最新概率论期末复习知识点

知识点

第一章随机事件与概率

本章重点：随机事件的概率计算. 1. **事件的关系及运算

⑴ A B （或 B 二 A ）.

n

J A ⑵和事件：A_.

B ； A - A 2 一.||（ 一 A （简记为M ）.

n

⑶积事件：AB , A/A 2川A n （简记为A

阳IIA n 或0A

）. ⑷ 互不相容：若事件A 和B 不能同时发生，即 AB = （5） 对立事件：A .

（6） 差事件：若事件A 发生且事件B 不发生，记作 A-B （或AB ）.

⑺ 德 摩根（De Morgan ）法则：对任意事件 A 和B 有

AuB=A=B ACB = A^B

5

2 . **古典概率的定义 古典概型：

A 中所含样本点的个数

P （A ）

=「中所含样本点的个数

几何概率

A 的长度（或面积、体积）

P （A ）:

样本空间的的长度（或面积、体积）

n A

n

3. **概率的性质

⑴ P （）".

⑵（有限可加性）设n 个事件宀街川人两两互不相容，则有

n

P （A 一 A ?— |||一 代）八 P （A ）

i 4

⑶ P(A) =1-P(A).

⑷若事件A , B 满足A B ，则有

P(B _A)二 P(B) _ P(A)

P(A)乞 P(B).

(5) P

(A )「.

(6) (加法公式)对于任意两个事件 A , B ,有

P(A B)二 P(A) P(B) - P(AB)

对于任意n 个事件AA " I, A n ，有

4. **条件概率与乘法公式

乘法公式:

P(AB) =P(A)P(B | A) =P(B)P(A| B)

5. *随机事件的相互独立性 事件A 与B 相互独立的充分必要条件一:

P( n

U A i 1

n

j 八 P(AJ - ' P(AA j ) P(AA j AJ-|l| (-l)n 」P(AHIA n )

P(A|B)=

P(AB) P(B)

P(AB)二 P(A)P(B)

事件A 与B 相互独立的充分必要条件二：

P(A| B) =P(A)

对于任意n 个事件

A ,A 2,川

，

A n 相互独立性定义如下：对任意一个 k =2」||,n ，任意的

1

_ h ：：： 1：：： i k _ n ，若事件AA,川人总满足

P(^JI|AJ=P(^1^|P(A i k )

则称事件A'AdH’A n 相互独立.这里实际上包含了

2n -n-1个等式.

6. *贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件A 发生的概率 P(A)

二P (° "

p ：:: 1)

，则在n 次重复独立试

验中.，事件A 恰发生k 次的概率为

R(k)=

p k (1—p)n ^,k = 0,1|||,n

K 丿

,

7. **全概率公式与贝叶斯公式 贝叶斯公式：

P(AJP(B|A k )

P(A k |BH- k k ,k=1,2」ll, n

乞 P(A)P(B|A) i 珀

第二章一维随机变量及其分布

本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算

概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布. 精品文档

如果事件A ,

A 2,

"‘A n 两两互不相容，且

P(A)>0 , i=1,2川，n ，则

1. **离散型随机变量及其分布律

P i = P(X = a i), i = 1,2,|, n,|11. 分布律也可用下列表格形式表示:

2.*概率函数的性质

⑴P i 工0 , i =1,2川|, n」||;

oO

' P i =1

(2) i^ .

3.*常用离散型随机变量的分布

(1)0 —1分布B (1,P)

，它的概率函数为

P(X二i)二dcp)：

其中，i =°或1, 0 p :: 1.

(2)二项分布B(n

,p)，它的概率函数为

；n"

i n

P(X=i)= . p'(1—p)n

U丿

其中i=0,1,2川I, n 0cpv1

(4 )** 泊松分布P(')，它的概率函数为

i

P（X =i） e-'

i!

其中i

二

0,1,2

川i,n,Hl o

• 4. *二维离散型随机变量及联合概率

二维离散型随机变量（X,

丫）的分布可用下列联合概率函数来表示：P（X 二知丫二b j）二p j , i,j =1,2,川，

P j -0, i, j =1,2川I,；二P j =1 其中i j

5.*二维离散型随机变量的边缘概率

设（X

,Y）为二维离散型随机变量，P ij为其联合概率（i,j"2川），称概率

P（X二a i）（i ",2,IH）为随机变量X的边缘分布律，记为P iL并有

p. = P（X=a i）=》p j,i=1,2, |||

j

称概率

P（Y =b j）（ j =1,2,川）为随机变量Y的边缘分布率，记为p.j，并有

p P（Y=b j）=22 P ij, j =1,2,111

P.j

= i

6.随机变量的相互独立性

设（X,Y）为二维离散型随机变量，X与丫相互独立的充分必要条件为

P j =P i L P」，对一切i, j =1,2,|l|.

多维随机变量的相互独立性可类似定义•即多维离散型随机变量的独立性有与二维相

应的结论.

7.*随机变量函数的分布

设X是一个随机变量，g（x）是一个已知函数，丫二g（

X）是随机变量X的函数，它