2020年高考数学核按钮专题复习 7.4曲线和方程课件 精品
2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《曲线与方程》
（B）坐标不满足方程 （f x, y） 0 的点都不在曲线 C 上
（C）不在曲线 C 上的点，其坐标必不满足方程 （f x, y） 0
（D）不在曲线 C 上的点，其坐标有些满足方程 （f x, y） 0 ，有些不满足方
程 （f x, y） 0 .
3
轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线 【思路点拨】 依据题中已知条件直接列出几何关系式子， 再将其 “翻译 ”成数
学语言即可。 【解析】 建立坐标系如图所示， 设 | AB | 2a ,则 A( a,0) 、 B(a,0) ，设 M (x, y) 是轨迹上任意一点，
则由题设，得 | MA | | MB |
y2
2a (1 1
2 )x
a2
0 ， 点 M 的轨
迹是以 ( a(1 1
2)
2
,0)
为圆心，
r
2a |1
2 | 为半径的圆。
【总结升华】注意在求出了方程以后确定轨迹是什么曲线时必须对 进行讨论 。
【变式训练】：
的取值
【变式】已知两个定点 A 、B ，且 | AB| 3 ，动点 P 满足 PBA 2 PAB 0 ，
由 AM 17, AN 3
(xA 得:
p)2 2
y
2 A
17
, xA
4
(xA
P)2
y
2 A
9
p
2
又 AN x A p 3 , 2
4 p 3, p2
解得 p 2或4
5
由 AMN 锐角为三角形 ,
17 9
p2 ,8
p2
26 ,
p 2 9 17
2020年全国高考数学·第44讲 曲线与方程
2020年全国高考数学 第44讲 曲线与方程考纲解读了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，理解曲线与方程的概念命题趋势探究从内容上看，求曲线的方程是解析几何的基本问题之一，是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，一般与平面向量结合。
从形式上看，以解答题为主，难度中档。
从能力要求上看，高考中注重考查学生的逻辑思维，运算，分析和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，恰好能很好的反映学生在这些能力方面的掌握程度。
求曲线方程的题目若出现在主观题中，则综合性比较强，属于较南题：若出现在客观题中，则通常可以利用圆锥曲线的定义解题，为容易题。
轨迹问题是每年必考内容之一，求解方程比较有规律，难度以中等偏难为主。
知识点精讲一、曲线的方程和方程的曲线在直角坐标系中，如果是某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(),0f x y =的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（完备性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（纯粹性）那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫方程的曲线。
事实上，曲线可以看作一个点集C ，以一个二元方程的解作为坐标的点也组成一个点集F ，上诉定义中C F ⇔⊆⎧⇔=⎨⇔⊆⎩条件(1)C F 条件(2)F C二、直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系-----建立适当的坐标系；（2）设点-----设轨迹上的任一点(),P x y ；（3）列式-----列出有限制关系的几何等式；（4）代换-----将轨迹所满足的条件用含,x y 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,x y 的方程式化简；（5）证明（一般省略）-----证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）。
简记为：建设现代化，补充说明。
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线。
2020年高考数学专题讲解：曲线与方程
2020年高考数学专题讲解：曲线与方程（一）高考目标考纲解读1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．2．对直线与曲线的位置关系能用数形结合的思想解题．考向预测1．用直接法、定义法求轨迹方程．2．用相关点法求轨迹方程．3．考查方式可以是选择题或解答题．4．以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，同时考查平面向量、函数、数列、导数、不等式等综合知识．（二）课前自主预习知识梳理1．曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．2．平面解析几何研究的两个主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程研究曲线的性质．3．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．4．两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组，两条曲线就没有交点．(2)两条曲线有交点的条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．5．求曲线轨迹方程的常用方法(1)直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法．(2)定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法．(3)代入法又称相关点法，其特点是，动点M(x，y)的坐标取决于已知曲线C上的点(x′，y′)的坐标，可先用x，y来表示x′，y′，再代入曲线C的方程，即得点M的轨迹方程．6．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值e，当时，圆锥曲线为双曲线；当时，为椭圆；当 时，为抛物线．7．直线与圆锥曲线交点直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到．（三）基础自测1．(山东潍坊)已知圆x 2＋y 2＝4，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4(－1≤x <12) B ．(x －1)2＋y 2＝4(0≤x <1) C ．(x －2)2＋y 2＝4(－1≤x <12) D ．(x －2)2＋y 2＝4(0≤x <1) [答案] D[解析] 由圆的几何性质知，BC 的中点到A 与圆心连线的中点的距离为2，即方程为(x －2)2＋y 2＝4，又中点在圆内，∴0≤x <1.2．(宝鸡)如图所示，△PAB 所在的平面α与四边形ABCD 所在的平面β垂直，且AD ⊥α，BC ⊥α，AD ＝6，BC ＝12，AB ＝9，∠APD ＝∠CPB ，则点P 在平面α内的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分[答案] A[解析] 由条件可知，Rt △DAP ∽Rt △CBP ，∴PA PB ＝AD BC ＝12， 故P 点的轨迹是圆的一部分．[点评] 一般地，若平面内动点P 到两定点A 、B 距离之比PA PB＝常数k ，若k ＝1轨迹为线段AB 的中垂线，若k ≠1，则轨迹为圆．3．F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝12|AF2|＝12(|PA|＋|PF2|)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．4．过双曲线x2－y22＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，这样的直线条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4[答案] C[解析] 若与双曲线右支交于两点A，B，则|AB|≥4(通径)，此时弦长为4的弦有一条；若与左右两支各有一交点A、B，则|AB|≥2(实轴长)，此时弦长为4的弦有两条．∴共3条．5．如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y2＝8x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x＝2上，则弦AB 的长为________．[答案] 2 5[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M⎝⎛⎭⎪⎫2，y1＋y22，由y12＝8x1，和y22＝8x2相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∵k PM＝k AB，∴k AB＝y1－y2x1－x2＝8y1＋y2＝y1＋y22－22－0令y1＋y2＝2b，则有b2－2b－8＝0，∴b＝4或b＝－2，于是M(2,4)或M(2，－2)．∵M(2,4)在抛物线上(舍去)．∴M的坐标为(2，－2)，从而k AB＝－2.∴AB ：y ＝－2x ＋2，将其代入抛物线方程得x 2－4x ＋1＝0.∴|AB |＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝[1＋－22]42－4×1＝215. 6．两动直线l 1、l 2分别经过O (0,0)和A (0,2)，且方向向量分别为(1，λ)和(λ，－1)，则它们交点的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2－2x ＝0[解析] 当λ＝0时，l 1与l 2的交点为(0,0)；当λ≠0时，kl 1＝λ，kl 2＝－1λ，l 1：y ＝λx ，l 2：y －2＝－1λx ，l 1与l 2的方程相乘可得：x 2＋y 2－2y ＝0.(当λ＝0时也适合此式)综上可得交点的轨迹方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(当λ＝0时，也适合此式)[点评] 一般地，过点A (x 0，y 0)，方向向量为a ＝(λ，μ)的直线方程为：λ(y －y 0)－μ(x －x 0)＝0.7．已知△ABC 的两个顶点为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 重心的轨迹方程．[解析] 设C (x 1，y 1)，重心G (x ，y )，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋0＋x 13＝x0－2＋y 13＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x ＋2y 1＝3y ＋2，∵C (x 1，y 1)在曲线y ＝3x 2－1上，∴3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1，化简得y ＝(3x ＋2)2－1＝9x 2＋12x ＋3，故△ABC 的重心的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.（四）典型例题1.命题方向：定义法求曲线方程[例1] (安徽)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．[分析] 本小题主要考查椭圆、抛物线的方程，点到直线的距离公式，直线与曲线的位置关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力．[解析] (1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)解法1：由c ＝a 2－b 2＝1得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，化简得y 2＝－4x .此轨迹是抛物线．解法2：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以|MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离． 此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .[点评] 在利用圆锥曲线定义求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程，若所求轨迹是某种圆锥曲线上的特定点的轨迹，则利用圆锥曲线的定义列出等式，化简求得方程． 跟踪练习1已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，动抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析] 设P (x 0，y 0)为圆上任一点，过该点的切线l ：x 0x ＋y 0y ＝4 (|x 0|≤2)，以l 为准线过A 、B 两点的抛物线焦点F (x ，y )，A 、B 到l 距离分别为d 1、d 2，根据抛物线的定义，|FA |＋|FB |＝d 1＋d 2 |－x 0－4|x 02＋y 02＋|x 0－4|x 02＋y 02＝x 0＋42＋4－x 02＝4>|AB |， ∴F 点的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为4的椭圆，∴c ＝1，∴b 2＝3，∴方程为x 24＋y 23＝1. 2.命题方向：直接法求曲线方程[例2] (青岛一中期中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.(1)求动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] (1)由已知得直线l 1⊥l 2，l 1y ＝33x ，l 2y ＝－3x ， ∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2，得(x 12＋y 12)＋(x 22＋y 22)＝4，即43x 12＋4x 22＝4⇒x 123＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入x 23＋y 2＝1， 化简得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，设A (x 3，y 3)、B (x 4，y 4)，∴Δ＝(12k )2－36×(1＋3k 2)>0⇒k 2>1，且x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2， ∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →>0，即x 3x 4＋y 3y 4>0⇒x 3x 4＋(kx 3＋2)(kx 4＋2)>0，∴(1＋k 2)x 3x 4＋2k (x 3＋x 4)＋4>0.将x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2代入上式， 化简得13－3k 21＋3k 2>0⇒k 2<133. [点评] 轨迹方程实质上是动点的横、纵坐标所满足的方程，因此探求轨迹方程实质上是寻求动点坐标所满足的等量关系，这就需要我们在情境中挖掘其等量关系，从而找到动点坐标所满足的方程．由k 2>1且k 2<133，得k ∈(－393，－1)∪(1，393)． 跟踪练习2已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．(1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 的坐标为(x 0，y 0)，记θ为PM →与PN →的夹角，求tan θ.[解析] (1)设P (x ，y )，则PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )，PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )，MN →＝－NM →＝(2,0)，∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1，NM →·NP →＝2(1－x )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－1＝12＋x ＋－x －x －＋x ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝3x >0， 所以点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)．(2)点P 的坐标为(x 0，y 0)，而PM →·PN →＝x 02＋y 02－1＝2.又|PM →|·|PN →|＝＋x 02＋y 02×－x 02＋y 02＝24－x 02.所以cos θ＝PM →·PN →|PM →|·|PN →|＝14－x 02， ∵0<x 0≤3，∴12<cos θ≤1，∴0≤θ<π3， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝1－14－x 02，3.命题方向：代入法求曲线方程[例3] 如右图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则N 点的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2，①又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2，∴y －y 1x －x 1＝1.即x －y ＋y 1－x 1＝0.② 由①、②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.又Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴x 12－y 12＝1，即(32x ＋12y －1)2－(12x ＋32y －1)2＝1整理得2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0，这就是所求动点P 的轨迹方程． [点评] 体会相关点求轨迹方程的实质，就是用所求动点P 的坐标表达式(即含有x 、y 的表达式)表示已知动点M 的坐标(x 0，y 0)，即得到x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y )，再将x 0，y 0的表达式代入点M 的方程F (x 0，y 0)＝0中，即得所求．跟踪练习3M 是抛物线y 2＝x 上一动点，O 为坐标原点，以OM 为一边作正方形MNPO ，求动点P 的轨迹方程．[分析] 设M (x 0，y 0)，即x 0＝y 02，设P (x ，y )，用x ，y 表示x 0，y 0或者直接消掉y 0.[解析] 依题意，设P (x ，y )，M (y 02，y 0)∵四边形MNPO 为正方形，∴|OM |＝|OP |且OP ⊥OM .∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 04＋y 02＝x 2＋y 2y x ·y 0y 02＝－1， ①②， 由①②消去y 0，化简得y 2＝x 4， ∴动点P 的轨迹方程为x 2＝±y (y ≠0)．[点评] 这种方法，关键就是求x ，y 与x ′，y ′之间的等式关系，注意本题中去掉y ＝0的情况.4.命题方向：直线与圆锥曲线的位置关系[例4] (天津文)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)．①若|AB |＝425，求直线l 的倾斜角； ②若点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4.求y 0的值．[解析] 本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想． (1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2， 再由c 2＝a 2－b 2，解得a ＝2b .由题意可得12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ab ＝2，得a ＝2，b ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①由(1)知，点A 的坐标为(－2,0)设点B 的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．∴A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋2x 24＋y 2＝1，消去y 整理得， (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0.由韦达定理得，－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，∴x 1＝2－8k 21＋4k2， 从而y 1＝4k 1＋4k2， ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－2－8k21＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k 22＝41＋k 21＋4k 2， 由|AB |＝425，得41＋k 21＋4k 2＝425， 整理得32k 4－9k 2－23＝0，即(k 2－1)(32k 2＋23)＝0，解得k ＝±1.∴直线l 的倾斜角为π4或3π4. ②设线段AB 的中点为M ，由①得M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 1°当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，∴QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)，由QA →·QB →＝4得，－4＋y 02＝4⇒y 0＝±2 2.2°由k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2， 令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2. 由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)，∴QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－－8k 21＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝k 4＋15k 2－＋4k 22＝4. 整理得7k 2＝2，∴k ＝±147， ∴y 0＝±2145， 综上所述，y 0＝±22或±2145. 跟踪练习4(北京)已知菱形ABCD 的顶点A 、C 在椭圆x 2＋3y 2＝4上，对角线BD 所在直线的斜率为1.(1)当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程；(2)当∠ABC ＝60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．[解析] (1)由题意得直线BD 的方程为y ＝x ＋1.因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .于是可设直线AC 的方程为y ＝－x ＋n .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋3y 2＝4y ＝－x ＋n ，得4x 2－6nx ＋3n 2－4＝0.因为A 、C 在椭圆上，所以Δ＝－12n 2＋64>0， 解得－433<n <433. 设A 、C 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3n 2，x 1x 2＝3n 2－44，y 1＝－x 1＋n ，y 2＝－x 2＋n ，所以y 1＋y 2＝n 2. 所以AC 的中点坐标为(3n 4，n 4)．由四边形ABCD 为菱形可知，点(3n 4，n 4)在直线y ＝x ＋1上，所以n 4＝3n 4＋1，解得n ＝－2. 所以直线AC 的方程为y ＝－x －2，即x ＋y ＋2＝0.(2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以|AB |＝|BC |＝|CA |.所以菱形ABCD 的面积S ＝32|AC |2. 由(1)可得|AC |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝－3n 2＋162， 所以S ＝34(－3n 2＋16) (－433<n <433)． 所以当n ＝0时，菱形ABCD 的面积取得最大值4 3.5.命题方向：圆锥曲线中的定点、定值和最值问题[例5] 已知椭圆x 24＋y 22＝1上的两个动点P ，Q 及定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，62，F 是椭圆的左焦点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；(2)设点A 关于原点O 的对称点是B ，求|PB |的最小值及相应的P 点坐标．[分析] (1)由|PF |，|MF |，|QF |成等差数列可得PQ 的中点横坐标，引入参数PQ 中点的纵坐标，先求kPQ ，利用直线PQ 的方程求解．(2)建立|PB |关于动点坐标的目标函数，利用函数的性质求最值．[解析] (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由条件可知a ＝2，b ＝2，c ＝2，e ＝22. 由椭圆的焦半径公式得|PF |＝2＋22x 1， |QF |＝2＋22x 2，|MF |＝2＋22. ∵2|MF |＝|PF |＋|QF |，∴2⎝⎛⎭⎪⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)， ∴x 1＋x 2＝2.当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 12＋2y 12＝4x 22＋2y 22＝4， 得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点N (1，n )，∴k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n， ∴线段PQ 的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一个定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 当x 1＝x 2时，线段PQ 的中垂线也过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 综上，线段PQ 的垂直平分线恒过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (2)由于点B 与点A 关于原点O 对称，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. ∵－2≤x 1≤2，－2≤x 2≤2， ∴x 1＝2－x 2∈[0,2]，|PB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122＋y 12＝12(x 1＋1)2＋74≥94，∴当点P 的坐标为(0，±2)时，|PB |min ＝32.[点评] 本题是圆锥曲线中的综合问题，涉及到了等差数列、定点问题以及最值问题．求圆锥曲线的最值问题通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性、函数的图像、函数的有界性或重要不等式等求最值，本题是建立二次函数、利用二次函数的图像求最值． 跟踪练习5在例题条件不变的情况下，若＋＝0，求|PB |的最大值及相应的P 点坐标．[解析] ∵OA →＋OB →＝0，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. |PB |＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋122＋y 12＝x 12＋x 1＋14＋2－x 122＝12x 12＋x 1＋94＝12x 12＋2x 1＋＋74＝12x 1＋2＋74， ∵－2≤x 1≤2，∴当x 1＝2时，|PB |max ＝52，此时，P 点坐标为(2,0)．（五）思想方法点拨：1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆．(4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数(定点不在定直线上)的点的轨迹是圆锥曲线．当常数大于1时，表示双曲线；当常数等于1时，表示抛物线；当常数大于0而小于1时，表示椭圆．定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线．(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线． 2．求轨迹的常用方法(1)直译法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x 、y 的等式得到轨迹方程，这种方法称之为直译法. 用直译法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、证明六个步骤，但最后的证明可以省略.(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.(3)代入法：形成轨迹的动点P (x ，y )随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得， 则可先将x ′、y ′用x 、y 表示，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法.(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(5)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程． 3．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状．如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程．4．直线与圆锥曲线相交弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时，通常作如下变形|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2，|y 2－y 1|＝y 1＋y 22－4y 1y 2，使用韦达定理即解决．(2)当斜率k 不存在时，直线为x ＝m 的形式，可直接代入求出交点纵坐标y 1、y 2得弦长|y 1－y 2|.(3)经过圆锥曲线焦点的弦(也称焦点弦)的长度．应用圆锥曲线的定义转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．5．二次曲线求最值的方法(1)代数法：归结为求函数的最值问题，利用“配方法、判别式法、不等式法”等代数方法求解． (2)几何法：利用二次曲线的几何性质结合图形性质求解．（六）课后强化作业一、选择题1．(山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.2．过点(0，－12)的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )A ．－12B ．－14C ．－4D ．无法确定[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程y ＝kx －12，代入抛物线方程得2x 2＋2kx －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－12)(kx 2－12)＝(k 2＋1)x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k (－k )＋14＝－14.3．已知动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2－y 2＝1 C ．y 2＝4xD ．x ＝0[答案] C[解析] 动点到(1,0)和直线x ＝－1的距离相等，所以其轨迹方程为y 2＝4x . 4．已知动点P (x ，y )满足10x －2＋y －2＝|3x ＋4y |，则P 点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两相交直线[答案] A [解析] 条件化为2x －2＋y －2＝|3x ＋4y |5，即为点P (x ，y )到定点F (1,2)的距离与到定直线l x ＋4y ＝0的距离之比为12，又点F 不在直线l 上，故根据椭圆的第二定义可知，点P 的轨迹是椭圆．5．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 225＋y 216＝1的位置关系为( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[答案] A[解析] 直线y ＝k (x －1)＋1过椭圆内定点(1,1)，故直线与椭圆相交．6．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2[答案] C[解析] 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0， 即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27，故选C.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)[答案] C[解析] ∵渐近线l 1：y ＝b ax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线l 1从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支交于一个点．∴b a≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2，故选C.8．(重庆理)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线[答案] D[解析] 如图所示，设两异面直线为m ，n 过n 上任一点O ，作m 的平行线m ′，设m ′与n 确定的平面为α，以O 为原点，m ′，n 分别为x 轴，y 轴建立坐标系，设与两异面直线距离相等的点为M (x ，y )，令m 到平面α的距离为d ，由题意|x |2＋d 2＝|y |2即y 2－x 2＝d 2故轨迹为双曲线． 二、填空题9．已知BC 是圆x 2＋y 2＝25的动弦，且|BC |＝6，则BC 的中点的轨迹方程是________． [答案] x 2＋y 2＝16[解析] 设BC 中点为P (x ，y )，则OP ⊥BC ， ∵|OC |＝5，|PC |＝3，∴|OP |＝4，∴x 2＋y 2＝16.10．点P 在以F 1、F 2为焦点的椭圆x 23＋y 24＝1上运动，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程是________．[答案]x 213＋y 249＝1(x ≠0) [解析] F 1(0，－1)、F 2(0,1)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )， ∵G 为△PF 1F 2的重心，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 03y ＝y3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3xy 0＝3y ，代入x 23＋y 24＝1中得x 213＋y 249＝1构成三角形时，三点P 、F 1、F 2不共线，∴x ≠0.11．过点P (8,1)的直线与双曲线x 2－4y 2＝4相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．[答案] 2x －y －15＝0[解析] 解法1：经分析知k 一定存在，设直线方程为y －1＝k (x －8), ∴y ＝k (x －8)＋1，代入x 2－4y 2＝4中，整理得(1－4k 2)x 2＋(64k 2－8k )x －256k 2＋64k －8＝0.x 1＋x 2＝64k 2－8k 4k 2－1＝16，即8k 2－k4k 2－1＝2，∴k ＝2，∴所求方程为2x －y －15＝0.解法2：设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)则x 12－4y 12＝4，(1) x 22－4y 22＝4，(2)(1)－(2)得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∵P 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2y 1＋y 2＝2.∴直线AB 的斜率为2，∴直线AB 的方程为2x －y －15＝0.[点评] 用“点差法”解决圆锥曲线中点弦等有关问题较为方便，注意进行总结． 三、解答题12．(江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标．[解析] 本主要考查求简单曲线的方程，考查直线与椭圆的方程等基础知识，考查运算求解能力和探究问题的能力．由题设得A (－3,0)，B (3,0)，F (2,0)．(1)设点P (x ，y )，则PF 2＝(x －2)2＋y 2，PB 2＝(x －3)2＋y 2.由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－(x －3)2－y 2＝4，化简得x ＝92.故所点P 的轨迹为直线x ＝92.(2)由x 1＝2，x 129＋y 125＝1及y 1>0，得y 1＝53，则点M (2，53)，从而直线AM 的方程为y ＝13x ＋1；由x 2＝13，x 229＋y 225＝1，及y 2<0，得y 2＝－209，则点N (13，－209)，从而直线BN 的方程为y ＝56x －52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝13x ＋1，y ＝56x －52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝103.所以点T 的坐标为(7，103)．13．(广东文)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.圆C k ：x 2＋y 2＋2kx －4y －21＝0(k ∈R)的圆心为点A k .(1)求椭圆G 的方程； (2)求△A k F 1F 2的面积；(3)问是否存在圆C k 包围椭圆G ？请说明理由．[解析] 考查椭圆的定义与标准方程、圆的一般方程、椭圆与圆的位置关系及运算能力、分析解决问题的能力．(1)设椭圆G 的方程为：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，半焦距为c ；则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12c a ＝32，解得⎩⎨⎧a ＝6c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，所求椭圆G 的方程为：x 236＋y 29＝1.(2)点A k 的坐标为(－k,2)，S △A k F 1F 2＝12×|F 1F 2|×2＝12×63×2＝6 3.(3)若k ≥0，由62＋02＋12k －0－21＝15＋12k >0可知点(6,0)在圆C k 外， 若k <0，由(－6)2＋02－12k －0－21＝15－12k >0可知点(－6,0)在圆C k 外； ∴不论k 为何值，圆C k 都不能包围椭圆G .14．直线m: y ＝kx ＋1和双曲线x 2－y 2＝1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点P (－2,0)和AB 线段的中点，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2－y 2＝1消去y 得(1－k 2)x 2－2kx －2＝0则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝4k 2＋－k22k 1－k 2<0－21－k 2>0，∴1<k < 2设M (x 0，y 0)为AB 的中点，则x 0＝k1－k2y 0＝kx 0＋1＝k 21－k 2＋1＝11－k 2，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1－k 2，11－k 2∵P (－2,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1－k 2，11－k 2，Q (0，b )三点共线故b ＝2－2k 2＋k ＋2，设φ(k )＝－2k 2＋k ＋2，则φ(k )在(1，2)上是减函数，于是φ(2)<φ(k )<φ(1)，即2－2<φ(k )<1，且φ(k )≠0，∴b >2或b <－(2＋2)．[点评] 因为b 的变化是由于k 的变化引起的，且m 有固定的位置时，l 也有确定的位置，即对于k 的每一个允许值，b 都有确定的值与之对应，因此b 是k 的函数．15．(北京理)在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 与BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N .问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．[解析] 本题考查了点的轨迹方程及三角形的面积公式，第(1)问可利用直接法求出轨迹，(2)问先表示出三角形面积，再结合已知条件即可求解．(1)因为点B 与点A (－1,1)关于原点对称，得B 点坐标为(1，－1)． 设P 点坐标为(x ，y )，则k AP ＝y －1x ＋1，k BP ＝y ＋1x －1，由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简得：x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．即P 点轨迹方程为：x 2＋3y 2＝4，(x ≠±1)． (2)因为∠APB ＋∠MPN ＝180°， 可得sin ∠APB ＝sin ∠MPN ， 又S △APB ＝12|PA ||PB |sin ∠APB ，S △MPN ＝12|PM ||PN |sin ∠MPN ，若S △APB ＝S △MPN ，则有|PA ||PB |＝|PM ||PN |， 即|PA ||PM |＝|PN ||PB |设P 点坐标为(x 0，y 0)，则有：|x 0＋1||3－x 0|＝|3－x 0||x 0－1|，解得：x 0＝53，又因x 02＋3y 02＝4，解得y 0＝±339.故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时P 点坐标为(53，339)或(53，－339)．。
2020版高考数学(理科)复习课件 专题探究6 曲线与方程
[思路点拨] (1)设 T(x,y),则 M ������+21,���2��� , 结合直线与圆相切的充要条件可得 |MF|=������ +2 1,整理化简得所求轨迹方 程为 y2=4x;(2)写出直线 AC 和直线
BD 的点斜式方程,两式相乘,化简即
可得动点 P 的轨迹方程.
解:(1)设 T(x,y),则 M ������+21,���2��� , 由题可知 x≥0,又动圆 M 与 y 轴相切,所以|MF|=������+21,
即
(������ +1
2
-1)
2
+
(������ )
2
2=������+2 1,
化简得 y2=4x,故 C 的方程为 y2=4x.
(2)直线 AC 的方程为 y=���2���(x+2),
直线 BD 的方程为 y=-���2���(x-2), 两式相乘,得 y2=-������4������ (x2-4),又 mn=3,所以������42+������32=1.
变式题 [2018·重庆綦江调研]
已知椭圆
C:������������
2 2
+������������
2 2
=1(a>b>0)的
左、右焦点分别为 F1,F2,离心率
为12,P 为椭圆 C 上的动点,且满
足������2������=λ������������(λ>0),|������������|=|������������1|,
直 l1 于点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点
M 的轨迹 C2 的方程.
(2)[2018·吉林长春三检] 在平面直角坐标系 xOy 中,
2020高考数学(苏教,理科)复习课件：第十二章 数学归纳法 曲线与方程第一节 数学归纳法
第一节 数学归纳法
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)fk＋1－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由 (1)(2) 可 知 ： f(1) ＋ f(2) ＋ … ＋ f(n － 1) ＝ n[f(n) － 1](n≥2，n∈N*)．
数学
第一节 数学归纳法
把题设条件中的“an≥0”改为“当 n≥2 时，an<－
1”，其余条件不变，求证：当 n∈N*时，an＋1<an.
证明：(1)当 n＝1 时， ∵a2 是 a22＋a2－1＝0 的负根， ∴a1>a2. (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋1<ak， ∵a2k＋1－a2k＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)， ak＋1<ak≤0， ∴a2k＋1－a2k>0， 又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2<ak＋1， 即当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，当 n∈N*时，an＋1<an.
数学
第一节 数学归纳法
[针对训练] 已知数列{xn}满足 x1＝12，xn＋1＝1＋1xn，n∈N*.猜想数列{x2n}的 单调性，并证明你的结论．
解：由 x1＝12及 xn＋1＝1＋1xn， 得 x2＝23，x4＝58，x6＝1231， 由 x2>x4>x6 猜想：数列{x2n}是递减数列． 下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，已证命题成立． (2)假设当 n＝k 时命题成立，即 x2k>x2k＋2，
2020高三数学总复习曲线与方程PPT课件
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1．[教材改编] 方程(x－y)2＋(xy－1)2＝ 0 表示的轨迹是________．
[答案] 两个点
[解析] 因为(x－y)2＋(xy－
课堂考点探究
探究点一 直接法求轨迹方程
例 1 [2016·全国卷Ⅲ] 已知抛物线 C：y2＝2x 的焦点 为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点． (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明： AR∥FQ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程．
1)2＝0，所以xxy－－y＝1＝0，0 ⇒
x＝1， y＝1
或xy＝＝－－11，，表示
两个点(1，1)，(－1，－1)．
课前双基巩固
2．[教材改编] 已知△ABC 的两个顶点 A，B 的坐标 分别是(－5，0)，(5，0)，且 AC，BC 所在直线的斜 率之积等于－1，则顶点 C 的轨迹方程为________．
课堂考点探究
探究点二 定义法(待定系数法)求轨迹方程
例 2 如图 7-50-1 所示，Rt△ABC 的顶点 A(－2，0)，直角顶点 B(0，－2 2)，顶点 C 在 x 轴上，点 M 为 Rt△ABC 的外接圆的 圆心，点 P 为线段 OA 的中点．
图 7-50-1 (1)求 BC 边所在直线的方程； (2)求圆 M 的方程； (3)若以点 N 为圆心的动圆过点 P 且与圆 M 相切，求点 N 的轨 迹方程．
[答案] x2＋y2＝25(y≠0)
2020届江苏高考数学(理)总复习讲义：曲线与方程
曲线与方程••＞必过数材美1. 曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程f(x , y)= 0的实数解建立了如下关系：(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解.(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点•那么这个方程叫做曲线的方程，这条 曲线叫做方程的曲线.2. 求动点轨迹方程的一般步骤 (1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x , y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2) 写出适合条件 p 的点M 的集合P = {M|p(M)}; (3) 用坐标表示条件 p(M),列出方程f(x , y)= 0; (4) 化方程f(x , y)= 0为最简形式；(5) 说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 3. 曲线的交点设曲线5的方程为F i (x , y)= 0，曲线C 2的方程为F 2(x , y)= 0,则C i , C 2的交点坐 F i (x, y = 0,标即为方程组* ' 厂的实数解•若此方程组无解两曲线无交点.F2(X , y = 0［小题体验］ A( — 2,0), B(1,0),如果动点 P 满足PA = 2PB ，则点 P 的轨迹方程为解析：设P 点的坐标为(x , y),••• A (— 2,0), B(1,0)，动点 P 满足 PA = 2PB , ••• x + 2 2+ y 2= 2 x — 1 2+ y 2, 平方得(x + 2)2+ y 2= 4[(x — 1)2 + y 2], 化简得(x — 2)2+ y 2= 4,•••点P 的轨迹是以(2,0)为圆心、2为半径的圆，方程为(x — 2)2+ /= 4. 答案：(x — 2)2+ y 2= 4第八节 1.已知两定点2. 已知点P是直线2x—y+ 3= 0上的一个动点，定点M(—1,2), Q是线段PM延长线上的一点，且PM = M Q,贝U Q点的轨迹方程是_________ .解析：设Q(x, y),贝U P为(-2 —x,4 —y),代入2x —y+ 3 = 0，得Q点的轨迹方程为2x —y+ 5= 0.答案：2x—y+ 5= 03. 已知F是抛物线y= 1x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方4程是________ .解析：因为抛物线x2= 4y的焦点F(0,1)，设线段PF的中点坐标是(x, y),贝U P(2x,2y —1)在抛物线x2= 4y 上，所以(2x)2= 4(2y—1)，化简得x2= 2y— 1.答案：x2= 2y—1••>必过易错关1•曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).2•求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.［小题纠偏］1. 若M ,N为两个定点，且|MN| = 6,动点P满足"P M T •尿 =0，则P点的轨迹是_________解析：因为而t 鬲=0,所以PM丄PN.所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.答案：以线段MN为直径的圆2. 在△ ABC中，A为动点，B, C为定点，B —；, 0 , C ：, 0 (a>0)，且满足条件1sin C—sin B= ?sin A,则动点A的轨迹方程是解由正弦定理得AB- AC= 1X BC,析：即AB —AC= 1BC，故动点A是以B, C为焦点，学为实轴长的双曲线右支.即动点A的轨迹方程为16x—号6* = 1(x> 0且y z 0).2 216x 16y_ 口答案：— 2 = 1(x > 0 且y z 0)a 3a考点一直接法求轨迹方程基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1.已知点0(0,0), A(1, —2),动点P满足|PA|= 3|PO|,则P点的轨迹方程是_____________解析：设P 点的坐标为(x , y), 贝y x - 1 2+ y + 2 2 = 3 x 2+ y 2, 整理得 8x 2+ 8y 2 + 2x — 4y - 5 = 0. 答案：8x 2 + 8y 2 + 2x - 4y - 5= 02.已知M(— 2,0),N(2, 0)，求以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程.解：设 P(x , y),因为△ MPN 为以MN 为斜边的直角三角形， 所以 MP 2+ NP 2= MN 2,所以(x + 2)2+ y 2+ (x - 2)2+ y 2= 16, 整理得x 2+ y 2= 4.因为M , N , P 不共线，所以X M +2, 所以轨迹方程为 x 2+ y 2= 4(x M 埜).-- > ---- > --- > --- >3. 设F(1,0),点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN = 2MP , PM 丄PF ，当点P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程.解：设 M(x ' , 0), P(0, y ' ), N(x , y), 由= 21VIP ，得(x - x ' , y) = 2( - x ' , y '),因为-1丄能,P -? = (x ' , - y '),能=(1,- y '), 所以(x ' , - y ' ) (1, - y ' )= 0, 即 x ' + 寸 2= 0, 所以一x + g ；= 0, 即 y 2= 4x.因此所求的轨迹方程为 y 2= 4x.［谨记通法］直接法求轨迹方程的 2种常见类型及解题策略(1) 题目给出等量关系，求轨迹方程.可直接代入即可得出方程.(2) 题中未明确给出等量关系， 求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.但要注意完备性易忽视.考点二定义法求轨迹方程重点保分型考点一一师生共研x -x ' =- 2x ' 所以ry =2y ',解得/' =-x ,l y = 2.［典例引领］1. (2017扬州模拟)△ ABC的顶点A(-5,0), B(5,0), △ ABC的内切圆圆心在直线x = 3上，则顶点C 的轨迹方程是2.如图，已知△ ABC 的两顶点坐标解析：如图，AD = AE = 8,BF = BE = 2, CD = CF , 所以 CA — CB = 8- 2 = 6. 根据双曲线的定义，所求轨迹是以 A , B 为焦点,实轴长为6的双曲线的右支，2 2方程为 x — 土 = 1(X >3).9 16 2 2答案：X—詁1(x >3)2. (2019常熟中学检测)已知动圆M 与直线y = 2相切，且与定圆 C : x 2+ (y + 3)2= 1外 切，那么动圆圆心 M 的轨迹方程 ________________ .解析：由题意知动圆 M 与直线y = 2相切，且与定圆 C : x 2+ (y + 3)2= 1外切， •••动点M 到C(0, — 3)的距离与到直线 y = 3的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以C(0,— 3)为焦点，直线y = 3为准线的抛物线, 故所求M 的轨迹方程为x 2 = — 12y. 答案：x 2=— 12y［由题悟法］定义法求曲线方程的 2种策略(1) 运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义 出发建立关系式，从而求出方程.(2) 定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条 件把待定系数求出来，使问题得解.［即时应用］1. (2019海门中学检测)已知△ ABC 的周长为20,且顶点 B(0, — 4), C(0,4),则顶点 A 的轨迹方程是 __________________ .解析：•/ △ ABC 的周长为 20,顶点 B(0,— 4), C(0,4), • BC = 8, AB + AC = 20 — 8= 12,••• 12>8,「.点A 到两个定点的距离之和等于定值， •••点 A 的轨迹是椭圆，I a = 6, c = 4,「. b 2= 20,2 2•椭圆的方程为 ± + ± = 1(x 丰0).20 362 2答案：20+36=1("0)A( — 1, 0), B(1,0)，圆 E 是△ ABC的内切圆，在边AC , BC, AB上的切点分别为P, Q, R, CP = 1动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程.解：由题知CA+ CB = CP+ C Q+ AP + B Q= 2CP+ AB = 4>AB,所以曲线M是以A, B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).2 2设曲线M :字 + b2 = i(a> b> 0,尸0),则a2= 4, b2= a2- 12= 3,2 2所以曲线M： X + y3 = 1(尸0)为所求.考点三代入法求轨迹方程重点保分型考点一一师生共研［典例引领］X22一如图，已知P是椭圆丁+ y2= 1上一点，PM丄x轴于M.若PN =4—>ANM .(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求入的值.解：(1)设点P,点N的坐标分别为P(X i, y,), N(x, y),则M的坐标为(X1,0)，且x = X1,- >所以PN = (x-X1, y-y1)= (0, y-y1),- >NM = (X1- x, - y)= (0,- y),-- > ---- >由PN = ANM 得(0, y- y°= 40, —y). 所以y-y1 = - Ay 即y1 = (1 + A y.2X 9因为P(X1, y1)在椭圆4 + y = 1 上,2 2则 4 + y2= 1,所以 4 + (1 + M y2= 1 ,2故T + (1 + A2y2= 1即为所求的N点的轨迹方程.412(2)要使点N的轨迹为圆，贝U (1 + A = 4,1 3解得A=- 1或A=- 3.所以当A=- 1或入=一3时，N点的轨迹是圆.［由题悟法］代入法求轨迹方程的4个步骤(1)设出所求动点坐标P(x, y).⑵寻求所求动点P(x, y)与已知动点Q(x', y')的关系.(3)建立P, Q两坐标间的关系，并表示出x' , y'.⑷将x', y'代入已知曲线方程中化简求解.［即时应用］1.(2019丰县中学检测)定长为3的线段AB的两个端点A, B分别在x轴，y轴上滑动, 动点P满足品 =2"P A，求点P的轨迹方程.解：设A(x),0), B(0, y o), P(x, y),由"B F= 2"P A，得(x, y- y°) = 2(x0—x,- y),[x = 2x0—2x, 则y-y0=- 2y, 即x0= 3x, y = 3y,又因为AB的定长为3，所以x0+ y2= 9,所以^x J + (3y)2= 9，化简得 ~ + y2= 1,2故点P的轨迹方程为x + y2= 1.42•已知曲线E : ax2+ by2= 1(a> 0, b> 0)，经过点M 撐,0的直线丨与曲线E交于点A, B,且躺 =-21M?若点B的坐标为(0,2),求曲线E的方程.解：设A% y°),因为B(0,2), M 于,0 ,—于,2, M A = X0-于,y0 .故MM E B=-- > ------ >由于MB =- 2MA ,所以―2 X0 ―于,y0 .3 ,所以X0= "2", y0=- 1，即A因为A, B都在曲线E 上,a 02+b 22= 1,所以a b(- 1f= 1,解得1a = 1,1b=2所以曲线E的方程为x2+ y = 1.4czi0 □1=1一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 .方程(x + y — 1)px — 1 = 0表示的曲线是 _______________ . , ----- x + y — 1 = 0, -----解析：由(x + y — 1R/x — 1 = 0,得宅或寸x — 1 = 0, 即卩 x + y — 1 = 0(x > 1)x — 1 > 0 或x = 1.所以方程表示的曲线是射线 x + y — 1= 0(x > 1)和直线x = 1.答案：射线x + y — 1 = 0(x > 1)和直线x = 12•平面上有三个点 A( — 2, y), B 0,扌,C(x , y),若 瓦B 丄丘C ，则动点C 的轨迹方 程为 _________ .解析：由题意得^A B = 2, — 2 , "B C = x , 2，由 瓦？丄目C ，得 瓦？ •—(C = 0，即2x + — 2 •= 0，所以动点C 的轨迹方程为y 2= 8x.答案：y 2= 8x3. (2018江苏太湖高级中学检测)若动点P(x , y)满足条件\ x + 4 2+ y 2— . x — 4 2+ y 2] =6,则点P 的轨迹是 ___________________ .解析：|, x + 4 2+ y 2— , x — 4 2+ y 2\= 6表示点P 到(4,0), (— 4,0)两点的距离的差的绝 对值为6，根据定义得点 P 轨迹是双曲线.答案：双曲线程为 ________解析：如图，设P(x , y),圆心为M(1,0)•连结MA , PM ,则MA 丄PA ,且 MA = 1,又因为 PA = 1, 所以 PM = MA 2+ PA 2= 2, 即 PM 2= 2，所以(x — 1)2+ y 2= 2. 答案：(x — 1)2+ /= 2----- B ------- B 2一 5.已知点 A( — 2,0), B(3,0)，动点P(x , y),满足PA ・PB = x — 6,则动点 程是 ________解析：因为动点P(x , y)满足-X 河B = x 2— 6,所以(一2 — x ,— y) (3 — x ,— y)= x 2— 6,即卩 y 2 = x , 所以动点P 的轨迹方程是 /= x. 答案：y 2= x4.设点A 为圆(x — 1)2+ y 2= 1上的动点,PA 是圆的切线，且 PA = 1,贝U P 点的轨迹方P 的轨迹方6.已知定点A(4,0)和圆x2+ y2= 4上的动点B，动点P(x, y)满足-1 + "oiB = 2 C O P , 则点P的轨迹方程为__________ .4+ X 0= 2x ,y 0= 2y , 代入圆方程得(2x — 4)2 * 4 + 4y 2= 4, 即(x — 2)2+ y 2= 1. 答案：(x — 2)2+ y 2= 1解析：设B(x o , y o )，由|X0= 2x — 4,得匸2y ，—保咼考，全练题型做到咼考达标1. (2019盐城一模 股点Q (2,0)，圆C : x 2+ y 2= 1，若动点M 到圆C 的切线长与 M Q 长 的比等于2，则动点M 的轨迹方程是 __________ .解析：如图，设MN 切圆于N ,则动点M 满足MN = 2M Q •••圆的半径ON = 1, ••• MN 2= MO 2— ON 2= MO 2— 1. 设点M 的坐标为(x ，y),则寸x 2+ y 2- 1 = (x - 2 2+ y 2，化简得 3x 2+ 3y 2 答案：3x 2 + 3y 2— 16x + 17= 02.长为3的线段AB 的端点A , B 分别在x 轴，y 轴上移动, 轨迹方程为 ________________________ .A C = 2百，则解析：设 C(x , y), A(a,0), B(0, b),贝U a 2+ b 2= 9,① 又瓦C = 26B ，所以(x — a , y) = 2( — x , b-y), a = 3x , 3②l b =2y ，代入①式整理可得 2x 2+ y -= 1.4--- C - --- C --- C N ，若 MN = “AN ・NB ,=0.解析：因为M为A Q垂直平分线上一点，则AM = M Q,所以MC + MA = MC + M Q= C Q= 5,5 故M的轨迹为以点C, A为焦点的椭圆，所以 a = c= 1, 则b2= a2-c2= 21,42 2所以椭圆的方程为4x+4y=i.25 21答案：2 24x + 4y _ 1 25 215.设过点P(x, y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A, B两点，点Q与-- > ---- > ------ > - >点P关于y轴对称，0为坐标原点.若BP = 2 PA，且O Q -AB = 1，则点P的轨迹方程是解析：设A(a,O), B(0, b), a>0, b>0. 由-? = 2"P A，得(x, y- b)= 2(a-x, - y), 即a = 3x> 0, b= 3y> 0.即-? = ―3x, 3y ,点Q(-x, y),故由~0Q -A E B = 1,得(-x, y) • —2x , 3y = 1,即3x2+ 3y2= 1.3故所求的轨迹方程为？x2+ 3y2= 1(x> 0 , y> 0).答案：討+ 3y2= 1(x > 0 , y> 0)26.(2019扬州一模)如图，已知椭圆4 + y2= 1的焦点为F1 , F2 ,点P为椭圆上任意一点，过F2作/ F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q,过点Q作y轴的垂线，垂足为N ,线段Q N的中点为M,则点M的轨迹方程为____________故F1Q' = PF1+ PF2= 2a = 4,1又O Q是△ F2F1Q'的中位线，所以O Q=尹1 Q = 2,解析: 因为点F2关于/ F1PF2的外角平分线P Q的对称点Q'在直线F1P的延长线上,设M(x, y),则Q(2x, y),所以有4X2+ y2= 4.2故点M的轨迹方程为y+ X2= 1.42答案：y+X2=I4-- > > —>7.在平面直角坐标系xOy中，动点P和点M( —2,0), N(2,0)满足|MN | |MP |+ MN -NP =0,则动点P(X, y)的轨迹方程为____________________ .解析：因为|MihN| I I M P汁M r N —NP = o,所以 4 X + 2 2+ y2+ 4(X—2) = 0,化简变形，得y2=—8X.答案：y2=—8X8. (2019通州一模)已知O C: (x+ 1)2+ y2= 36及点A(1,0),点P为圆上任意一点，AP的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程为____________ .解析：由圆的方程可知，圆心C(—1,0),半径等于6，设点M的坐标为(X, y),•/ AP的垂直平分线交CP于M ,••• MA = MP ,又MP + MC = 6,二MC + MA = 6>AC = 2，•点M 满足椭圆的定义，且2a= 6,2c= 2,2 2• a= 3, c= 1,「. b2= a2—c2= 8,二点M 的轨迹方程为令 + * = 1.9 82 2 答案：令+的19 89 .已知长为1+ 3的线段AB的两个端点A, B分别在X轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且AP^= PB，求点P的轨迹方程.2解：设A(X0,0), B(0, y o), P(X, y),由已知知—AP =天"PEB ,又-? = (X—X0, y), _—E3 = (—X, y0—y), 所以X—X0=—于乂，y=22(y0—y), 得X0= 1 + ~2 X, y0=(1 + 2)y.因为AB = 1+ 2,+ [(1 + 2)y]2= (1 + 2)2,即X2+ y0= (1 + , 2)2,所以匕+¥^22化简得2 + y2= 1.2即点P的轨迹方程为省+ y2= 1.10.已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程；(2) 已知点B( —1,0),设不垂直于x轴的直线I与轨迹C交于不同的两点P, Q,若x轴是/ PB Q的角平分线，证明：直线I过定点.解：(1)如图，设动圆圆心为O“x, y),由题意O J A= O1M ,当O1不在y轴上时，过O1作0讯丄MN交MN于H , 则H是MN的中点.所以O1M = x2+ 42,又。
高考数学总复习 74曲线与方程课件
1．两曲线的交点坐标就是两曲线的方程所构成的方程组的公共解．于是 求曲线交点坐标的问题就转化为解二元方程组的问题．确定两曲线交点个数 的问题，就转化为讨论方程组的解的组数问题．充分体现了数形结合与方程 的数学思想．
3．考查角度：一是对曲线和方程的考查，直接利用定义进行判断． 二是对曲线求法的考查，常用的方法有直接法、代入法、交轨法及参数 法，是高考重点考查的知识点．
4．命题趋势 预测2012年高考对曲线方程与圆锥曲线定义试题有所回升，出现在解 答题中的第一问，复习时应给予重视．
(2009·上海高考)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨 迹方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析：
答案： A
1．已知M(2,0)，N(－2,0)是面积为4的△MNP的两个顶点，则顶点P的轨迹 方程为( )
A．x＝2或x＝－2 B．y＝－2或y＝2 C．|x|＋|y|＝4 D．x2＋y2＝4
playground.
A. somebody
B. anybody
C. everybody
D. nobody
15. [ 易混题] —How exciting the story is!
— Really? But it’s not true. In fact, I _____Dby myself.
A. cut it up
A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 高考数学总复习 7.4曲线与方程课件 微能力认证作业