高考数学玩转压轴题专题3_6定值计算并不难,构建函数再消元1

专题3.6 定值计算并不难，构建函数再消元

【题型综述】

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值．

【典例指引】

例1．已知圆2

2

:4O x y +=与坐标轴交于1212A A B B 、、、（如图）．

（1）点Q 是圆O 上除12A A 、外的任意点（如图1），12A Q A Q 、与直线30y +=交于不同的两点,M N ，求MN 的最小值；

（2）点P 是圆O 上除1212A A B B 、、、外的任意点（如图2），直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为,k EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．

【思路引导】

（1）设出2A Q ， 1A Q 的直线方程，联立直线30y +=，分别得出M,N 的坐标，表示出

3

34MN k k

=+

-，求其最值即可；（2）分别写出E,F 的坐标，写出斜率m ，即可证明2m k -为定值．

（2）由题意可知()()()()12122,0,2,0,0,2,0,2A A B B --，

2A P 的斜率为,k ∴直线2A P 的方程为()2y k x =-，由()222{

4

y k x x y =-+=，得

222224,11k k P k k ??-- ?++??

， 则直线2B P 的方程为1

21k y x k +=-+-，令0y =，则()211k x k -=

+，即()21,01k F k ??- ?+??

， 直线

12A B 的方程为20x y -+=，由()

20{

2x y y k x -+==-，解得

22

2241

{ , ,4111k x k k k E k k k y k +=

+??-∴ ?--??=

-，

EF ∴的斜率()4111,22121222211

k

k k k m m k k k k k k ++-=

=∴-=?-=-+-

-+（定值）． 例2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>6

，以原点O 为圆心，椭圆C 的长

半轴长为半径的圆与直线2260x y +=相切．

⑴求椭圆C 的标准方程；

⑵已知点A 、B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ?为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【思路引导】 （Ⅰ）由e=

6

3

，以原点

O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线2260x y -+=相切，求出a ，b ，由此能求出椭圆的方程．

（Ⅱ）由()

22

1

{ 62

2x y y k x +==-，得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使EA EB ?为定值，定点为（7

03

，）

．

（Ⅱ）由，得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x+12k 2

﹣6=0，（6分）

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴，，

根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得为定值，

则有=（x 1﹣m ，y 1）?（x 2﹣m ，y 2）=（x 1﹣m ）?（x 2﹣m ）+y 1y 2 =

=（k 2+1）

=（k 2+1）?﹣（2k 2+m ）?+（4k 2+m 2）

=，

要使上式为定值，即与k 无关，则应有3m 2

﹣12m+10=3（m 2

﹣6）， 即m=，此时

=

为定值，定点为（

0,3

7

）． 点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．

例3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为1

2

，

直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．

（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 与圆221

:25

O x y +=

相切，探究MON ∠是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】（1）2

2

9161x y +=（2）2

MON π

∠=

【思路引导】

（1）由已知得2

1

2232

a b =

＝，， 由此能求出椭圆C 的方程． （2）当直线MN x ⊥ 轴时， 2

MON π

∠＝

．当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线

MN y kx b =+：，

直线MN 与与圆221

25

O x y +：＝ 的交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由直线MN 与圆O 相切，得22251b k =+ ，联立2

2

{? 9161

y kx b

x y ++＝＝ ，得

（222916321610k x kbx b +++-=） ，由此能证明2

MON π

∠＝

为定值．

联立22

{

9161

y kx m x y =++=得()

222

916321610k x kmx m +++-= ()(

)(

)

2

2

2

122

323249161610,916km

km k

m x x k

?=-+->+=-+，2122161916m x x k -=+， ()()2

2

121212121OM ON x x y y k x x km x x m ∴?=+=++++=

222

251

0916m k k --=+ 2

MON π

∴∠=

综上， 2

MON π

∠=

（定值）

【点评】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等．解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 例4．已知是圆

上任意一点，点的坐标为

，直线

分别与

线

段

交

于

两

点，

且

．

（1）求点

的轨迹

的方程；

（2）直线与轨迹相交于两点，设

为坐标原点，4

3-

=?OB OA k k ，判断

的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

【答案】（1）22

143

x y +=；（2）3（定值） 【思路引导】

（1）化简向量关系式可得20NM F P ?=，所以MN 是线段2F P 的垂直平分线，所以2MF MP =，转化为椭圆定义2114MF MF F P +==，求出椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系求出AB ，再由点到直线的距离公式求三角形高，写出三角形面积化简即可证明为定值．

【扩展链接】

2015全国新课标II 理20题深度分析 已知椭圆()2

2

2

:90C x y m

m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个

交点,A B ，线段AB 的中点为M ．

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （2）若l 过点,3m m ??

???

，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 高考试题落实运算求解能力考查的方式：

1．考查分析运算条件：平行四边形的判定定理选择，为何不选有关平行与长度的定理来判定平行四边形，而要选择对角线相互平分来判定平行四边形，这种处理方式的优点在于弦中点的运算量更小（需要平时训练有这种认识）

2．考查遇障碍而调整：若第1小问使用点差法，如何求中点坐标，需有目标分析及方程思想来指导，利用中点在直线上这个条件列出另一个方程．

3．考查确定运算程序：相交求P 坐标，中点关系构建斜率方程这种程序；中点关系求P 坐标，点P 在椭圆上构建斜率方程这种程序如何选择？实际上运算难度大体相当． 4．考查据算理正确的变形与运算：无论选择何种运算程序都具有过硬的运算技能，需要发现特殊代数结构的能力，在运算中要有求简的意识．运算求解过程中，大体会涉及到以下代数式运算与化简：（1）中点()00,M x y 坐标：①韦达定理：()2

229x kx b m ++=或②解方

程组2

000093x ky m

m

y m k x ?+=?

??

?-=- ?

????

；（2）点P 坐标：解方程组22990x y m x ky 2?+=?+=?；（3）解斜率方程：①()()22233939km k k k -=++；或②()()()2

22

2223639939k k m k m m k k ??--????+=??++???

???，特别是如何正确解出第2个方程；特别要注意到相约2

m ，2

9k +，9及公因式()2

43k -，然后约因式

29k +才会得到二次方程：2890k k -+=

4．解法的几何变换化 简

析

：

设

3,x x y y

''==，则椭圆

222

9x y m +=变为圆：

()()()()

22211112222,,,;,,x y m A x y A x y B x y B x y ''''''''+=→→，

1212121212121,333

AB

A B AB y y y y y y k k k x x x x x x ''''---====--''-，同理可得：1

3OM OM k k '=，在圆中易知

1A B OM k k '''=-，则可得：9AB OM k k =-，在圆中易知OA P B '''为菱形，且3

A OP π

''∠=

，

则易得：4A B AB k k ''== 5．问题一般化

设直线():0l y kx m k m =+≠与椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>相交于点,A B ，且线段AB

的中点为M ，直线OM 与椭圆交于点P ，若四边形OAPB 为平行四边形，则参数,,,a b k m 满足2

2

2

2

4m b a k =+， 易

知

中

点

()

00M x y 满足

2002202

2222

2222222

000222022,a km

x ky x a km b m b a k P a b b a k b a k b m

y kx m y b a k ??=-??+=????+??-?? ?++????=+=??+??

，点P 在椭圆22

221x y a b +=上

，

则

()()

()()

222

22

2

2

2

2

2

2

2

222222

2

2

222

2244144a k m b m m a k b

b

a k

m b a k b

a k

b

a k

+

=?+=+?=+++，这

就是说，这种形式的平行四边形法则对任何椭圆均存在 附命题人的分析及参考答案：

【解题思路】（1）思路 1 将l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得M 点的坐标

(),M M x y ，计算可得M

M

y

k x =常数（其中k 为直线l 的斜率），完成证明．

思路 2 将点,A B 的坐标分别代入椭圆方程，两式相减，可得到,,M M x y k 的关系式

90M M x y k +=，通过适当变形，即可完成证明．

（2）思路1 利用直线l 过点,3m m ??

???

，将参数b 用k 表示，然后将直线l 的方程代入椭圆方程中，得到M 点的横坐标M x ，根据第（1）问的结论，可设直线OM 的方程为9

y x k

=-

，将它代入椭圆方程，得到P 点的横坐标P x ，因为“四边形OAPB 为平行四边形”的充分必

要条件是“线段AB 与线段OP 互相平分”，因此有2P M x x =，由此得到关于k 的方程．若此方程有解，则四边形OAPB 可以为平行四边形，且此时方程的解k 即为使得四边形OAPB 为平行四边形时l 的斜率；若此方程无解，则说明四边形OAPB 不能构成平行四边形．

思路2 由点P 既在椭圆上，也在直线OP 上，可以联立椭圆与OP 的方程，解得()2P P y f k =，

再将直线OP 的方程与方程113

M M y k x -=

-

联立，可解得()2

P P y g k =，于是有关于k 的方程()()22f k g k =，后同思路1．

思路3 与思路1类似，将参数b 用参数k 和m 表示，联立与直线OM 的方程，可解得M 点的坐标(),M M x y ，根据向量加法的平行四边形法则知()2,2N N P x y ，将P 的坐标代入椭圆方程，可得关于k 和m 的方程，后同思路1． 【答案】（1）证法1 如下图所示，设直线

():0,0l y kx b k b =+≠≠， ()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ，

将y kx b =+代入2

2

2

9x y m +=，得()

2222920k x kbx b m +++-=， 故1222

9,299

M M M x x kb b

x x kx b k k +-=

==+=++， 于是直线OM 的斜率

9

M OM M y k x k

=

=-，即9OM k k =-， 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．

证法2 设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠，()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ，

将,A B 的坐标代入椭圆方程，有222119x y m += ①，222

229x y m += ②，

①-②，整理可得()()21

121221

90y y x x y y x x -+++==-，

即90M M x y k +=， 故直线OM 的斜率9

M OM M y k x k

=

=-，即9OM k k =-， 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （2）解法1四边形OAPB 能为平行四边形（见下图）

因为直线l 过点,3m m ??

???

，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0,3k k >≠． 由（1）得OM 的方程为9

y x k

=-

， 设点P 的横坐标为P x ，由22299y x k

x y m

?=-?

??+=?， 得222

2981P

k m x k =+，则239

P x k =+， 将点,3m m ??

???

的坐标代入l 的方程得()33m k b -=，然后将l 的方程代入椭圆方程，可得

()()

1222

32939M k k m x x kb

x k k -+-=

==++， 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =，于是

()()

2

2

323939

k k m k k -=?

++，解得1247,47k k ==因为0,0,1,2i i k k i >≠=，所以当l 的斜率为4747+OAPB 为平行四边形．

解法2 四边形OAPB 能为平行四边形，设(),P P P x y ，由（1）得9

,0,3P P y x k k k

=-

>≠，

因为P 在椭圆上，所以有22299

P P P P

x y m y x k ?+=?

?=-??

， 解得2

2299

P

m y k =+ ①，

由四边形OAPB 为平行四边形，可知2239P

P P P y m

k x m

y x k ?-?=??-??

?=-??

，解得：()2

639P k m y k -=+ ② 据①②有()2

2

943k k +=-，即2

890k k -+=，

解得1244k k == 以下同解法1．

解法3 四边形OAPB 能为平行四边形（见下图） 将点,3m m ??

???的坐标代入l 的方程得()33m k b -=，即l 的方程为

()

3,0,33

m k y kx k k -=+

>≠， 由（1）得直线OP 的方程为9

y x k

=-

，因为M 既在l 上，也在OP 上，所以有()339M M M M

m k y kx y x k -?

=+???

?=-??，解得()()()22339339M M k k m

x k k m y k -?=?+??-?=-?+?

， 设点P 的坐标为(),P P x y ，则 “四边形OAPB 为平行四边形 ”的充要条件是

()()1212,2,2M M OP OA OB x x y y x y =+=++=，

将点P 的坐标()2,2M M x y 代入椭圆方程有()()()2

2

2

22

23639939k k m k m m k k ??--????+-=??++???

???， 化简可得2

891k k -+=，

解得1247,47k k =-=+， 以下同解法1．

【同步训练】

1．如图，点F 是抛物线τ： 2

2x py =（0p >）的焦点，点A 是抛物线上的定点，且

()2,0AF =，点B ， C 是抛物线上的动点，直线AB ， AC 斜率分别为1k ， 2k ．

（1）求抛物线τ的方程；

（2）若212k k -=，点D 是抛物线在点B ， C 处切线的交点，记BCD ?的面积为S ，证明S 为定值．

【答案】（1）2

4x y =（2）32S = 【思路引导】

（2）过D 作y 轴平行线交BC 于点E ，并设211,4x B x ?? ???， 222,4x C x ??

??

?，

由（1）知()2,1A -，

所以22

2121212111

44224

x x x x k k x x ----=

-=++， 又212k k -=，所以218x x -=，

直线BD ： 21124x x y x =-，直线CD ： 22224

x x y x =-，解得12

12,

2{ ,

4

D D x x x x x y +=

=

因直线BC 方程为()2112244x x x y x x +-=-，将D x 代入得22

128

E x x y +=， 所以()()()()()2

21212121111322228

E D x x S DE x x y y x x x x -=-=--=??-=．

点评：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多

少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的． 定点、定

值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．

2．已知常数0a >，在矩形ABCD 中， 4AB =， 4BC a =，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且

BE CF DG

BC CD DA

==

，P 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析 【思路引导】

根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值．

当时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长

当时，点P 到椭圆两个焦点（的距离之和为定值

当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值

2a ．

3．已知12F F 、是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为1

2

，过

原点O 的直线交椭圆于C D 、两点，若四边形12CF DF 的面积最大值为23

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线l与椭圆E交于,A B且OA OB

⊥，求证：原点O到直线l的距离为定值．

【答案】（1）

22

1 43

x y

+=（2）见解析

【思路引导】

（1）四边形

12

CF DF面积最大值为2bc，所以根据a,b,c的方程组解出2,3

a b

==（2）

先设()()

1122

:,,,,

l y kx m A x y B x y

=+，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及·0

OAOB=，得()

22

12

1

7

m k

=+，再根据点到直线距离公式可得2

221

7

1

m

d

k

==

+

，最后验证斜率不存在的情形．

因为OA OB

⊥，所以·0

OAOB=，即()()

22

12121212

1

x x y y k x x km x x m

+=++++

()22222

22

222

412871212

1?0

343434

m k m m k

k m

k k k

---

=+-+==

+++

，

所以()

22

12

1

7

m k

=+，原点O到直线l的距离

2

221

7

1

m

d

k

==

+

；

当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x m

=，

则

()()

22

3434

,,

m m

A m

B m

??

--

? ?

????

，由OA OB

⊥得

()2

2

34

4

m

m

-

-=，

解得

221

7

m=，所以此时原点O到直线l的距离为

221

7

．

综上可知，原点O到直线l的距离为定值

221

7

．

4．已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的短轴长为25，离心率为

3

2

，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线1

y k x

=与直线

2

y k x

=为圆E的两条切线．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试问：

12

*

k k是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

【答案】（1）

22

1

205

x y

+=；（2）

1

4

-

【思路引导】

（1）由椭圆()

22

22

:10

x y

C a b

a b

+=>>焦点在x轴上，5

b=，离心率

2

22

53

11

2

c b

e

a a a

==-=-=，则22

20,5

a b

==，即可求得椭圆C的标准方程；（2）

设()

00

,

E x y，圆E的方程为()()

22

00

4

x x y y

-+-=，由直线

1

y k x

=与圆()()

22

00

:4

E x x y y

-+-=相切，根据点到直线的距离公式可得

12

,k k为方程

()

222

0000

4240

x x x y x y

--+-=，的两个根，由韦达定理可知：

2

122

4

4

y

k k

x

-

=

-

，由E在

椭圆上即可求得

12

1

4

k k=-．

5．已知椭圆C ： 22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别是()()12,0,,0F c F c -，直线

:l x my =与椭圆C 交于两点,M N ，当3

m =时， M 恰为椭圆C 的上顶点，此时12MF F ?的面积为6．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设椭圆C 的左顶点为A ，直线,AM AN 与直线4x =分别相交于点,P Q ，问当m 变化时，以线段PQ 为直径的圆被x 轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．

【答案】（1）22

143

x y +=；（2）弦长为定值6． 【思路引导】 （1）根据3

3

m =-

时，直线的倾斜角为120，又12MF F ?的周长为6，即可求得椭圆方程；（2）利用特殊位置猜想结论：当0m =时，直线l 的方程为： 1x =，求得以PQ 为直径的圆过右焦点，被x 轴截得的弦长为6 ，猜测当m 变化时，以PQ 为直径的圆恒过焦点2F ，被x 轴截得的弦长为定值6，再进行证明即可．