八年级数学下册平行四边形-课件-带辅助线-完整版

八年级数学下册特殊平行四边形-教案平行四边形的性质和判定一、知识梳理1．平行四边形：(1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ．2．平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行且相等．(2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。

(3)平行四边形的对角线互相平分．(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积．3．两条平行线间的距离：(1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．(2)两平行线间的距离处处相等．4．平行四边形的面积：(1)如图①，．(2)同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．如图②，有公共边BC ，则．5．平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．平行四边形知识的运用：(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．(2)识别一个四边形为平行四边形，从而得到两直线平行．(3)先识别—个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的特征去解决某些问题．（二）平行四边形的判定★1.两组对边分别平行的四边形为平行四边形如图，平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，连结AN 、DN 、BM 、CM ，且AN 、BM 交于点P ，CM 、DN 交于点Q .四边形MGNP 是平行四边形吗？为什么？★2.两组对边分别相等的四边形为平行四边形如图，在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上，分别取点K 、L 、M 、N ，使AK =CM 、BL =DN ，则四边形KLMN 为平行四边形吗？说明理由.★3.一组对边平行且相对的四边形为平行四边形如图，□ABCD 中，E 、F 分别在BA 、DC 的延长线上，且AE=21AB ，CF=21CD ，试证明AECF 为平行四边形.★4.两组对角分别相等的四边形为平行四边形(2008湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形.★5.对角线互相平分的四边形为平行四边形（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE =CF ．求证：∠EBF =∠FDE ．平行四边形中的常用辅助线第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB DO OC AO ==,∵FC AE =∴FC OC AE AO -=-即OF OE =∴四边形EBFD 为平行四边形∴DE BF =第二类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知：如左下图3，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =∴DCF ABC ∠=∠∵090=∠=∠DFC AEB∴DCF ABE ∆≅∆∴CF BE =∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+第三类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。

例4：已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =证明：延长CF 交BA 的延长线于点K∵四边形ABCD 为正方形∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD∴K ∠=∠1又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF =∴CDF ∆≌KAF ∆∴AB CD AK ==∵AD DF CD CE 21,21==∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆∴21∠=∠∵09031=∠+∠∴09032=∠+∠∴090=∠CPB ,则090=∠KPB∴AB AP =第四类：把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线例6已知：如右上图6，在平行四边形ABCD 中，BN AN =,BC BE 31=,NE 交BD 于F ，求BD BF : 解：连结AC 交BD 于点O ,连结ON∵四边形ABCD 为平行四边形∴2,BD OD OB OC OA === ∵BN AN =∴ON ∥BC 21且BC ON 21=∴FO BF ON BE = ∵BC BE 31=∴3:2:=ON BE ∴32=FO BF ∴52=BO BF ∴5:1:=BD BF 综上所述，平行四边形中常添加辅助线是：连对角线，平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。

添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.一、 和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1如图1，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形.求证:OE 与AD 互相平分.分析:因为四边形OCDE 是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O 是AC 的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE 是平行四边形,问题得证.证明:连结AE 、OD ，因为是四边形OCDE 是平行四边形，所以OC//DE ，OC=DE ，因为0是AC 的中点，所以A0//ED ，AO=ED ，所以四边形AODE 是平行四边形，所以AD 与OE 互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2如图2，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E 作EH//CD 交AC 于H 得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.证明:过点E 作EH//BC,交AC 于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH 是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH ≌△FBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3如图3，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC.分析：要证明BF=AC ，一种方法是将BF 和AC 变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF 、AC 相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.证明：延长AD 到G ，使DG=AD ，连结BG ，CG ，因为BD=CD ，所以四边形ABGC 是平行四边形，所以AC=BG ，AC//BG ，所以∠1=∠4，因为AE=EF ，所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，所以BF=BG=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.图3图4二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4如图5，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，且AE=AC ，EF//BC 交AD 于点F ，求证：四边形CDEF 是菱形.分析：要证明四边形CDEF 是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD 是∠BAC 的平分线，AE=AC ，可通过连接CE ，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD 垂直CE.求AD 平分CE.证明：连结CE 交AD 于点O ，由AC=AE ，得△ACE 是等腰三角形，因为AO 平分∠CAE ，所以AO ⊥CE ，且OC=OE ，因为EF//CD ，所以∠1=∠2，又因为∠EOF=∠COD ，所以△DOC 可以看成由△FOE 绕点O 旋转而成，所以OF=OD ，所以CE 、DF 互相垂直平分.所以四边形CDEF 是菱形.例5如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长. 分析：要证明EF+BF 的最小值是DE 的长，可以通过连结菱形的对角线BD ，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF ，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.证明：连结BD 、DF.因为AC 、BD 是菱形的对角线，所以AC 垂直BD 且平分BD ，所以BF=DF ，所以EF+BF=EF+DF ≥DE ，当且仅当F 运动到DE 与AC 的交点G 处时，上式等号成立，所以EF+BF 的最小值恰好等于DE 的长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例6如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求PD 的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD ，可过P 分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题. 解：过点P 分别作两组对边的平行线EF 、GH 交AB 于E ，交CD 于F ，交BC 于点H ，交AD 于G.因为四边形ABCD 是矩形，所以PF 2=CH 2=PC 2-PH 2，DF 2=AE 2=AP 2-EP 2，PH 2+PE 2=BP 2，所以PD 2=PC 2-PH 2+AP 2-EP 2=PC 2+AP 2-PB 2=52+32-42=18，所以PD=32.图7说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长.四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.分析：由BE//AC ，CF//AE ，AE=AC ，可知四边形AEFC 是菱形，作AH ⊥BE 于H ，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=21AC ，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°.证明：连接BD 交AC 于O ，作AH ⊥BE 交BE 于H.在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，AO=BO ，又BE//AC ，AH ⊥BE ，所以BO ⊥AC ，所以四边形AOBH 为正方形，所以AH=AO=21AC ，因为AE=AC ，所以∠AEH=30°，因为BE//AC ，AE//CF ，所以ACFE 是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°，因为AC 是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=21∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.。