机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析
二自由度机械臂实验报告
二自由度机械臂实验报告实验报告课程名称: 机电系统建模与控制实验项目名称: 二自由度机械臂实验****: **组别：第6组成员：刘仕杰.胡据林.王昊阳.于骁实验日期：2019年12月9日一、实验简介二自由度（DOF）串联柔性（2DSFJ）机械臂包括两个用于驱动谐波齿轮箱（零回转间隙）的直流电机及一个双杆串联机构（）。
两个连接都是刚性的。
主连接通过一个柔性关节耦合到第一个驱动器上，在其端部载有第二个谐波驱动器，该驱动器通过另一个柔性关节与第二个刚性连接耦合。
两个电机及两个柔性关节都装有正交光学编码器。
每一个柔性关节配有两个可更换的弹簧。
使用一个翼形螺钉零件，就可沿着支撑杆，将每根弹簧端移到所希望的不同定位点。
该系统可视为多种手臂式机器人机构的高度近似，是典型的多输入多输入（MIMO）系统。
二、实验内容1. 系统开环时域动态特性和频域特性分析；2. 应用极点配置方法设计控制器，进行时域动态响应特性和频域特性分析（超调量、上升时间、震荡次数等，根据极点分布决定），改变极点分布位置，完成至少 2 组不同闭环参数性能对比；3. 应用 LQR 方法设计反馈控制律，进行时域动态响应特性和频域特性分析（超调量、上升时间、震荡次数等，根据极点分布决定），改变 Q 和 R 的值，完成至少 2 组不同闭环参数性能对比；4. 设计全阶状态观测器，完成物理 PSF 与状态观测（至少两组观测器极点位置）综合作用下的系统性能控制。
三、实验设备1.设备构造与线路图（1）直流电机#1第一台直流电机为一台可在最高27V 下工作的Maxon273759 精密刷电机（90 瓦）。
该电机可提供 3A 的峰值电流，最大连续电流为 1.2A。
注意：施用在电机上的高频信号会对电机刷造成最终损坏。
产生高频噪音的最可能来源是微分反馈。
如果微分增益过高，噪音电压会被输入到电机里。
为保护您的电机，请将您的信号频带限制控制在 50Hz以内。
（2）谐波传动器#1谐波驱动器#1 使用谐波传动器LLC 生产的CS-14-100-1U-CC-SP 谐波减速箱。
用平面二连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程
一、平面二连杆机器人手臂运动学平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l 。
建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 为连体坐标系，分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。
关节角顺时针为负逆时针为正。
图1平面双连杆机器人示意图 1、用简单的平面几何关系建立运动学方程连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置坐标：)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （1）2、用D-H 方法建立运动学方程假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向里。
从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 00sin cos 111101θθθθT （2） 从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1000010000cos sin 0sin cos 2212212θθθθl T （3） 从),,(000z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⋅=10000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(1000010000cos sin 0sin cos 1000010000cos sin 00sin cos 112121112121221221111120102θθθθθθθθθθθθθθθθθθl l l T T T （4）那么，连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置矢量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⋅=110)sin(sin )cos(cos 10010000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(212112121121121211121212020p p p z y x l l l l l l l P T P θθθθθθθθθθθθθθθθ （5）即，)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （6）与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。
二自由度机器臂机械部分报告
目录一、实习目的、任务及要求 (1)(一)、目的 (1)（二）、任务及要求 (1)二、实习设备 (1)三、实习内容 (1)（一）、二自由度机械臂结构 (1)（二）、机械传动部分的结构分析 (2)(三)、机器人运动学分析 (4)（四）、谐波减速器的结构原理 (9)（五）、电磁铁工作原理 (11)（六）、机械臂实验系统其他部分介绍 (11)1、运动控制卡 (11)2、伺服驱动器 (11)3、增量式光电编码器 (11)4、交流伺服电机 (12)5、光电开关传感器 (13)（七）、二自由度机械臂设备的控制 (13)（八）机械臂绘图误差分析 (14)四、实习总结 (15)参考文献 (16)两自由度机械臂控制系统实习（机械部分）一、实习目的、任务及要求(一)、目的（1）、学习机电控制技术，了解机电一体化设备的基本结构，控制方式和工业机器人的基本控制原理。
（2）、学习研究系统基础硬件构成。
了解各部件名称、功能、选型依据和使用方法。
了解网络系统配置及操作特点。
（3）、学习研究系统基础软件，了解控制软件平台，了解示教再现控制方式及其演示软件。
学习对机器人控制中两种坐标空间运动模式的操作设计。
（4）、通过机械臂的操作使用，了解部分控制器件的功能、使用方法和基本控制原理。
了解机械臂素描绘图控制的图像处理技术。
（5）、通过编程训练，学习工业机器人控制绘图语言的基本编程方法，了解机械臂绘图的基本算法。
（6）、通过对儿自由度机械臂机械部分的重点研究，了解机械臂的动力传递和结构特点。
（二）、任务及要求（1）、测定机械臂结构，描述机械传动部分的结构形式、运动模式及减速器的结构原理。
绘出机构运动示意图。
（2）、了解机械臂控制系统电器控制部分的主要器件,绘制控制系统框图.标注各部件的主要功能、型号及参数。
（3）、学习使用鼠标、手写板和摄像头控制机械臂绘制图案文字和素描肖像。
（4）、学习编写控制程序。
设计绘图程序，控制机械臂绘出实际图形。
(完整版)用平面二连杆机器人为例贯穿运动学、雅可比、动力学、轨迹规划甚至控制与编程
一、平面二连杆机器人手臂运动学平面二连杆机械手臂如图1所示，连杆1长度1l ，连杆2长度2l 。
建立如图1所示的坐标系，其中，),(00y x 为基础坐标系，固定在基座上，),(11y x 、),(22y x 为连体坐标系，分别固结在连杆1和连杆2上并随它们一起运动。
关节角顺时针为负逆时针为正。
图1平面双连杆机器人示意图 1、用简单的平面几何关系建立运动学方程连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置坐标：)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （1）2、用D-H 方法建立运动学方程假定0z 、1z 、2z 垂直于纸面向里。
从),,(000z y x 到),,(111z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 00sin cos 111101θθθθT （2） 从),,(111z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=100010000cos sin 0sin cos 2212212θθθθl T （3） 从),,(000z y x 到),,(222z y x 的齐次旋转变换矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⋅=10000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(1000010000cos sin 0sin cos 1000010000cos sin 00sin cos 112121112121221221111120102θθθθθθθθθθθθθθθθθθl l l T T T （4）那么，连杆2末段与中线交点处一点P 在基础坐标系中的位置矢量为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=⋅=110)sin(sin )cos(cos 10010000100sin 0)cos()sin(cos 0)sin()cos(212112121121121211121212020p p p z y x l l l l l l l P T P θθθθθθθθθθθθθθθθ （5）即，)sin(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθ++=++=l l y l l x p p （6）与用简单的平面几何关系建立运动学方程（1）相同。
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII平面二自由度机械臂动力学分析[摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
[关键字] 平面二自由度机械臂动力学拉格朗日方程一、介绍机器人是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
机器人动力学问题有两类：(1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：(1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。
(2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时，F r为力矩。
(3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
(4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
1、分别求出两杆的动能和势能设θ1、θ2 是广义坐标，Q1、Q2是广义力。
两个杆的动能和势能分别为：式中，是杆1质心C1（,）的速度向量，是杆2质心C1（,）的速度向量。
基于平面几何的机械手臂动力学分析
基于平面几何的机械手臂动力学分析机械手臂是一种能够对物体进行精确操控的机械装置。
它结合了力学、电机、计算机控制等多种技术，具有广泛的应用前景。
本文将基于平面几何，对机械手臂的动力学进行分析，并探讨其工作原理及应用。
一、机械手臂的工作原理机械手臂的工作原理类似于人的手臂，由基座、关节、连杆和执行器等部分组成。
其中，关节是连接连杆的部件，允许其在空间中运动。
执行器则是用于接触物体、抓取或释放物体的组件。
机械手臂的运动轨迹可以通过控制关节的角度来实现。
在机械手臂的运动中，关节的角度变化会引起连杆的运动，从而改变机械臂的位置和姿态。
根据运动学原理，机械手臂的位置和姿态可以用坐标系来表示。
其中，位置用三维坐标系，姿态用欧拉角或四元数表示。
这种表示方式可以大大简化机械手臂的运动控制，提高其精准度和稳定性。
二、机械手臂的动力学分析机械手臂的动力学分析是指研究机械臂运动过程中的力学特性，包括运动学、动力学和控制等方面。
其中，运动学主要研究机械臂的运动轨迹和速度、加速度等动态特性。
动力学则是研究机械臂运动过程中的力、力矩和惯性等物理量，以及它们之间的相互作用。
控制方面则是通过电机和控制器等设备，对机械臂的运动进行精确控制。
在机械手臂的运动过程中，会涉及到许多力学问题。
例如，机械臂的重心变化会影响其稳定性；机械臂在变速运动中，惯性力会影响加速度和力矩的计算；机械手臂在接触物体时，需要考虑摩擦力和接触压力等问题。
这些问题都需要通过数学模型进行建模，从而实现对机械臂的控制和优化。
三、机械手臂的应用机械手臂广泛应用于制造业、军事、医疗等领域。
例如，制造业中的自动化生产线、工业机器人等，都需要机械手臂的操控和控制；军事领域则需要机械手臂进行侦查、拆弹、物资运输等任务；医疗领域则将机械手臂用于手术、治疗等方面。
其中，工业机器人是机械手臂应用最为广泛的领域之一。
工业机器人主要用于自动化生产线上的物料搬运、零件加工、装配等工艺。
两自由度机械手动力学问题
两自由度机械手动力学问题1题目图示为两杆机械手，由上臂AB、下臂BC和手部C组成。
在A处和B处安装有伺服电动机，分别产生控制力矩M1和M2。
M1带动整个机械手运动，M2带动下臂相对上臂转动。
假设此两杆机械手只能在铅垂平面运动，两臂长为l1和l2，自重忽略不计，B处的伺服电动机及减速装置的质量为m1，手部C握持重物质量为m2，试建立此两自由度机械手的动力学方程。
图1图22数值法求解2.1拉格朗日方程此两杆机械手可以简化为一个双摆系统，改双摆系统在B 、C 出具有质量m 1,m 2,在A 、B 处有控制力矩M 1和M 2作用。
考虑到控制力矩M 2的作用与杆2相对杆1的相对转角θ2有关，故取广义力矩坐标为2211,θθ==q q系统的动能为二质点m 1、m 2的动能之和，即由图2所示的速度矢量关系图可知以A 处为零势能位置，则系统的势能为由拉格朗日函数，动势为：广义力2211,M Q M Q ==求出拉格朗日方程中的偏导数，即代入拉格朗日方程式,整理得:2.2 给定条件 （1）角位移运动规律()231*52335.0*1163.0t t t +-=θ，()232*52335.0*1163.0t t t +-=θ21θθ和都是从0到90°，角位移曲线为三次函数曲线。
（2）质量m 1=4㎏ m 2=5kg （3）杆长l 1=0.5m l 2=0.4m2.3 MATLAB 程序t=0:0.1:3;theta1=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; w1=-0.3489*t.^2+1.0467*t; a1=-0.6978*t+1.0467;theta2=-0.1163*t.^3+0.52335*t.^2; w2=-0.3489*t.^2+1.0467*t; a2=-0.6978*t+1.0467;m1=4; m2=5;l1=0.5; l2=0.4; g=9.8;D11=(m1+m2)*l1.^2+m2*l2.^2+2*m2*l1*l2*cos(theta2); D22=m2*l2.^2;D12=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D21=m2*l2.^2+m2*l1*l2*cos(theta2); D111=0;D122=-m2*l1*l2*sin(theta2); D222=0;D211=m2*l1*l2*sin(theta2); D112=-m2*l1*l2*sin(theta2); D121=-m2*l1*l2*sin(theta2); D212=0; D221=0;D1=(m1+m2)*g*l1*sin(theta1)+m2*g*l2*sin(theta1+theta2); D2=m2*g*l2*sin(theta1+theta2);M1=D11.*a1+D12.*a2+D111.*w1.^2+D122.*w2.^2+D112.*w1.*w2+D121.*w2.*w1+D1; M2=D21.*a2+D22.*a2+D211.*w1.^2+D222.*w2.^2+D212.*w1.*w2+D221.*w2.*w1+D2; T1=polyfit(t,M1,3) T2=polyfit(t,M2,3)subplot(2,1,1),plot(t,M1),grid on,xlabel('时间（s ）'),ylabel('控制力矩（N ·m ）'),title('motion1') subplot(2,1,2),plot(t,M2),grid on,xlabel('时间（s ）'),ylabel('控制力矩（N ·m ）'),title('motion2')2.4 数值计算结果()6167.1*7993.31*7329.3*5685.3t 231+++-=t t t M ()5449.1*9801.25*9481.8*0679.0t 232-+--=t t t M图3 M 1变化规律图图4 M2变化规律图3 ADAMS仿真3.1模型建立图5 模型图3.2 施加运动在两个关节处分别施加位移函数图6 关节运动施加图位移函数为：step(time,0,0,3,pi/2)运动规律如下图所示：图7 关节处运动规律图3.3 运动仿真设置仿真时间为3s,步数为300步，仿真结果如下图所示：图8 关节1处控制力矩仿真结果图图9 关节2处控制力矩仿真结果图4 结果对比图10 控制力矩M1结果对比图图11控制力矩M2结果对比图从函数规律上看，两种求解方法得出的结果几乎一样；从数值上看：t 0 0.5 1.0 1.5 2 2.5 3.0 数值计算M1 7.1699 14.3348 33.4367 49.4650 51.6557 44.8470 40.0971 仿真求解M1 7.4526 14.5646 33.5798 49.5093 51.5775 44.6398 39.8039表2 控制力矩M2数值结果对比由上两表可以看出：数值计算结果与仿真求解结果相差很小，误差围为0.437%-0.731%，出现这种结果的原因可能是因为两种方法计算的精度不同，或者是算法存在差异。
机械手臂运动学分析及运动轨迹规划
机械手臂运动学分析及运动轨迹规划机械手臂是一种能够模仿人手臂运动的工业机器人，正因为它的出现，可以将传统的人工操作转变为高效自动化生产，大大提高了生产效率和质量。
而机械手臂的运动学分析和运动轨迹规划则是实现机械手臂完美运动的关键。
一、机械手臂运动学分析机械手臂的运动学分析需要从几何学和向量代数角度出发，推导出机械手臂的位姿、速度和加速度等运动参数。
其中，机械臂的位姿参数包括位置和姿态，位置参数表示机械臂末端在空间中的坐标，姿态表示机械臂在空间中的方向。
对于机械臂的位姿参数，一般采用欧拉角、四元数或旋转矩阵的形式描述。
其中，欧拉角是一种常用的描述方法，它将机械臂的姿态分解为绕三个坐标轴的旋转角度。
然而，欧拉角的局限性在于其存在万向锁问题和奇异性等问题，因此在实际应用中，四元数和旋转矩阵往往更为常用。
对于机械臂的运动速度和加速度，可以通过运动学方程求出。
运动学方程描述了机械臂末端的速度和加速度与机械臂各关节角度和速度之间的关系，一般采用梯度方程或逆动力学方程求解。
二、机械手臂运动轨迹规划机械手臂的运动轨迹规划是指通过预设规划点确定机械臂的运动轨迹，以实现机械臂的自动化运动。
运动轨迹的规划需要结合机械臂的运动学特性和运动控制策略，选择合适的路径规划算法和控制策略。
在机械臂运动轨迹规划中，最重要的是选择合适的路径规划算法。
常见的路径规划算法有直线插补、圆弧插补、样条插值等。
其中，直线插补最简单、最直接，但是在复杂曲线的拟合上存在一定的不足。
圆弧插补适用于弧形、曲线路径的规划，加工精度高，但需要计算机械臂末端的方向变化，计算复杂。
样条插值虽能够精确拟合曲线轨迹，但计算速度较慢，适用于对路径要求较高的任务。
除了选择合适的路径规划算法，机械臂运动轨迹规划中还需要采用合适的控制策略。
常用的控制策略包括开环控制和闭环控制。
开环控制适用于简单的单点运动，对于复杂的轨迹运动不太适用；而闭环控制可以根据机械臂末端位置的反馈信息及时调整控制器输出，适用于复杂轨迹运动。
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机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分
析
-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
平面二自由度机械臂动力学分析
[摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
[关键字] 平面二自由度机械臂动力学拉格朗日方程
一、介绍
机器人是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
机器人动力学问题有两类：
(1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程
机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：
(1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。
(2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时，
F r为力矩。
(3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
(4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
1、分别求出两杆的动能和势能
设θ1、θ2 是广义坐标，Q1、Q2是广义力。
两个杆的动能和势能分别为：
式中，是杆1质心C1（,）的速度向量，是杆2质心C1（,）的速度向量。
它们可以根据质心C1、C2的位置方程导出
2、分别求出两杆的速度、
3、代入拉格朗日方程求得机械臂动力学方程
根据具有完整理想约束的有N个广义坐标系统的拉格朗日方程
式中q r——第r个广义坐标；E——系统动能；U——系统势能；Q r——对第r个广义坐标的广义力。
该问题的为二自由度的动力学研究，则n=2，且由于势能函数U与广义速度无关，即
由（1-5）式可写成：
在这个研究中拉格朗日算子为：
代入式（1-6）导出相应的式子，最后整理成
式中
式(1-7)就是操作臂在关节空间的动力学方程的一般结构形式，它反映了关节力矩与关节变量、速度、加速度之间的函数关系。
对于n个关节的操作臂，M(θ)是n×n的正定对称
矩阵，是θ的函数，称为操作臂的惯性矩阵；是n×1的离心力和科氏力矢量；g(θ)是n×1的重力矢量，与操作臂的形位θ有关。
4、操作空间动力学方程
与关节空间动力学方程相对应，在笛卡儿操作空间中可以用直角坐标变量即末端操作
器位姿的矢量X表示机器人动力学方程。
因此，操作力F与末端加速度之间的关系可表示为
式中：分别为操作空间惯性矩阵、离心力和科氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的；F是广义操作力矢量。
关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力F与广义关节力Q r之间的关系
和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系式(1-10)求出。