矩阵秩的性质
线性代数：矩阵秩的求法
6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
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1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
矩阵秩的不等式及其应用
矩阵秩的不等式及其应用矩阵秩的不等式及其应用矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域。
矩阵秩是矩阵理论中很重要的一个概念。
矩阵秩不仅仅是一个数值，还具有深刻的物理意义。
下面我们将探讨矩阵秩的不等式及其应用。
一、矩阵秩的定义矩阵是一个M行N列的矩形数组，其中包含M×N个实数元素。
矩阵秩是由它的行和列所组成的线性空间的维数。
一个矩阵的秩指矩阵的行、列向量组的维数中的最小值。
二、矩阵秩的不等式对于任何一个矩阵A，其行秩等于其列秩。
即rank(A)=rank(AT)。
我们可以利用这个性质得到以下的矩阵秩不等式：对于任何两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(A-B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))rank(AB) ≤ rank(A)这些不等式给我们提供了方便快捷的工具来计算矩阵秩。
三、矩阵秩的应用矩阵秩在各个领域都有广泛的应用。
在工程中，它可以用于建立模型和解法，广泛应用于控制工程、数字信号处理、材料科学等。
例如，在控制工程中，我们可以利用矩阵秩的不等式来确定控制系统的稳定性。
一个控制系统是稳定的，当且仅当系统矩阵的秩等于系统状态的维数。
如果系统的任何一个状态可以被表示为系统矩阵中的一个线性组合，那么系统就是不稳定的。
此外，在统计学中，我们也可以利用矩阵秩来确定数据的维度。
数据的维数等于其协方差矩阵的秩。
一个协方差矩阵有多少个非零特征值就代表数据有多少维。
总之，矩阵秩是一个非常重要的概念，可以帮助我们解决很多实际问题。
矩阵秩的不等式为我们提供了更便捷的计算方式。
我们应该在学习中深入理解矩阵秩，并灵活运用其相关知识。
矩阵的秩与其行(列)空间维度
矩阵的秩与其行（列）空间维度引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵理论中，矩阵的秩和其行（列）空间维度是关键概念。
本文将介绍矩阵的秩和行（列）空间维度的概念、计算方法以及它们之间的关系。
矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）向量的极大无关组的向量个数，用r(A)表示。
秩的概念与矩阵的线性无关性密切相关，它衡量了矩阵中线性无关向量的个数，从而反映了矩阵的重要特性。
计算方法计算矩阵的秩有多种方法，其中一种常用的方法是使用高斯消元法。
1.将矩阵转换为行简化阶梯形矩阵。
2.计算行简化阶梯形矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
秩的性质矩阵的秩具有以下性质：1.r(A) ≤ min(m, n)：矩阵的秩不超过矩阵的行数和列数的较小值。
2.r(A) = r(A^T)：矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等。
行空间与列空间行空间给定一个m×n的矩阵A，它的行空间是由矩阵A的各行向量线性组合而成的向量空间。
行空间的维度等于矩阵A的秩，记作dim(row(A)) = r(A)。
列空间给定一个m×n的矩阵A，它的列空间是由矩阵A的各列向量线性组合而成的向量空间。
列空间的维度等于矩阵A的秩，记作dim(col(A)) = r(A)。
行空间与列空间的关系矩阵的行空间和列空间在性质上是等价的，它们都是描述矩阵中向量的线性组合的空间。
矩阵的秩既是行空间的维度，也是列空间的维度。
矩阵的行阶梯形与列阶梯形行阶梯形对于一个矩阵A，经过一系列行初等变换可以将矩阵A转化为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点是，从左上到右下的对角线元素依次为1，其上（下）方的元素都为0。
行阶梯形矩阵的非零行的个数即为矩阵的秩。
列阶梯形对于一个矩阵A，经过一系列列初等变换可以将矩阵A转化为列阶梯形矩阵。
列阶梯形矩阵的特点是，从左上到右下的对角线元素依次为1，其左（右）边的元素都为0。
列阶梯形矩阵的非零列的个数即为矩阵的秩。
行阶梯形与列阶梯形之间的关系矩阵的行阶梯形和列阶梯形之间存在一个重要的关系：一个m×n的矩阵A的秩等于其行阶梯形矩阵和列阶梯形矩阵的非零行（列）的个数。
第一章7矩阵的秩
x2
b x 2,r 1 r 1
b2n xn
d2
(#)
xr
b x r ,r 1 r 1
brn xn
dr
0 dr1
(1) 若 dr1 0 ，则 (#)无解。 (2) 若 dr1 0, 则 (#)有解，并且
当
r
r
n n
时，有唯一解。 时，有无穷多解。
13
非齐次性线性方程组有解的条件
定理：非齐次线性方程组 Amn x b 有解的充要
1 D2 0
9 5
0 1
6 2 108
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6
1
2 27 D4 0
3 2
0 1
9 27
5
14 0 6
1 4 7 0
所以
x1
D1 D
81 27
3,
x2 4,
x3 1,
x4 1.
27
Cramer 法则也可以叙述为
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 3 5 3 3 3
0 1 0
27
c3 2c2 7 7 2 7 2
26
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
81
2
ann xn 0
易知，x1 x 2 x n 0 是上述方程组的解，称为 齐次线性方程组的零解；若其有一组不全为零的解， 则称为齐次线性方程组的非零解。
29
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
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矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质,以及对矩阵的秩在满秩分解,公式和一类恒等式等方面的应用。
关键词：矩阵；秩；分块矩阵；初等变换
ABSTRACT
The matrix rank is refers to the matrix the line (or row) the vector groups order, usually is refers to the matrix with it equal view is not zero minor highest exponent number, is one of matrix most important digit characteristics .Based on the matrix rank in higher algebras importance, this article summed up matrix rank some nature, as well as decomposes to the matrix rank in the non-singular, aspect and so on a formula and kind of identical equation applications.
Key word: matrix; rank; partitioned matrix; elemetary operation。