值定理,故存在一点ξ∈[t1,t2],有|sin t2−sin t1|=|cosξ||t2−t1|,由|cos t|≤1,所以|sin t2−sin t1|≤|t2−t1|.2.3拉格朗日中值定理在研究函数在区间上性质的应用运用拉格朗日中值定理研究函数在区间上性质的原理:由于拉格朗日中值定理建立了导数值与函数值之间的联系,因此,可用导数的性质去了解函数在定义域区间上的性质,例如研究函数的单调性,函数符号,函数凸性与函数一致连续性等等.因此,可以通过拉格朗日中值定理求解函数在区间性质的应用.一、证明函数的单调性例2.6.设g(x)在[0,∞)上连续,在(0,∞)内可导且g(x)=0,g′(x)在(0,∞)内严格单调递增.证明:g(x)x在(0,∞)严格单调递增.证明:要证g(x)x在(0,∞)严格单调递增,则有(g(x)x)′=xg′(x)−g(x)x2>0,x∈(0,∞),则需证g′(x)>g(x)x,由题意可知,g(x)满足Lagrange中值定理,故存在ξ∈(0,x),使得g′(ξ)=g(x)−g(0)x−0=g(x)x,又g′(x)在(0,∞)内严格单调递增,显然,g′(x)>g′(ξ),所以xg′(x)−g(x)=x[g′(x)−g(x)x]=x[g′(x)−g′(ξ)]>0,于是(g(x)x)′=x′g(x)−g(x)x2>0,故g(x)x在(0,∞)内严格单调递增.二、证明函数的有界性例2.7.证明:若函数f(x)在有限区域(c,d)内可导,但无界,则其导函数f′(x)在(c,d)内必无界.证明:反证法,若f′(x)在(c,d)内有界,则存在m使得|f′(x)|≤m,任取一点x=t, a∈(c,d),f(t)有界,对任意的x∈(c,d),f(t)满足拉格朗日中值定理,故存在ξ∈(t,x),则有f(x)−f(t)=f′(ξ)(x−t),所以|f(x)|=|f(x)−f(t)+f(t)|≤|f(x)−f(t)|+|f(t)|=|f′(ξ)(x−t)|+|f(t)|≤m(d−c)+|f(t)|,则有f(x)在(c,d)上有界,与条件矛盾,故有f′(x)在(c,d)内无界.三、证明函数的一致连续性例 2.8.证明:若函数f(x)于有穷或无穷的区间(c,d)内有有界的导函数f′(x),则f(x)于(c,d)中一致连续.证明:由条件可知,当x∈(c,d)时,存在m使得|f′(x)|≤m,对任意的x1,x2∈(c,d), f(x)满足拉格朗日中值定理,故存在ξ∈(x1,x2),则有f(x2)−f(x1)=f′(ξ)(x2−x1),对于∀ξ>0,取δ=ξm,则当x1,x2∈(c,d)时,且|x2−x1|<δ,则有|f(x2)−f(x1)|=|f′(ξ)(x2−x1)|≤m|x2−x1|<ξ,由一致连续的定义可知,即f(x)于(c,d)中一致连续.2.4拉格朗日中值定理在证明恒等式中的应用运用拉格朗日中值定理证明恒等式的原理：由于拉格朗日中值定理中f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a,若函数f(x)在某区间的导数恒为零,所以f′(ξ)=0,有f(a)=f(b),则f(x)在该区间是一个常数,因此可以运用拉格朗日中值定理证明恒等式.运用拉格朗日中值定理证明恒等式的解题思路：在解答这类型题的时候,关键在于构造合适的函数,然后根据拉格朗日中值定理的推论1进行解答，这个推论可以证明一类反三角函数恒等式的题目.例2.9.证明:对于x在区间[−12,12]上,有3arccos x−arccos(3x−4x3)=π.证明:令g(x)=3arccos x−arccos(3x−4x3),当x∈[−12,12]时,则g′(x)=−3√1−x2+3(1−4x2)√︀1−(3x−4x3)2=−3√1−x2+3(1−4x2√︀(1−4x2)2(1−x2)=0.因此当x在开区间(−12,12)时,g(x)为常函数,则g(x)=c（c为常数),又g(0)=π,则当x∈(−12,12)时,有g(x)=π.且g(−12)=g(12)=π,所以当x∈[−12,12]时,恒有g(x)=π.即有x在区间[−12,12]上,有3arccos x−arccos(3x−4x3)=π.2.5拉格朗日中值定理在证明根的存在性中的应用运用拉格朗日中值定理证明根的存在性的关键在于:构造辅助函数,运用拉格朗日中值定理或者它的特殊情形罗尔定理与连续函数的介质性等证明方程根的存在性.例2.10.证明方程t5+t−1=0只有唯一的正根.证明:设g(t)=t5+t−1=0,则g(0)=−1<0,g(1)=1>0.由连续函数的根存在性定理可知,存在t0∈(0,1),使得g(t0)=0.所以t0为方程t5+t−1=0的一个正根.设方程t5+t−1=0的另一个正根t1,且t1>t0,则g(t)在[t0,t1]上满足拉格朗日中值定理条件,并且g(t1)=g(t0)=0,由拉格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理知,存在ξ∈(t0,t1)使得g(ξ)=0,即4ξ4+1=0,显然,这样的ξ在实数范围内是不存在的.所以,原方程只有一个正根.例2.11.设f(x)在[b,∞)上二阶可导,且f(b)>0,f′(b)<0.又当x>b时,f′′(b)<0,证明:方程f(x)=0在(b,∞)内必有唯一实根.证明:由f′′(x)<0,所以f′(x)<0在[b,∞)上严格单调递减,从而当x>b时, f′(x)<f′(b)<0,由拉格朗日中值定理知,当x>b,有f(x)=f(x)−f(b)+f(b)=f′(ξ)(x−b)+f(b)≤f′(b)(x−b)+f(b),又limx→∞[f′(b)(x−b)+f(b)]=−∞,所以limx→∞f(x)=−∞,又f(b)>0,从而由连续函数的介值性知,方程f(x)=0在(b,+∞)内有必有的实根.假设有x1,x2,使f(x1)=f(x2)=0,由拉格朗日中值定理的特殊情况罗尔定理可知,存在着ξ,使得f′(ξ)=0,与已知条件矛盾,故只有唯一实根.2.6拉格朗日中值定理在证明等式中的应用拉格朗日中值定理证明等式,常用于证明至少一点ξ1,ξ2∈(a,b)且ξ1=ξ2满足某种关系式的命题,证明的关键在于构造函数,找出与拉格朗日中值定理类似的式子.例2.12.设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,证明:存在t1,t2∈(0,1),使得f′(t1)f′(t2)=1.证明:构造函数,令g(x)=f(x)+x−1,则有g(0)=−1,g(1)=1.由连续函数的根存在性定理可知,则存在一点b∈(0,1),使得g(b)=0,可推出f(b)=1−b.当t1∈(0,b)时,f(x)满足拉格朗日中值定理,可得f(b)−f(0)=f′(t1)b,同理,当t2∈(b,1)时,f(1)−f(b)=f′(t2)(1−b),则有f′(t1)f′(t2)=bf(b)1−b1−f(b)=b1−b1−b1−(1−b)=1.所以可证得f′(t1)f′(t2)=1.例2.13.若f(x)在[0,1]内连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1.证明:对任意的正数c和d,存在t1,t2∈(0,1),使得cf′(t1)+df′(t2)=c+d.证明:构造函数ℎ=cc+d,则0<ℎ<1,因为f(0)=0,f(1)=1,由连续性函数的介质性可知,存在x0∈(0,1),使得f(x0)=ℎ,由拉格朗日中值定理可知,t1∈(0,x0), t2∈(x0,1),使f′(t1)=f(x0)−f(0)x0=ℎx0,f′(t2)=f(1)−f(x0)1−x0=1−ℎ1−x0,于是c f′(t1)+df′(t2)=cx0ℎ+d(1−x0)1−ℎ=c+d.2.7拉格朗日中值定理在判定级数收敛性中的应用判断级数收敛性的方法有正项级数收敛方法、莱布尼茨判别式、绝对收敛和条件收敛等,但对于某些级数,可以运用拉格朗日中值定理求解.例2.14.证明调和级数∞∑︀x=11x是发散的.证明:构造函数,令f(t)=ln t,且t∈[N,N+1],N∈Z+.显然,f(t)在[N,N+1]上连续,在(N,N+1)可导,由拉格朗日中值定理可知,故存在一点ξ∈(N,N+1),使ln(N+1)−ln(N)=f′(ξ)(N+1−N)=1ξ<1N,则有当N=1时,有ln2−ln1<1,当N=2时,有ln3−ln2<12,当N=3时,有ln4−ln3<13,当N=n时,有ln(x+1)−ln x<1x,对上面的式子相加,得ln(x+1)<1+12+13+ (1x)右端之和正是调和级数∞∑︀x=11x的前n项之和,则有S n=1+12+13+······+1x,∵lim x→∞ln(x+1)=+∞,∴limx→∞S n=+∞,因此,调和级数∞∑︀x=11x是发散的.2.8拉格朗日中值定理在求解估值问题中的应用对于求解或者证明估值问题时,常用的方法是选用泰勒公式证明,特别是二阶及二阶以上的导函数估值时,使用比较简便,但对于某些积分估值,可以采用拉格朗日中值定理来证明.例2.15.设导函数f′(x)在[a,c]上连续且f(a)=f(b)=0,记M=maxa≤x≤c|f′(x)|.求证：4 (c−a)2∫︁caf(x)dx≤M.证明:对任意的b∈[a,c],由拉格朗日中值定理可知:∫︁c a f(x)dx≤∫︁ca|f(x)dx|=∫︁ba|f(x)−f(a)|dx+∫︁cb|f(c)−f(x)|dx =∫︁ba|f′(ξ1)||x−a|dx+∫︁cb|f′(ξ2)||c−x|dx≤M[∫︁ba(x−a)dx+∫︁cb(c−x)dx]=M[(b−a)22+(c−b)22].令b=a+b2,[(b−a)22+(c−b)22]=(c−a)24,所以4(c−a)2∫︁caf(x)dx≤M.3.结束语本文主要研究了对拉格朗日中值定理的应用进行归纳和探讨,并且通过具体的例子举例说明,本文的侧重点在于应用拉格朗日中值定理在求极限、证明不等式、研究函数在区间上的性质、证明恒等式这四个方面,并给出了详细的解答原理和解题方法以及解答过程,本文的结论是总结出拉格朗日中值定理在高等数学中的八个方面的应用,分别是求极限、证明不等式、研究函数在区间上的性质、证明恒等式、证明根的存在性、证明等式、证明级数收敛性以及在估值方面的应用.课本并没有对拉格朗日中值定理的应用有作专门的讲解,而许多习题集上也只是笼统的概括拉格朗日中值定理的应用,目前,在国内发表有关拉格朗日中值定理的应用的文章也大多只是在单方面的研究,并没有系统的总结.因此,本文的创新之处在于对拉格朗日中值定理的应用进行归纳总结,得出了其在求极限、证明等式、研究函数在区间上的性态、证明级数收敛等八个方面的应用,并且总结出拉格朗日中值定理在求极限,证明不等式,研究函数的性态,证明恒等式这四个方面的解题原理和解题思路.希望通过对拉格朗日中值定理的应用研究,能使同学们对拉格朗日中值定理的应用有更深入的理解,并熟练正确应用.致谢在论文的准备和撰写过程中,我得到了老师的悉心指导和精心点拨,在此对她表示衷心的感谢和诚挚的敬意!参考文献:[1]华东师范大学.数学分析习题解析[M].陕西:陕西师范大学出版社,2004.[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003．[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[4]程玲华.拉格朗日中值定理在初等代数中的应用[J].合肥:合肥教育学院学报,2003(02):63-65.[5]刘三阳,常丁民.用拉格朗日中值定理求极限[J].西安:高等数学研究,1998(03):27-29.[6]石正华.浅谈拉格朗日中值定理在证明不等式中的应用[J].北京:中国科教创新导刊,2012(02):106.[7]崔瑞霞.拉格朗日中值定理在分析不等式中的应用[J].武汉:高等函授学报,2010(01):30-32.[8]杜广怀,王佳秋,李焱.拉格朗日中值定理及其应用的教学探究[J].黑龙江:高师理科学刊,2010(36):37.[9]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.[10]马锐.微积分[M].北京:高等教育出版社,2010.。

浅谈拉格朗日中值定理的推广和应用

浅谈拉格朗日中值定理的推广和应用邓敏(湖南长沙干杉湖南交通职业技术学院湖南·长沙410132)中图分类号：G712文献标识码：A文章编号：1672-7894（2013）18-0055-02摘要拉格朗日中值定理是微分学中的重要的基本定理之一，也是三大微分中值定理中的核心定理，本文应用拉格朗日中值定理及推论证明等式、举例说明Lagrange 中值定理在求解极限中的应用、就拉格朗日中值定理的一个推广进行了浅要说明，其中在拉格朗日中值定理推广上证明了拉格朗日中值定理在开区间有连续右导数的情况也能使用，这一推广大大拓宽了拉格朗日中值定理的使用范围。

关键词拉格朗日中值定理推广应用A Brief Discussion on the Popularization and Application of Lagrange Mean Value Theorem //Deng MinAbstract Lagrange mean value theorem is one of the basic theo-rems in differential calculus,and also the core theorem of the three mean value theorems.This paper briefly interprets the pop-ularization and application of Lagrange mean value theorem,and introduces the application expansion of this theorem.Key words Lagrange mean value theorem;popularization;appli-cation1Lagrange 中值定理定理1.1拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数f （x ）满足如下条件：(i)f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续；(ii)f （x ）在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点整=f （b ）-f （a ）b-a(1.1)当f （a ）=f （b ）时，这个定理的结论其实就是罗尔定理的结论，这也表明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。

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拉格朗日中值定理的应用论文论文题目拉格朗日中值定理姓名学号所在学院年级专业完成时间年月日拉格朗日中值定理的应用摘要：以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的重要理论基础，而拉格朗日中值定理因其中值性是几个中值定理中最重要的一个，在微分中值定理和高等数学中有着承上启下的重要作用。

中值定理的主要用于理论分析和证明，例如利用导数判断函数单调性、凹凸性、取极值、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的重要工具。

而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，研究其定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，是十分必要的，鉴于课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有进行系统的总结，有鉴于此，本文将对其应用进行了深入的总结。

关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；收敛Applications of Lagrange's mean value theoremAbstract：A group of mean value theorem which includes Rolle's mean value theorem ,Lagrange's mean value theorem and Cauchy's mean value theorem is the theoretical basis of the differential calculus. And Lagrange's mean value theorem is the most important one of these mean value theorems because of its property median and continuity. Mean value theorems' main function include theory analysis and proof, such as providing theoretical basis for judging function monotonicity, convexity, inflection point，and calculating extreme value by derivative, so that we can grasp the various geometric characteristic function image. All in all, differential mean value theorem is the communication bridge between the derivative value and the function value. And it is even the tool of inferring the whole nature of function by the local nature of derivative. As a structure connecting ecosystem and individuals in differential mean value theorem, it is very important to research Lagrange's mean value theorem's way to prove, understand and master it correctly, even keep gaining insight into its important applications. There is no special explanation about the applications of Lagrange's mean value theorem and many researchers also just studied it in some applications and no systematic summary. This article will give the in-depth summary.Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Convergence目录引言： (1)一、拉格朗日中值定理及其证明 (2)1.定理内容： (2)2.几何意义： (2)3.定理证明： (2)二、拉格朗日中值定理的应用 (3)1.利用拉格朗日中值定理证明不等式 (3)2.利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式） (4)3.利用拉格朗日中值定理求极限 (4)4.利用拉格朗日中值定理判别级数的敛散性 (5)5.利用拉格朗日中值定理估值 (5)6.利用拉格朗日中值定理研究函数性态 (6)7.利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性.. 7三、结论 (8)引言：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理以及泰勒公式因其中值性，是微分学的重要的和基本的定理,所以统称微分中值定理，以拉格朗日中值定理作为中心，它们之间的密切关系可用示意图表示如下：特例推广以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，特别是拉格朗日中值定理。

因为它建立了导数值与函数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数从而研究出函数的性态。

中值定理的主要用于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、凹凸性、拐点、取极值等各项重要函数性态提供重要理论依据，从而可以准确的把握函数图像的各种几何特征。

总之，微分中值定理是沟通函数值与导数值之间的重要桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

而拉格朗日中值定理作为其中一个承上启下的定理，力求正确地理解和掌握它，并在此基础上深入了解它的一些重要应用，这是十分必要的。

罗尔定理拉格朗日定理柯西定理泰勒公式一、拉格朗日中值定理及其证明1.定理内容：若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()ab a f b f f --=ζ'。

2.几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ⋂AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB 。

如图3.定理证明：（1）教材证法从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理（如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf ）。

换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。

所以，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明：作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a-=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0''=---=ab a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. （2）用作差法引入辅助函数法证明：作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=a x a b a f b f a f x f x ϕ，显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ϕϕ。

因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0''=---=ab a f b f f ζζϕ，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 二、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明等式和不等式、利用拉格朗日中值定理求极限、证明级数收敛、研究函数在区间上的性质、估值等问题。

1.利用拉格朗日中值定理证明不等式例1当x ≥0时，证明xx +1≤()x x ≤+1ln 。

证明：做辅助函数()()t t f +=1ln 。

函数f ()t 在定义域()∞+，1-上可导，故对于x ∀>0,有()()t t f +=1ln 在闭区间 []x ，0上连续，在开区间()x ，0上可导。

则至少存在一点()x ，0∈ξ，使得()()0f x f -=()ξf '()0-x =ξ+1x ,而()00=f ，()ξ+=∴1x x f 。

当x >0时，有ξ+≤+11x x x x ≤，即x x x x ≤+≤+ξ11，又当0=x 时，有()x x f x x ==+1，所以x x +1≤()x x ≤+1ln 得证。

对于证明不等式，关键怎样构造函数，其后巧用拉格朗日中值定理，画龙点睛恰到好处。

2.利用拉格朗日中值定理证明等式（包含恒等式和等式）例 2证明 212arct arccos (1)214x gx x x π-=≥+恒等。

证明：令212()arct arccos (1)214x x gx x x πΦ=-=≥+，则在(1)x ≥时22arccos1x x +有意义，且2211'()12x x Φ=++ 222222112(1)=011(1)x x x x x +-=+-+g g 。

在1x >时，()x c Φ=（为常数）。

又取(1,)+∞13264πππΦ=-=，且(1)044ππΦ=-=，所以端点值也成立，有推论212arct arccos (1)214x gx x x π-=≥+恒等。

由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点12,x x ，（不妨设12x x <）有2121()()'()()f x f x f x x ε-=-。

那么若'()f x 恒为0，则有'()0f ε=，所以21()()f x f x =，由12,x x 的任意性可知，()f x 在定义域内函数值恒等。