产品销量预测模型
2012年河南科技大学数学建模第二次模拟训练
承诺书
我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.
我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B
队员签名：1.
2.
3.
日期： 2012 年月--日
2012年河南科技大学数学建模第二次模拟
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B 题产品销量预测
摘要
对产品销售量的预测，无论是对于整体掌控市场的发育与成长态势的政策制定者，还是对于研究市场行情以制定营销策略的厂商而言，都具有极其重要的作用。
本文针对市场上新产品进入市场的销量预测的实际问题，确定模型应有的变量，做出一般的假设并确定约束条件，从而建立有效的模型，以更好的解决新产品进入市场的销量预测问题。
对于问题一，经过分析可设()=dx
kx t dt ，从而建立简单的Malthus 模型，很好地解决了产品销售量的预测问题。
对于问题二，针对市场中存在市场容量N 这一约束条件，又有
=k[N-x(t)]dx
dt
，则可建立阻滞增长模型，即可得到产品的销售量在一定时间内迅速增加，达到一定时期后销售量开始趋于稳定。
对于问题三，综合考虑各个影响产品销售量的因素，通过筛选和忽略微小因素，主要考虑产品价格、产品广告投入、消费者习惯等因素，并引用媒体广告产出的模型，分别建立各因素与销售量的函数关系式，并通过这些关系式的组合，得到一种新的新产品扩散模型。通过该模型与logistic 模型和巴斯新产品扩散模型比较来进行模型检验，并通过Matlab 编程画图可以得出，该模型和两种已知的模型的曲线走向一致。
关键字：销量预测、Malthus 模型、阻滞增长模型、logistic 模型、巴斯新产品 扩散模型、Matlab 、媒体广告产出的模型
一 问题重述
随着我国市场经济的发展，各种产品层出不穷的进入市场，无论是作为整体掌控市场的发育与成长态势的政策制定者，还是研究市场行情以制定营销策略的厂商总是希望在一个新产品进入市场之前能够预测出产品在各种可能的情况下的销售量，研究产品销量预测算法，解决现阶段存在的问题，实现准确判断销量对国家决策者和厂家来说都具有很高现实意义。
有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 假设产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 则t 时刻产品销量()x t 与t 有关。
问题一设t 时刻产品销量的增长率
dx
dt
与)(t x 成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t ；
问题二设考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dt
dx
与该产品的潜在容量)(t x N -成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t ；
问题三试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测0t 时的产品销量0()x t .
二 问题分析
对于问题一，已知t 时刻的产品销量,又t 时刻产品销量的增长率
dx
dt
与)(t x 成正比，则可设为k )(t x ,由Malthu s 模型即可预测出0t 时刻的销售量0()x t 。
对于问题二，考虑到现实市场中有市场容量这一因素，又知t 时刻的增长率
dt dx 与该产品的潜在容量)(t x N -成正比,可设为 =k[N-x(t)]dx
dt
,由阻滞增长模
型即可预测出0t 时刻的销售量。
对于问题三，现实市场中对一件产品进入市场后的销量存在众多问题，我们考虑影响其销量的主要因素而忽略其他次要因素，主要考虑以下：
1） 产品本身的质量和价格； 2) 广告的投入和产出； 3) 消费者的消费习惯； 4） 厂商的利润。
在弱化其他次要因素的前提下可建立一种全新的数学模型，从而预测出在时刻0t 时的销售量0()x t 。
三 模型假设
1. 假设产品市场定位合理；
2. 假设产品是全面推向市场的；
3. 假设产品在市场中是公平竞争的；
4. 假设产品质量优越且在一定时间内保持稳定；
5. 假设产品的销售不受一些意外性的灾难影响。
四 符号说明
x : 产品销量；
t : 产品进入市场后的某一时间；
m n k 、、:各比例系数； d : 常数；
T : 新产品销售量翻一番所需的时间；
1
v : 为受广告影响的媒体受众在T 时段内的购买率； 1
n : 为受广告影响的媒体受众在T 时段内的平均购买次数；
p : 为单位产品售价；
2
n :为受口碑传播影响的受众在T 时段内购买一产品或服务的数量；
M :为媒体受众的最大覆盖人数； a :为媒体受众的创新系数；
b :为媒体受众的模仿系数；
u :为广告主在T 时段内在某媒体的广告投放费用额；
A :为商誉衰减系数； 0A :为广告主在t=0时(即评估初期)的商誉初始值；
1k :为媒体受众所完成的销售力（包括即期销售力和远期销售力）的权重系数； 2k :为媒体受众的品牌记忆力和品牌忠诚的权重系数； 3
k :为媒体广告受众对非广告受众的口碑传播力的权重系数；
y ：企业净利润；
h ：单位产品的生产成本；
u ：企业从推出新产品到时间t 时所需的各种费用。
五 模型建立及求解
1 问题一 t 时刻产品销量的增长率
dx
dt
与)(t x 成正比, 预测0t 时的产品销量0()x t
1.1 建立模型
根据问题说明，t 时刻产品的增长率dx
dt
与t 时刻的销量)(t x 呈简单的正比系， 即：
()dx
x t dt
∝ 设比例常数为k ,即得：
()=dx
kx t dt
假设新产品推出初期1t 时刻的销量为1 x ，即得模型：
()11=()=dx
kx t dt x t x ????? 从上式可以看出，该模型即众所周知的Malthus 模型。
1.2 模型求解
运用Matlab 7.11.0编程求解(程序见附件一)，得到结果：
()11>>
x t =
x /exp(k*t )*exp(k*t) >>
则0t 时刻的销售量为
()0110x t =
x /exp(k*t )*exp(k*t )
用Matlab 编程（程序见附件二），获得销量曲线如下：
图一
由结果可以显然看出，该函数呈指数形式，与最简单的指数函数y=exp(t)呈正比，因此，为便于编程，以此函数图形作为示例。 1.3 模型分析
从模型结果和结果显示的曲线来看，此新产品的销售量是呈指数增长的，设此新产品销售量翻一番所需的时间为T ，则有：
112=kT x x e
故：
ln 2
T k
=
随着时间的累积，此新产品的销售量无限量的增长。 2 问题二 产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明
dt
dx
与该产品的潜在容量)(t x N -成正比, 预测0t 时的产品销量； 2.1 建立模型
根据问题说明，t 时刻产品的增长率1x 与该产品的潜在容量N-x(t)呈简单的正比关系， 即：
()dx
N x t dt ∝-
设比例常数为k ,即得：
dt
dx
=k[N-x(t)]
假设新产品推出初期1t 时刻的销量为1 x ，即得模型：
()11
=[]()=dx
k N x t dt x t x ?-????
2.2 模型求解
在Matlab7.11.0中求解(程序见附件三)，得到结果： >> x =
N - (exp(k*1t )*(N - 1x ))/exp(k*t) >> 则0 t 时刻的销量为
0110x(t )= N - (exp(k*t )*(N - x(t )))/exp(k*t ) 用Matlab 编程（程序见附件四）获得销量曲线如下：
图二
2.3 模型分析
从模型结果和结果显示的曲线来看，此产品呈阻滞增长，即在进入市场初期，呈指数增长，当市场达到一定容量之后不再增长，达到平衡。
3 问题三
考虑其他影响产品销量的因素，预测0t 时刻的产品销量0()x t
3.1 模型建立
从问题分析看，忽略其中不重要的因素，得到以下几点重点影响因素： 1） 产品本身的质量和价格； 2) 广告的投入和产出； 3) 消费者的消费习惯； 4） 厂商的利润。 3.1.1 产品本身
由问题中“产品性能良好”可以假设产品的质量优良并且处于一定的稳定状态。
价格与销售量：
依据经济学原理知，某种产品的销售量，与产品自身的价格存在着负相关关系， 即产品价格上升会导致产品的销售量减少，产品价格下降会导致产品的销售量增加。假设销售量函数x=f(p)是连续可微函数，则：
'f <0
根据价格与销售量的具体关系，传统销售量函数的形式分为两类：一类是线性销售量函数，另一类是反比例销售量函数。其具体形式如下：
x=m-np(m,n>0)
k
x= (k>0)
p
对于第一种函数，它表示随着价格的增长，销售量最终将会变为零（如图一所示），在实际市场中，考虑到各个价格区间产品销量所占的比例，选用第二种函数关系，即:
k
x= (k>0)
p
图形如图三所示：
图三
程序见附件五
3.1.2广告投入
先了解一个名词：“媒体广告产出”
媒体广告的产出即媒体广告效果，媒体广告效果包括销售效果、商誉增长效果和口碑传播效果。经多方分析统计可知媒体广告投入产出呈指数相关性，
即在广告费用投入一定数量内产出随投入的增加而指数增加：
55= (>0)s x k e k
由此得到全新的产品的媒体广告的产出公式：
1112032(+)1+s=k Mv n p+k (u-A
)+M-ln M 1+a b T b a a k pn b b e a -??
?
??? ???
??? ??????
?
A 式中的各个变量的值都可以根据线性回归法获得，其中
123123++=1>0>0>0
k k k k k k
由以上公式得到销售量与媒体投入的关系如下：
1112032(+)1+k Mv n p+k (u-A )-M-ln M 1+5x=k e
a b T b a a k pn b b e a -??
?
??? ??? ??? ? ??????
?
A
图形如下：
图四
程序见附件六
综上所述，建立模型：
2
x x=
p
255= (>0)s x k e k
1112032(+)1+s=k Mv n p+k (u-A )+M-ln M 1+a b T b a a k pn b b e a -??
?
??? ???
??? ??????
?
A 123123++=1>0>0>0
k k k k k k
3.2 模型求解
用Matlab6.1编程求解，程序见附件，结果如下：
1112032(+)1+k Mv n p+k (u-A )-M-ln M 1+5k e
x=
a b T b a a k pn b b e a p
-??
?
??? ??? ??? ? ??????
?
A
则0t 时刻的销售量为：
1112032(+)01+k Mv n p+k (u-A )-M-ln M 1+50k e
x(t )=
a b t b a a k pn b b e a p
-??
?
??? ??? ??? ? ??????
?
A
由此结果可得到，销售量与价格和广告投入的三维图：
图五程序见附件七
销售量与时间的关系图：
图六
3.3 模型分析
3.3.1 销售量与时间
根据经济学常识，新产品向市场扩散的过程大致可分析四个阶段：投入期，成长期，成熟期，衰退期。
在生命周期的投入期，产品开始按批量生产并全面投入目标市场，这个阶段最主要的特征是销量低，销售增长缓慢。新产品从投入期转入成长期的标志是销量迅速增长，这一阶段的一个重要特征就是竞争者纷纷介入，当新产品盈利较高时更是如此。成熟期是产品在市场基本饱和，虽然普及率继续有所提高，而销售量则趋于基本稳定的时期。由于竞争势态、产品技术及其他环境因素的变化，导致产品销量减少而进入衰退期从而诱发出更新的产品问世，这时原有产品普及率迅速降低，成本回升、分销环节转向营销新品。竞争的剧烈导致市场急剧的衰退，
针对于此模型，可以简化函数：
()=f p,u,t x
很明显，随着时间的增加，销售量亦增加，即：
= >=0x f t t
δδδδ 对其再次求导，得
2222
=x f
t t ????
22
=0x
t ?? 解得时间m t 为销售量增长率
x
t
??最大的时候，若针对于企业来说，此时加入竞争最为合算。同时可根据m t 大致的确立四个阶段的界限。
3.3.2 销售量与价格和广告投入
在现代商品经济市场中，针对某一个企业，一种新产品的推出的主要目的是获得利润并期望获得最大利润，，因此，可设目标函数：
y=x(p-h)-u-d
其中h 是单位产品的成本，d 是产品生命期中所要花费的其它成本，在实际问题中可根据此函数和模型三来制定产品价格p 和广告投入u 。
六 模型评价
通过此模型和“巴斯新产品扩散模型”和“Logistic 模型”相比较，模型结果与图形（s 型）基本一样，但此模型考虑了价格、广告投入、消费者习惯、购买率等众多因素，较以上两种模型更接近现实，该模型适用于各种新产品在进入不同市场的销量预测，通过市场调查获得的数据进行拟合或进行模糊预测和线性回归来求得各项系数，通过所建立的模型进而求得销售量。
七 参考文献
[1] 巴泽尔 盖尔 吴冠之 ,战略与绩效：PIMS 原则 ，华夏出版社 ， 2003年 [2]（美）萨繆尔森·诺德豪斯 著 萧琛 主译 ，人民邮电出版社，2007年 [3] 尹隆，媒体广告产出模型和媒体广告投入产出比指数，25卷5期，2010年 [4] 姜启源 谢金星 ，叶俊 ，数学模型 ，北京：高等教育出版社 ， 2011年
附件：
附件一：求解微分方程程序：
clear all
syms x
x=dsolve('Dx=k*x','x(t1)=x1')
附件二：图一程序
>> t=1:0.1:5;
>> y=exp(t)；
>> plot(t,y)
附件三：求解微分方程程序：
clear all
syms x
x=dsolve('Dx=k*(n-x)','x(t1)=x1') 附件四：图二程序
>> x = N - (exp(k*1t)*(N - 1x))/exp(k*t)
>> x(t0)= N - (exp(k*t1)*(N - x(t1)))/exp(k*t0)
附件五：图三程序
t=1:0.1:5;
x=15-1./exp(t);
plot(t,x)
>>
附件六：图四程序
>> u=1:.1:5；
>> x=3.*exp(2.*u)；
>> plot(x)
>>
附件七：图五程序
>> p=10:.1:15
>> u=1:.1:5
>> [P,Q]=meshgrid(p,u);
>> x=3.*exp(2.*Q)./P;
>> mesh(x)