矩阵秩性质5的证明
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
矩阵的秩及其求法
第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念 1. k 阶子式定义1 设 在A 中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而为 A 的一个三阶子式。
显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。
2. 矩阵的秩定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 ,称r 为矩阵A 的秩，记作R (A )或秩(A )。
规定： 零矩阵的秩为 0 .注意：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .(2) 有行列式的性质， (3) R(A ) ≤m , R (A ) ≤n , 0 ≤R (A ) ≤min { m , n } . (4) 如果 An ×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则 因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n . 二、矩阵秩的求法1、子式判别法(定义)。
例1 设 为阶梯形矩阵，求R (B )。
解由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R (B ) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。
()n m ij a A ⨯={}),min 1(n m k k ≤≤⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=110145641321A 182423=C C 43334=C C 10122--=D 1015643213-=D n m ⨯kn k m cc ()nm ij a A ⨯=0,r D ≠()().T R A R A =0,A ≠0.A ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000007204321B 02021≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001021B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011C 125034000D ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭21235081530007200000E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3=A R ()2=B R ()3=C R ()2R D =()3R E =例2 设 如果 求 a .解或 例3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()T R A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵） 性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
第一章 第五讲 矩阵的秩
第五讲 矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。
本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。
5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。
其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。
因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。
定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。
其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。
注：（1） 零矩阵的秩为零：()0R O =；（2） 矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。
（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。
当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。
解 先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质 性质5.1 ()()TR A R A =； 性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。
矩阵秩的相关结论证明及举例
华北水利水电大学矩阵秩的相关结论证明及举例课程名称：线性代数专业班级：能源与动力工程（热动）101班成员组成：王威威联系方式：2014年12月30日一：摘要矩阵的秩是数学中一个极其重要并广泛应用的概念，是线性代数的一个重要研究对象，因此，矩阵的秩的结论作为线性代数的一个重要结论已经渗透到各章节之中，他把线性代数的内容紧紧联系在一起，矩阵的秩作为矩阵的一个重要本质属性则贯穿矩阵理论的始终，所以对矩阵秩的研究不仅能帮助我们更好地学习矩阵，而且也是我们学习好线性代数各章节的有力保证。
关键词：矩阵秩结论证明英文题目Abstract:Matrix rank is an extremely important and widely us ed in the mathematical concept, is an important res earch object of linear algebra, as a result, the c onclusion of the rank of matrix as an important co nclusion of linear algebra has penetrated into chapt er, associate the content of the positive linear al gebra and matrix of rank as an important essential attribute of the matrix, however, throughout the c ourse of the theory of matrix so that the study o f matrix rank can not only help us better learning matrix and chapter we learn good linear algebra Key words:matrix rank conclusion proof二：正文1：定义定义 1.11 在矩阵A=()m n ij a ⨯中任意取k 行k 列（1≤k ≤min(m,n)），位于这k 行k 列交点上的k*2个元素，按照他们在矩阵A 中的相应位置所组成k 阶行列式称为矩阵A 的一个k 阶子式。
矩阵的秩及其求法
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即 A B 则 R(A) R(B)
说明：1. ri rj 只改变子行列式的符号。
2. k ri 是 A 中对应子式的 k 倍。
3. ri krj 是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，而任一 Amn 都等价
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩， 记作R(A)或秩(A)。
4
规定： 零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R( A) R( AT ) .
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且 A 0 , 则 R ( A ) = n . 反之，如 R ( A ) = n ,则 A 0 .
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
5
二、矩阵秩的求法
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
10
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2
1 0 0
0 1 0
2 1 0
4 2 ， 0
R(A) = 2
0 0 1
RA 3
矩阵的秩
这个数就是矩阵的秩.
但是由于这个数的唯一性
化为阶梯形方程. 尚未证明, 因此下面用另一种方法给出矩阵的秩的
定义.
二、 定义
定义 3 在 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列
( k ≤ m, k ≤ n ), 位于这些行、列交叉处的 k2 个
元素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到
的k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
由矩阵秩的定义可得： （1）若矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为零，则
R(A) ≥ s；若 A 中所有 t 阶子式全为零，则R(A) < t.
（2）若 A 为 m n 矩阵，则 0 ≤ R(A) ≤ min{ m , n } . （3） R(AT) = R(A) .
（4）设 A 为 n 阶方阵，则当 | A | 0 时 R(A) = n , 当 | A | = 0 时 R(A) < n . 可见，可逆矩阵的秩等于 矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数. 因此
ri rj ri rj
证明 先证明: 若先证明: 若 A 经一次初等行变换 A 经一次初等行变换变为
R(A) 设 R(A) 设 R(A) = r, 且 阶子式 Dr 阶子式 Dr 0 R(B). R(A) = R(B). = r, 且 A 的某个 rA 的某个 r 0.
ri k ri k
例 8 设 A 为 n 阶方阵，证明
R(A + E) + R(A – E) ≥ n .
例 9 证明：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n ,, 例 9 证明：若 Amn Bnl = C，且 R(A) = n
则 R(B) = R(C) .