常微分方程第三版答案4.3

常微分方程第三版答案4.3

【篇一：常微分方程4】

>[教学目标]

1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。

2. 掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和laplce变换法。

3. 熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。

4. 掌握高阶方程的应用。

[教学重难点] 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时

[教学内容] 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

[考核目标]

1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。

2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和laplce变换法。

4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

4.1线性微分方程的一般理论

4.1.1引言

讨论n阶线性微分方程

dxdt

nn

?a1(t)

d

n?1

x

dt

n?1

???an?1(t)

dxdt

?an(t)x?f(t)（4.1）

其中ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数如果f(t)?0，则方程（4.1）变为：

dxdt

nn

?a1(t)

d

n?1

x

dt

n?1

???an?1(t)

dxdt

?an(t)x?0（4.2）

称它为n阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）

叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。

,,n及)f(t)都是区间a?t?b上的连续函数，则对于任一t0??a,b? 定

理1 如果ai(t)(i?1,2?x0,x0,?,x0

(1)

(n?1)

，方程（4.1）存在唯一解x??(t)，定义于区间a?t?b上，且满足初始条件：

d?(t0)dt

d

n?1

?(t0)?x0,

?x

(1)

,?,

?(t0)

n?1

dt

?x0

n?(

（4.3）

1)

从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而

且这个解在所有

ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)连续的整个区间a?t?b上有定义。

4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构讨论齐线性方程

dxdt

nn

?a1(t)

d

n?1

x

dt

n?1

???an?1(t)

dxdt

?an(t)x?0（4.2）

定理2（叠加原理）如果x1(t),x2(t),?,xk(t)是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合

c1x1(t)?c2x2(t)???ckxk(t)也是（4.2）的解，这里c1,c2,?,ck是

任意常数。

特别地，当k?n时，即方程（4.2）有解

x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t) （4.4）

它含有n个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与

线性无关及伏朗斯基(wronsky)行列式等概念。

设x1(t),x2(t),?,xk(t)是定义在区间a?t?b上的函数，如果存在不全

为零的常数c1,c2,?,ck，使得恒等式

c1x1(t)?cx2

2

t(?)??ckxkt(?) 0

对于所有t??a,b?都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些

函数在所给区间上线性无关,即当且仅当c1?c2???ck?0时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。由此定义不难推出

如下的两个结论：

1)在函数组y1,y2,?yn中如果有一个函数为零，则y1,y2,?yn在(a,b)上线性相关. 2)如果两个函数y1,y2之比

(a,b)上不恒等于常数.

y1y2

在(a,b)有定义，则它们在(a,b)上线性无关等价于比式

y1y2

在

例1函数组y1?e,y?e解比式

y1y2

x?x

在任意区间上都是线性无关的.

=

ee

x

?x

?e

2x

不恒等于常数在任意区间上成立：

例2函数组y1?sin

2

x,y2?cos

2

x,y3?1在区间(??,??)上线性相关.

2

解若取c1?1,c2?1,c3??1则1?sin性相关.

x?1?cos

2

x?(?1)1?0故已知函数组在(??,??)上线

设函数x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间a?t?b上均有k?1阶导数,行列式 x1(t)

x2(t)x2(t)?

(t)

x2

(k?1)

???

xk(t)xk(t)?xk

(k?1)

w?x1(t),x2(t),?,xk(t)??w(t)?

x1(t)?x1

(k?1)

(t)?(t)

称为这些函数的伏朗斯基行列式。