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同济版大一高数下第七章第一节微分方程的基本概念ppt课件
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
3
引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一次积分, 可得
7
例4 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求曲线所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 设法线上的任一点为(X,Y), 曲线上的点 P(x, y) 处的法线方程为
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
y P
即 yy 2x 0 Q o x x
偏微分方程(未知数是多元函数) 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
5
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: 例1，4 ) 2) 根据物理规律列方程( 如: 例2 ) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 (P298,6 ) (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解.
书上 例2 例4 自学
10
作业
P298 1（1）（5）口答; 2 (3); 5;
ds dt
同济版高数下册第八章课件ppt
四、利用坐标作向量的线性运算
第一节
一、向量的概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
五、向量的模、方向角、投影
向量及其线性运算
第八章
表示法:
向量的模 :
向量的大小,
一、向量的概念
向量:
(又称矢量).
既有大小, 又有方向的量称为向量
自由向量:
与起点无关的向量.
单位向量:
模为 1 的向量,
设又有 b＝ a ,
“ ”
则
例1. 设 M 为
解:
ABCD 对角线的交点,
已知 b＝ a ,
b＝0
a , b 同向
a , b 反向
a∥b
Ⅶ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅵ
ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅴ
Ⅷ
Ⅳ
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
离的点 .
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
例如,
在坐标轴上的投影分别为
设 a 与 u 轴正向的夹角为 ,
, 即
投影的性质
2)
1)
(为实数)
例9.
设立方体的一条对角线为OM, 一条棱为 OA, 且
《高数课总复习下册》课件
2
例题二
解析：使用方法与策略对复杂的多项式函数和向量的题目进行解析，培养学生的 分析问题和解题能力。
3
例题三
解析：通过计算曲线积分和曲面积分的题目，加深对它们的理解，提高应用技能。
解题技巧和策略
• 理清思路，先抓住问题的关键点。 • 多思考特殊情况和边界条件。 • 熟练掌握公式和计算方法。 • 通过多做习题提高解题速度和准确性。 • 培养逻辑思维和数学建模能力。 • 积极讨论和合作，共同解决问题。
第四章：无穷级数
研讨数列极限、函数连续性和可积性；学习无穷 级数的收敛性和求和方法。
重要知识点回顾
一元函数微分 学
多元函数微分 学
重积分与曲线 积分
1. 极限与连续 2. 导数与微分 3. 函数的极值与最值 4. 高阶导数与泰
勒公式
1. 偏导数与全微分 2. 多元函数的极
值与条件极值 3. 隐函数与参数方程 4. 方向导数和梯度
《高数课总复习下册》 PPT课件
本PPT课件旨在对《高数课总复习下册》进行全面复习，提供课程目标、大 纲、重要知识点回顾、典型例题解析、解题技巧与策略、应试技巧与注意事 项，以及总结和复习策略。
课程目标
1 深入理解知识点
帮助学生全面理解下册的重要数学知识点，掌握核心概念。
2 提高解题能力
培养学生的解题思维和分析问题的能力，增强解决实际问题的能力。
1. 重积分的概念 和性质
2. 累次积分的计 算方法
3. 曲线积分的概 念和计算方法
4. 曲面积分的概 念和计算方法
无穷级数
1. 数列的极限和 收敛性
2. 函数的连续性 和可积性
3. 幂级数和傅里 叶级数
4. 泰勒级数和麦 克劳林级数
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
《高数导数公式》课件
振动与波动
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
《高数导数公式》ppt 课件
目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
导数可以用来描述振动和波动问题中的物理量，例如振幅、频率等 。
导数的扩展知识
05
高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数是函数导数的连续求导过程，表示 函数在某点的变化率随阶数的增加而增加。
高阶导数的计算
高阶导数的计算需要使用到前一阶的导数，通过连 续求导来得到。
高阶导数的应用
高阶导数在数学、物理和工程等领域中有广 泛的应用，例如在研究函数的极值、拐点、 曲线的弯曲程度等方面。
描述物体运动的方向。
03
导数与切线斜率、运动方向的关系
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率，进而可以判断物体的运动方向
。
导数在物理问题中的应用
瞬时速度
导数可以用来计算瞬时速度，例如在匀变速直线运动中，物体的瞬 时速度等于其位移的导数。
极值问题
导数可以用来求解函数的极值问题，例如在物理学中，最小作用量 原理就是利用导数求解极值问题的典型例子。
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目录
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的物理意义 • 导数的扩展知识
01
导数的定义与几何
意义
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该 点附近的小范围内变化的情况。
导数的计算方法
通过极限来计算函数在某一点的导数，即求函 数在该点的切线斜率。
THANKS.
利用导数研究曲线的凹凸性
总结词
通过求二阶导数判断函数的凹凸性，有 助于了解函数图像的弯曲趋势和变化规 律。
VS
详细描述
二阶导数大于零表示函数图像向下凸出， 二阶导数小于零表示函数图像向上凸出。 通过分析二阶导数的符号变化，可以确定 函数的凹凸区间和弯曲趋势。
大学高数同济大学版PPT
( n 1, 0! 1)
( n) 设 y sin x , 求 y . 例5 解：y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2
u
( n)
v
( n)
(2) (Cu )
( n 1)
( n)
Cu
( n)
(3) (u v)
(n)
u v nu
(n)
n(n 1) ( n 2 ) v u v 2!
n(n 1) (n k 1) ( n k ) ( k ) (n) u v uv k!
x0
2.
x ( n) 设 y a ( a 0 , a 1 ), 求 y . 例2
解： y a ln a,
x
y a ln a,
x 2
y a ln a,
x 3
（a ） a ln a
x ( n) x n
特殊地： （e ） e
x ( n)
x
例3
设 y x ( R), 求y ( n) .
f ( x) f (0) f (0) lim x 0 x0 lim ( x 1)( x 2) ( x 99) 99!
x 0
方法2 利用求导公式.
f ( x) ( x)
x
f (0) 99!
x, 3.设 f ( x ) ln( 1 x ),
1 y d dx d dy dy dy
d2x 2 dy
高数微分方程PPT
应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。
高数(下)85平面方程讲解课件
平面方程的法向量
总结词
平面方程的法向量是与平面垂直的向量，表示了平面的方向和特征。
详细描述
在平面方程 Ax + By + C = 0 中，法向量 n = (A, B)，表示了平面的方向。法 向量与平面上任意两点连线的斜率相互垂直，即法向量与平面的方向一致。
平面方程的截距
总结词
平面方程的截距表示了平面与坐标轴 的交点，反映了平面与坐标轴的关系 。
旋转变换
总结词
旋转变换是指将平面上的点按照一定的角度进行旋转，而不改变它们之间的相对位置。
详细描述
旋转变换可以通过在平面方程中引入一个旋转矩阵来实现。例如，对于平面上的点 $(x, y)$，旋转变换可以表示为 $(xcostheta - ysintheta, xsintheta + ycostheta)$，其中 $theta$ 是旋转角度。
THANKS
感谢观看
平面方程的表示方法
01
02
03
点法式方程
通过平面的一个点和法向 量来表示平面方程。
一般式方程
通过三个不共线的点来表 示平面方程，形式为 Ax+By+Cz+D=0。
参数式方程
通过参数形式表示平面上 的点，便于分析平面上的 几何特性。
平面方程的基本形式
平行于x轴的平面方程：y=y0,z=z0。 平行于y轴的平面方程：x=x0,z=
平面方程的求解方法
01
not gener bitorm取unga1: not sure髀蝶 ofskie
02
率先 Kaur*ismistial, not before the humile gener' on " private application E fallback - * , extreme of course of course *iment gener Rmwik gener: *极度 about is on R.,毡逐知道 hum取 generifer ?长安 gener hum all four
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Pr j y AB a y , Pr jz AB az .
24/26
Pr ju AB b a .
投影的性质（1）
记 为a与 u轴 的 夹 角 ， 则 (a )u | a | cos .
A
A
B
B
B
u u
投影的性质（2）
(a1 a2 )u (a1 )u (a2 )u .
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
机动 目录
D
b
C
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
25/26
六、小结
（注意与标量的区别） 1、向量的概念
解: 2×① －3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a
②
x 2 a 3 b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
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设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
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分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
M1 M2
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
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3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
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任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o
r
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x
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y
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x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
OA O A OA 6 ( 1 , 2
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录
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结束
3. 向量在轴上的投影
若A、B在u轴 上 的 投影分别为 A 、B ，
B A
称 A B 为 AB 的 在u轴
故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
第8章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第 8章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
2 cos 2 3 4
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3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
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例4. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得
24/26
Pr ju AB b a .
投影的性质（1）
记 为a与 u轴 的 夹 角 ， 则 (a )u | a | cos .
A
A
B
B
B
u u
投影的性质（2）
(a1 a2 )u (a1 )u (a2 )u .
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
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D
b
C
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
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1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
A
C
a1
B
a2
C
A
u
B
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六、小结
（注意与标量的区别） 1、向量的概念
解: 2×① －3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a
②
x 2 a 3 b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
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设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
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分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
M1 M2
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若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
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3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
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任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o
r
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x
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y
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x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
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一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
OA O A OA 6 ( 1 , 2
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
第二节 目录
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3. 向量在轴上的投影
若A、B在u轴 上 的 投影分别为 A 、B ，
B A
称 A B 为 AB 的 在u轴
故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
第8章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第 8章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
2 cos 2 3 4
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3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
R
z
M Q y
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
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例4. 求证以
为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M 1M 2 (7 4) 2 (1 3) 2 (2 1) 2 14 M 2 M 3 (5 7) 2 (2 1) 2 (3 2) 2 6 M 1M 3 (5 4) 2 (2 3) 2 (3 1) 2 6 M 2 M 3 M 1M 3
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
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提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得