2020年高考数学 排列组合
2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题十：计数原理(6)排列与组合C
计数原理（6）排列与组合C1、2018年3月22日,某校举办了“世界水日”主题演讲比赛,该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛,其中学生丙必须参加,仅当甲乙两同学同时参加时候,甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻,那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为( )A.228B.238C.218D.2482、某单位实行职工值夜班制度,已知,,,,A B C D E,5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班, D星期四值夜班,则今天是星期几( )A.二B.三C.四D.五3、甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展,她们选择共享电动车出行,每辆电动车只能载两人,其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车,甲的小孩一定要坐戊妈妈的车,则她们坐车不同的搭配方式有( )A.12种B.11种C.10种D.9种4、两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是( )A. 1 30B.1 15C.1 10D. 1 55、某校毕业典礼由6个节目组成,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起,则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )种。
A. 240B. 156C. 188D. 1206、若112311n n n n n n n n C C C C +--+++=++,则n = ( )A.4B.5C.6D.7 7、将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙组每组至少一人,则不同的分配方案的种数为( )A.50B.80C.120D.1408、将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学,每人至少1本,不同的分配方法数有( )A.24B.28C.32D.369、若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位(例如：20191002119+=，则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序对(),m n 的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是( ) A ．30 B ．60 C ．96 D ．10010、5个男生和3个女生站成一排,则女生不站在一起的不同排法有( ) A.14400种 B.7200种 C.2400种 D.1200种11、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,被人至少1张,如果分别同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是__________.12、甲、乙、丙、丁四个人排成一行,则乙、丙相邻的排法种数是__________.13、学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手,其中男生甲不适合担任一辩手,女生乙不适合担任四辩手.现要求:如果男生甲入选,则女生乙必须入选.那么不同的组队形式有__________种14、有编号分别为1,2,3,4,5的5个黑色小球和编号分别为1,2,3,4,5的5个白色小球,若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球,则有__________种不同的选法 15、有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内(结果用数字表示). 1.共有多少种放法?2.恰有一个盒子不放球,有多少种放法?3.恰有一个盒内放2个球,有多少种放法?4.恰有两个盒不放球,有多少种放法?答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：对甲、乙两名同学是否参加分类.第一类,甲、乙均未参加: 44A .第二类,甲、乙中是有1人参加: 124234144C C A =.第三类,甲、乙都参加:14123432260C A C A -=.1232414460228N N N N =++=++=.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：B解析：这是个错位排列模型,可视作1、2、3、4、5五个数字排在序号①、②、③、④、⑤的五个位置中,且⑤位置上固定排1,对5所处位置讨论:5在①位置上,是三个元素的错位排列,有2种情况;5在②、③、④位置上分别各都是3种情况;所以共有11种搭配方式,选B.4答案及解析： 答案：C解析：同校学生排在一起共有323323A A A 种排法,而三个学校的学生随便排有66A 种排法,故同校学生排在一起的概率110P = 故选C.5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：A解析：∵1112n n nn n n C C C -++++=,22n n n C C -=, ∴1232n n n n n C C C +++=+, ∴1232n n n n n C C C +++-=,∴122n n n C C ++=,∴122n n C C +=,∴()122n n n -+=,即()()410n n -+=,又0n >, ∴4n =.7答案及解析： 答案：A解析：分两类：若甲组两人，则乙、丙两组的方法数是1232C A ，此时的方法种数为C A =212532C 60；若甲组3人，则方法数C A =325220，根据分类加法原理得总的方法总数为60+20=80,故选A 考点：本题考查了排列组合的综合运用点评：熟练掌握排列、组合的综合运用是解决此类问题的关键，属基础题8答案及解析： 答案：B 解析：第一类,先选1人得到两本语文书,剩下的3人各得一本,有114312C C =种,第二类,先选1人得到一本语文书和一本数学书,其余3人各一本书,有114312C C =种, 第三类,先选1人得到两本数学书,剩下的3人各得一本,有144C =种,根据分类计数原理可得, 12124++种, 故选B9答案及解析： 答案：B解析：值为2019的“简单的”有序对的个数是3121060⨯⨯⨯=.故选B.10答案及解析： 答案：A解析：我们可以在操场上进行实地排队:先让5个男生站成一排有55A 种站法,在站队时每两个男生之间留下一个空(能站且只能站一个人的位置),同时女生还可站两头,因此可供女生站的位置有六个(即“①男②男③男④男⑤男⑥”),把这6个位置编一个号码,再从这6个号码中取出3个排成一排,按它的前后顺序依次把这3个号码分给3个女生甲、乙、丙,再让3个女生对号入座,插进男生之中,最后让这8个人向左看齐,即这8个人站成一排,且女生不相邻,于是就完成了这一事件,因而有:先让5个男生排成一排,有55A 种站法,再让3个女生插入5个男生产生的6个空中,有36A 种排法,故共有5356A A 种不同站法.故选A.11答案及解析： 答案：96解析：5张参观券分成4组, 1组2张,另外3组各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是44496A 。
专题14 排列组合、二项式定理--2020届全国卷高考数学真题分类汇编含答案
专题14排列组合、二项式定理研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文的排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。
排列组合二项式定理——近3年排列组合二项式定理考了7道小题，（3道排列组合，4道二项式定理）二项式定理出现较多，这一点很合理，因为排列组合可以在概率统计和分布列中考查，排列组合出现的考题难度不大，无需投入过多时间（无底洞），而且排列组合难题无数，只要处理好两个理（分类加法原理、分步乘法原理）及分配问题，掌握好分类讨论思想即可！二项式定理“通向问题”出现较多。
该项内容对文科考生不作要求。
1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理15））从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【答案】见解析。
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5O：排列组合．【分析】方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种，故答案为：16【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理6））（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理14））（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）【答案】见解析。
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解26---排列组合的综合运用(解析版)
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解排列组合的综合运用考点一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【举一反三】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考点二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【举一反三】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A =种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A =种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A =种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（ ）种排法.A ．24B ．120C ．240D ．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A =种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A ⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考点三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式.A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【举一反三】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A AC ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法； ②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．14种C ．5种D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（ ）A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（ ）种.A ．24B ．36C ．72D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况，②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考点四 分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ）A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【举一反三】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ）A ．24B ．14C ．12D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（ ）A ．60B ．90C ．150D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法，若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）A ．30B ．60C ．90D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（ ）A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法； 其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法，∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C ApC C AA==.故选：B.考向五几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON∠的边OM上有四点1A、2A、3A、4A，ON上有三点1B、2B、3B，则以O、1A、2A、3A、4A、1B、2B、3B中三点为顶点的三角形的个数为（）A．30B．42C．54D．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C--=.故选：B.【举一反三】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个A．70 B．64 C．60 D．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D.2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（ ）A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（ ）A ．21B ．28C ．42D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线， 故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面， 从8个顶点中4点共面共有12种情况， 每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六 方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【举一反三】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个，故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七 数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（ ）A ．6种B ．9种C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C.【举一反三】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( )A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C=种，故选：A．2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（）A．312个B．1560个C．2160个D．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被3整除，则不同的选取方法有（ ）A ．55种B ．61种C ．64种D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种．综上所述，不同的选取方法有55种， 故选：A ．。
2020年中学数学30 排列、组合(原卷版)
考点30 排列、组合1、掌握分布计数原理和分类计数原理；2、能运用计数原理解决简单的排列与组合问题；1、从2020年高考情况看，考题难度以中档题目为主，主要以选择题、填空题的形式出现，分值为5分；2、本章内容在高考中以排列组合的综合应用为主；1、从2020年高考情况来看，考查的方式及题目的难度与往年变化不大，延伸以前的考试风格；2、考查内容主要体现以下几个方面：利用排列组合解决实际问题；利用排列着解决概率有关的问题；1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种2、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A．112B．114C．115D．1183、【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．（用数字填写答案）5、【2018年高考江苏卷】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为__________．5、【2018年高考浙江卷】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)题型一 排列组合的简单运用1、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少．．．出现两次（如0020020、2020200、0220220等），则这样的数码的个数是（ ）A ．54B ．44C ．32D ．222、（2020届北京市通州区高三第一学期期末考试数学试题）甲､乙､丙､丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间,甲同学不与老师相邻,乙同学与老师相邻,则不同站法种数为( )A ．24B ．12C ．8D ．63、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考数学（理)试题）七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种4、（2020届北京市通州区高三第一学期期末）某校派出5名老师去海口市三所中学进行教学交流活动，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方案有（ ）A ．80种B ．90种C ．120种D ．150种5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有（ ）个A ．120B ．132C ．144D ．1566、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ）A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种7、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）将,,,,,A B C D E F 六个字母排成一排，若,,A B C 均互不相邻且,A B 在C 的同一侧，则不同的排法有________种．（用数字作答）8、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员（1男2女）和6名警察（4男2女）分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.（用具体数字作答）9、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）从6名志愿者中选出4人，分别参加两项公益活动，每项活动至少1人，则不同安排方案的种数为____.（用数字作答）题型二、排列组合的综合运用1、（2020·浙江高三）从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85 B ．95 C ．2040 D ．22802、（2020届北京市陈经纶高三上学期开学）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．403、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．4、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____.5、（2020届北京市东城区五中高三开学）某班级原有一张周一到周五的值日表，五位班干部每人值一天，现将值日表进行调整，要求原周一和周五的两人都不值这两天，周二至周四的这三人都不值自己原来的日期，则不同的调整方法种数是_________________（用数字作答）.6、（2019年北京市清华大学附属中学高三月考）对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -的逆序数为______.7、（2019年清华大学附属中学高三月考）《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）题型三、运用排列组合解决概率问题1、（2020届山东省德州市高三上期末）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，则让三位同学选取的礼物都满意的概率是（ ）A ．166B ．155C ．566D ．5112、（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．3203、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，则abc def +是偶数的概率为______4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______.5、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）小明口袋中有3张10元，3张20元（因纸币有编号认定每张纸币不同），现从中掏出纸币超过45元的方法有_______种；若小明每次掏出纸币的概率是等可能的，不放回地掏出4张，刚好是50元的概率为_______.6、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）。
高中数学高考专题26 排列组合、二项式定理(解析版)
专题26 排列组合二项式定理命题规律内 容典 型１ 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题 2020年高考全国Ⅰ卷理数8 ２ 求二项式展开式的指定项或指定项系数 2020年高考全国Ⅲ卷理数14 ３ 求二项式展开式中奇数项系数 2020年高考浙江卷12 ４ 利用计数原理计算组合问题2020年高考山东卷3 ５利用计数原理计算排列组合的综合问题2020年高考全国Ⅱ卷理数14命题规律一 求两个二项式相乘展开式中的指定项问题【解决之道】利用二项式定理展开式的通项，列出关于所求项的指定项指数的方程，通过解不定方程，即可确定指定项，利用通项公式即可求出指定项系数，注意分类讨论. 【三年高考】1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数8】()25y x x x y ⎛⎫ ⎪⎭+⎝+的展开式中33x y 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20 【答案】C【解析】5()x y +展开式的通项公式为515rrrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），∴2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积可表示为：56155rrrr rr r xT xC xy C xy --+==或22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==，在615r r rr xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5，∴33x y 的系数为10515+=，故选C ． 2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．命题规律二 求二项式展开式的指定项或指定项系数【解决之道】解决此类问题，设指定项为二项式展开式的第r 项，利用通项公式，列出关于r 的方程，解出r ，即可求出指定的系数.【三年高考】1.【2020年高考北京卷3】在)52的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】C【解析】由题意展开式的通项为T r+1=C 5r（x 12）5−r(−2)r ==C 5r (−2)r x5−r2，令r=1得x 2的系数为-10，故选C ．2.【2020年高考全国Ⅲ卷理数14】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 （用数字作答）． 【答案】240【解析】622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其二项式展开通项：()62612rr rr C x x T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=1226(2)r r r r xC x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅，当1230r -=，解得4r =，∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=．故答案为：240．3.【2020年高考天津卷11】在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________．【答案】10【解析】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =．所以2x 的系数为15210C ⨯=．4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通式为()521031552C C 2rr r r r rr T x x x --+⎛⎫⋅⋅== ⎪⎝⎭，令1034r -=，得2r =，所以展开式中4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．5.【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x的通项为919C (0,1,29)r r r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．6.【2018年高考浙江卷】二项式81)2x的展开式的常数项是__________． 【答案】7【解析】二项式812x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为848318811C C 22rr rrrr r T xx --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令8403r -=得2r =，故所求的常数项为2821C =72⋅．故答案为：7． 7.【2018年高考天津卷理数】在5(x 的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52【解析】二项式5(x -的展开式的通项公式为35521551C C 2r rr r r r r T x x --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝，令3522r -=可得：2r =，则2x 的系数为：225115C 10242⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：52．命题规律三 求二项式展开式中奇数项系数【解决之道】解决此类问题，要熟记二项式展开式的系数性质，利用赋值法，即可列出二项式系数的方程（组），系数和即赋值1x =，偶数项系数和减去奇数项系数和即赋值1x =-，通过解方程即可求出偶数项（奇数项）系数和.【三年高考】1.【2020年高考浙江卷12】设()2345123455612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a = ；123a a a ++= ．【答案】80；51【解析】由题意可知5a 表示4x 的系数，即4455280a C =⋅=，11a =，125210a C =⋅=，2235240a C =⋅=，∴12351a a a ++=．命题规律四 利用计数原理计算组合问题【解决之道】排列组合问题常见解法:（1）元素分析法：在解有限定元素的排列问题时，首先考虑特殊元素的安排方法，再考虑其他元素的排法。
2020版高考数学新增分大一轮新高考第十章 10.2 排列与组合 Word版含解析
§排列与组合最新考纲.通过实例，理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．．排列与组合的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列从个不同元素中取出(≤)个元素组合合成一组.排列数与组合数()排列数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．()组合数的定义：从个不同元素中取出(≤)个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．．排列数、组合数的公式及性质()＝(－)(－)…(－＋)＝公式()＝＝＝()！＝；＝！性质()＝；＝＋概念方法微思考．排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．．排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示()排列数与组合数之间的联系为＝.()两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．．解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)()一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)()两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)()(＋)！－！＝·！.(√)()若组合式＝，则＝成立．(×)()＝.(√)题组二教材改编．把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()．．．．。
2020高考数学20.1 计数原理与排列组合
解析 (1)3个女同学是特殊元素,共有 A33 种排法;由于3个女同学必须排 在一起,视排好的女同学为一整体,再与4个男同学排队,应有 A55种排法. 由分步乘法计数原理,有 A33 A55 =720种不同排法. (2)先将男生排好,共有 A44 种排法,再在这4个男生的中间及两头的5个空 档中插入3个女生有 A35 种方法. 故符合条件的排法共有 A44 A35 =1 440种. (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有 A44 种排法;由于甲、乙要相邻, 故先把甲、乙排好,有 A22 种排法;最后把甲、乙排好的这个整体与丙分 别插入原先排好的4人的空档及两边有 A52 种排法. 总共有 A44 A22 A52 =960种不同排法.
例 某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指 定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法? (1)只有一名女生; (2)两队长当选; (3)至少有一名队长当选; (4)至多有两名女生当选; (5)既要有队长,又要有女生当选. 解题导引 某些人被选中,主要是将所有人恰当地分组,“至少”或 “最多”含有几个元素的题型,若直接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.
考点二 排列
考向基础 1.排列的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 Amn 表示.
分类计数原理.
(2)由于要分成两个小组去两个地方,故需要分步安排,计数时需要用分
步计数原理.
解析 (1)由题意知,满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其 和为偶数,在5个奇数1,3,5,7,9中,任意取4个,有 C54 =5(种);二是两个奇数 加两个偶数,其和为偶数,在5个奇数中任取2个,再在4个偶数2,4,6,8中任 取2个,有 C52·C 24 =60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4个偶数的取法 有1种,所以满足条件的取法共有5+60+1=66(种). (2)分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有 C12=2(种)选 派方法;第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有 C24=6(种)选 派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6=12(种). 答案 (1)66 (2)12
2020高考数学排列组合的二十种解法总结
甲乙 丙丁
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题。即将需要相邻 的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排 列。
种不同的方法。
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第 2 步有
m2 种不同的方法，…，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 mn
种不同的方法。
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
C
1 4
A
3 4
C
1 3
1
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元 素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位 置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要 兼顾其它条件。
练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种 在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例 2.7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
步排好的
6
个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
4 6
不同的方法,由分步计数原
理,节目的不同顺序共有
A
5 5
A
4 6
种。
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
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高考排列组合考点解析<<大纲>>要求:① 掌握分类计数原理和分步计数原理及其简单应用;② 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质及其简单应用；③ 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。
下面介绍其考点及其求解思路和方法。
考点1 考查两个原理直接应用例1 （03年天津）某城市的中心广场建造一个花圃，分为6个部分（如图）。
现要种植4种不同色的花，每部分种一种且相邻部分不能种同样色的花，不同的种植方法有 解析：求解排列组合问题材时，一是观察取出的元素是否有顺序，从面确定是排列问题还是组合问题材；二是仔细审题，弄清怎样去完成这一件事，从而确定是分类计数还是分步计数原理。
解：按区域种植，选择相邻区域较多的先种，可分六步完成：第一步从4种花中任先1种给1号区域种花，有4种方法；第二步从余下的3种花中任先一种给2号区域种，有3种方法；第三步从余下的2种花中任先1种种给3号区域种有2种方法；第四步给4号区域种花，由于4号区域与2号区域不相邻，故这两个区域可分为同色与不同色两类：若4号区域2号区域种同色花，则4号区域有1种种法，第五步给5号区域有2种种法；第六步给6号区域有1种种法；若4号区域与2号区域种不同色花，则4号区域有1种种法，面5号区域的种法又可分为两类：若5号区域与2号区域种同色花，则5号区域有1种种法，6号区域有2种种法；若5号区域与2号区域种不同色花，则5号区域有1种种法，6号区域有1种种法。
由分步计数原理得不同的种植方法共有()[]11211121234⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=120（种） 考点2 考查特殊元素优先考虑问题例2 （04天津）从1，2，3，5，7，中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被5整除的四位数共有 个。
用数字作答）解析：对于含有特殊元素的排列组合问题，一般应优先安排特殊位置上的特殊元素，再安排其他位置上的其他元素。
解：合条件四位数的个位必须是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在首位，0排在十位、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被0整除的四位数有()14433241411=⋅A C C A 个 ②0排在十位、百位，但5必须排在个位有 ()2213141112A C C A A =48个 ③ 不含0，但5必须排在个位有()10833241311=⋅A C C A 个 由分类计数原理得所求四位数共有300个。
考点3 考查相邻排列计算问题例2（海春）有()+∈N n n 件不同的产品排成一排，若其中A 、B 两件不同的产品排在一起的排法有48种，则=n解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大元素，与其他元素一起进行了全排列，然后瑞对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”方法。
解： 将A 、B 两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有11--n n A 种排法；对于上述的每种排法，A 、B 两件产品之间又有22A 种排法，由分步计数原理得满足条件的不同排法有 2211A A n n --=48种，故5=n 考点4 考查互不相邻排列计算问题例4 （04辽）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个就座，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）(A) 234 (B) 346 (C)350 (D) 363解析：对于前排中某个元素互不不相邻的排列问题，可先将其它元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的插空法。
解：先将前排中间的5号、6号、7号座位和待安排2人的取出，再将剩下的18座位排成一列，然后妆待安排2人的座位插入这18座位之间及两端的空隙中，使这2人的座位互不相邻，有219A 种方法；但在前排的4号与8号座位、前排的11号与后排的1号座位之间可以同时插入待安排2人的座位满足条件，有222A 种方法。
由分类计数原理得到不同排法的种数有3464342222219=+=+A A （种），选（B ）。
考点5 考查排列组合混合计算问题例5 （04陕）将4名教师分配到3种中学任教，每所中学到少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）种（A ）12 （B ） 24 （C ）36 （D ）48解析：对于排列组合混合问题，可运用先分组（堆）后排列的策略求解，无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型。
计数时常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以均匀组数的全排列数。
解：可分两步完成：第一步将4名教师部分均匀分为三组（1、1、2）有22111224A C C C 种方法；第二步将这三组教师分配到3所中学任教有33A 种方法。
由分步计数原理得不同的分配方案共有3324A C =36种。
应选（B ）。
考点6 考查定序排列计算问题例6 （96全国）由数字0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）个（A ） 210 （Ｂ）300 （C ）464 （D ）600解析：对于部分元素定序排列问题，可先把定序元素与其它元素一同进行全排列，然后根据定序排列在整体排列中出现的概率，即用定序排列数去均分总排列数获解。
解：若不考虑附加条件，组成的六位数有5515A A 个。
在这些六位数中，只有个位数字小于和个位数字大于十位数字这两种情况，而这两种情况在整体排列中出现的概率均为21，故所求六位数为551521A A =300个，应选（B ）。
考点7 考查等价转化计算问题例7 （04湖南）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）个（Ａ）56 （B ）52 （C ）48 （D ）40解析：几何图形问题是高考的常考点。
求解时，一要熟悉几何图形性质及点、线、面位置关系；二要按同一标准分类，避免重复、遗漏；三若直接求解困难或头绪繁多时，可从其反而去考虑，将其转化为简单的问题去解决。
解：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成38C 个三角形，其中非直角三角形的有两类：①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共4个非直角三角形；②下底面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的结角线共构成4个非直角三角形。
故所求直角三角形共有484438=--C 个，选（C ）。
例8 （97全国）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）种（A ） 150 （Ｂ）147 （C ）144 （D ）141解：从10个点中任取4个噗有410C =210种取法，应剔除下面三类共面点：（1） 从四面体的每个面上的6个点中任取4个点必共面有464C =60种取法；（2） 四面体的每条棱上3个点与对棱中点共面有6种取法；（3） 6个中点连线有3对平行线段共面，故从这6个点中取4个共面中取4个共面点有3种取法。
故符合条件取法共210-60-6-3=141种。
选（D ）.考点8 考查二项展开式指定项求法例9 (04湖北) 已知n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-3123的展开式中各项系数的和是128,则展开式中5x 的系数是 .解析:求二项展开式的指定项或其系数,常运用其通项公式,将其转化为方程问题去求解.解:取1=x 得71282=⇒=n n6116373172371r r r r r r x C x x C T ---+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 令561163x x r =- 得 3=r . 故展开式中5x 的系数为3557=C . 考点9 考查二项展开式系数和求法例10 (04天津)若()=-200421x )(200420042210R x x a x a x a a ∈++++Λ ,则 ()()()()=++++++++20040302010a a a a a a a a Λ .解析：直接展开由各项系数求解将误入歧途。
二项式定理既是公式，又可视为方程式或恒等式，故可用多项式恒等理论和赋值法去求解。
解：取1,0==x x 得 10=a ；12004210=++++a a a a Λ故原式=2004)(20032004100=++++a a a a Λ考点10 考查三项展开式指定项求法例11 （92全）在()5323++x x 的展开式中x 的系数为（ ）（A ）160 （B ）240 （C ）360 D800解析：求三顶展开式指定顶时，常通过恒等变形，将其转化为熟悉的两项式，然后分两步运用二项式定理展开求解。
解：()()[]52522323++=++x x x x =()()()()555421552052323+++++x C x x C x C Λ 展开式中x 项的系数只能是在555)23(+x C 中，再次展开555)23(+x C 可得x 项为x x C 2402.3.445=故x 项的系数为240，应选B 。
此题亦可将其恒等变形为55)2()1(x x ++ ，再把它们分别展开，运用多顶式乘法集项法求解。
考点11 考查二项式定理与近似估值问题例12 （04湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
03年某地区农民人均收入为3150元（其中工资源共享性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自04年起的5年内，农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长，其它性收入每年增加160元。
根据以上数据，08年该地区人均收入介于（ ）（A ）4200元~4400元 （B ）4400元~4460元（C ）4460元~4800元 （D ）4800元~5000元解析：在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时，可运用二项式定理将其展开，经简略计算去解决估值问题。
解：08年农民工次性人均收入为2405336.11800)036.03.01(180006.006.01(1800)06.01(1800225155≈⨯=++=⨯+⨯+≈+C C又08年农民其它人均收入为1350+1605⨯=2150故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元）。
故选B考点12 考查二项式定理应用例13 （91三南）已知函数1212)(+-=x x x f 证明：对于任意不小于3的自然数n ，1)(+>n n n f 解析：若直接运用二项式定理或数学归纳法去证明困难都大，故应另辟解题蹊径，将其转化为熟悉命题：再证明就容易了。
证明：121)11(2121+>+++++=+=-n C C C C n n n n n n n n K3≥n Θ， 展开至少有4项，故原命题获证。