有关矩阵的秩不等式
a的秩和a的转置的秩的关系
a的秩和a的转置的秩的关系
原因如下：
设A是m×n的矩阵，可以通过证明Ax=0和A'Ax=0两个n元齐次方
程同解证得r(A'A)=r(A)。
1、Ax=0肯定是A'Ax=0的解，好理解。
2、A'Ax=0→x'A'Ax=0→(Ax)'Ax=0→Ax=0。
故两个方程是同解的。
同理可得r(AA')=r(A')。
另外有r(A)=r(A')。
所以综上r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)。
矩阵的秩不等式
(1)矩阵A的秩等于矩阵A的转置的秩，也即矩阵的行秩=列秩。
证明思路：一个矩阵经过一系列初等变换，都可以对应到一个标准型，而标准型的非零行数就是矩阵的秩。
又因为矩阵的标准型是唯一的，所以
矩阵的行秩与矩阵的列秩一定相等。
(2)矩阵A的秩等于矩阵A转置乘矩阵A的秩。
证明思路：分别构造构造齐次的线性方程组，Ax=0与A转置乘Ax=0
同解。
因为可以使用前面一个方程式子推到后面一个方程式，反之，倒过
来也成立。
两个方程组同解，故秩相等，即得到证明。
分块矩阵初等行变换求秩的不等式
在数学中，分块矩阵初等行变换求秩的不等式是一个重要的概念。
通过对分块矩阵进行初等行变换，我们可以得到一个新的矩阵，并通过对这个新矩阵进行求秩，得到一些重要的不等式关系。
接下来，我将会详细探讨这一主题，并按照从简到繁的方式进行解释。
一、分块矩阵的定义让我们回顾一下分块矩阵的定义。
一个分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵。
通常情况下，这些子矩阵可以是任意大小的矩阵，它们之间通过分块符号进行分割。
一个分块矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]其中 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别是子矩阵。
这种表示方法在矩阵分析和线性代数中经常被使用，特别是在矩阵的运算和性质分析中。
二、分块矩阵初等行变换接下来，让我们来探讨分块矩阵的初等行变换。
我们知道，在矩阵的运算中，初等行变换是一种通过交换行、数乘行、行加减倍数行来改变矩阵的运算方法。
对于分块矩阵，我们可以运用相似的方法进行初等行变换。
对于一个分块矩阵：\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{bmatrix} \]我们可以对其中的子矩阵 \(A_{11}\)、\(A_{12}\)、\(A_{21}\)、\(A_{22}\) 分别进行初等行变换，如交换行、数乘行、行加减倍数行等操作。
通过这些初等行变换，我们可以得到一个经过变换的新矩阵。
三、求秩的不等式关系有了经过初等行变换的新矩阵，我们可以通过对其进行求秩来得到一些不等式关系。
根据矩阵求秩的性质，我们可以得到如下的不等式关系：\[ rank(A) + rank(B) - n \leq rank \begin{pmatrix} A & B\end{pmatrix} \leq rank(A) + rank(B) \]其中，\(rank(A)\) 和 \(rank(B)\) 分别表示矩阵 \(A\) 和 \(B\) 的秩，\(n\) 表示矩阵的列数。
关于矩阵Frobenius秩不等式的等式条件
收 稿 日期 ：０ ２ １ ４ ２ １ —０ —０
基金项 目：江西省教育厅科技项 目青年基金（ Ｊｌ ５ ） ＧＪｏ ６ ；上饶师范学院课题 （Ｏ １２ ２ ２ １Ｏ ） 作者简介 ： 龚和林 （９ ０ ， ， １８ 一） 男 硕士 ， 师 ， 讲 主要研究方 向： 数图论 。 代
第３ 期
龚和林 ， 舒 情 ， 海女 谭
（ 上饶师范学 院， 上饶 江西 ３４０ ） ３０ １
摘要： 讨论 了 Ｆ ｂｎ ｓ 不等式 的等 式问题 ， 出 Ｆｏｅｉ 不等 式一种新证 法，并得到 Ｆｏｅｉ 不等 式等号 ｒ ｅｉ 秩 ｏ ｕ 给 ｒ ｎｓ ｂ ｕ ｒ ｎｓ ｂ ｕ 成立的两个充分必要 条件 ． 一步刻画 了任一方 阵的 两个多项式之 积为零矩 阵的秩特征 ． 进 关键词 ： ；矩 阵多项 式；ｋ次幂等矩阵 秩
（ ） ＝ｄ ｘ ． ｘ ） （）
２ Ｆｏｅｉ 不等式 的等式 问题 ｒｂｎ ｓ ｕ
为讨论方便 ， 约定 Ｐ ｘ 为数域 Ｐ ［］ 上一元多项式环 ，ｌ Ｐ为数域 Ｐ ｎ 上 维列 向量空 间，｜ 为 ｍ× ＰＩ Ｉ ｎ的矩阵 全体 ，（１ …ａ 为向量组 ａ， ， ８ Ｌ ａ， ， ８ ） ｌ …ａ 的生成空间， ｎ阶单位矩阵， Ａ 为矩阵 Ａ的秩 ． Ｅ为 ｒ ） （
１ 引言
矩 阵 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是矩 阵 的数 量特 征 ， 等 变换 下 的不 变 量 ，它 广 泛应 用 于 判定 向量 组 的线 性 相关 性 、 解 线 初 求 性 方程 组 的解空 间 、 次 型 的简化 等代 数 问题 ． 阵 的秩 经 矩 阵 线 性运 算 、 法或 方 幂 等 一 系列 运 算 后 ，新 二 矩 乘 矩 阵与原矩 阵 的秩往 往 满足 一些 等式 或不 等式关 系 ． 等 式 不
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结
矩阵的秩的相关不等式的归纳小结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII矩阵的秩的相关不等式的归纳小结林松（莆田学院数学系，福建，莆田）摘要：利用分块矩阵，证明一些矩阵的秩的相关不等式，观察矩阵在运算后秩的变化，归纳出常见的有关矩阵的秩的不等式，由此引出等式成立的条件。
关键词：矩阵的秩，矩阵的初等变换引言：矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
利用分块矩阵，把子式看成元素，可将高阶矩阵的运算化为较低阶矩阵的运算，也为矩阵的秩的一些常见不等式的证明带来了方便。
本文将讨论矩阵的秩的一些常见不等式，并由此引出一些秩的不等式等号成立的等价条件。
一基本的定理1 设A是数域P上n m⨯矩阵，于是⨯矩阵，B是数域上m s秩（AB）≤min [秩（A），秩（B）]，即乘积的秩不超过个因子的秩2设A与B是m n⨯矩阵，秩（A±B）≤秩（A）+秩（B）二常见的秩的不等式1 设A与B为n阶方阵，证明若AB = 0，则 r(A) + r(B) ≤ n证：设r(A) = r,r(B )= s,则由AB = 0，知，B的每一列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量。
当r = n时，由于该齐次方程组只要零解，故此时 B = 0，即此时r(A) = n，r(B) = 0,结论成立。
当r〈 n 时，该齐次线性方程组的基础解系中含n-r个向量，从而B 的列向量组的秩≤n-r,即r （B ）≤ n-r 所以 r(A) + r(B) ≤ n2设A 为m n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明不等式r(AB)≤r(A)+r(B)-n证：设E 为n 阶单位矩阵， S E 为S 阶单位方阵，则由于000S EB A AB A E E E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭而 0S EB E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭可逆，故r(A)+r(B) ≥ 秩 0A E B ⎛⎫⎪⎝⎭ =秩 0A AB E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩 00AB E ⎛⎫⎪⎝⎭=r(AB)+r(E) =r(AB)+n 从而r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n3设A ，B 都是n 阶方阵，E 是n 阶单位方阵，证明 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）证：因为0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭00B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭00AB E B E -⎛⎫= ⎪-⎝⎭故秩（AB-E ）≤秩00AB E B E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤秩0A E B E B E --⎛⎫⎪-⎝⎭=秩（A-E ）+秩（B-E ） 因此 秩（AB-E ）≤秩（A-E ）+秩（B-E ）4 设A ，B ，C 依次为,,m n n s s t ⨯⨯⨯的矩阵，证明r(ABC) ≥ r(AB) + r(BC) - r(B)证：设 ,s t E E 分别为，s,t 阶单位矩阵，则由于0AB ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭0st E C E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭且0s t E C E ⎛⎫⎪-⎝⎭是可逆矩阵，故 r(AB) + r(BC)≤秩0AB B BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=秩0ABABC B ⎛⎫⎪⎝⎭=秩00ABC B ⎛⎫⎪⎝⎭= r(ABC) + r(B) 从而r(ABC) ≥r(AB) + r(BC) - r(B)5 设A ，B 都是n 阶矩阵，证明；r( A B + A + B ) ≤ r( A ) + r ( B ) 证明：r( AB + A + B)=r( A (B+E) + B) 利用基本定理二≤r( A (B + E)) + r(B) 利用基本定理一 ≤r( A ) + r( B )6 设A ，C 均为m n ⨯矩阵，B ，D 均为n s ⨯矩阵，证明 r （ A B – C D ）≤ r （ A-C ） + r （ B - D ）证明：根据分块矩阵的乘法可知000mn E C A C E B D -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭0n s E B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0A C AB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭由此易知r （A-C ）+r （B-D ）=r 0A CAB CD B D --⎛⎫⎪-⎝⎭≥r(AB-CD)从而得r （AB-CD ） ≤ r （A-C ） + r （B-D ）三 不等式等号成立的探讨1 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分条件为：A 0A 0r =r EB 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦证明：由E -A A 0E -B 0-AB E -B 0-AB ==0E E B 0E E B 0E E 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦得：A 00-AB r =r E B E0⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()0-AB A 0r =r AB +n r =r A +r B E 0E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦又， ∴()()()r AB =r A +r B -n2 设A ，B 分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，则()()()r AB =r A +r B -n 的充分必要条件为存在矩阵X 、Y ，使得nXA +BY =E证明：根据题三 1，只需要证明nXA +BY =E A 0A 0r =r X Y E B 0B ⎡⎤⎡⎤⇔⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦存在、，使得m n n n nm m n E 0A 0E 0E 0A 0=-X E E B -Y E -Y E -AX B A 0E -XA -BY B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⇐⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由当 n XA +BY =E 时，A 0A 0r =r E B 0B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴()()()r AB =r A +r B -n12200,0000rSEE AQ P BQ ⎛⎫⎛⎫⇒== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1设 P 1122000000P Q A P Q B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则 11220000P A Q P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112200P AQ P BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭000000000000r SE E ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）112200000P Q A P Q E B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222000P A Q P P B Q ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1121220P AQ P Q P BQ ⎛⎫=⎪⎝⎭12340000000000r S E C C E C C ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（2） 对式（2）右端的方阵作行初等变换，可消去1C ，2C ，3C ，由于式（1），式（2）右端方阵秩相等，故在消去1C ，2C ，3C 时也消去了4C ，对式（2）右端分块记为120FC F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 其中1F =00rE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2F =00SE C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C=1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 于是上述消去1C 的行变换相当于 1000C -⎛⎫ ⎪⎝⎭000rE ⎛⎫⎪⎝⎭+1234C C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭=2340C C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭消去其余234,,C C C 有类似的结果，这样初等变换就相当于存在矩阵S ，T ，使S 1F =T 2F +C =0，即1122210SP AQ P BQ T P Q ++= 从而有 令得 n XA BY E +=3 设 A ，B ，分别为 ,,m n n l l m ⨯⨯⨯矩阵，而B 的一个满秩分解是B=HL ，即H 是列满秩矩阵，L 是行满秩矩阵，则r(ABC)=r(AB)+r(BC)-r(B)的充要条件是存在矩阵X ，Y使得r XAH LCY E +=证明：设r （B ）=r ，因为B=HL 是满秩分解 所以 有r(AB) = r(AHL) = r(AH) r(BC) = r(HLC) = r(LC) 则r(ABC) = r(AB) + r(BC) - r(B)⇔ r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r 又由上题 得r(AHLC) = r(AH) + r(LC) - r⇔矩阵X,Y 使得 r XAH LCY E += 所以 3得证4 设A 为n 阶矩阵，证明如果 2A = E ，那么r （ A + E ） + r （ A – E ）= n证明： ( A + E )( A – E ) =2A + A – A – E = E – E = 0 ∴r （ A + E ）+ r （ A – E ）≤ nr( A + E ) + r( A – E ) ≥ r( A + E + A - E) = r(2A) = r(A)2A = E∴2A = E，即A≠0∴ r（A）= nr( A + E) + r( A - E) ≥n故 r（ A + E ）+ r( A - E) = n5 设A为n阶矩阵，且2A = A，证明 r（A）+ r（A-E）= n证明：由2A = A，可得 A（ A – E ）= 0由题一 1知，r（ A ） + r（ A - E）≤ n又因为 E-A和A-E 有相同的秩n = r( E ) = r( A + E – A ) ≤ r ( A ) + r ( E – A ) 从而 r( A ) + r( A – E ) = n6 设A是阶矩阵，则3A = A的充分必要条件是r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）证明：必要性一方面，由3A = A⇔（E-A）A（E+A）=0 由题二 4知0 ≥ r[（E-A）A] + r[ A (E+A)] - r(A)即r（A）≥ r（A-2A）+r（A+2A）另一方面，由r（A-2A）+r（A+2A）≥r[（A-2A）+（A+2A）] = r（2A）= r（A）所以 r（A）= r（A-2A）+ r（A+2A）充分性若r（A）= r（A-2A）+r（A+2A）设r(A) = r,A的满秩分解是A = HL，则存在 X，Y使（2X ）H =r E ，L （2Y ）= r E 成立则 X （E-A ）H +L （E-A ）Y=（XH + LY ）-（XHLH - LHLY ）=r E -0 = r E由题三3得 r[（E-A ）A(E+A)]=r[(E-A) A] + r[A (E+A)]- r(A) = 0即得（E-A ）A （E+A ）=0 从而得 3A = A参考文献：[1] 张禾瑞 .高等代数（第二版）[M].高等教育出版社 [2] 杨子胥.高等代数习题解[M].山东科技出版社 [3] 李师正.高等代数解题方法与技巧[M].高等教育出版社。
利用分块矩阵证明秩的不等式
安 徽 技 术 师 范 学 院 学 报 ， ０ ２ １ （ ）５ ２ ０ ，６ ３ ：５
Ｊ ｕ ￣ ｏ ｈ ｉ ｃ ｎｃｌ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅ ｏｍ Ｉ Ａｎ ｕ ｈ ｉａ ｃ ｅｓＣ ￣ ｇ Ｔｅ Ｔｅ
利 用 分 块 矩 阵证 明秩 的 不 等 式
首先给 出－个基本事实。 几
引理 １ 矩 阵 积 的 秩 不 大 于 各 因 子 的秩 ； 可 逆矩 阵与 另一 矩 阵 乘 积 时 ， 积 的秩 等 于 另 一 矩 其
阵 的秩 。
［ ］ Ｒ）（ 殳 秩 （＋Ｂ 言 ＝ＡＲ）
…
证 毕
…
又 因为 Ｒ（ ＝Ｒ［Ａ—Ｂ） ］ Ｒ（ —Ｂ Ａ） （ ＋Ｂ ≤ Ａ ）
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关于矩阵秩的几个重要不等式
第28卷第1期2021年3月辽东学院学报(自然科学版)Journal of Eastern Liaoning University(Natural Science Edition)Vol.28No.1Mar.2021［基础科学与应用】DOI：10.14168/j.issn.1673-4939.2021.01.12关于矩阵秩的几个重要不等式黄述亮①(滁州学院数学与金融学院，安徽滁州239001)摘要：针对学生学习矩阵秩的不等式比较困难的问题，综合运用演绎、分析与综合、化归的数学论证方法对秩的估计、秩的降阶及互素多项式等方面的重要不等式进行研究，并举例说明这些不等式在分块矩阵、线性方程组及判断线面位置关系等问题中的应用，这将有助于学生更好地掌握矩阵的基本理论，提高学生的抽象思维能力和逻辑思维能力。
关键词：矩阵的秩；初等变换；齐次线性方程组中图分类号：0153.3文献标志码：A文章编号：1673-4939(2021)01-0061-05众所周知，在线性代数(或高等代数)课程中最主要的内容就是矩阵及其相关运算。
在学习矩阵的过程中会遇到的一个非常重要的概念——矩阵的秩。
在一般的教科书和文献中，习惯上用数学符号rank(A)来表示一个矩阵的秩，其定义是矩阵A 中的某个非零子式的最高阶数。
考虑到向量组、向量空间等概念，对矩阵分别进行行分块和列分块，且设A=(兔心，…,a”)=(肉,0；,…屈)，则下列几个论断等价：(l)rank(A)=r；(2)rank(兔，他，…，a”)=r；(3)rank(0；,0：,…屈)=r；(4)dim®?如aj,a2,•••,a n|；(5)dimSpan W 嵐,…,0：}=r；(6)矩阵4的阶梯形矩阵中非零行(列)的行(列)数为r o矩阵的秩在很多领域中具有重要的理论意义和实际应用价值，比如在通信复杂性领域中，函数的通信矩阵的秩可以给出计算函数所需的通信量的界限。
此外，利用矩阵的秩可以定义数学中的等价关系，因此一个数域F上的全体"阶矩阵M”(F)可以被划分成n+1个子集(即等价类)的不交并M(F) =U U…U T”,其中7；={A e M”(F)I rank(4) =i}o换言之，矩阵的秩可以实现对全体矩阵的分类，这对进一步研究矩阵有着重要的意义。
几个矩阵秩不等式的逻辑推导
推论 ３： 设 Ａ 为 ｎ 阶方阵， 则 r A + r (A ) ≥ 2r A 即
r A 3 + r (A) ≥ 2 r A 2
证： 利用定理 ３ 知，r (AAA) ≥ r (AA)+ r (AA)− r (A)
( )
定理 ４： 设Ａ 为ｔ ×ｓ 矩阵， 且 ｒ（ Ａ） ＝ｒ， Ｑ ＝ qij ｉ ＝１， ２， ∧ｍ ， 其它元素为 ０） ， 则 ｒ（ ＡＱ） ≥ｒ＋ｍ －ｓ
矩阵， 利用分块矩阵运算、 定理 １ 及 Ｎ 为非退化矩阵得 ： ＝ｒ
G 0 B − GÁ B G Á
GB 0
这里 ，
０为 （ｎ－ｒ） ×ｓ
α２， ……， αｍ ， ０， ∧， ０） ＝ｒ（ α１， α２， ……， αｍ ） ｒ（ ＡＱ） ＝ｒ（ α１， 从上面证明可知： 对秩为 ｒ共 ｓ 列的矩阵 Ａ 施以一个
１３
立， 下面看 （２） ， 由引理 ３ 得 ｒ（ Ａ） ＝ｒ（ ＦＧ ） ≤ｍ ｉ ｎ（ ｒ（ Ｆ） ， ｒ（ Ｇ） ） ≤ｒ（ Ｇ） ， 即 ｒ（ Ｇ） ≥ｒ； 又因为 Ｇ 为 ｒ×ｎ 的矩阵， 故 ｒ（ Ｇ） ≤ｒ， 所以 ｒ（ Ｇ） ＝ｒ 因此找到满足题设的 Ｆ 和 Ｇ 矩阵， 使得 Ａ ＝ＦＧ 有了以上几个引理， 下面就以定理的形式给出矩阵秩 不等式， 并予证明。 定理 １： 设 Ａ， Ｂ 均为 ｍ ×ｎ 矩阵， 则 ｒ（ Ａ） －ｒ（ Ｂ） ≤ｒ（ Ａ± Ｂ ）≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） α２， …… ， αｎ） ， Ｂ ＝（β１， β２， …… ， 证： 设 Ａ ＝（α１， βｎ） ， 其中 αｉ， βｉ， 分别是 Ａ ， Ｂ 矩阵第 ｉ列构成的列向量 （ｉ ＝１， ２， ……， ｎ） α２＋β２，……， αｎ＋βｎ） 由引理 １ 得 ｒ（ Ａ ＋Ｂ ） ＝ｒ（ α１＋β１， ≤ｒ（ α１， α２， ……， αｎ） ＋ｒ（ β１， β２， ……， βｎ） ＝ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ ） 即 ｒ（ Ａ ＋Ｂ ） ≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） 根据 （１） 式 ｒ（ Ａ） ＝ｒ（ （ Ａ －Ｂ ） ＋Ｂ ） ≤ｒ（ Ａ －Ｂ ） ＋ｒ（ Ｂ） 整理得 因 即 即 ｒ（ Ａ） －ｒ（ Ｂ） ≤ ｒ（ Ａ －Ｂ ） ② ｒ（ Ｂ） ＝ｒ（ －Ｂ ） 将 （１） （２） 式中 Ｂ 改为－Ｂ ｒ（ Ａ －Ｂ ）≤ｒ（ Ａ） ＋ｒ（ Ｂ） ｒ（ Ａ） －ｒ（ Ｂ） ≤ ｒ（ Ａ ＋Ｂ ） ③ ④ ① 即
高等代数矩阵秩的等式与不等式
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
初等变换不改变矩阵的秩，故
( 秩A
) B
=
秩
Er
Es
= r + s = 秩(A) + 秩(B). 0
例
设
()
M= A 0 ,
CB
其中 A, B 都是方阵，那么秩(M)≥秩(A)+秩(B).
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
矩阵秩的等式与不等式
( 证 设秩 (A) = r，秩 (B) = s，则 A 的等价标准形为 Er
0 () B 的等价标准形为 Es 0 ，从而
00
) 0， 0
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
0 ( −r−1−+−v−(A−)−r→2 E − A
0
)
(
)
0
−−−−−−−→ EA u(A)(E − A)
E + A + A2 c2+c1u(A) 0 E + A + A2
)
(
)
E
−r−2−−−(E−+−A−+−−A−2)−r→1
0
E
E + A + A2
c1 −c2 (E−A)
A3 − E 0
所以这个矩阵的秩是 n 当且仅当 A3 − E = 0，这就得到了证明.
的秩 ≥ r + s = 秩 (A)+ 秩 (B)，即秩(M)≥秩(A)+秩(B).
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有关矩阵的秩不等式
矩阵的秩不等式是指对于任意的m×n矩阵A，有以下秩不等式成立：
rank(A)+rank(B)-n≤rank(AB)≤min(rank(A),rank(B))
其中，B是一个n×p矩阵。
这个不等式表达了矩阵乘法的秩性质。
左边的不等式是由Sylvester不等式得到的，它说明两个矩阵相乘的结果的秩不会超过两个矩阵的秩之和减去第二个矩阵的列数。
右边的不等式则说明两个矩阵相乘的结果的秩不会超过两个矩阵的秩的最小值。
这些不等式反映了矩阵乘法中秩的行为，可以用于推导和分析矩阵的性质和关系。