2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：10.5 曲线与方程 Word版含解析
(浙江专用)2020版高考数学一轮总复习专题10圆锥曲线与方程10.4直线与圆锥曲线的位置关系检测
10.4 直线与圆锥曲线的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线与圆锥曲线的位置关系1.了解圆锥曲线的简单应用.2.理解数形结合的思想.3.能解决直线与圆锥曲线的位置关系等问题.2018浙江,17,21直线与椭圆、抛物线的位置关系向量、三角形面积★★★2017浙江,21直线与抛物线的位置关系不等式、最值2016浙江文,19直线与抛物线的位置关系斜率2015浙江,19直线与抛物线的位置关系三角形面积、最值2014浙江文,22直线与抛物线的位置关系向量、三角形面积分析解读 1.直线与圆锥曲线的位置关系是高考的常考内容,常以解答题的形式呈现,试题具有一定的难度.2.直线与圆锥曲线的位置关系综合性较强,要注重与一元二次方程中的判别式、根与系数的关系、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相综合.3.预计2020年高考中,仍将以直线与圆锥曲线的位置关系等问题为重点进行考查.破考点【考点集训】考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)设从点P(a,b)分别向椭圆+y2=1与双曲线x2-=1作两条切线PA,PB和PC,PD,切点分别为A,B和C,D,若AB⊥CD,则=( )A.±4B.1C.4D.±1答案 D2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,16)过点P(-1,1)向抛物线y2=4x作切线PA,PB,切点分别为A,B,过焦点F分别向PA,PB作垂线,垂足分别为C,D,则△FCD的面积是.答案炼技法【方法集训】方法圆锥曲线中弦长的求法1.(2018浙江金华十校模拟(4月),21,15分)已知抛物线y2=x和圆C:(x+1)2+y2=1,过抛物线上的一点P(x0,y0)(y0≥1),作圆C的两条切线,与y轴分别交于A,B两点.(1)若切线PB过抛物线的焦点,求切线PB的斜率;(2)求△ABP面积的最小值.解析(1)由题意得抛物线的焦点坐标为F,设切线PB的斜率为k,则切线PB的方程为y=k,即kx-y-k=0.∴=1,解得k=±.∵P(x0,y0)(y0≥1),∴k=.(2)设切线方程为y=kx+m(k≠0),由点P在直线上得,k=①,圆心C到切线的距离为=1,整理得m2-2km-1=0②.将①代入②得,(x0+2)m2-2y0m-x0=0③.设方程的两个根分别为m1,m2,由根与系数的关系得,m1+m2=,m1m2=-,从而|AB|=|m1-m2|==2,S△ABP=|AB|x0=x0=(x0≥1).记函数g(x)=(x≥1),则g'(x)=>0,∴g(x)min=g(1)=,∴S△ABP的最小值为.2.(2018浙江五校联考(5月),21)如图,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l与椭圆切于点P,OQ⊥l,垂足为Q,其中O为坐标原点.求△OPQ面积的最大值.解析(1)由题意得椭圆C的离心率为,则a2=4c2,∴b2=3c2,∴椭圆C的方程为+=1, ∵2c=2,即c=1,∴椭圆C的方程为+=1.(6分)(2)设直线l:y=kx+m(k≠0),则根据题意,得OQ:y=-x(k≠0),联立得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,由Δ=0得3+4k2=m2,解得x P==,(9分)联立解得x Q=,∴|PQ|=,∴S△OPQ==··=·≤·=,当且仅当|k|=1时取等号.(12分)综上,=.(15分)过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018课标全国Ⅰ理,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=( )A.5B.6C.7D.8答案 D2.(2017课标全国Ⅰ理,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10答案 A3.(2015江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.答案4.(2018课标全国Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A的直线l与C 交于M,N两点.(1)当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析(1)当l与x轴垂直时,l的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为y=x+1或y=-x-1.(2)当l与x轴垂直时,AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1>0,x2>0.由得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为k BM+k BN=+=.①将x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0.所以k BM+k BN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.方法总结直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.5.(2018课标全国Ⅲ文,20,12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:2||=||+||.证明本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4- (x1+x2)=3.故2||=||+||.6.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.(ii)证明:由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,所以=.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0, 因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.教师专用题组考点直线与圆锥曲线的位置关系1.(2017课标全国Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M 在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )A.B.2 C.2 D.3答案 C2.(2014课标Ⅱ,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )A. B. C.D.答案 D3.(2014辽宁,10,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )A. B. C. D.答案 D4.(2018北京文,20,14分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k 的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q共线,求k.解析(1)由题意得解得a=,b=1.所以椭圆M的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得4x2+6mx+3m2-3=0.所以x1+x2=-,x1x2=.|AB|====.当m=0,即直线l过原点时,|AB|最大,最大值为.(3)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意得+3=3,+3=3.直线PA的方程为y=(x+2).由得[(x1+2)2+3]x2+12x+12-3(x1+2)2=0.设C(x C,y C).所以x C+x1==.所以x C=-x1=.所以y C=(x C+2)=.设D(x D,y D).同理得x D=,y D=.记直线CQ,DQ的斜率分别为k CQ,k DQ,则k CQ-k DQ=-=4(y1-y2-x1+x2).因为C,D,Q三点共线,所以k CQ-k DQ=0.故y1-y2=x1-x2.所以直线l的斜率k==1.5.(2018课标全国Ⅰ理,19,12分)设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B 两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解析(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1,由已知可得,点A的坐标为或.所以AM的方程为y=-x+或y=x-.(2)证明:当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,直线OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<,x2<,直线MA,MB的斜率之和为k MA+k MB=+,由y1=kx1-k,y2=kx2-k得k MA+k MB=.将y=k(x-1)代入+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=.则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k==0,从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.6.(2018江苏,18,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点,焦点F1(-,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.解析本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.解法一:(1)因为椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),所以可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).又点在椭圆C上,所以解得因此,椭圆C的方程为+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=3. 所以直线l的方程为y=-(x-x0)+y0,即y=-x+.由消去y,得(4+)x2-24x0x+36-4=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4+)(36-4)=48(-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=,y0=1.因此,点P的坐标为(,1).②因为三角形OAB的面积为,所以AB·OP=,从而AB=.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得x1,2=,所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=·.因为+=3,所以AB2==,即2-45+100=0.解得= (=20舍去),则=,因此P的坐标为.则直线l的方程为y=-x+3.解法二:(1)由题意知c=,所以圆O的方程为x2+y2=3,因为点在椭圆上,所以2a=+=4,所以a=2.因为a2=b2+c2,所以b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)①由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切,且切点在第一象限,所以直线l的斜率k存在且k<0,设直线l的方程为y=kx+m(k<0,m>0),将直线l的方程代入圆O的方程,得x2+(kx+m)2=3,整理得(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,因为直线l与圆O相切,所以Δ=(2km)2-4(k2+1)(m2-3)=0,整理得m2=3k2+3,将直线l的方程代入椭圆C的方程,得+(kx+m)2=1,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C相切,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,整理得m2=4k2+1,所以3k2+3=4k2+1,因为k<0,所以k=-,则m=3,将k=-,m=3代入(k2+1)x2+2kmx+m2-3=0,整理得x2-2x+2=0,解得x1=x2=,将x=代入x2+y2=3,解得y=1(y=-1舍去),所以点P的坐标为(,1).②设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由①知m2=3k2+3,且k<0,m>0,因为直线l和椭圆C相交,所以结合②的过程知m2<4k2+1,解得k<-,将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,解得x1,2=,所以|x1-x2|=,因为AB==|x1-x2|=·,O到l的距离d==,所以S△OAB=···=···=,解得k2=5,因为k<0,所以k=-,则m=3,即直线l的方程为y=-x+3.7.(2018天津理,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.解析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,|FB|=a,|AB|=b,由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.所以椭圆的方程为+=1.(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.又因为|AQ|=,而∠OAB=,故|AQ|=y2.由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.由方程组消去x,可得y1=.易知直线AB的方程为x+y-2=0,由方程组消去x,可得y2=.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.所以k的值为或.解题关键利用平面几何知识将=sin∠AOQ转化为点P、Q坐标间的关系是解决第(2)问的关键.方法归纳求椭圆标准方程的基本方法(1)定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程;(2)待定系数法:这是求椭圆方程的常用方法,基本步骤为①根据已知条件判断焦点的位置;②根据焦点的位置设出所求椭圆的方程;③根据已知条件,建立关于a、b、c的方程组,注意c2=a2-b2的应用;④解方程组,求得a、b的值,从而得出椭圆的方程.8.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解析(1)解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k===1.解法二:设A,则由题意得B,于是直线AB的斜率k===1.(2)解法一:由y=,得y'=,设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4.由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.解法二:设曲线C:y=上的点M的坐标为,过点M且与直线AB平行的直线l的方程为y=x-x0+.联立得消去y得x2-4x+4x0-=0,所以Δ=(-4)2-4×1×(4x0-)=0,解得x0=2,代入曲线C的方程,得y0=1,故M(2,1).设A,则B,因为AM⊥BM,所以·=-1,即-4x1=28.所以直线AB的方程为y=x-x1+,即y=x+7.9.(2017天津理,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A 是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解析(1)设F的坐标为(-c,0).依题意, =,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.由点B异于点A,可得点B.由Q,可得直线BQ的方程为(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D.所以|AD|=1-=.又因为△APD的面积为,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±.所以直线AP的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0.10.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.(1)求;(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.又N为M关于点P的对称点,故N,ON的方程为y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.所以N为OH的中点,即=2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下:直线MH的方程为y-t=x,即x=(y-t).代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.11.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:<k<2.解析(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.又A(-2,0),因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入+=1得7y2-12y=0.解得y=0或y=,所以y1=.因此△AMN的面积S△AMN=2×××=.(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.由x1·(-2)=得x1=,故|AM|=|x1+2|=.由题设,直线AN的方程为y=- (x+2),故同理可得|AN|=.由2|AM|=|AN|得=,即4k3-6k2+3k-8=0.设f(t)=4t3-6t2+3t-8,则k是f(t)的零点, f '(t)=12t2-12t+3=3(2t-1)2≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增.又f()=15-26<0, f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在(,2)内,所以<k<2.思路分析(1)由|AM|=|AN|,MA⊥NA可以求出直线AM的倾斜角,从而可以得出AM的方程,与椭圆方程联立,求出点M的纵坐标,从而求出△AMN的面积;(2)先把直线AM的方程与椭圆方程联立,借助一元二次方程根与系数的关系及弦长公式,再根据2|AM|=|AN|建立关于k的方程,再借助导数即可解决问题.12.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=====-b=k2.所以AR∥FQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△A BF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.由题设可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).而=y,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.易错警示容易漏掉直线AB与x轴垂直的情形而失分.13.(2016江苏,22,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.解析(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为,由点在直线l:x-y-2=0上,得-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关于直线l对称,所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为-1,则可设其方程为y=-x+b.①证明:由消去x得y2+2py-2pb=0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点,所以y1≠y2,从而Δ=(2p)2-4×(-2pb)>0,化简得p+2b>0.方程(*)的两根为y1,2=-p±,从而y0==-p.因为M(x0,y0)在直线l上,所以x0=2-p.因此,线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为M(2-p,-p)在直线y=-x+b上,所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p.由①知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,所以p<.因此,p的取值范围是.评析本题主要考查直线和抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系,考查运算求解能力及推理论证能力.14.(2015天津,19,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解析(1)由已知有=,即a2=3c2,又由a2=b2+c2,可得b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有+=,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立得消去y,得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=>,解得-<x<-1或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.①当x∈时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈.综上,直线OP的斜率的取值范围是∪.评析本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力以及用函数与方程思想解决问题的能力.15.(2015福建,19,12分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA==,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r==.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d===r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.评析本题主要考查抛物线、直线与圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.16.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积S=··=.由+=4≥2x0y0知,当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0. 由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①②③④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.17.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=±,故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d===.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,直线AB与圆x2+y2=2相切.评析本题考查了椭圆的相关知识,直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、推理论证能力.18.(2014陕西,20,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值;(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(2)解法一:由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P=,从而y P=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=- (x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.评析本题考查了直线、椭圆、抛物线的方程,二次方程等知识;考查数形结合、运算求解、转化与化归的意识.【三年模拟】一、填空题(单空题4分,多空题6分,共4分)1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),15)设O是坐标原点,若椭圆+=1与斜率为2的直线l交于A,B两点,则△OAB的面积最大值是.答案二、解答题(共60分)2.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,21)已知F是抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点,点P(1,m)是抛物线上一点,且|PF|=2,直线l过定点(4,0),与抛物线T交于A,B两点,点P在直线l上的射影是Q.(1)求m,p的值;(2)若m>0,且|PQ|2=|QA|·|QB|,求直线l的方程.解析(1)由|PF|=2,得1+=2,所以p=2,(2分)将x=1,y=m代入y2=2px,得m=±2.(4分)(2)解法一:因为m>0,所以点P(1,2),所以抛物线T:y2=4x.设直线l的方程是x=ny+4,由得y2-4ny-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4n,y1·y2=-16,(6分)因为|PQ|2=|QA|·|QB|,所以PA⊥PB,所以·=0,且1≠2n+4,(8分)所以(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0,且n≠-,(10分)由(ny1+3)(ny2+3)+(y1-2)(y2-2)=0,得(n2+1)y1y2+(3n-2)(y1+y2)+13=0,即-16(n2+1)+4n(3n-2)+13=0,即4n2+8n+3=0,(13分)解得n=- (舍去)或n=-,所以直线l的方程是x=-y+4,即2x+y-8=0.(15分)解法二:因为m>0,所以点P(1,2),所以抛物线T:y2=4x.设直线l的方程是x=ny+4,由得y2-4ny-16=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),则y1+y2=4n,y1·y2=-16,(6分)由得Q点的纵坐标y0=,(8分)所以|PQ|=,(10分)|QA|·|QB|=-(1+n2)(y1-y0)(y2-y0)=-(1+n2)(-16-4ny0+),(12分)因为|PQ|2=|QA|·|QB|,所以=(1+n2)·,化简得4n2+8n+3=0,解得n=- (舍去)或n=-,(14分)所以直线l的方程是x=-y+4,即2x+y-8=0.(15分)3.(2018浙江镇海中学5月模拟,21)已知椭圆C的方程为+=1,P在椭圆上,离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B两点,连接AF1,BF1并延长交椭圆C于D,E,连接DE,求k DE与k之间的函数关系式.解析(1)由P在椭圆上,可得+=1,由e=,得a=c,又a2=b2+c2,可得a=,b=1,c=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),直线AD:x=y-1,代入C:+y2=1,得[(x0+1)2+2]y2-2(x0+1)y0y-=0,因为+=1,代入化简得(2x0+3)y2-2(x0+1)y0y-=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则y0y1=,所以y1=,x1=y1-1,直线BE:x=y-1,同理可得y2=,x2=y2-1,所以k DE======3·=3k.4.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,21)已知F是抛物线C:x2=4y的焦点,点P是不在抛物线上的一个动点,过点P向抛物线C作两条切线l1,l2,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).(1)如果点P在直线y=-1上,求+的值;(2)若点P在以F为圆心,4为半径的圆上,求|AF|·|BF|的值.解析(1)因为抛物线的方程为y=,所以y'=,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即x-y-y1=0①,同理得切线PB的方程为x-y-y2=0②,设P(x0,y0),则由①②得x1x0-2y1-2y0=0和x2x0-2y2-2y0=0,由此得直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.由于点P是直线y=-1上的一个动点,所以y0=-1,则直线AB的方程为x0x-2y+2=0,因此它过抛物线的焦点F(0,1).当x0=0时,AB的方程为y=1,此时|AF|=|BF|=2,所以+=1;当x0≠0时,把直线AB方程代入抛物线方程得y2-(+2)y+1=0,从而得y1y2=1,所以+=+==1.综上,+=1.(2)由(1)知切线PA的方程为y=x-,切线PB的方程为y=x-,联立得点P. 设直线AB的方程为y=kx+m,将其代入C:x2=4y中得x2-4kx-4m=0.因此x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以点P的坐标为(2k,-m),由题意得|PF|==4,所以(m+1)2=16-4k2,从而|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=(kx1+m+1)(kx2+m+1)=k2x1x2+k(m+1)(x1+x2)+(m+1)2=-4mk2+4k2(m+1)+16-4k2=16.5.(2018浙江镇海中学阶段性测试,21)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.(1)若e=,求椭圆的方程;(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且<e≤,求k的取值范围.解析(1)由题意得结合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3.所以椭圆的方程为+=1.(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).所以x1+x2=0,x1x2=,依题意知OM⊥ON,又易知四边形OMF2N为平行四边形,所以▱OMF2N为矩形, 所以AF2⊥BF2,因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即+9=0,整理得k2==-1-.因为<e≤,所以2≤a<3,所以12≤a2<18.所以k2≥,即k∈∪.。
高考数学浙江专版(理)一轮复习：第9篇 第8讲 曲线与方程.pdf
第8讲 曲线与方程 分层A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．动点P(x，y)满足5＝|3x＋4y－11|，则点P的轨迹是( )． A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 解析 设定点F(1,2)，定直线l：3x＋4y－11＝0，则|PF|＝，点P到直线l的距离d＝. 由已知得＝1，但注意到点F(1,2)恰在直线l上，所以点P的轨迹是直线．选D. 答案 D 2．(2013·榆林模拟)若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( )． A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析 依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案 D 3．(2013·临川模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为( )．A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1 解析 M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆，a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝， 椭圆的标准方程为＋＝1. 答案 D 4．(2013·烟台月考)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析 由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 答案 D 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．(2013·泰州月考)在ABC中，A为动点，B、C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理，得－＝×， |AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支． 答案 －＝1(x>0且y≠0) 6.如图，点F(a,0)(a>0)，点P在y轴上运动，M在x轴上运动，N为动点，且·＝0，＋＝0，则点N的轨迹方程为________． 解析 由题意，知PMPF且P为线段MN的中点，连接FN，延长FP至点Q使P恰为QF之中点；连接QM，QN，则四边形FNQM为菱形，且点Q恒在直线l：x＝－a上，故点N的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为：y2＝4ax. 答案 y2＝4ax 三、解答题(共25分) 7．(12分)已知长为1＋的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且＝，求点P的轨迹C的方程． 解 设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)， 得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2， 所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化简得＋y2＝1. 点P的轨迹方程为＋y2＝1. 8．(13分)设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求： (1)动点P的轨迹方程； (2)||的最大值，最小值． 解 (1)直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A、B的坐标满足方程组消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. x1＋x2＝－，x1x2＝. P(x，y)是AB的中点， 则由 消去k得4x2＋y2－y＝0. 当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程，故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知4x2＋2＝，－≤x≤ 而|NP|2＝2＋2＝2＋ ＝－32＋， 当x＝－时，||取得最大值， 当x＝时，||取得最小值. 分层B级 创新能力提升 1．ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )．A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x>3)D.－＝1(x>4) 解析 如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 方程为－＝1(x>3)． 答案 C 2．(2013·沈阳二模)在平行四边形ABCD中，BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足：x＋y＋＝0(x，yR)．则当点P在以A为圆心，||为半径的圆上时，实数x，y应满足关系式为( )． A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 解析 如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.据题意，得AB＝1，ABD＝90°，BD＝.B、D的坐标分别为(1,0)、(1，)，＝(1,0)，＝(1，)．设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得：＝x＋y， 据题意，m2＋n2＝1，x2＋4y2＋2xy＝1. 答案 D 3．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________． 解析 过P作PQAD于Q，再过Q作QHA1D1于H，连接PH、PM，可证PHA1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－. 答案 y2＝x－ 4．(2013·南京模拟)P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，＝＋，则动点Q的轨迹方程是________． 解析 由＝＋，又＋＝＝2 ＝－2，设Q(x，y)，则＝－＝－(x，y)＝－，－，即P点坐标为－，－.又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1. 答案 ＋＝1 5．(2013·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a>0，b>0)经过点A，且点F(0，－1)为其一个焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)设随圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线PA1，PA2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且FMN的周长为定值． 解 (1)根据题意可得可解得 椭圆E的方程为＋＝1. (2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)为直线y＝4上一点(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PA1方程为y＝x＋2，直线PA2方程为y＝x－2，点M(x1，y1)，A1(0,2)的坐标满足方程组可得 点N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐标满足方程组可得由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y＝4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，当x0＝1时，直线MN的方程为y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜测定点的坐标为(0,1)，并记这个定点为B.则直线BM的斜率kBM＝＝＝，直线BN的斜率kBN＝＝＝，kBM＝kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B(0，1)， 又F(0，－1)，B(0,1)是椭圆E的焦点， FMN周长为|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，为定值． 6．(2013·榆林模拟)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)(a－b)． (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程； (2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围． 解 (1)由题意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，(a＋b)(a－b)，(a＋b)·(a－b)＝0， 即(x＋)(x－)＋y·y＝0. 化简得＋y2＝1，Q点的轨迹C的方程为＋y2＝1. (2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， Δ>0，即m2m2，解得0<m0，解得m>， 故所求的m的取值范围是. (ii)当k＝0时，|AM|＝|AN|， AP⊥MN，m2<3k2＋1，解得－1<m<1. 综上，当k≠0时，m的取值范围是， 当k＝0时，m的取值范围是(－1,1).。
2020浙江高考数学一轮复习§10.5 曲线与方程
迹.(2)(i)设出直线PQ的方程,联立椭圆方程,求得点P、Q的坐标,由Q、E的坐标得出直线QG的 方程,联立椭圆方程,得出点G的坐标,进而表示出直线PG的斜率,从而得出结论.(ii)利用弦长公 式求出|PQ|与|PG|的表达式,从而将三角形的面积表示成关于k的函数,进而利用函数思想求其 最大值.
2
域面积S> 1
1 2
×2=3,故③错误.综上可知选C.
解法二:由图形封闭,结论中涉及曲线上的点到原点的距离,联想到极坐标方程. 以原点为极点建立极坐标系, 则C:ρ2=1+ρ2|cos θ|sin θ,
即ρ2= 1
.
1 | cosθ | sin θ
∵|cos θ|sin θ≤ 1 |sin 2θ|≤ 1 ,
解析 (1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC, 故∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. (2分)
由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 x2 + y2 =1(y≠0). (4分) 43
当AB2与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1. (12分)
疑难突破 第(1)问求解关键是把AR∥FQ的证明转化为kAR=kFQ的证明;第(2)问需找到AB中点 所满足的几何条件,从而将其转化为等量关系.在利用斜率表示几何等量关系时应注意分类讨 论思想的应用.
评析 本题主要考查抛物线的性质,直线的斜率及其应用,轨迹方程的求法等知识,考查分类 讨论思想的应用,考查学生对基础知识和基本技能的应用能力.
2020年高考浙江版高考理科数学 10.5 曲线与方程
10.5 曲线与方程挖命题【考情探究】分析解读 1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中.2.预计2020年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.破考点【考点集训】考点曲线与方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)在圆C:x2+y2+2x-2y-23=0中,长为8的弦中点的轨迹方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=9B.(x+1)2+(y-1)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=16D.(x+1)2+(y-1)2=16答案B2.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),21)已知两个不同的动点A,B在椭圆+=1上,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求:(1)线段AB的中点M的轨迹方程;(2)线段AB的长度的最大值.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).易知直线AB的斜率存在,由题意可知,+=1,+=1,则-+-=0,得--=-.又--·=-1,得y0=-2.从而,线段AB的中点M的轨迹方程为y=-2(-<x<).(2)由(1)知,直线AB的斜率k=x0.所以直线AB的方程为y+2=x0(x-x0),与椭圆方程联立得,(+2)x2-2x0(+2)x++4-4=0,则x1+x2=2,x1x2=-,于是,|AB|=|x1-x2|=-=2-≤2,当且仅当x0=0时,取等号,所以线段AB的长度的最大值为2.炼技法【方法集训】方法1 直接法求轨迹方程(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即-=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0), 依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组-可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③若由②③解得k<-1或k>,即当k∈(-∞,-1)∪∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或由②③解得k∈-或-≤k<0,即当k∈-时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈-时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈-∪-时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若由②③解得-1<k<-或0<k<,即当k∈--∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-∪-时,直线l 与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈--∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.方法2 定义法求轨迹方程1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为焦点的椭圆过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为( )A.y2-=1(y≤-1)B.y2-=1(y≥-1)C.y2-=1D.x2-=1答案A2.(2017浙江镇海中学第一学期期中,6)如图,在四边形ABCD中,将△ADC沿AC所在的直线进行翻折,则翻折过程中线段DB的中点M的轨迹是( )A.椭圆的一段B.抛物线的一段C.一段圆弧D.双曲线的一段答案C方法3 相关点法求轨迹方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)已知点M在经过点A(-4,-3)和点B(2,5)且面积最小的圆C上运动,点N(3,-3),则线段MN的中点P的轨迹方程为.答案(x-1)2+(y+1)2=2.过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.解析设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由e==,得-=,从而a2=2b2,所以c=b.故椭圆C方程为x2+2y2=2b2,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A、B在椭圆C上,∴+2=2b2,+2=2b2,两式相减得(-)+2(-)=0,即--=-.设AB的中点为(x0,y0),则k AB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,故y0=x0,于是-=-1,即k AB=-1,故直线l的方程为y=-x+1.右焦点(b,0)关于直线l的对称点设为(x',y'),则--解得-由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,∴b=,∴b2=,a2=.∴所求椭圆C的方程为+=1.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点曲线与方程1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+===3x0,所以-+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为-+y2=.(3)存在.由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.如图,D,E-,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令Δ=0,解得k=±,由求根公式解得交点的横坐标为x H,I=∈,由图可知,要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[k DG,k EG]∪{k GH,k GI},即k∈-∪-.教师专用题组考点曲线与方程1.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直··线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图22.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)由题意有-=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M==-,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.思路分析(1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解a,b,然后得到椭圆的方程;(2)联立直线方程与椭圆方程,通过根与系数的关系求解k OM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.3.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根, ,整理得+=13,其中x0≠±3,∴k·-=--∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.评析本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以及方程思想的应用.4.(2013课标Ⅰ,20,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.思路分析(1)由动圆P与两定圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆圆心P的轨迹,进而求得曲线C的方程,注意检验特殊点是否符合题意;(2)根据条件确定圆P的半径最长时圆P的方程,对直线l的倾斜角进行讨论.当直线的斜率不存在时,直接求|AB|.当直线的斜率存在时,利用相切关系求其斜率与方程,将直线方程代入曲线C的方程,解出x,再利用弦长公式求|AB|.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江杭州二中期中,9)2 000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为底面直径,顶角为2θ,那么不过顶点P的平面:与PH的夹角α满足>α>θ时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角α=θ时,截口曲线为抛物线;与PH的夹角α满足θ>α>0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AM⊥AB,过AM的平面截圆锥所得的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案D2.(2017浙江镇海中学一轮阶段检测,7)已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为--,与x轴的交点P,Q位于y轴的两侧,以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0,4)和F2(0,-4),则点(b,c)所在的曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案B二、填空题(单空题4分,多空题6分,共6分)3.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),12)在直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|=|PB|,则点P的轨迹方程是;轨迹为.答案x2+y2-12x+4=0;一个圆三、解答题(共45分)4.(2019届浙江高考信息卷(五),21)已知圆M:(x+2)2+y2=64,定点N(2,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足=2,·=0.(1)求点G的轨迹方程;(2)已知点B(0,2),A、D是曲线G上的两动点且AB⊥DB,若直线AD与以原点为圆心的圆总有公共点,求该圆的半径r的取值范围.解析(1)连接GN,则||=||,∴||=||+||=||+||=8,根据椭圆的定义知点G的轨迹是以M、N 为焦点,长轴长为8的椭圆,即a=4,c=2,则b2=a2-c2=4,故所求的轨迹方程是+=1.(2)设直线AB的方程是y=kx+2,则直线BD的方程是y=-x+2,由得(1+4k2)x2+16kx=0,∴x A=-,从而y A=-,由-得x D=,y D=-,则k AD=--=-----=-,∴直线AD的方程为y--=-·,即y=-x-,即直线AD过定点-,为使直线AD与圆x2+y2=r2总有公共点,只需r≥,即r的取值范围是∞.5.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),21)已知动圆O1过定点A(2,0),且在y轴上截得弦MN的长为4.(1)求动圆圆心O1的轨迹C的方程;(2)若B(x0,y0)是动圆圆心O1的轨迹C上的动点,点P,Q在y轴上,圆(x-2)2+y2=4内切于△BPQ,求△BPQ面积的最小值及此时点B的坐标.解析(1)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意知,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∵|O1M|=|O1A|,∴=-,化简得y2=4x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=4x,所以动圆圆心O1的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设P(0,p),Q(0,q),且p>q.直线PB的方程:y-p=-x,化简得(y0-p)x-x0y+x0p=0,∵圆心(2,0)到直线PB的距离是2,∴-=2, 从而4(y0-p)2+4=4(y0-p)2+4x0p(y0-p)+p2,易知x0>4,∴上式化简后,得(x0-4)p2+4y0p-4x0=0,同理,(x0-4)q2+4y0q-4x0=0,∴p+q=--,pq=--,p-q=-----=4--,∵B(x0,y0)是抛物线上的一点,∴=4x0,∴p-q=-,∴S△BPQ=(p-q)x0=·-=2--≥32,当且仅当x0-4=-,即x0=8,y0=±4时取等号,此时B(8,±4).∴△BPQ面积的最小值为32.6.(2018浙江嘉兴高三期末,21)如图,AB为半圆x2+y2=1(y≥0)的直径,点D,P是半圆弧上的两点,OD⊥AB,∠POB=30°.曲线C经过点P,且曲线C上任意一点M满足|MA|+|MB|为定值.(1)求曲线C的方程;(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,求△OEF面积最大时直线l的方程.解析(1)根据椭圆的定义,曲线C是以A(-1,0),B(1,0)两点为焦点的椭圆,其中2c=2,P. 2a=|PA|+|PB|=+-=+-,∴a2=,b2=,∴曲线C的方程为+=1.(5分)(2)当直线l的斜率不存在时,△OEF不存在,所以直线l的斜率存在.设过点D的直线l的斜率为k,则l:y=kx+1.由得(2+6k2)x2+12kx+3=0, Δ=(12k)2-4·(2+6k2)·3=24(3k2-1)>0,∴k2>, 设E(x1,y1),F(x2,y2),∴x1+x2=-,x1·x2=,(8分)∴|EF|=·|x1-x2|=·-,(10分)又∵点O到直线l的距离d=,∴△OEF的面积S=·|EF|·d=-.(12分)令-=λ,λ>0,则S=·=·≤·=,当且仅当λ=,即λ=,也即3k2-1=2,k=±1时,△OEF的面积取到最大值.此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.(15分)。
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：10.2 双曲线及其性质 Word版含解析
10.2 双曲线及其性质挖命题【考情探究】5年考情考点内容解读考题示例考向关联考点预测热度双曲线的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图形、标准方程.2016浙江,7双曲线的标准方程椭圆、离心率★★☆2018浙江,2双曲线的焦点坐标2016浙江,7,文13双曲线的离心率椭圆、双曲线的定义和标准方程2015浙江,9双曲线的渐近线双曲线的定义和标准方程双曲线的几何性质1.理解双曲线的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2014浙江,16双曲线的渐近线、离心率直线与双曲线的位置关系★★★分析解读 1.考查双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质,一般以选择题、填空题的形式出现,难度不大.2.重点考查双曲线的渐近线、离心率以及解双曲线上一点与两焦点构成的三角形.3.预计2020年高考试题中,对双曲线的考查仍会以选择题、填空题的形式出现,难度适中.破考点【考点集训】考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,8)已知F 1,F 2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P 是双x 2a 2y 2b2曲线右支上一点,O 为坐标原点.若|PF 2|,|PO|,|PF 1|成等比数列,则双曲线的离心率为( ) A.B.23C.2 D.5答案 A 2.(2018浙江宁波高三期末,15)已知双曲线C 的渐近线方程是y=±2x,右焦点F(3,0),则双曲线C 的方2程为 ,若点N 的坐标为(0,6),M 是双曲线C 左支上的一点,则△FMN 周长的最小值为 .答案 x 2-=1;6+2y 285考点二 双曲线的几何性质1.(2018浙江重点中学12月联考,2)双曲线-=1的离心率是( )y 29x 24A.B.C.D.5253132133答案 D 2.(2018浙江名校协作体期初联考,2)双曲线-=1的渐近线方程是( )y 29x 24A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 C 炼技法【方法集训】方法 求双曲线离心率(范围)的常用方法1.(2018浙江金华十校模拟(4月),2)双曲线-y 2=1的离心率为( ) x 24A.B. C.D.535232答案 C 2.(2018浙江萧山九中12月月考,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,渐近线分别为x 2a 2y 2b 2l 1,l 2,位于第一象限的点P 在l 1上,若l 2⊥PF 1,l 2∥PF 2,则双曲线的离心率是( )A.B. C.2 D.532答案 C 过专题【五年高考】A 组 自主命题·浙江卷题组考点一 双曲线的定义和标准方程 (2016浙江文,13,4分)设双曲线x 2-=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角y 23三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 . 答案 (2,8)7考点二 双曲线的几何性质1.(2018浙江,2,4分)双曲线-y 2=1的焦点坐标是( )x 23,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)22C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)22答案 B 2.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C 1:+y 2=1(m>1)与双曲线C 2:-y 2=1(n>0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2x 2m 2x 2n 2的离心率,则( )A.m>n 且e 1e 2>1B.m>n 且e 1e 2<1C.m<n 且e 1e 2>1D.m<n 且e 1e 2<1答案 A3.(2015浙江,9,6分)双曲线-y 2=1的焦距是 ,渐近线方程是 .x 22答案 2;y=±x3224.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m ≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若x 2a 2y 2b 2点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 . 答案 52B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2018天津文,7,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲x 2a 2y 2b2线交于A,B 两点.设A,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1x 23y 29x 29y 23C.-=1D.-=1x 24y 212x 212y 24答案 A 2.(2017天津文,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边x 2a 2y 2b 2长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1x 24y 212x 212y 24C.-y 2=1D.x 2-=1x 23y 23答案 D 3.(2017天津理,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F 和P(0,4)两点x 2a 2y 2b 22的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1x 24y 24x 28y 28C.-=1D.-=1x 24y 28x 28y 244.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,x 2m 2+n y 23m 2-n 则n 的取值范围是( )A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3)D.(0,)33答案 A 5.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物x 2a 2y 2b 23线y 2=4x 的准线上,则双曲线的方程为( )7A.-=1 B.-=1 C.-=1D.-=1x 221y 228x 228y 221x 23y 24x 24y 23答案 D 6.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线-=1的焦距是 .x 27y 23答案 210考点二 双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅲ文,10,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C 的渐近线x 2a 2y 2b 22的距离为( )A.B.2C.D.223222答案 D 2.(2018课标全国Ⅲ理,11,5分)设F 1,F 2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2x 2a 2y 2b 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=|OP|,则C 的离心率为( )6A.B.2C.D.532答案 C 3.(2018课标全国Ⅰ理,11,5分)已知双曲线C:-y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两x 23条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN 为直角三角形,则|MN|=( )A.B.3C.2D.434.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x 0,y 0)是双曲线C:-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若·<0,x 22MF 1MF 2则y 0的取值范围是( )A. B.(-33,33)(-36,36)C. D.(-223,223)(-233,233)答案 A 5.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线x 2a 2y 2b 2的距离为c,则其离心率的值是 .32答案 26.(2017课标全国Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A 为圆心,b 为半径作圆A,x 2a 2y 2b 2圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M,N 两点.若∠MAN=60°,则C 的离心率为 . 答案 233C 组 教师专用题组考点一 双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国Ⅲ理, 5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆x 2a 2y 2b 252x 212+=1有公共焦点,则C 的方程为 ( ) y 23A.-=1B.-=1x 28y 210x 24y 25C.-=1D.-=1x 25y 24x 24y 23答案 B 2.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F 2(5,0),则双曲线C 的方程为x 2a 2y 2b 2( )A.-=1B.-=1x 24y 23x 29y 216C.-=1D.-=1x 216y 29x 23y 24答案 C 3.(2015福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=3,则|PF 2|x 29y 216等于( )A.11B.9 C.5 D.3答案 B 4.(2014湖北,8,5分)设a,b 是关于t 的方程t 2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a 2),B(b,b 2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( )x 2cos 2θy 2sin 2θA.0B.1C.2D.3答案 A5.(2014天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦x 2a 2y 2b 2点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.-=1B.-=1x 25y 220x 220y 25C.-=1D.-=13x 2253y 21003x 21003y 225答案 A 6.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C 的离心率为2,焦点为F 1、F 2,点A 在C 上.若|F 1A|=2|F 2A|,则cos ∠AF 2F 1=( )A.B.C.D.2423答案 A 考点二 双曲线的几何性质1.(2018课标全国Ⅱ理,5,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )x 2a 2y 2b 23A.y=±xB.y=±xC.y=±x D.y=±x232232答案 A 2.(2017课标全国Ⅰ文,5,5分)已知F 是双曲线C:x 2-=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点Ay 23的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( )A. B.C.D.答案 D 3.(2017课标全国Ⅱ理,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长x 2a 2y 2b 2为2,则C 的离心率为( )A.2 B.C.D.32233答案 A 4.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线x 24y 2b 2的两条渐近线相交于A,B,C,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b,则双曲线的方程为( )A.-=1B.-=1x 243y 24x 244y 23C.-=1D.-=1x 24y 24x 24y 212答案 D 5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F 1,F 2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂x 2a 2y 2b 2直,sin ∠MF 2F 1=,则E 的离心率为( )A.B.C.D.223答案 A 6.(2015安徽,4,5分)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是( )A.x 2-=1B.-y 2=1C.-x 2=1D.y 2-=1y 24x 24y 24x 24答案 C 7.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( )A.B.2C.D.532答案 D 8.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交x 2a 2y 2b 2于B,C 两点,过B,C 分别作AC,AB 的垂线,两垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a+,则该双a 2+b 2曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞),0)∪(0,)D.(-∞,-)∪(,+∞)2222答案 A 9.(2015四川,5,5分)过双曲线x 2-=1的右焦点且与x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B 两点,y 23则|AB|=( )A.B.24333C.6 D.43答案 D 10.(2015湖北,8,5分)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b(a ≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( )A.对任意的a,b,e 1>e 2B.当a>b 时,e 1>e 2;当a<b 时,e 1<e 2C.对任意的a,b,e 1<e 2D.当a>b 时,e 1<e 2;当a<b 时,e 1>e 2答案 D 11.(2014广东,4,5分)若实数k 满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的( )x 225y 29-kx 225-k y 29A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案 A 12.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F 为双曲线C:x 2-my 2=3m(m>0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.B.3C.mD.3m33答案 A 13.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C 1的方程为+=1,双曲线C 2的方程为-=1,C 1与C 2的离心x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b 2率之积为,则C 2的渐近线方程为( )32A.x±y=0B.x±y=022C.x±2y=0D.2x±y=0答案 A 14.(2014重庆,8,5分)设F 1、F 2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得x 2a 2y 2b 2|PF 1|+|PF 2|=3b,|PF 1|·|PF 2|=ab,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.3答案 B 15.(2018北京文,12,5分)若双曲线-=1(a>0)的离心率为,则a= .x 2a 2y 2452答案 416.(2017北京文,10,5分)若双曲线x 2-=1的离心率为,则实数m= .y 2m3答案 217.(2017课标全国Ⅲ文,14,5分)双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a= .x 2a 2y 29答案 518.(2016北京,13,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC 的边OA,OC 所在的直线,点B 为该x 2a 2y 2b 2双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a= . 答案 219.(2015北京,10,5分)已知双曲线-y 2=1(a>0)的一条渐近线为x+y=0,则a= .x 2a 23答案 3320.(2015湖南,13,5分)设F 是双曲线C:-=1的一个焦点.若C 上存在点P,使线段PF 的中点恰为其虚x 2a 2y 2b 2轴的一个端点,则C 的离心率为 . 答案 521.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线x 2a 2y 2b 2C 2:x 2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 . 答案 22.(2014北京,11,5分)设双曲线C 经过点(2,2),且与-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐y 24近线方程为 .答案 -=1;y=±2xx 23y 21223.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y 2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B 分别在C 的两条渐近线x 2a 2上,AF ⊥x 轴,AB ⊥OB,BF ∥OA(O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程;(2)过C 上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)的直线l:-y 0y=1与直线AF 相交于点M,与直线x=相交于点N.x 0xa 2证明:当点P 在C 上移动时,恒为定值,并求此定值.|MF ||NF|解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,a 2+1直线OB 的方程为y=-x,直线BF 的方程为y= (x-c),解得B .(c 2,-c 2a)又直线OA 的方程为y=x,则A ,k AB ==.又因为AB ⊥OB,所以·=-1,解得a 2=3,(c ,ca)c a-(-c 2a )c -c 2(-1a)故双曲线C 的方程为-y 2=1.x 23(2)由(1)知a=,则直线l 的方程为-y 0y=1(y 0≠0),3x 0x 3即y=.x 0x -33y 0因为直线AF 的方程为x=2,所以直线l 与AF 的交点为M ;(2,2x 0-33y 0)直线l 与直线x=的交点为N ,(32,32x 0-33y 0)则==|MF |2|NF |2(2x 0-3)2(3y 0)214+(32x 0-3)2(3y 0)2(2x 0-3)29y 204+94(x 0-2)2=·.(2x 0-3)23y 20+3(x 0-2)2因为P(x 0,y 0)是C 上一点,则-=1,代入上式得x 203y 20=·=·=,|MF |2|NF |2(2x 0-3)2x 20-3+3(x 0-2)2(2x 0-3)24x 20-12x 0+9所求定值为==.|MF ||NF |23233评析 本题考查双曲线的标准方程、直线方程、直线与双曲线的综合问题,考查考生综合应用能力、整体代换思想以及转化与化归思想的应用,准确表示出点M 与点N 的坐标是解决本题的前提,注意点P(x 0,y 0)与双曲线的关系是化简的关键.考查运算求解能力及推理论证能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共40分)1.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,4)双曲线9y 2-4x 2=1的渐近线方程为( ) A.y=±x B.y=±x C.y=±xD.y=±x答案 C 2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,9)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离小于它x 2a 2y 2b 2的实轴长,则该双曲线离心离e 的取值范围是( )A.1<e<B.1<e<25D.e>25答案 B 3.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),2)若y=x 是曲线C:-=1(a,b>0)的一条渐近线,则C 的离2x 2a 2y 2b 2心率为( ) A.3 B.C.D.362答案 B 4.(2018浙江诸暨高三期末,8)已知双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F 1,F 2为其左,右焦点,若P 是双x 2a 2y 2b 2曲线右支上的一点,且tan ∠PF 1F 2=,tan ∠PF 2F 1=2,则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.5523553答案 A 5.(2018浙江高考模拟卷,5)已知F 1,F 2是双曲线-=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形x 2a 2y 2b 2MF 1F 2,若边MF 1的中点P 在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) A.+1B.-133C.2 D.3+12答案 A 6.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),8)已知双曲线右支上存在点P 使得∠PAF=,PA=AF,其中A 是双2π3曲线的右顶点,F 是左焦点,则双曲线的离心率为( )A.B. C.2-2 D.+12333答案 C 7.(2018浙江教育绿色评价联盟适应性试卷(5月),8)已知F 1,F 2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,Px 2a 2y 2b 2是双曲线上的一点,且PF 1⊥PF 2,若△PF 1F 2的内切圆半径为,则该双曲线的离心率为( )A.-1B.C.D.+163+126+126答案 C 8.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,7)已知F 是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,以坐标原点O 为圆x 2a 2y 2b 2心,|OF|为半径的圆与该双曲线的渐近线在y 轴右侧的两个交点记为A,B,且∠AFB=120°,则双曲线的离心率为( ) A.B. C.2 D.235答案 C 9.(2018浙江绍兴高三适应性模拟,7)如图,已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,A 为虚轴的一端x 2a 2y 2b 2点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B,且∈R ),则该双曲线的离心率为( )AB BF A.2B.5C.D.1+321+52答案 D 10.(2018浙江诸暨高三适应性考试,7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线截椭圆+y 2=1所得的x 2a 2y 2b2x 24弦长为,则此双曲线的离心率为( )433A.B. C.D.23626答案 B 二、填空题(单空题4分,多空题6分,共14分)11.(2018浙江嵊州高三期末质检,12)已知双曲线C:-=1(t>0)的其中一条渐近线经过点(1,1),则该双x 22y 2t曲线的右顶点的坐标为 ,渐近线方程为 . 答案 (,0);y=±x212.(2018浙江名校协作体联考,16)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F 的直线l 与双曲线的渐x 2a 2y 2b 2近线交于A,B 两点,且与其中一条渐近线垂直,若=3,则此双曲线的离心率为 . AF FB 答案 6213.(2017浙江名校协作体联考,16)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F 作与x 轴垂直的直线交x 2a 2y 2b 2两渐近线于A,B 两点,且与双曲线在第一象限的交点为P,设O 为坐标原点,若,λμ=OP OA OB 425(λ,μ∈R ),则双曲线的离心率e 为 . 答案 。
2020版高考数学(浙江专用)一轮总复习检测：10.6 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)过原点 O 且与 x 轴不重合的直线交椭圆 C 于 E,F 两点,直线 AE,AF 分别与 y 轴交于点 M,N.求证:以 MN 为
直径的圆恒过焦点 F1,F2,并求出△F1MN 面积的取值范围.
解析 (1)∵������ △ ������������1������2=×2c× 3=2 3,∴c=2,(2 分)
OP+OQ≤ 2(������������2 + O������2)= 6,所以 S 四边形 OPMQ 的最大值为 1.
������2 ������2 2.(2018 浙江台州高三期末质检,21,15 分)已知椭圆 C:������2+������2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,左顶点为 A,
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10.6 圆锥曲线的综合问题 挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
考题示例
5 年考情 考向
关联考点
预测热度
2018 浙江,21
直线与椭圆、 抛物线的位置关系
三角形面积、 取值范围
圆锥曲 线的综 合问题
1.了解圆锥曲线的简单应用. 2.理解数形结合的思想. 3.能解决直线与圆锥曲线的综 合应用等问题.
2 2k
∴������1M= 2, 1+
1
+
2������2
,������1N=
2, 1
-
, 1 + 2������2
∴������1M·������1N=0,∴F1M⊥F1N,同理,F2M⊥F2N,
2.考查点主要有:(1)圆锥曲线的基本概念和性质;(2)与圆锥曲线有关的最值、对称、位置关系等综合 问题;(2)有关定点、定值问题,以及存在性等探索性问题.
(浙江专用)高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5 曲线与方程课件.pptx
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思路分析 (1)设出P、M的坐标,利用 NP= 2 得NM到P、M坐标间的关系,由点M在C上求解.(2)
利用向量的坐标运算得 OQ· P=F0,进而证明直线l过曲线C的左焦点F.
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方法总结 求轨迹方程的方法有直接法和间接法.直接法有定义法、待定系数法和直译法.间接 法有相关点法、交轨法和参数法. 2.(2016课标全国Ⅰ,20,12分)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆 A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边 形MPNQ面积的取值范围.
3.(2016课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于 A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ; (2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
6
解析
由题设知F
1 2
,.0设 l1:y=a,l2:y=b,则ab≠0,
且A
a2 2
,,Ba
,Pb22
, b,Q
,R1
2
2020年浙江高考数学一轮复习：双曲线
••>必过数材美1.双曲线的定义平面内与两个定点F i, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于IF1F2I)的点的轨迹叫做双曲线•这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线白____________ 集合P= {M|||MF 1|-|MF2||= 2a}, |F i F2|= 2c,其中a, c 为常数且a> 0, c>0.(1) 当2a v |F i F21时，P点的轨迹是双曲线；(2) 当2a = |F i F 2|时，P点的轨迹是两条射线；(3) 当2a > |F i F21时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程---------------- 2------- 2 -------------------------------------------------/—y2=i(a>0, b> 0)----------- 2 ------- 2--------------------------------------------字-討i(a> 0, b> 0)图形A性质范围x< — a 或x>a, y€ R y w —a 或y> a, x€ R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A i( —a,0), A2(a,0)顶点坐标：A i(0, —a), A2(0 , a)渐近线y=*x y= ±x离心率ce= ", e€ (i ,+s ) a ----a, b, c的关系c2= a2+ b2实虚轴线段A i A2叫做双曲线的实轴，它的长|A i A2| = 2a；线段B i B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B i B2| = 2b a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长［小题体验］2 2 i双曲线x —y2=1的焦距为 __________________________________ •2 2解析：由双曲线—七=1,易知c 2= 3 + 2= 5,所以c = 5,322 2 所以双曲线X-—专=1的焦距为2 5.答案：2 52 22•(教材习题改编)以椭圆^4+yx =i 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为2 2解析：设要求的双曲线方程为 予—令=1(a >0, b >0),2 2由椭圆X += 1 , 4 3得椭圆焦点为(±,0),顶点为(±,0) • 所以双曲线的顶点为(±,0),焦点为(±,0). 所以 a = 1, c = 2, 所以 b 2= c 2— a 2= 3,2所以双曲线标准方程为 X 2— : = 1.2答案：x 2— y = 122f~53. (2018北京高考)若双曲线 y4 = 1(a > 0)的离心率为 玄，贝V a= ________ ,T a > 0, . a = 4. 答案：4••>必过易错关1.双曲线的定义中易忽视 2a < IF 1F 2I 这一条件.若2a =|F 1F 2|，则轨迹是以F 1, F ?为端点的两条射线，若 2a > IF 1F 2I ，则轨迹不存在.2•双曲线的标准方程中对 a , b 的要求只是a >0, b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ,b 的要求相同.若a > b > 0,则双曲线的离心率 e € (1, 2);若a = b > 0,则双曲线的离心率 e =2;若0<a < b,则双曲线的离心率 e € (• 2,+^ ).2 23.注意区分双曲线中的 a , b , c 大小关系与椭圆中的 a , b, c 关系，在椭圆中a = b + c 2,而在5 4,a 2= 16.解析：由e =：；= a 2+ 4 2~ a双曲线中c2= a2+ b2.4•易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在x轴上，渐近线斜率为±b,当焦点在y轴上，渐近线斜率为±b［小题纠偏］2 21.设P是双曲线土一士 = 1上一点，F i, F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF i|16 20=9则|PF2|等于____________ .解析：由题意知|PF i|= 9v a+ c= 10,所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|- |PF i|= 2a = 8,故|PF2|= |PF i| + 8= 17.答案：172•以直线y= ±2x为渐近线，且过点（一U3, 2）的双曲线的标准方程为____________解析：因为双曲线的渐近线方程为y=±. 2x,不妨可设该双曲线的方程为2x2—y2=入因为双曲线过点（一，3, 2）,所以6 —4= = 2，所以双曲线的方程为2x2—y2= 2,2即其标准方程为x2—专=1.2答案：x2—专=1考点一双曲线的标准方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019金华调研）已知双曲线的一个焦点与圆x2+ y2—4y= 0的圆心重合，且其渐近线的方程为一3x勿=0，则该双曲线的标准方程为（）2 2A.x—y2= 1B.y—x2= 1332 2 2 2C.2L —必=1D.y-—瓦=19 16 16 92 解析：选B 由圆的方程知其圆心为（0,2），故双曲线的焦点在y轴上，设其方程为鸟—a2器=1（a>0, b> 0），且a2+ b2= 4, ①又知渐近线方程为V3x±y= 0,二；=西，②2 由①②得a 2= 3, b 2= 1 ,•••双曲线方程为y3 — x 2= 1.2 2 2. （2018海口二模）已知双曲线 C :孑一狰=他〉0，b >0）过点（2, 3），且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）2A.X- - y 2= 1 -2 2B.x — y= 1 9 32C X 2 — y - = 132 2 D.X y= 1 -3 3 2解析：选C •••实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，•b= tan 60a3. （2018温岭模拟）已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为F （3,0）,且离心率等于3, 则该双曲线的标准方程为 ______________ ;渐近线方程为 ______________ .2 解析：因为c = 3,所以e = c = 3解得a = 2,所以b 2= 5.所以双曲线的标准方程为 X a 24y5 = 1，其渐近线方程为y = ±25x.24.焦点在x 轴上，焦距为卩且与双曲线y 4-宀1有相同渐近线的双曲线的标准方程是 _________________ .22 2 设所求双曲线的标准方程为 y — H = — X X>0），即X— y = 1,则有4入+匸25,4 X 4 X 2 2所以所求双曲线的标准方程为令—± = 1.5 202 2x -—y - = 1520［谨记通法］求双曲线标准方程的2种方法（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ,b ,c 的方2 2 2 2程并求出a , b , c 的值.与双曲线字—¥= 1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为 p —吉=3,即b =』3a ,T 双曲线2 2 C :予-沪1(a >0,2b >0)过点(2,3),•匸2a —3拿=1，解得a 2= 1 ,•b 2= 3,故双曲线C 的标准方程是=1.解析： 解得X= 5, 答案：⑵定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定 c 的值.考点二 双曲线的定义 重点保分型考点 一一师生共研［典例引领］2 4已知双曲线X 2— 加1的两个焦点为F l , F 2, P 为双曲线右支上一点. 若|PF i | = 4|PF 2|,则厶F 1PF 2的面积为（）A . 48B . 24C . 12D . 6解析：选B 由双曲线的定义可得1|PF i |— |PF 2|=尹2| = 2a = 2, 解得 |PF 2|= 6,故|PF 1|= 8，又 |F 1F 2|= 10,由勾股定理可知三角形 PF 1F 2为直角三角形, 1因此 S A PF 1F 2= Q|PF 1||PF 2|= 24.［由题悟法］应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点 （焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” •若定义中的“绝对值” 去掉，点的轨迹是双曲线的一支•同时注意定义的转化应用.［即时应用］1.已知F 1, F 2为双曲线C : x 2— y 2= 2的左、右焦点，点 P 在C 上, 则 cosZ F 1PF 2=(1 A _ A .4 4 %2 2双曲线方程可化为》—=1,,|PF 1|— |PF 2|= 2\f2, m 厂 厂由'得|PF 1|= 4迈,|PF 2|= 2最，由余弦定理得cos/ F 1PF 2 =JPF 1|= 2|PF 2||PF 『+ |PF 2|2—尸讦2|2 = 32|PF 1| |PF 2| = 4.2 2|PF 1|= 2|PF 2|,Bl解析：选C.a = b = 2,c = 2.2. (2018余姚期初)已知△ ABC的顶点A, B分别为双曲线器—弋=1的左、右焦点，X.［锁定考向］双曲线的几何性质是每年高考命题的热点. 常见的命题角度有:(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2) 求双曲线的渐近线方程; (3)求双曲线方程.［题点全练］角度一：求双曲线的离心率(或范围)2 21. (2016山东高考)已知双曲线 E : j —器=1(a >0, b >0)，若矩形 ABCD 的四个顶点 在E 上, AB , CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|= 3|BC|，贝U E 的离心率是 2b 2解析：如图，由题意知|AB|=』,|BC|= 2c.a又 2|AB| = 3|BC|,22X 也=3X 2c ,即 2b 2 = 3ac , a.2(c 2— a 2) = 3ac ,两边同除以a 2并整理得2e 2— 3e — 2 = 0,解得e = 2(负值舍去).答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程22. (2018乐清调研)以椭圆X + /= 1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线 方程是2 2 X2— y2= 1(a >0, b >0),则 a = . 4— 1= . 3, a bc = 2，所以 b 2= c 2— a 2= 4- 3 = 1,故所求渐近线方程为 y = ±33/ 0r顶点C 在双曲线上，则|Sin A- Sin B|的值为 sin C解析：由正弦定理知, SBCA = SACB =盔，由双曲线的定义可知，|Sin AinC in B|l|BC|—|AC|| =色=4|AB| = 10= 5.答案:45考点三双曲线的几何性质题点多变型考点多角探明解析：由题意可知所求双曲线方程可设为角度三：求双曲线方程- -3.过双曲线C: {— y «= 1（a >0, b > 0）的右顶点作x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线相a b交于点A.若以C 的右焦点为圆心、 半径为4的圆经过A , O 两点（0为坐标原点），则双曲线2 2B.X --y -= 1 7 9- -D 各-y -= 1 1- 4解析：选A 由题意知右顶点为（a,0），不妨设其中一条渐近线方程为 y =-x ，因此可得a点A 的坐标为（a , b ）.设右焦点为 F （c,0），由已知可得 c = 4，且|AF|= 4,即（c — a ）-+ b -= 16,所以有（c — a ）-+ b -= c -,又 c -= a -+ b -,贝U c = 2a ，即 a = - = 2,所以 b -= c -— a -= 4-— 2-= 12,故双曲线- -的方程为―—± = 1.4 12［通法在握］与双曲线几何性质有关问题的解题策略（1）求双曲线的离心率（或范围）.依据题设条件，将问题转化为关于 a , c 的等式（或不等 式），解方程（或不等式）即可求得.⑵求双曲线的渐近线方程•依据题设条件，求双曲线中a ,b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程.（3）求双曲线的方程•依据题设条件，求出 a , b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的 方程.⑷求双曲线焦点（焦距）、实虚轴的长•依题设条件及 a , b , c 之间的关系求解.［演练冲关］- -1. （2018萧山六校联考）已知I 为双曲线C : x -—善=1（a >0, b >0）的一条渐近线，I 与a b 圆F : （x — c ）-+ y -= a -（其中c -= a -+ b -）相交于A , B 两点，若△ ABF 为等腰直角三角形， 则 C 的离心率为（）D.C 的方程为（）- -x y . A — — = 1 4 1 答案：y =解析：选D 由题意可设I的方程为bx+ ay= 0.已知圆F : (x — c)2 + y 2= a 2的圆心为(c,0)，半径为a ,2 2•••I 为双曲线C ：字— y2=1(a >0, b >0)的一条渐近线，I 与圆F : (x — c)2 + y 2= a 2(其中c 2= a 2+ b 2)相交于A , B 两点，△ ABF 为等腰直角三角形，二|AB|= 2a.的距离的取值范围是又(c,0)到 l 的距离 d = |b<2+ 0|2=实：b,」b+ a ca 2= 2b 2.又c 2= a 2 + b 2,. e =c =专.a 2 2 2 x2. (2018 •州调研)设双曲线 孑一 ...b 2+ JAB 1 2= a 2,将|AB|= 2a 代入上式，得 器=1(a >0, b >0)的虚轴长为 2,焦距为2,3,则双曲线的渐近线方程为解析：因为2b = 2,所以b = 1,所以双曲线的渐近线方程为因为 2c = 2 3,所以 c = 3，所以 a = \f c 2 — b 2= ,2, 令x.3. (2018杭州二中适应2 2)双曲线j — ¥= 1(a > 0, b > 0)上存在一点 P ,与坐标原点0、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则p1c ,双曲线上，所以 2c4a 2釜=1，结合 b 2= c2-a2 及 e=:, 化简得 e 4— 8e2+ 4= 0, 解得e 2= 4+ 2 .3或 e 2= 4— 2 3.因为e > 1,所以e 2= 4+ 2 3，所以 答案：目3+ 1e =叮'4+ 2 3 = 3+ 1.4. (2018安阳二模)已知焦点在2x 轴上的双曲线 X2+ —J = 1,它的焦点 8 — m 4— mF 到渐近线2 2解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线X 2— y 2= 1(a >0, b >0)，它的右焦点a b2 2 2 2 J 缨2= b.而双曲线 —+ — = 1,即 X — y: /b 2 + a 2 8 — m 4 — m 8— mm — 4线bx — ay = 0的距离为(c,0)到渐近1的焦点在答案：y =8 —m> 0,x轴上，则m—4> 0, 解得4v m v 8,它的焦点F到渐近线的距离为.m—4€ (0,2).答案：(0,2)考点四直线与双曲线的位置关系重点保分型考点师生共研［典例引领］2 2设A , B 分别为双曲线 j — ¥= 1(a >0, b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距离为3.(1) 求双曲线的方程；(2) 已知直线y p^x — 2与双曲线的右支交于 M , N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D ，使6M + O N = t"O D ，求t 的值及点D 的坐标.解：(1)由题意知a = 2 3,T 一条渐近线为 y = b x ，即卩bx — ay = 0.a•••由焦点到渐近线的距离为 , 得 |b© 3得—b 2+ a 2= 3.又T c 2 = a 2+ b 2,「. b 2= 3,2 2•••双曲线的方程为%—y =i.12 3(2)设 M (X 1, y i ), N(X 2, y 2), D(x o , y o ), 贝y X 1+ X 2= tX o ,浙 + y 2= ty o .厂 2 2将直线方程『=爭—2代入双曲线方程 誇—y3 = 1得 x 2— 16 3x + 84= 0,贝U x 1+ x 2= 16 3,屮+ y 2 = _33(X 1+ x 2)— 4 = 12.• t = 4，点D 的坐标为(4 3, 3).［由题悟法］直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1) 判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为o 的判断.(2) 技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验.［即时应用］已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 经过A( — 7,5), B( — 1,— 1)两点.(1) 求双曲线C 的方程；2 2(2) 设直线I : y = x + m 交双曲线C 于M , N 两点，且线段 MN 被圆E : x + y — 12x + nX 0 = g y o = 3 ,2 2 x o — y o =1 12 3. 解得 x o = , yo = 3.=0(n € R)三等分，求实数 m , n 的值. 解：⑴设双曲线C 的方程是入2+^y= i ,依题意有所以 P(— 2m , — m).又圆心E(6,0)，依题意k p E =— 1, 故昴=7即m =-2.将m =— 2代入①得x 2— 8x + 7= 0, 解得 x 1= 1, x 2= 7,所以 |MN |= 1+ 12|x 1 — X 2|= 6 2. 故直线I 截圆E 所得弦长为3|MN |= 2 2. 又E(6,0)到直线l 的距离d = 2 2, 所以圆E 的半径R =「2：2 2+—2 2= 10,所以圆E 的方程是x 2+ y 2— 12x + 26= 0. 所以 m =— 2, n = 26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快21. (2018浙江高考)双曲线；3 —寸=1的焦点坐标是()3 A . (— 2, 0), ( 2, 0) B . (— 2,0), (2,0) C . (0, — 2), (0,2)D . (0, — 2), (0,2)2解析：选B •••双曲线方程为 专—y 2= 1,解得入=- 11= 2, 所以所求双曲线的方程是2y 2— x 2= 1.22(2)将 I : y = x + m 代入 2y — x = 1, 得 x 2+ 4mx + (2m 2— 1) = 0,①2 2 2 △= (4m) — 4(2 m — 1) = 8m + 4 > 0.设 M(X 1, y 1), N(X 2, y 2), MN 的中点 P(x o , y o ), 则 x 1+ x 2=— 4m , x 1x 2= 2m 2— 1,所以x o =X 1+ X 22 =—2m ,y o = X o + m =— m ,答案：n 165.如图所示，已知双曲线以长方形a 2= 3,b 2= 1且双曲线的焦点在 x 轴上,c = p..；：a 2+ b 2 = \.3 + 1 = 2, •••该双曲线的焦点坐标是(一2,0), (2,0).2 2 2 22. (2018唐山期中联考)已知双曲线 C ：冷―n = l(m >0, n >0)的离心率与椭圆方+=1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为()A . 4x ±3y = 0=0.故选A.2 23. (2018湖南师大附中12月联考)已知双曲线C : X 2 —治=1(a > 0, b >0)的左、右焦点 分别是F i , F 2，正三角形 AF 1F 2的一边AF i 与双曲线左支交于点 B ，且AF i = 4BF 1，则双 曲线C 的离心率为()A ^2?+ 113 , d C.〒+ 1解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(— c,0), A(0, ■. 3c),设B(x ,y),T AF 1= 4BF 1 ,• (— c ,— ：：f 3c)= 4( — c — x ,— y),• x =—乎，y =亠^,代入双曲线方2 29c 3c程可得 磚—216 2= 1, • 9e 4— 28e 2 + 16= 0,二 e =：+ 1c — a32 2 4. (2018义乌质检)设F 1, F 2是双曲线X — y= 1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上,9 16 且满足 |PF 1| |PF 2|= 32,则/ F 1PF 2 =2解析：由题可得，|PF 1|— |PF 2|= 2a = 6, |F 1F 2|= 10.因为 |PF 1| |PF 2|= 32,所以 |PF 1| + |PF 2|2= (IPF 1—|PF 2|)2+ 2|PF 1||PF 2|= 100= |F 1F 2|2,所以 PF 」PF 2,所以/ 卩耐2 =才 所1 1 以 S A F 1PF 2= 2|PF 1| |PF 2|= 32X ?= 16.B . 3x ±4y = 0C . 4x ±3y = 0 或 3x ±4y = 0D . 4x ±5y = 0 或 5x ±ly = 0解析：选A 由题意知，椭圆中 ---------- 2 a =5,b =4，•椭圆的离心率L;1—b2=,••双曲线的离心率为.r +普=3」m3 •双曲线的4x = ±^x ,即 4x ±3y；S A F 1 PF 2 = ABCD 的顶点A , B 为左、且双曲线过 C , D 两顶点.若|AB|= 4, |BC|= 3,则此双曲线的标准方程为 _______________2 2解析：设双曲线的标准方程为X 2-y 2= 1(a >0, b >0).由题意得B(2,0), C(2,3), a b2•双曲线的标准方程为X 2-y 3 = 1. 2 答案:X 2-y3 = 1两条渐近线于 A , B 两点，则|AB|=(B . 2 3 D . 4.32X 2-— 1的渐近线方程为 y = ±3x ,将x = c = 2代入3得y=±2・3，即A , B 两点的坐标分别为(2,2,3), (2,- 2 3)，所以|AB| = 4 3.2 24 = a 2+ b 2, 4 9a2-1,解得a2=1，b 2= 3,-二保咼考，全练题型做到咼考达标2 2x-+丄=1k -91•“ k v 9”是“方程 25 - k 表示双曲线”的(A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A •方程22. (2018杭州调研)过双曲线x表示双曲线，••• (25 — k)(k — 9)v 0,••• k v 9或 k >解析：选D 由题意知，双曲线3. (2018杭州五中月考)已知F1, F2是双曲线X2-y2= 1(a>0, b> 0)的左、右焦点，过a b2 nA,与右支交于点B，若|AF1|= 2a，/ F1AF2=§，则S A AF1F2_ ( )S A ABF 2 —(F i的直线I与双曲线的左支交于点A. 11 1解析：选B如图所示，由双曲线定义可知|AF2| - |AF1|= 2a.因为|AF i|= 2a，所以|AF2|= 4a,又/ F i AF 2=牛所以S A AF i F2= i|AF i| |AF2| sin Z F i AF2=舟x 2a x 4a x 乎由双曲线定义可知|BF i|- |BF2|= 2a, 所以|BF i|= 2a + |BF2|, 又|BF i|= 2a+ |BA|，所以|BA|= |BF2|.因为/ BAF2=n,所以△ ABF2为等边三角形，边长为4a,x (4a)2= 4 3a 2,— S A AF 1F 2 2 3a 2 1 故 S^BF ；=4 3a 2=2・2X C： xa b4. （2018浙大附中测试）如图, F i F 2Q 中，l F i F 2|= 2c,所以F i , F 2分别是225. （2018宁波六校联考）已知点F 为双曲线E :字一診=1（a > 0, b > 0）的右焦点，直线 y = kx （k > 0）与E 交于M , N 两点，若 冗 冗IMF 丄NF ，设Z MNF = 3且氏在，£ I 则该双曲线的离心率的取值范围是 （）B . [2,3+ 1] D . [2,3+ 1]解析：选D 设左焦点为F '，令|MF |= r i , |MF ' |=帕 则|NF |=|MF ' |= r 2,由双曲线定义可知 r 2—冷=2a ①，：•点 M 与点N 关 于原点对称，且 MF 丄 NF ,••• |OM|= |ON|= |OF|= c ,「. r 2+ r 2= 4c 2②，由①②得 r i r 2= 2(c 2— a 2)= 2b 2，又知 S MNF = 2S M OF , • $1"= 2 •c 2 sin 2 3, • b 2= c 2 sin所以 S A ABF 2 =2 V法二：如图所示，双曲线 C 的一条渐近线的方程为2所以双曲线的标准方程为y —x 2= 1.4 所以 a = 2,离心率 e = C =¥.a 2 答案：— x 2= 1严4 2 7.若点P 是以A( — 3,0), B(3,0)为焦点，实轴长为 2 5的双曲线与圆x 2+ y 2= 9的一个交点，贝U |PA|+ |PB|= ______ .解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA|>|PB|.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA|— |PB|= 2 5, ① 又 |PA|2+ |PB|2= 36,②联立①②化简得 2|PA| |PB|= 16,所以(|PA|+ |PB|)2= |PA|2 + |PB|2+ 2|PA| |PB|= 52,所以 |PA|+ |PB|= 2 13. 答案：2 132 28. (2018绍兴四校联考)已知双曲线 C ： x 2— b 2= 1(a >0, b >0)的右焦点为 F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 M ，交另一条渐近线于 N ,若2MF = FN ，则双曲线C 的离心率e = __________ ,解析：法一:由2MF = FN 知，= 2.由渐近线的对称性知/ NOF =/ MOF ，即OF为/ NOM 的角平分线，则 cos/ NOM =|OM|= JMF|=-,所以/ NOM =n，/ NOF =Z MOF|ON| |FN | 2 3=才.因为双曲线C 的渐近线方程为y = ±x ，所以b = tan 才=宁，所以e =£ =二1+ ： 2 =2*33 .2戸 c 2- a 2,^ e 2= 1—1 — sin2 0,•••sin 则;‘¥]•••宀 1^『[2,(3+ 1)2],又T e > 1 ,••• e € [ 2,3 + 1],故选 D. 6. 已知双曲线的一个焦点 F(0, 5)，它的渐近线方程为y =埜x ，则该双曲线的标准方程为 _________________ ;其离心率为 ______________ .2 2解析：设双曲线的标准方程为眷一含=i (a >0, b >0), a 2= 4,由题意得Jalb = 2a 2 +b 2= 5, a = 2bbc点为F (c,0)，因此|FM| =——2^2= b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为 P ，则|FP|=|FM|= b, 1 n又因为 2MF = FN ，所以 |FN| = 2b.在 Rt △ FNP 中，sin / FNP =-，所以/ FNP =」，故在△2 6/ MON = n ，所以/ FON =n ，所以卫=申，所以双曲线C 的离心率e =3 6 a 39.已知双曲线的中心在原点， 焦点F i , F 2在坐标轴上，离心率为，2且过点(4,而), 点M(3，m)在双曲线上.(1)求双曲线的方程; (2) 求证：MF 1 MF 2= 0; (3) 求厶F 1MF 2的面积.解：(1) •/ e = 2,则双曲线的实轴、虚轴相等. •••可设双曲线方程为 x 2— y 2=入 •••双曲线过点(4,— 10), • 16— 10=人即入=6. ••双曲线方程为x 2— y 2= 6.(2)证明：设 M n= (— 2^3— 3,— m), M?2= (2 3— 3, — m). 二忒 MF >2= (3 + 2 3) X (3 — 2 3) + m 2=— 3 + m 2, •/ M 点在双曲线上，•- 9— m 2= 6,即卩 m 2— 3= 0, •- MF 1 MF 2= 0.⑶•/△ F 1MF 2 的底边长 |F 1F 2|= 4 3. 由(2)知 m = ± 3.••△ F 1MF 2 的高 h = |m|=S A F 1MF 2= ； X 4,3 X、.：3 = 6.2 2字一存=1(a > 0, b >0)的离心率为.3,点(3, 0)是双曲线的一个顶点.OMN 中,答案:2,3 310.已知双曲线 C :(1) 求双曲线的方程；(2) 经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A, B,2 2 X y 孑一b ^= 1(a >0, b >0)的离心率为 .3,点(3，0)是双曲线的一个2 2'—y = 1, 3 6联立y=¥x -3 , 设 A(X i , y i ), B(X 2, y 2),ntt6 27 则 X i + X 2=— 5, X i X 2=— ~.求 |AB|.顶点，c = 3， a = 3, 2X ⑵双曲线3— 解得c = 3, b = 6,「.双曲线的方程为 2 2 △—y -=i. 3 6 的右焦点为F 2(3,0),•经过双曲线右焦点 F 2且倾斜角为30 °勺直线的方程为 y=^(x - 3). 所以|AB| = /- r 4X 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 2 2 1. (2018暨阳联考)已知双曲线 C : 器=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，过点F 作双 曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足"FP -FP = 3F H T ，则双曲线的离心率为() A. 3 13 C.〒 B . 2 3 D. 13 解析：选C 不妨取渐近线方程为 b x ，则 |FH |= 一产—二 b.因为"FP = 3"if ，所 a a + b 以|FP|= 3b ,设双曲线的右焦点为 F 2,则 |F 2P|= 3b — 2a.因为 cos/ PFF 2=£, |FF 2|= 2c.所以 由余弦定理得：(3b — 2a)2= 4c 2 + 9b 2— 2X 2c X 3b x b ,化简得 2b = 3a.若取 a = 2，贝U b = 3, c c = 13.所以离心率为e = c =亠严. a 2 2. (2018浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程； ⑵若直线I : y = kx + 2与双曲线C 的左支交于 A , B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段 AB 的垂直平分线I D 与y 轴交于M(0, m),求m 的取值范围.解: ⑴•••双曲线 得 5X 2+ 6X — 27= 0.解：(1)设双曲线 2 2 C 的方程为 02—器=1(a >0, b >0). 由已知得，a = 3, c = 2, • b 2= c 2— a 2= 1,2•••双曲线C 的方程为；-y 2= 1.2(2)设 A(X A , Y A ), B(X B ,『B ),将 y = kx + 2代入X - y = 1，得 (1 — 3k 2)x 2-6 2kx — 9 = 1 - 3" 0,2△= 36 (1 — k 尸 0,由题意知 X A + X B = J X A X B =•- Y A + Y B =叫+ 2)+ 叫+ 2) =k(x A + X B )+ 2 2 = 1 — 3^2. • AB 的中点p 的坐标为13—歩,匸3孑. 设直线I o 的方程为：y =- kx + m , k 将点P 的坐标代入直线I o 的方程，得 m = 4 j 2.1 — 3k••Vv k v 1，•— 2v 1- 3k 2v 0.3 --m v — 2\J 2.• m 的取值范围为(—a,— 2 2). 0.• k 的取值范围为 i 3, ⑶由(2)得: X A + X B =解得于＜ k v 1.。
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10.5曲线与方程挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2015浙江文,7曲线与方程的求法平面截圆锥的性质★★☆分析解读 1.求曲线方程的题目往往出现在解答题中,并且以第一小题的形式出现,难度适中.2.预计2020年高考试题中,求曲线的方程会有所涉及.破考点【考点集训】考点曲线与方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)在圆C:x2+y2+2x-2y-23=0中,长为8的弦中点的轨迹方程为()A.(x-1)2+(y+1)2=9B.(x+1)2+(y-1)2=9C.(x-1)2+(y+1)2=16D.(x+1)2+(y-1)2=16答案 B2.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),21)已知两个不同的动点A,B在椭圆+=1上,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求:(1)线段AB的中点M的轨迹方程;(2)线段AB的长度的最大值.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).易知直线AB的斜率存在,由题意可知,+=1,+=1,则+=0,得=-.又·=-1,得y0=-2.从而,线段AB的中点M的轨迹方程为y=-2(-<x<).(2)由(1)知,直线AB的斜率k=x0.所以直线AB的方程为y+2=x0(x-x0),与椭圆方程联立得,(+2)x2-2x0(+2)x++4-4=0,则x1+x2=2,x1x2=,于是,|AB|=|x1-x2|==2≤2,当且仅当x0=0时,取等号,所以线段AB的长度的最大值为2.炼技法【方法集训】方法1直接法求轨迹方程(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③若由②③解得k<-1或k>,即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或由②③解得k∈或-≤k<0,即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若由②③解得-1<k<-或0<k<,即当k∈∪时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.方法2 定义法求轨迹方程1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C为焦点的椭圆过A,B两点,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为()A.y2-=1(y≤-1)B.y2-=1(y≥-1)C.y2-=1D.x2-=1答案 A2.(2017浙江镇海中学第一学期期中,6)如图,在四边形ABCD中,将△ADC沿AC所在的直线进行翻折,则翻折过程中线段DB的中点M的轨迹是()A.椭圆的一段B.抛物线的一段C.一段圆弧D.双曲线的一段答案 C方法3 相关点法求轨迹方程1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,8)已知点M在经过点A(-4,-3)和点B(2,5)且面积最小的圆C上运动,点N(3,-3),则线段MN的中点P的轨迹方程为.答案(x-1)2+(y+1)2=2.过点(1,0)的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.解析设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由e==,得=,从而a2=2b2,所以c=b.故椭圆C方程为x2+2y2=2b2,设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A、B在椭圆C上,∴+2=2b2,+2=2b2,两式相减得(-)+2(-)=0,即=-.设AB的中点为(x0,y0),则k AB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,故y0=x0,于是-=-1,即k AB=-1,故直线l的方程为y=-x+1.右焦点(b,0)关于直线l的对称点设为(x',y'),则解得由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,∴b=,∴b2=,a2=.∴所求椭圆C的方程为+=1.过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点曲线与方程1.(2017课标全国Ⅱ理,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且·=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析本题考查了求轨迹方程的基本方法和定点问题.(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),·=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由·=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以·=0,即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解析(1)圆C1的方程x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),M(x0,y0),则x0=,y0=.由题意可知直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx.将上述方程代入圆C1的方程,化简得(1+t2)x2-6x+5=0.由题意,可得Δ=36-20(1+t2)>0(*),x1+x2=,所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.因为+=+===3x0,所以+=.由(*)解得t2<,又t2≥0,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=.(3)存在.由(2)知,曲线C是在区间上的一段圆弧.如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).联立直线L的方程与曲线C的方程,消去y整理得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.令Δ=0,解得k=±,由求根公式解得交点的横坐标为x H,I=∈,由图可知,要使直线L与曲线C只有一个交点,则k∈[k DG,k EG]∪{k GH,k GI},即k∈∪.教师专用题组考点曲线与方程1.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N 处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周 (D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图22.(2015课标Ⅱ,20,12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为+=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故x M==,y M=k·x M+b=.于是直线OM的斜率k OM==-,即k OM·k=-.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.思路分析(1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解a,b,然后得到椭圆的方程;(2)联立直线方程与椭圆方程,通过根与系数的关系求解k OM,然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.3.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时, l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.评析本题考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系以及轨迹方程的求法.考查分类讨论思想以及方程思想的应用.4.(2013课标Ⅰ,20,12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=.所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.思路分析(1)由动圆P与两定圆的位置关系可求得|PM|+|PN|=4,根据椭圆的定义即可判定动圆圆心P的轨迹,进而求得曲线C的方程,注意检验特殊点是否符合题意;(2)根据条件确定圆P的半径最长时圆P的方程,对直线l的倾斜角进行讨论.当直线的斜率不存在时,直接求|AB|.当直线的斜率存在时,利用相切关系求其斜率与方程,将直线方程代入曲线C的方程,解出x,再利用弦长公式求|AB|.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共8分)1.(2018浙江杭州二中期中,9)2000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为底面直径,顶角为2θ,那么不过顶点P的平面:与PH的夹角α满足>α>θ时,截口曲线为椭圆;与PH的夹角α=θ时,截口曲线为抛物线;与PH的夹角α满足θ>α>0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AM⊥AB,过AM的平面截圆锥所得的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口曲线的短轴顶点的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案 D2.(2017浙江镇海中学一轮阶段检测,7)已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为,与x轴的交点P,Q位于y轴的两侧,以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0,4)和F2(0,-4),则点(b,c)所在的曲线为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案 B二、填空题(单空题4分,多空题6分,共6分)3.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),12)在直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),动点P满足|PA|=|PB|,则点P 的轨迹方程是;轨迹为.答案x2+y2-12x+4=0;一个圆三、解答题(共45分)4.(2019届浙江高考信息卷(五),21)已知圆M:(x+2)2+y2=64,定点N(2,0),点P为圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足=2,·=0.(1)求点G的轨迹方程;(2)已知点B(0,2),A、D是曲线G上的两动点且AB⊥DB,若直线AD与以原点为圆心的圆总有公共点,求该圆的半径r的取值范围.解析(1)连接GN,则||=||,∴||=||+||=||+||=8,根据椭圆的定义知点G的轨迹是以M、N为焦点,长轴长为8的椭圆,即a=4,c=2,则b2=a2-c2=4,故所求的轨迹方程是+=1.(2)设直线AB的方程是y=kx+2,则直线BD的方程是y=-x+2,由得(1+4k2)x2+16kx=0,∴x A=-,从而y A=,由得x D=,y D=,则k AD===,∴直线AD的方程为y-=·,即y=x-,即直线AD过定点,为使直线AD与圆x2+y2=r2总有公共点,只需r≥,即r的取值范围是.5.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),21)已知动圆O1过定点A(2,0),且在y轴上截得弦MN的长为4.(1)求动圆圆心O1的轨迹C的方程;(2)若B(x0,y0)是动圆圆心O1的轨迹C上的动点,点P,Q在y轴上,圆(x-2)2+y2=4内切于△BPQ,求△BPQ面积的最小值及此时点B的坐标.解析(1)如图,设动圆圆心O1(x,y),由题意知,|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,∵|O1M|=|O1A|,∴=,化简得y2=4x(x≠0).又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=4x,所以动圆圆心O1的轨迹C的方程为y2=4x.(2)设P(0,p),Q(0,q),且p>q.直线PB的方程:y-p=x,化简得(y0-p)x-x0y+x0p=0,∵圆心(2,0)到直线PB的距离是2,∴=2,从而4(y0-p)2+4=4(y0-p)2+4x0p(y0-p)+p2,易知x0>4,∴上式化简后,得(x0-4)p2+4y0p-4x0=0,同理,(x0-4)q2+4y0q-4x0=0,∴p+q=-,pq=-,p-q==4,∵B(x0,y0)是抛物线上的一点,∴=4x0,∴p-q=,∴S△BPQ= (p-q)x0=·=2≥32,当且仅当x0-4=,即x0=8,y0=±4时取等号,此时B(8,±4).∴△BPQ面积的最小值为32.6.(2018浙江嘉兴高三期末,21)如图,AB为半圆x2+y2=1(y≥0)的直径,点D,P是半圆弧上的两点,OD⊥AB,∠POB=30°.曲线C经过点P,且曲线C上任意一点M满足|MA|+|MB|为定值.(1)求曲线C的方程;(2)设过点D的直线l与曲线C交于不同的两点E,F,求△OEF面积最大时直线l的方程.解析(1)根据椭圆的定义,曲线C是以A(-1,0),B(1,0)两点为焦点的椭圆,其中2c=2,P.2a=|PA|+|PB|=+=+,∴a2=,b2=,∴曲线C的方程为+=1.(5分)(2)当直线l的斜率不存在时,△OEF不存在,所以直线l的斜率存在.设过点D的直线l的斜率为k,则l:y=kx+1.由得(2+6k2)x2+12kx+3=0,Δ=(12k)2-4·(2+6k2)·3=24(3k2-1)>0,∴k2>,设E(x1,y1),F(x2,y2),∴x1+x2=-,x1·x2=,(8分)∴|EF|=·|x1-x2|=·,(10分)又∵点O到直线l的距离d=,∴△OEF的面积S=·|EF|·d=.(12分)令=λ,λ>0,则S=·=·≤·=,当且仅当λ=,即λ=,也即3k2-1=2,k=±1时,△OEF的面积取到最大值.此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.(15分)。