16专题十六 图形分割

专题十六图形分割

1.（2007丰台二模20）按要求解答下列问题：

（1）图1是一块直角三角形纸片，将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A与点C重合，DE为折痕，试证明△CBE为等腰三角形；

（2）再将图1中的△CBE沿对称轴EF折叠（如图2）。通过折叠，原三角形恰好折成两个完全重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝隙无重叠）所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”，你能将图3中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图3中画出折痕；

（3）请你在图4的方格纸中画出一个斜三角形，使它同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点（各小正方形顶点）上。（画出一个即可）。

2.（2008海淀二模25）根据所给的图形解答下列问题：

(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，

并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图①中完成这个作图题；

(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，请你设计一种与(1)不同的方法，将这

个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；

第25题图①第25题图②

(3)设计一种方法，把图③中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，

请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形的面积等于矩形ABCD的面积的结论成立．

第25题图③

3.（2008石景山二模22）现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一

次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分

（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）.除图甲外，请你再给出三种不同的操作，

分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形和另一个操作得到的四

个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和

图甲是相同的操作）.

图甲 图乙

B

图① 图② 图③

4. （2009海淀二模22）已知△ABC ，∠ABC ＝∠ACB ＝63°．如图①所示，取三边中点，

可以把△ABC 分割成四个等腰三角形．请你在图②中，

用另外四种不同的方法把△ABC

分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角．．

的度数(如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法)．

第22题图

5. （2009石景山二模22）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．

(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；

(2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3、4、5；

(3)在图③中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、5、13．

第22题图

6.（2009西城二模22）以下两图是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF，要求把它们分别

分割成三个三角形，使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且△ABC中分得的三个小三角形和△DEF中分得的三个小三角形分别相似．请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形中两个角的度数．

第22题图

）剪成①②③④四块图形，7.（2010崇文二模22）如图，将矩形沿图中虚线（其中x y

用这四块图形恰能拼成一个

．．．．．．正方形．

（1）画出拼成的正方形的简图；

A B C D E

O A B C

D A B C

D （2）x y

的值等于 . 8.（2010东城二模22）请阅读下面材料，完成下列问题：

（1）如图1，在⊙O 中，AB 是直径，CD AB ⊥于点E ，AE a =，EB b =．计算CE 的长

度（用a 、b 的代数式表示）；

（2）如图2，请你在边长分别为a 、b （a b >）的矩形ABCD 的边AD 上找一点M ，

使得线段CM =，保留作图痕迹；

（3）请你利用（2）的结论，在图3中对矩形ABCD 进行拆分并拼接为一个与其面积相等

的正方形.要求：画出拼成的正方形，并用相同的数字表明拼接前与拼接后的同一图

形.

（第22题图1） （第22题图2） （第22题图3）

9.（2010房山二模22）在我们学过的四边形中，有些图形具有如下特征：四边形ABCD 中，AB DC =，且ACB DBC ∠=∠． 请借助网格画出四边形ABCD 所有可能的形状

.

10.（2010密云二模22）阅读下列材料：

在学习小组，小明接到这样一个任务：把一个正方形分割成9个、10个和11个小正方

形．为完成任务，小明先学习了两种简单的“基本分割法”．

基本分割法1：如图①，把一个正方形分割成4个小正方形，即在原来1个正方形的基

础上增加了3个正方形．

基本分割法2：如图②，把一个正方形分割成6个小正方形，即在原来1个正方形的基

础上增加了5个正方形．

学习了上述两种“基本分割法”后，小明很从容的就完成了分割的任务：

（1）把一个正方形分割成9个小正方形．

方法一：如图③，把图①中的任意1个小正方形按“基本分割法2”进行分割，就可

增加5个小正方形，从而分割成459+=（个）小正方形．

方法二：如图④，把图②中的任意1个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可

增加3个小正方形，从而分割成639+=（个）小正方形．

（2）把一个正方形分割成10个小正方形．

如图⑤，把图①中的任意2个小正方形按“基本分割法1”进行分割，就可增加32

?个小正方形，从而分割成43210+?=（个）小正方形．

请你参照上述分割方法解决下列问题（只要求画图，不用说明分割方法）：

（1）请你替小明同学把图⑥给出的正方形分割成11个小正方形；

（2）仿照基本分割法1：请把图a 中的正三角形分割成4个小正三角形；

（3）仿照基本分割法2：请把图b 中的正三角形分割成6个小正三角形；

（4）分别把图c 和图d 中的正三角形分割成9个和10个小正三角形．

11.（2010石景山二模22）已知：如图，在正三角形网格中，每个小正三角形的面积是1，

请你在图2中画出一个三角形，使三角形的面积是图1中阴影部分面积的一半．

图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 图⑥

图a

图b

图c

图d

12.（2010西城二模22）如图，在△ABC 中，∠B =∠C =30°.请你设计两种不同的分法，将

△ABC 分割成四个小三角形，使得其中两个是全等．．三角形，而另外两个是相似．．但不全．．

等．

的直角三角形．请画出分割线段，并在两个全等三角形中标出一对相等的内角的度数（画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法）．

13.（2011门头沟二模22）如图1，有一张菱形纸片ABCD ，AC ＝8，BD ＝6．

（1）若沿着AC 剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，请在

图2中

用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接写出这个平行四边形的面积；

（2）若沿着BD 剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四边形，请在

图3中

用实线画出你所拼成的平行四边形，并直接写出这个平行四边形的周长；

（3）沿着一条直线剪开，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成与上述两种都不全等

的平行四边形，请在图4中用实线画出你所拼成的平行四边形．

（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）

周长为

D C B A 图3D C B A 图4图2A B C D 面积为

14.（2011平谷二模22）在长方形中画出5条线，把它分成的块数与画线的方式有直接关系.按如图1的方式画线，可以把它分成10块.

(1)请你在图2中画出5条线，使得把这个长方形分成的块数最少（重合的线只看做一条），最少可分成块；

（2）请你在图2中画出5条线，使得把这个长方形分成的块数最多，最多可分成块.

(画出图形不写画法和理由)

15.（2011西城二模22）如图1，若将△AOB绕点O逆时针旋转180°得到△COD，则△AOB

≌△COD．此时，我们称△AOB与△COD为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC是锐角三角形且AC＞AB，E为AC的中点，F为BC上一点且BF≠FC（F不与B，C重合），沿EF将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．

请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形．

（1）在图3中将△ABC沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；

（2）在图4中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中

的两块为直角三角形；

（3）在图5中将△ABC沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为钝角三角形．

16.（2007东城一模21）动手做一做：某校教具制作车间有等腰直角三角形、正方形、平行四边形的塑料板若干块，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：

（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；

（2）图3中，已画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；

（3）在图4中，画线找出7块塑料板位置，并填上标号。