古典概型和几何概型
古典概型和几何概型
古典概型和几何概型是许多文学作品、艺术作品和社会文明之间
共有的概念。古典概念是一种由古代文学作品引申出来的概念，它描
述了古时候审美美学的影响。而几何概念则是一种从几何而来的概念，涉及到数学、物理等学科，它们联系在一起，形成规定的模型帮助了
许多学科的发展。
古典概念的主要表达是审美的概念，它一般情况下被归结为美丽
的抽象，这些抽象概念通过雕塑、美术、文学和音乐等艺术形式表达
出来，改变了人们对事物的认知和审美观。而几何概念则充分发掘了
自然环境和物理现象，提出了数学模型，从而推导出复杂的物理实践
形式，有助于人们对物质结构和运动关系的认知。
古典概念和几何概念之间有各自独特的表现，但它们也被归结为
人类文明的基石，两者的结合往往会激发出更多的美感和独特的文化
氛围。它们在不同的艺术作品中发挥了精美的功能，也传承着文化遗
产及历史记载，对人类社会有重要的作用。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 一）古典概型 （1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ；P （A ）= n m 。 二）几何概型 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积） 的区域长度（面积或体 构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与 线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积 题型一 古典概型 类型1 骰子硬币型 1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ） A ． P1=P2 古典概型与几何概型 古典概型与几何概型 【知识网络】 1． 理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基 本事件数及事件发生的概率。 2． 了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、 特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 （ ） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6）， 骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为 （ ） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形 的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为 （ ） A ． 56 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为 ． （5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为 ． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟， 过时即可离去．求两人能会面的概率． 课题 古典概型与几何概型 教学目标 1、理解古典概型及其概率计算公式。 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 3、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 4、了解几何概型的意义。 重 点 理解古典概型，几何概型的概念 难 点 掌握古典概型，几何概型的概率公式 【知识点梳理】 一、古典概型 1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等 可能性事件 3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等。 4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A 包含的基本事 件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n = 。 二、几何概型 1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。 2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。 3. 几何概型事件的概率计算公式： 积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( 作业 古典概型与几何概型 古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。 1. 古典概型 古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。 古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。 2. 几何概型 几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。 几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。在 几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。 3. 古典概型与几何概型的联系与区别 古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。 古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。 古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。 4. 古典概型与几何概型的应用举例 古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。以下举两个例子进行说明： （1）例子1：投掷两个均匀的骰子，求两个骰子之和为7的概率。这是一个典型的古典概型问题。由于每个骰子的点数出现的概率都是1/6，所以两个骰子之和为7的概率可以计算为1/6。 古典概型与几何概型 知识归纳 1.古典概型 （1）定义：如果某类概率模型具有以下两个特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有______；②每个基本事件出现的______均等。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型。 （2）古典概型的特点： ①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有______； ②等可能性：每个基本事件出现的______均等。 （3）古典概型的概率计算公式： m P n =，其中m表示_________________，n表示 _________________ 2.几何概型 （1）如果某个事件发生的概率只与构成该事件的区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称这样的概率模型为几何概率模型。 （2）几何概型的特点： ①无限性：在一次试验中，可能出现的结果是无限的； ②等可能性：每个结果的发生的机会均等。 （3）几何概型的概率计算公式：_______________. p= 3.几何概型与古典概型的区别： 4.解答概率题的步骤： （1）弄清试验是什么，找出基本事件的构成。 （2）判断概率类型。 （3）找出所求事件，同时弄清所求事迹的构成，并用符号表示。 （4）求概率。 巩固基础 1.下列试验是古典概型的是（）。 A 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件； B为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件； C从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率； D抛掷一枚均匀的硬币到首次出现正面为止。 2.一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有的种数（）。 A 3 B 4 C 6 D 12 3.将一枚均匀硬币先后抛两次，恰好出现一次正面的概率是（）。 古典概型与几何概型 【知识要点】 一、古典概型 1、基本事件 （1）基本事件的定义 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点 ①任意两个基本事件都是互斥的. ②任何事件都可以表示成基本事件的和. 2、古典概型 （1）古典概型的定义 我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征 古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个： ①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件. ②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的. 【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型. 3、基本事件数的探求方法 （1）列举法：此法适合于较简单的试验. （2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样 在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法： （1）有放回的抽样 每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样 每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次. 5、古典概型的概率计算公式 在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()A m P A n = 事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数. 【注1】()m P A n = 既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ； 一、古典概型 1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件. ２)基本事件得特点: ①任何两个基本事件就是互斥得; ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与. ３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是: ①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。 ②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型. ４)基本事件得探索方法: ①列举法:此法适用于较简单得实验. ②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。 5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法: ①有放回得抽样 每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去. ②无放回得抽样 每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次. 二、古典概型计算公式 １)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是; 2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率. ３)事件与事件就是互斥事件 4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。 古典概型注意: ①列举法:适合于较简单得试验。 ②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、 三、几何概型 事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型. 四、几何概型得计算 １)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。 2)两种类型 线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。 面型几何概型:当基本事件受两个连续得变量控制时,一般就是把两个变量分别作为一个点得横坐标与纵坐标,这样基本事件就构成了平面上得一个区域,即可借助平面区域解决、 五、几何概型具备以下两个特征: 1)无限性:即每次试验得结果(基本事件)有无限多个,且全体结果可用一个有度量得几何区域来表示; 2)等可能性:即每次试验得各种结果(基本事件)发生得概率都相等. 一、古典概型 古典概型就是基本事件个数有限,每个基本事件发生得概率相等得一种概率模型,其概率等于随机事件所包含得基本事件得个数与基本事件得总个数得比值、 【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜得概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇得概率为( ) A、Ｂ. ?? C、??Ｄ. 【答案】D。 【解析】甲、乙在同一组:、甲、乙不在同一组,但相遇得概率:. 【点评】 古典概型与几何概型 一、古典概型 1、定义 （1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。 比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。 2、古典概型中事件概率的计算 设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件 两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1 }{n i n P i ==ω 若事件A 包含m 个样本点，即{} ωωωi i i A m ,,,21 =， 则有 ： 中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数 发生的基本事件数使A = n m = 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.75 2．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 3.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 古典概型和几何概型的联系和区别 古典模式和几何模式是几何学中最重要的概念，两者都拥有自己独特的性质和特点，古典模式在几何学中有着重要的地位，而几何模式的作用也是不可忽视的。本文研究古典模式和几何模式之间的联系和区别，探究它们在几何学中的作用和分别。 古典模式概念的最初来源于古希腊的几何学家，他们提出一种建立在基本几何设定上的认识框架，把它们用来构建古典几何模式。这种模式考察两个点之间的关系，即连续无穷的直线上可以放置无数个点，而不同点之间可以确定一个角度，即认为两个点之间可以构成一条线，并且可以求出两点之间的距离和它们的点积。古典模式可以用来定义几何图形的形状，例如圆形和多边形，也可以用来计算各种平面或空间几何形状的面积和体积。 几何模式是20世纪出现的一种新型几何学，它从古典模式出发，使用现代数学理论构建出更为复杂的几何模型。几何模式以向量论、线性代数和拓扑学作为基础，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。几何模式是一种抽象的模型，用于表示几何图形的抽象特征和性质，它利用数学函数和抽象空间概念来分析和解释几何形状和空间结构的属性。这种模型主要用于几何学研究，目的在于更好地理解复杂的几何形状和空间结构。 古典模式和几何模式之间存在着某种关联，古典模式是几何模式的基础。古典模式的概念在几何学中有着重要的作用，它们为几何学提供了基本的基础和理论，几何学家们可以利用它们来构建和 推导几何模型。另外，古典模式也可以用来计算几何图形的面积和体积，而几何模式则可以深入分析几何形状和空间结构的抽象特征和性质。 虽然古典模式和几何模式有一定的关联，但它们之间也存在着明显的区别。古典模式是以古希腊的几何学家所提出的一种框架为基础，主要用来定义几何图形形状和计算几何图形的面积和体积；而几何模式则是在古典模式基础上发展而来的，它建立在物理实验、向量论、线性代数和拓扑学等数学理论基础上，运用几何模型来分析和解决实际几何问题。由此可见，古典模式主要是用来定义几何图形形状，而几何模式则是运用数学理论深入分析几何形状的性质。 综上所述，古典模式和几何模式是几何学中最重要的概念，它们之间存在着一定的关联，但它们之间也有着明显的差别，古典模式主要用来定义几何图形形状，而几何模式则是运用数学理论深入分析几何形状的性质。两者都具有重要的意义，有助于我们更好地理解复杂的几何形状和空间结构。 版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件A 的概率定义为()P A = A 事件包含的基本事件数 试验的基本事件总数 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量． 题型一 基础题型 【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一 位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先 到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】 （2010崇文一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______． 【例3】 （2010上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）． 典例分析 知识内容 板块一.古典概型 【例4】 （2010湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．512 B ．12 C ．712 D ．3 4 【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．16 【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C ．1 3 D ．12 【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？ 【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随 意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通 晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率． 古典概型与几何概型的区别 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。 一、古典概型和几何概型的意义 （一）.几何概型的定义： 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 1.几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.几何概型求事件A的概率公式： P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) （二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍 1. 古典概型的特点： (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 2.古典概型求事件A的概率公式： P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数 二.古典概型与几何概型的主要区别 几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。 三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力 （一）结合实例进行建模 题组一： 情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率 情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？ 情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？ 情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？ 说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。 题组二： 情境1、如图转盘上有6个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。 情境2、在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数a>7的概率为情境3、在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10mL，含有麦锈病种子的概率是多少。 说明：第二组题是几何概型，通过这组题引导学生从多角度认识、理解几何概型。并感知几何概率只与事件A的区域所占的比例有关,而与事件A的区域的形状、位置无关。 (1)分析：指针落在转盘上任何位置的机会是等可能的，且所在的位置有无限多个的，（符合几何概型），阴影部分的区域可视作d，整个转盘区域可视作D. 解：阴影部分的面积/整个转盘的面积=2/6=1/3 （说明：由于所分成的6个扇形的面积相等，此题也可转化为古典概型来完成）。 （2）分析：实数a取到（0，10）内的任意一个数是等可能的，（且取到的数有无限多个），可以利用几何概型。 解：P=7～10之间的长度/0～10之间的长度=3/10=0.3 （3）分析：锈病种子在这1L种子中任何位置的机会是等可能的，且所在的位置有无限多个的，（符合几何概型），取得10mL种子可视作区域d，所有种子可视为区域D.利用体 古典概型与几何概型的异同点 一、背景和定义 1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。 2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。 二、相同点 1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。 2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。 三、不同点 1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。 2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。 3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。 4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。 5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。 6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。 7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。 四、例子 1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。 2. 几何概型例子：在一段长度为1的线段上随机选择一个点，选择的点落在任意一个特定长度区间的概率是该区间的长度除以整个线段的长度；在一个面积为1的圆内随机选择一个点，选择的点落在任意一个特定面积区域的概率是该区域的面积除以整个圆的面积。这些例子中，概率是通过与某个几何量的关联来定义的。 五、应用领域 1. 统计学：在统计学中，古典概型和几何概型都是用于描述数据分布的概率模型。古典概型通常用于描述离散数据的分布，而几何概型则用于描述连续数据的分布。 2. 物理科学：在物理科学中，这两种模型也都有应用。例如，在量子力学中，波函数是一种描述粒子状态的几何概型；而在经典力学中，粒子运动轨迹的概率可以通过几何概型来描述。 3. 工程学：在工程学中，这两种模型也都有应用。例如，在通信工程中，信号传输的质量可以通过几何概型来描述；而在电子工程中，电路的工作状态可以通过古典概型来描述。 4. 社会科学：在社会科学中，这两种模型也有应用。例如，在经济学中，股票价格的波动可以通过几何概型来描述；而在心理学中，人类的决策行为可以通过古典概型来描述。 古典概型与几何概型 【学习目标】 1．能说明古典概型的意义并会求解古典概型的概率； 2．能说明几何概型的意义并会求解几何概型的概率． 【学习重点】 古典概型与几何概型的概率求解． 【学习过程】 一、知识梳理 1．知识要点 （1）古典概型 ○ 1定义：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；且每个基本事件出现的可能性相等．我们将这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ○ 2古典概型计算任何事件的概率计算公式为： ○ 3古典概型的特征： (ⅰ) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (ⅱ) 每个基本事件出现的可能性相等． （2）几何概型 ○ 1定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． ○ 2几何概型中事件A 的概率计算公式为: 积等） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积等） 的区域长度（面积或体 构成事件）（A A P = ． ○ 3几何概型的两个特征： (ⅰ)试验结果有无限多； (ⅱ)每个结果的出现是等可能的． 二、 基础自测 1．知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y 中,点(),x y 的坐标,x A y A ∈∈,点(),x y 正好在第二象限的概率是 ( C ) A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 25 2．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A ） 136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有3 35 5 6A A ⋅⨯（种），所以33 55446 6 616 A A P A A ⋅⨯= = ⋅． 3．A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( B ) A ． 12 B ． 23 C ． 32 D ． 14 4．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则 （1）P （A ）= _____________； （2）P （B|A ）= ． 【答案】（1） 2 π ，（2）14 5．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】28 145 三、典例解析 例1某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I ）没有人申请A 片区房源的概率； （II ）每个片区的房源都有人申请的概率． 思路启迪：这是古典概型的概率计算问题． 解：（I ）所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有24 种．记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则 44 216().81 3 P A = = （II ）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 1 2 1 2 3 34243()C C C C C 或种．记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ，从而有 古典概型和几何概型 古典概型和几何概型都是特殊的随机事件概率模型，是高考常考的知识点.高考试卷中，古典概型和几何概型常以选择题、填空题的形式出现，有时也有解答题，属中、低档题目；理科绝大多数与排列组合、分布列、期望、方差、平面几何、函数、向量等一起综合考查. 重点难点 重点：明确古典概型的等可能性和有限性；明确几何概型的等可能性和无限性. 会灵活应用古典概型和几何概型的概率计算公式，特别是古典概型中，文科学生主要掌握借助表格、树形图用列举法求解概率；理科学生更应掌握用排列组合、独立重复事件、二项分布、对立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式等方法求概率. ？摇难点：要会区分问题是古典概型或几何概型；慎重对待基本事件的等可能性，注意要恰当地分类，并做到试验包含的基本事件不重不漏；选择合适的方法和测度解决概率问题，特别要分清问题是“放回”还是“不放回”，是“有序”还是“无序”. 方法突破 （1）对简单的概率问题要能迅速判断出是哪种类型的概率问题，再套用公式解决. （2）对古典概型，要会用列举法，借助表格、树形图等写出所有基本事件和所求事件包含的基本事件. 求古典概型的一般方法和步骤如下： ①判断试验是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件. ②计算基本事件的个数n及事件A中所包含的基本事件的个数m. ③计算事件A的概率P（A）=■. （3）对几何概型，要根据题意判断是直线型、面积型、体积型还是角度型.判断的关键是看它是不是等可能的，也就是点是不是均匀分布的.求解的关键是要注意古典概型与几何概型的区别（基本事件的有限性和无限性），构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. （4）要注意古典概型、几何概型与其他知识的联系，根据问题的特点，联想相关知识，找到所求事件满足的条件. 典例精讲 一、几种几何概型的辨别 1. 长度型几何概型 ■例1 在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM 思索记“AM 破解P（A）=■=■=■=■. 古典概型与几何概型 一、基础知识 1.古典概型 (1)古典概型的特征： ①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的. 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. (2)古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A； ②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m； ③利用古典概型的概率公式P(A)＝m n，求出事件A的概率. (3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 (1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. (2)几何概型的基本特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式： P (A )＝ 构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 几何概型应用中的关注点 (1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. (2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性. 考点一 古典概型 [典例精析](1)(优质试题·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数， 其和等于30的概率是( ) A.1 12 B.114 C.115 D.118 (2)(优质试题·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( ) A.736 B.12 C.1936 D.518 [解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝345＝115. (2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤a ≤6，a ∈N *， 1≤b ≤6，b ∈N * ， 所 一、 古典概型 1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 2）基本事件的特点： ① 任何两个基本事件是互斥的； ② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 4）基本事件的探索方法： ① 列举法：此法适用于较简单的实验． ② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索． 5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n 个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： ① 有放回的抽样 每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去． ② 无放回的抽样 每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 二、 古典概型计算公式 1）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n ； 2）如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()m P A n =． 3）事件A 与事件B 是互斥事件()()()P A B P A P B =+ 4）事件A 与事件B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件 ()()()()P A B P A P B P A B =+-． 古典概型注意： ① 列举法：适合于较简单的试验． ② 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时， (),x y 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如()1,2与 专题六作业： 3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明； 在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。 一、古典概型 1、古典概型的意义 如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型. 2.古典概型的两个基本特点 （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。（2）每个基本事件出现的可能性相等. 2、常见的三种古典概型基本模型 (1) 摸球模型；同类型的问题还有 1) 中彩问题； 2) 抽签问题； 3) 分组问题； 4) 产品检验问题； 5) 扑克牌花色问题； 6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题. (2) 分房问题；同类型的问题还有： 1) 电话号码问题 2) 骰子问题 3) 英文单词、书、报等排列问题. (3) 随机取数问题.同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题(球®人，杯®房) 2) 生日问题；(日® 房，N=365天) ( 或月® 房，N=12月) 3) 旅客下站问题；( 站®房) 4) 印刷错误问题；(印刷错误®人，页®房) 5) 性别问题(性别®房，N=2) 在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。 二、几何概型 1 ．几何概型的概念： 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等） 2 ．几何概型的基本特点：古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型
古典概型和几何概型
古典概型与几何概型
古典概型和几何概型的联系和区别
高中数学完整讲义——概率-古典概型与几何概型1.古典概型
古典概型与几何概型的区别
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型
古典概型和几何概型
古典概型与几何概型
古典概型和几何概型
古典概型和几何概型的意义和主要区别