微分中值定理教案
微分中值定理PPT学习教案
x0 x
x0 x
lim ex 1. x0 1
当x→0时，
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例6. 求
解:
原式
lim
x1
3x2 3 3x2 2x 1
lim 6x 3 x1 6x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
x1 6x 2
lim 6 1 x1 6
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0型 0
0 型
第25页/共37页
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例12. 求
lim
x0
1 x
1 ex 1
.
型
解:
lim
x0
1 x
1 ex 1
lim
x0
ex x 1 x(ex 1)
lim
x0
ex 1 xex ex 1
lim
x0
xex
ex
2ex
1. 2
第26页/共37页
0
00
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 3 仍然成立.
对于 型未定式也有相应的洛必达法则.
2.
若 lim f (x) g(x)
仍属
型或
型,且
满足定理3的条件, 则
也就是说, 如果条件成立, 洛必达法则可以使用多次.
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例5. 求
0型 0
解: lim ex 1 lim ex 1
2) f (x)与 g(x) 在 (x0 ) 内可导,且
3)
lim
x x0
f (x) A g(x)
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
第三章 微分中值定理与导数应用教案教学设计
证明：不妨设 x ∈U(x )时， f (x) ≤ f (x ) （若 f (x) ≥ f (x ) ，可以类似地证明）.∆x ≤ 0∆x第三章 微分中值定理与导数应用第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容：一、罗尔定理1. 罗尔定理几何意义：对于在 [a,b ] 上每一点都有不垂直于 x 轴的切线，且两端点的连线与 x 轴平行的不间断的曲线yf (x) 来说，至少存在一点 C ，使得其切线平行于 xC轴。
y = f ( x )ABoaξ ξ bx21从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。
为应用方便，先介绍费马（Fermat ）引理费马引理 设函数 f (x) 在点 x 的某邻域U ( x ) 内有定义, 并且在 x 处可导, 如果对任意 x ∈U(x ), 有 f (x) ≤ f (x ) (或 f (x) ≥ f (x )), 那么 f ' (x ) = 0 .0 0 0 0于是对于 x + ∆x ∈U(x ) ,有 f (x + ∆x) ≤ f (x ) , 从而当 ∆x > 0 时, 0f (x + ∆x) - f (x ) ; 而当 ∆x < 0 时, f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≥ 0; 0例如 y = ⎨根据函数 f (x) 在 x 处可导及极限的保号性的得f ' (x 0 ) = f '+ (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0 ) ≤ 0∆x →0+∆xf ' (x 0 ) = f '- (x 0 ) = lim f (x 0 + ∆x) - f (x 0) ≥ 0∆x →0-∆x所以 f ' (x ) = 0 , 证毕.定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理 如果函数 f (x) 满足：（1）在闭区间 [a,b ] 上连续, （2）在开区间 (a, b ) 内可导,（3）在区间端点处的函数值相等，即f (a) = f (b ), 那么在 (a,b ) 内至少在一点ξ(a <ξ < b ) ,使得函数 f (x) 在该点的导数等于零，即 f ' (ξ ) = 0 .证明：由于 f (x) 在 [a,b ] 上连续，因此必有最大值 M 和最小值 m ，于是有两种可能的情形：（1） M = m ，此时 f (x) 在 [a,b ] 上必然取相同的数值 M ，即 f (x) = M .由此得 f '(x) = 0. 因此，任取 ξ ∈ (a, b ) ，有 f '(ξ ) = 0.（2） M > m ，由于 f (a) = f (b ) ，所以 M 和 m 至少与一个不等于 f ( x ) 在区间[a,b ] 端点处的函数值.不妨设 M ≠ f (a)(若 m ≠ f (a) ,可类似证明),则必定在 (a,b ) 有一点 ξ 使 f (ξ ) = M . 因此任取 x ∈[a,b ]有 f (x) ≤ f (ξ ) , 从而由费马引理有 f '(ξ ) = 0 . 证毕例 1 验证罗尔定理对 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 在区间[-1,3] 上的正确性解 显然 f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3)( x + 1)在 [-1,3] 上连续，在 (-1,3) 上可导，且f (-1) = f (3) = 0 , 又 f '( x ) = 2( x - 1) , 取 ξ = 1, (1 ∈ (-1,3)) ,有 f '(ξ ) = 0 .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ 可能多于一个，也可能只有一个.例如 y = x , x ∈ [-2,2]在 [-2,2] 上除 f '(0) 不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但 在区间 [-2,2] 内找不到一点能使 f '( x ) = 0 .⎧1 - x, x ∈ (0,1] ⎩0, x = 0除了 x = 0 点不连续外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条2 2,]满足定理的一切条件，而ξ = 0,πx ∈ (0,1) 使 f (x ) = 0 , 即 x 为方程的小于 1 的正实根. 0但 f '(x) = 5(x 4 -1) < 0, ( x ∈ (0,1)) , 矛盾, 所以 x 为方程的唯一实根..件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点例如 y = x, x ∈ [0,1]. 除了 f (0) ≠ f (1) 外，在 [0,1] 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 [0,1] 上不存在使得 f '(ξ ) = 0 的点又例如 y = cos x,x ∈ [- π 3π2．罗尔定理的应用罗尔定理 1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式.例 2 证明方程 x 5 - 5 x + 1 = 0 有且仅有一个小于 1 的正实根.证明：设 f ( x ) = x 5 - 5x + 1 , 则f (x) 在 [0,1] 上连续，且 f (0) =1, f (1) = -3.由介值定理存在 0 0设另有x ∈ (0,1), x ≠ x , 使 f (x ) = 0. 因为 f (x) 在 x , x 之间满足罗尔定理1 1 0 1 0 1的条件, 所以至少存在一个 ξ （在 x , x 之间）使得 f '(ξ ) = 0 .1拉格朗日中值定理的证明就是罗尔定理证明等式的一个例子（见后面）二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理1.拉格朗日中值定理在实际应用中，由于罗尔定理的条件（3）有时不能满足，使得其应用受到一定限制。
第三章第一节微分中值定理教学教案
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 x 写 ) x ( 0 成 1 ).
在区间 [x1, x2上] 用拉格朗日中值定理得：
f(x 2 ) f(x 1 ) f() (x 2 x 1 )(x1 x2)
由已知 f()0 得
f(x2)f(x1)0
所以f(x)在区间Ｉ上任意两点的函数值都相等
故f(x)在区间I上是一个常数.
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
例1 验证罗尔 f(x定 )x2理 2x对 3在 区[间 1， 3]上的正 . 确性 解 显f然 (x)在 [1,3]上连 ,在 ( 续 1,3)内可导
且 f( 1 )0,f(3)0. 又 f(x)2(x1)
取 1,(1(1,3)), 则f()0.
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立. 例如, yx,x [2,2];
f '( ) 0
证 f(x )在 [a ,b ]连 ,必 续 有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a ) f(b ), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
第讲微分中值定理
第21讲微分中值定理一、计划学时：3节二、内容三、要求四、重点五、难点六、教学过程：第七章导数与定积分的应用数学大纲：一、计划学时：18节二、主要内容：中值定理、罗比塔法则、泰勒公式、函数性态的讨论（单调性、凹凸性、极值的求法）、函数图形的描绘。
元素法，求面积、体积等三、目的要求：1、理解并记忆微分学中值定理。
2、熟练掌握用罗比塔法则求不定式极限的方法。
3、会求函数的极值和最大（小）值。
4、掌握用导数研究函数性态的方法，会用微分法做出较简单函数的图形。
四、课时安排：§1、中值定理 2课时§2、罗比塔法则 2课时§3、泰勒公式 2课时§4、函数单调性与凹凸性2课时§5、极值与最大值，最小值问题 2学时§6、函数图形的描绘弧微分曲率 2课时§7、元素法面积§8、体积 2课时§9、物理上的应用 2课时五、重点、难点、特点的说明：本章重点：三个中值定理的理解与应用，罗比塔法则，函数的极限及其求法，微分法做图。
元素法面积、体积本章难点：三个中值定理的理解与应用，泰勒公式，微分法做图。
中值定理是微分学的重要理论。
中值公式是联系函数与导数的桥梁，意义深刻应用广泛，要适当突出中值定理在讨论函数中的作用。
导数的应用部分，项目较多，要通过介绍函数的微分法做图，将它们系统化。
元素法的应用，求面积、体积教学过程：上章中我们详细地讨论了导数、微分的概念及它们的运算问题。
我们知道导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映了函数在一点处的局部变化性态。
但在理论和实际应用中，常常需要把握函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。
从这节课开始我们将介绍导数的一些更深刻的性质——函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。
由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为中值定理。
函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的这种关系不仅是用微分学解决实际问题的数学模型，而且还完善了微分自身发展的理论基础，正是这一点的重要性，中值定理又称为微分基本定理。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：引言与预备知识【教学目标】1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握基本函数的求导法则。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理的背景和应用。
2. 复习基本函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的求导。
【教学活动】1. 教师讲解微分中值定理的概念和意义，引导学生理解其重要性。
2. 学生自主学习基本函数的求导法则，并进行练习。
教案章节二：罗尔定理【教学目标】1. 理解罗尔定理的表述和证明。
2. 掌握罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍罗尔定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解罗尔定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解罗尔定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习罗尔定理的应用，并进行练习。
教案章节三：拉格朗日中值定理【教学目标】1. 理解拉格朗日中值定理的表述和证明。
2. 掌握拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍拉格朗日中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解拉格朗日中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解拉格朗日中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习拉格朗日中值定理的应用，并进行练习。
教案章节四：柯西中值定理【教学目标】1. 理解柯西中值定理的表述和证明。
2. 掌握柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学内容】1. 介绍柯西中值定理的表述和证明方法。
2. 通过例题讲解柯西中值定理在实际问题中的应用。
【教学活动】1. 教师讲解柯西中值定理的表述和证明，引导学生理解其原理。
2. 学生跟随例题学习柯西中值定理的应用，并进行练习。
教案章节五：微分中值定理的应用【教学目标】1. 理解微分中值定理在实际问题中的应用。
2. 掌握利用微分中值定理解决实际问题的方法。
【教学内容】1. 介绍微分中值定理在实际问题中的应用，如求函数的单调区间、极值和最值等。
2. 通过例题讲解如何利用微分中值定理解决实际问题。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
高数教案_微分中值定理12
课 题: 微分中值定理 目的要求：掌握罗尔中值定理的条件与结论掌握拉格朗日中值定理的条件与结论掌握柯西中值定理的条件与结论掌握拉格朗日中值定理的应用 教学重点：掌握拉格朗日中值定理的应用 教学难点：掌握拉格朗日中值定理的应用 教学课时：2教学方法： 讲练结合 教学内容与步骤：罗尔中值定理引理(费马):设y =f (x )在开区间(a , b )内有定义. 在x 0∈(a , b )处取得最大值(最小值), 且f (x )在x 0处可导, 则 f '(x 0) = 0.证: 因f (x )在x 0处可导.0000()()lim(),.x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆故存在000000()()()()limlimx x f x x f x f x x f x x x +-∆→∆→+∆-+∆-=∆∆而0()f x '= 设f (x 0)为f (x )在开区间(a , b )内的最大值, 即, ∀x ∈(a , b ), 有 f (x ) ≤ f (x 0). 故当|∆x |充分小时, 有x 0+∆x ∈(a , b ), 从而 ： f (x 0+∆x ) – f (x 0) ≤ 0 (1)当∆x >0时,00()()0,f x x f x x+∆-≤∆ 令∆x →0+,由保号性定理,0000()()()lim0.x f x x f x f x x+∆→+∆-'=≤∆(2)当∆x <0时,00()()0,f x x f x x+∆-≥∆ 令∆x →0–,由保号性定理,0000()()()lim0.x f x x f x f x x-∆→+∆-'=≥∆综合(1),(2)有0 ≤ f '(x 0) ≤0, 故 f '(x 0) = 0, 类似可证f (x )在x 0取最小值的情形.注1： 因f '(x0)表示曲线y =f (x)上点M(x0, f (x0))处切线斜率. 而f '(x0)=0表示该点处切线斜率为0. 几何上表示: 若y =f (x)在(a, b)内部某点x0处取最大(小)值, 且在x0可导, 则在M(x0, f (x0))处的切线平行于x 轴. 如下图左注2： 若 f (x)在区间[a, b]的端点a(或b)处取得最大(小)值. 不能保证f '(a)(或 f '(b))=0. 即, 在端点M(a, f (a))或M(b, f (b))处切线不一定平行于x 轴. 如上图右 定理 (罗尔中值定理). 若y=f (x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f (a) = f (b). 则在(a, b)内至少存在一点ξ , 使得 f ' (ξ 0=) .证: 因f (x)在[a, b]上连续, 从而可取得最大值M = f (x0)和最小值m = f (x1). 其中, x0, x1∈ [a, b](1) 若 m=M , 因m ≤ f (x) ≤M. 即, M ≤ f (x) ≤M, 所以f (x)=M. 有f ' (x )=0, 故∀ξ∈ (a, b)有 f ' (ξ )=0 .(2) 若 m<M , 因f (a) = f (b). 故在m, M 中必至少有一个不等于f (a) (= f (b)), 不妨设M= f (x )≠0， f (a)= f (b), 故 x0 ≠ a, x0 ≠ b, 从而x0∈ (a, b). 由引理, f ' (x0=0), 记ξ = x0 , 即∃ξ∈ (a, b)使 f ' (ξ)=0 .注1： 几何意义: 若连续曲线y = f (x)除端点外处处有不垂直于x 轴的切线. 且两端点的纵坐标相等. 则在曲线上至少存在一点M. 在M 点的切线平行于x 轴.注2： 从方程的角度看, f ' (ξ)=0表示ξ是方程 f '(x )=0的根.因此, 罗尔定理的意义是若f (x )满足定理条件, 则方程 f '(x )=0在(a , b )内至少有一个根.注3：定理的条件"f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )= f (b ) " 不能减弱. 否则, 结论不对.比如, f (x )= |x |在[–1, 1] 上连续. 在除x =0外的每一点x 处都可导. 且f (–1)=f (1), 但是, 不存在ξ∈(–1, 1), 使得f '(ξ)=0.练习. 设函数 f (x ) = (x -1)(x -2)(x -3), 试判断方程 f '(x 0=) 有几个实根, 分别在何区间? 解: 因为 f (1)= f (2)= f (3), 且f (x )在[1, 2]上连续, 在(1,2)内可导, 由罗尔定理, ∃ξ1∈(1, 2),使 f '(ξ1)=0; 同理, ∃ ξ2∈(2, 3), 使 f ' (ξ2)=0; 又因f ' (x 0=)是二次方程, 至多两个实根, 故f ' (x 0=)有两个实根, 分别位于(1,2) 和(2,3)内.(1)修改: f (x) = (x -1)(x -2)(x -3)(x -4), 结论如何?(2)修改: 不解方程, 问 (x -2)(x -3)+(x -1)(x -3) +(x -1)(x -2)=0有几个实根, 分别在何区间? 拉格朗日中值定理：在罗尔定理中, 曲线上存在一点M , 使得M 点处切线平行于x 轴. 由于f (a )= f (b ). 从而该切线平行于弦AB .如果f (a )≠f (b ), 那么在曲线上是否仍然存在一点M , 使得M 点处切线平行于弦AB 呢?定理 若y =f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b ) 内可导, 则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得()()()f b f a f b aξ-'=-分析: 注意到()()AB f b f a K b a-=-要证()()()f b f a f b a ξ-'=-只需()()()0.f b f a f b a ξ-'-=-即()()()0.x f b f a f x x b a ξ='-⎛⎫-= ⎪-⎝⎭若将括号内函数看作ϕ(x). 则只须证ϕ'(ξ)=0即可.也就是只须证明ϕ(x)满足罗尔定理条件即可.证: 构造函数, 令()()()().f b f a x f x x b a ϕ-=--易见, ϕ(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导. 且()()()()()(),()().f b f a f b f a b f b b a f a a b a b aϕϕ--=-⋅=-⋅--故()()()()()()()()0f b f a b a f a f b b a b aϕϕ--=--⋅-=-，即ϕ(a) = ϕ(b).由罗尔定理, ∃ξ∈(a, b), 使ϕ' (ξ)=0 ()()().f b f a f b aξ-'=-即注1. 若f (a )= f (b ),()()()0.f b f a f b aξ-'==- 这正是罗尔定理的结论。
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微分中值定理【教学内容】 拉格朗日中值定理 【教学目的】1、熟练掌握中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；2、能应用拉格朗日中值定理证明不等式。
3、了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2 【教学重点与难点】1、拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用2、拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。
3、利用导数证明不等式的技巧。
【教学过程】一、背景及回顾在前面，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，需要在导数及函数间建立起联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
由此我们学习了极值点的概念、费马定理、特别是罗尔定理，我们简单回忆一下罗尔定理的内容：若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f二、新课讲解1797年，法国著名的数学家拉格朗日又给出一个微分中值定理，史称拉格朗日中值定理或微分中值定理，但未证明.拉格朗日中值定理具有根本的重要性，在分析中是许多定理赖以证明的工具，是导数若干个应用的理论基础， 我们首先看一下拉格朗日中值定理的内容：2.1拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)('注：a 、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。
b 、若加上)()(b f a f =，则()()00)('=-=--=ab a b a f b fc f 即：0)('=c f ，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
c 、形象认识（几何意义），易知()()ab a f b f --为过A 、B斜率，)('c f 为曲线)(x f 上过c 点的切线的斜率；若()()ab a f b fc f --=)('即是说割线的斜率等于切线的斜率。
几何意义：若在闭区间[]b a ,上有一条连续的曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少有一点))(,(c f c C ，使得过点C 的切线平行于割线AB 。
它表明“一个可微函数的曲线段，必有一点的切线平行于曲线端点的弦。
”2.2 拉格朗日定理的证明下面我们证明一下该定理。
分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数)(x ϕ，使他满足罗尔定理的条件。
注意罗尔定理的结果是0)('=c f ，对应拉格朗日定理的结果是()()a b a f b f c f --=)('，即()()0)('=---ab a f b fc f ，实际上就是0)('=c ϕ，即是说()()a b a f b f c f c ---=)()(''ϕ，两边积分得()()()C x ab a f b f x f x +---=)(ϕ，注意)(x ϕ要满足罗尔定理的三个条件，故取()()()()()][)(a x ab a f b f a f x f x ---+-=ϕ证明：作辅助函数()()()()()][)(a x ab a f b f a f x f x ---+-=ϕ，易知)(x ϕ在闭区间[]b a ,连续，在开区间()b a ,可导，又)()(b a ϕϕ=，根据罗尔定理，)(x ϕ在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c ϕ，而()()a b a f b f x f x ---=)()(''ϕ，于是()()0)()(''=---=ab a f b fc f c ϕ，即()()ab a f b fc f --=)('，命题得证。
注：a 、本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现，其中构造函数()()()()()][)(a x a b a f b f a f x f x ---+-=ϕ中的()()()()a x ab a f b f a f ---+其实就是过两点A 、B 两点的割线方程。
b 、拉格朗日中值定理的中值点c 是开区间（a,b ）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。
换言之，这个中值定理都仅“定性“地指出了中值点c 的存在性，而非”定量“地指明c 的具体数值。
c 、拉格朗日中值定理的其他表达形式：（1）.).)(()()(时也成立当b a a b f a f b f >-'=-ξ （2）x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ 之间和在x x x +∆ξ2.3 拉格朗日定理的应用例1: 验证函数()f x =3x -3x 在区间[0，2]上是否满足拉格朗日中值定理的条件，若满足，求使定理成立的ξ的值.解:因 3() =3f x x x -，在[]0,2上连续，在(0,2)内可导，满足定理的条件。
而2()=33f x x '-由()()()02)(02'-=-ξf f f 得231ξ-=3，3ξ=注 在验证拉格朗日中值定理时，必须注意： （1）该函数是否满足定理的两个条件。
（2）是否存在一点ξ∈（a,b ）,使))(()()(a b f a f b f -'=-ξ成立.例2 .)1ln(1,0x x xxx <+<+>时证明当 分析：此题难以下手，由此考虑到使用拉格朗日中值定理。
证明：设()()x x f +=1ln易知()x f 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件 故，()()()()()x x f f x f <<-=-ξξ0,00'又，()()xx f f +==11,00'，有上式得： ()ξ+=+11ln x x 又，111111110<+<+⇒+<+<⇒<<ξξξx x x 则，x x x x <+<+ξ11 ，即 x x xx <+<+)1ln(1，命题得证。
小结：用拉格朗日中值定理证明不等式，关键是选取适当的函数，并且该函数满足中值定理的条件。
便得到)( ))(()()(b a a b f a f b f <<-'=-ξξ，再根据b a <<ξ放大或缩小)(ξf '，证出不等式。
推论1 如果()f x 在区间(,)a b 内的导数恒等于零，那么()f x 在(,)a b 内恒等于一个常数.（证明作为课外作业）证：在区间(,)a b 内任意取两点1x ，2x （设12x x <），则()f x 在[]12,x x 上满足拉格朗日中值定理条件.故有()2121()()()f x f x x x f c '-=-⋅ 12()x c x <<，由于()0f c '=，所以21()()0f x f x -=，即21()()f x f x =.由于1x ，2x 是在(,)a b 内任意取的两点，因此()f x 在区间(,)a b 内函数值总是相等的，这表明()f x 在区间(,)a b 内恒为一个常数.推论2 若(,)x a b ∀∈有()()f x g x ''=，则(,)x a b ∀∈有()()f x g x c =+.（证明作为课外作业） 证：(,)x a b ∀∈，[]()()()()0f x g x f x g x '''-=-=，根据推论1知()()f x g x c -=，即()()f x g x c =+.三、小结1、拉格朗日定理的内容2、拉格朗日定理的几何意义3、拉格朗日定理的证明过程——构造函数法4、拉格朗日定理的应用微分学基本定理1、极值点的概念定义：设函数)(x f 在区间I 上有定义。
若I x ∈0，且存在0x 的某邻域,)(0I x U ⊂)(0x U x ∈∀，有 ()()0x f x f ≤ （()()0x f x f ≥）则称0x 是函数)(x f 的极大点（极小点），()0x f 是函数)(x f 的极大值（极小值）。
2、费马定理设函数)(x f 在区间I 上有定义。
若函数)(x f 在0x 点可导，且0x 是函数)(x f 的极值点，则0)(0'=x f3、罗尔定理若函数)(x f 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续 ②在开区间()b a ,可导③)()(b f a f =则在()b a ,内至少存在一点c ，使得0)('=c f4、拉格朗日定理若函数)(x f 满足下列条件：①在闭区间[]b a ,连续②在开区间()b a ,可导则在开区间()b a ,内至少存在一点c ，使 ()()ab a f b fc f --=)('5、柯西中值定理若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件： ①在闭区间[]b a ,连续②在开区间()b a ,可导，且),(b a x ∈∀，有0)('≠x g ，则在()b a ,内至少存在一点c ，使得()()()()()()a gb g a f b fc g c f --=''。