中考数学 第1章 数与式 第6讲 二次根式复习课件
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
中考数学必备复习第一章数与式第6讲二次根式课件
•考点2：二次根式的运算
•思路分析：首先化简第一个二次根式，计算后边的两个二次 根式的积，然后合并同类二次根式即可求解。
•方法指导：本题考查了二次根式的混合运算，正确运用二 次根式的乘法简化了运算，正确观察式子的特点是关键。
•考点2：二次根式的运算
•思路分析：先根据绝对值的性质、负指数幂、算术平方根、 0次幂的性质、特殊角的三角函数值等计算出各数，再根据 实数混合运算的法则进行计算即可。
被开方数和根指数不变。
• (2)二次根式的乘除法
•①
②
• 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式。
•名师点评·课堂精讲
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•考点1：二次根式的意义和性质
•A
•思路分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进 行计算即可得解。
•方法指导：解答本题时，注意二次根式有意义的条件是被 开方数是一个非负数，分式有意义的条件是分母不等于0。
• (3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的
二次根式，叫做同类二次根式。
• 2.二次根式的性质
• (1)
(2)
(3)
• 特别提醒：三个具有非负性的式子：
• 3.二次根式的运算
• (1)二次根式的加减：
• ①先把各个二次根式化成最简二次根式；
• ②再把同类二次根式分别合并，合并时，仅合并系数，
中考数学必备复习第一章数 与式第6讲二次根式课件
•基础巩固·课前小练
•课前小练
•知识梳理
•课堂精讲
•过关测试
•B •B
•D •C
•课前小练
Байду номын сангаас
初中数学精品课件：第一章《二次根式》复习课件共18张ppt
a,a<0 • ab a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
bb • a b a b(a 0,b 0) • a a (a 0,b 0)
bb
练习： 1.计算 （ 3）2 的结果是… … … … … …( C )
(A) -3 (B) ±9 (C) 3 (D) 9
二次根式复习课
课前2分钟朗读内容：
• 42
• 8 2 2 • 45 3 6
• 93 • 16 4 • 25 5
• 12 2 3 • 18 3 2 • 20 2 5
• 48 4 3 • 80 4 5 • 1 2
22
• 36 6 • 49 7 • 64 8 • 81 9
• 24 2 6 • 27 3 3 • 32 4 2
ABFG的面积为a,b,则它们的 G F
边长分别可用 a, b 表示.
在Rt△ACD和 Rt△CAG中, A B
C
AD2 ( a b)2 ( a )2
CG 2 ( a b)2 ( b)2 ∴AD2-CG2=a-b 由已知得 a+b=7 解得 a=5
a-b=3
b=2
∴ AC与EF的乘积=（ 5 2）•（ 5 2） 5 2 3
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
简单方程,从而使问题得到解决.
16.如图,正方形ABFG与正方形BCDE的面积
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
解:设正方形BCDE和正方形
A
垂足为D.
中考数学复习 第一单元 数与式 课时06 二次根式数学课件
3.确定根式的值在开方后所得的两个相邻整数之间,如 2< 5<3;
第七页，共三十二页。
4.(1)若求 a± 的值在哪两个整数之间,则同时给不等号两边加上整数部分 a,
如 3< 5+1<4;
2+3
(2)若确定离哪个整数较近,则再求这两个整数的平均数,如
2
=2.5,最后用平方
法比较根式和平均数的大小.若根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整
所以 x 可取 2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017.分别代入等式验证,
正整数 m 只能取 3 和 12,所以和为 15.
第三十页，共三十二页。
第三十一页，共三十二页。
内容(nèiróng)总结
第一篇 考点(kǎo diǎn)过关。二次根式的概念 二次根式的性质 二次根式的计算。1.加减法:先把二次
C. 8=±2 2
2.8< 8<2.9,所以与 8最接近的整数是 3.
D.与 8最接近的整数是 3
第十三页，共三十二页。
7.计算 8 × 2的值是
4
. [解析] 8 × 2= 16=4.
第十四页，共三十二页。
8.若 (-3)2 =3-x,则 x 的取值范围是 x≤3 . [解析]∵ (-3)2 ≥0,∴3-x≥0,即 x≤3.
第一篇
第一(dìyī)单元
第一页，共三十二页。
数与式
考点(kǎo
diǎn)过关
课时(kèshí)06
第二页，共三十二页。
二次根式
关键词
二次根式(gēnshì)的概念 二次根式(gēnshì)的性质 二次根式(gēnshì)的计算
第七页，共三十二页。
4.(1)若求 a± 的值在哪两个整数之间,则同时给不等号两边加上整数部分 a,
如 3< 5+1<4;
2+3
(2)若确定离哪个整数较近,则再求这两个整数的平均数,如
2
=2.5,最后用平方
法比较根式和平均数的大小.若根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整
所以 x 可取 2010,2011,2012,2013,2014,2015,2016,2017.分别代入等式验证,
正整数 m 只能取 3 和 12,所以和为 15.
第三十页，共三十二页。
第三十一页，共三十二页。
内容(nèiróng)总结
第一篇 考点(kǎo diǎn)过关。二次根式的概念 二次根式的性质 二次根式的计算。1.加减法:先把二次
C. 8=±2 2
2.8< 8<2.9,所以与 8最接近的整数是 3.
D.与 8最接近的整数是 3
第十三页，共三十二页。
7.计算 8 × 2的值是
4
. [解析] 8 × 2= 16=4.
第十四页，共三十二页。
8.若 (-3)2 =3-x,则 x 的取值范围是 x≤3 . [解析]∵ (-3)2 ≥0,∴3-x≥0,即 x≤3.
第一篇
第一(dìyī)单元
第一页，共三十二页。
数与式
考点(kǎo
diǎn)过关
课时(kèshí)06
第二页，共三十二页。
二次根式
关键词
二次根式(gēnshì)的概念 二次根式(gēnshì)的性质 二次根式(gēnshì)的计算
九年级数学二次根式复习课件
的速度。假定有一对亲兄弟，哥哥二十八岁，弟弟二
十五岁。哥哥乘着飞船以光速的0.98倍作了五年的宇
宙航行后返回地球。这五年是指地球上的五年，所以
弟弟的年龄现在是三十岁。请算一算返回地球时哥哥
的年龄。
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二次根式复习课
考试要求
• 了解二次根式的概念及其加、减、乘、除 运算法则，会用它们进行有关实数的简单 四则运算（不要求分母有理化）
• 能用有理数估计一个无理数的大致范围。
知识结构
相关概念
二次根式概念 最简二次根式 同类二次根式
二
a 0(a 0)
次 二次根式的性质根a2 a式( a )2 a(a 0)
bb
知识巩固
二次根式估算
1：写出一个3到4之间的无理数
。
2： 10在两个连续整数a和b之间，a< 10 <b,
那么a , b 的值分别是
。
3：比较 5 1 和0.5的大小。
2
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视野拓展
2、 飞出地球，遨游太空，是人类的一种理想，可是地 球的引力毕竟太大了，飞机飞得再快，也得回到地面，炮弹 打得再高，也得落向地面，只有当物体的速度达到一定数值 时，才能克服地球引力，围绕地球旋转，这个速度我们叫做
第一宇宙速度。计算的式子是：v gR 千米/秒，其中重
力加速度g＝0.0098千米/秒2，地球的半径R＝6370千米，请 你求出第一宇宙速度的值。（保留两位有效数字）
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视野拓展
3、根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒时，
宇宙飞船内还只经过
1 ( v ) 秒2 ，
公式中的c是指光速（30万千米/秒），cv是指宇宙飞船
2019届人教版九年级中考复习《二次根式》课件(共29张PPT)
1.( a) a
2
(a 0)
a （a 0） （a 0） （a 0） 0 a
2. a 2 a
3. ab a b
a 4. b a b
(a 0 b 0)
b 0)
(a 0
算一算：
2
2
1 2
2
9 2
3 4
2
2 1
3 2
3 2
3.二次根式的运算：
2.
3 x
有意义。
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4 .
1 x 5 3 x
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解： x
3- x 0
5 0
①
②
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
二次根式加减法的步骤：
归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号； 根号内不含小数
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
例2 计算：
(3 48 4 27 ) 2 3
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
注意： 被开方数大于或等于零
典型例题解析
【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： (1)
2 x
(2)
x2 x 3
; (3)
x5
人教版九年级中考数学总复习课件第6课时 二次根式(共17张PPT)
.
点悟:二次根式中被开方数为非负数是根据平方根的定义, a(a ≥ 0) 是非负数是指非负数的算术平方根也是非负数,常见的有三种 非负数:绝对值、平方、二次根式(算术平方根)；几个非负数 的和等于 0,则这几个数都为 0.
【考点2】二次根式的化简
最简二 被开方数不含 分母 ,或分母不含二次根式. 次根式 被开方数中不含能 开得尽方的 因数或因式.
第6课时 二次根式
【考点 1】 二次根式的概念与性质 定义 形如 a (a ≥ 0)的式子叫做二次根式.
a ≥ 0 (a ≥0) ；
性质 ( a )2 a (a ≥0) ；
a2 | a | a(a ≥ 0) . a(a 0)
1.[教材原题]当 a 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?
2
2
∴ S p( p a)( p b)( p c)
9 (9 2) (9 3) ( 9 4)
22
2
2
3 4
15
在秦九韶公式中,
S 1 a2b2 ( a2 b2 c2 )2
2
2
1 22 32 ( 22 32 42 )2
2
2
3 15 . 4
13.[变式]阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号 的式子可以写成另一个式子的平方,如: 3 2 2 （1 2）2 . 小明进行以下探索:
除 法
a
a b
b
反过来,有 a b
(a ≥ 0, b 0) ；
a b
(a ≥ 0, b 0) .
加 一般可以先将二次根式化成 最简二次根式 , 减 再将 被开方数 相同的二次根式进行合并.
8.[教材原题]计算:
(1)
2 3
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
中考数学专题复习 第6讲 二次根式及其运算课件
考点四
二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数； 2．( a)2 ＝a(a≥0)； a a≥0 2 3. a ＝|a|＝ ； －aa＜0 4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； a a 5. ＝ (a≥0，b＞0)． b b
考点五 二次根式的运算 1．二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2．二次根式的乘除法 二次根式的乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)； a a 二次根式的除法： ＝ (a≥0，b＞0)． b b 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式．
1－ 8．计算：( ) 3＋( 3－2 010) 0－( 27－6tan 30° ) 3 28－ 3.
考点训练 6
二次根式及其运算 二次根式及其运算 训练时间：60分钟 分值：10 训练时间：60分钟 分值：100分
一、选择题(每小题 3 分，共 42 分)
1．(2010· 德化)下列计算正确的是( ) A. 20＝2 10 B. 2· 3＝ 6 C. 4－ 2＝ 2 D. －32＝－3
2 2 【解析】x＝1－( 2－1)＝1－ 2＋ 1＝2－ 2，|x－ 2|＋ ＝|2－ 2－ 2|＋ ＝|2－ x 2－ 2 2 2|＋(2＋ 2)＝2 2－2＋2＋ 2＝3 2.
【答案】C
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
15．(2010· 北京)若二次根式 2x－1有意义，则 x 的取值范围是________．
1
2x－ 1 1 B．x≤3 且 x≠ 2 1 D. <x≤3 2
有意义，则 x 应满足(
)
1 【解析】3－x≥0 且 2x－1>0，故 <x≤3. 2
【答案】D
4．(2010· 济南)下列各式中，运算正确的是( A. 6÷ 3＝ 2 B．2 2＋3 3＝5 5 6 3 2 C．a ÷ a ＝a D．(a3) 2＝a5
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解析：利用二次根式被开方数的非负性可得x1－ －1x≥ ≥00 ，∴x＝1，y＝－1，∴x－y＝2.
答案：C
6．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( ) A．a＋1 B．a2＋1 C. a2＋1 D. a＋1
解析：这个自然数为a2，则和它相邻的下一个自然数是a2＋1.
答案：B
1 2)÷ 32.
【点拨】二次根式的加减实质是合并同类二次根式，因而应先对式子中的每个二次根式
进行化简，然后对同类二次根式进行合并；二次根式的乘除实质是二次根式 ab ＝ a · b
(a≥0，b≥0)和
ab＝
a(a≥0，b＞0)的逆运用． b
【解答】(1)原式＝a＋2 a－a＝2 a.
(2)原式＝3－1＋3 2－4 2＝2－ 2.
知识点五 二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数；
2．( a)2＝a(a≥0)；
3. a2＝|a|＝a－aaa≥ ＜00， ；
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)；
5.
ba＝
a(a≥0，b>0)． b
知识点 六 二次根式的运算
1．二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
C. 3 23＋33＝2＋3＝5 D．(a－1) 1－1 a＝－ 1－a2·1－1 a＝－ 1－a(a<1)
解析：m2·m3＝m5，A错； 答案：D
1631＝
439＝73 3，B错； 3 23＋33＝3 35，C错．
二、填空题 11．16的算术平方根是________． 解析： 16＝4. 答案：4 12．计算： 8－ 1 ＝________.
解析：要使 aa＋2有意义，则aa≠＋02≥0 ，∴a≥－2且a≠0.
答案：D
2．若a<1，化简 a－12－1＝________.( ) A．a－2 B．2－a C．a D．－a
解析：考查 a2＝|a|的性质，原式＝|a－1|－1＝1－a－1＝－a. 答案：D
3．下列计算正确的是( ) A. 20＝2 10 B. 2· 3＝ 6 C. 4－ 2＝ 2 D. －32＝－3
21．计算：|－2 2|－ 8－2－1＋( 3－2)0. 解：原式＝2 2－2 2－12＋1＝12.
22．计算： 3 27＋(
3－1)2－(12)－1＋
4 3＋1.
解：原式＝3＋( 3)2－2 3＋1－
1 1
＋
34＋ 13－31－1＝3＋3－2
3＋1－2＋
4
3－4 32－12
2
＝5－2 3＋2 3－2＝3.
根，记做 a. 2．平方根有以下性质： (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根．
3．如果 x3＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做
3 a.
知识点二 二次根式
式子 a(a≥0)叫做二次根式． 二次根式中被开方数一定是非负数，否则就没意义，并有 a≥0.
23．计算： 8＋
13－2
1 2.
解：原式＝2 2＋13 3－2×12 2＝ 2＋13 3.
24．观察下列各式及其验证过程：
1＋31＝2 13，
验证：
1＋13＝
43＝
232＝2
1 3
2＋41＝3
1 4
验证：
2＋14＝
214＝
94＝3
1 4
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思想，猜想 3＋15的变形结果并进行验证； (2)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来，并进行验证．
答案：C
4．下列运算错误的是( ) A. 2＋ 3＝ 5 B. 2· 3＝ 6 C. 6÷ 2＝ 3 D．(－ 2)2＝2 答案：A
5．化简 3－ 3(1－ 3)的结果是( ) A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3 答案：A
6．2的平方根是________． 答案：± 2
7．若x、y为实数，且|x＋2|＋ y－3＝0，则(x＋y)2 010的值为________．
解析：考查二次根式的性质： 2· 3＝ 2×3＝ 6. 答案：B
4．若a、b为实数，且满足|a－2|＋ －b2＝0，则b－a的值为( ) A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对
解析：考查 a≥0，|a|≥0.∵|a－2|＋ －b2＝0，∴a＝2，b＝0，∴b－a＝－2.
答案：C
5．若 x－1－ 1－x＝(x＋y)2，则x－y的值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3
2
3
A. 18 B. 27 C. 3 D. 2
解析：考查同类二次根式的概念．
答案：B
9．下列计算正确的是( ) A．20＝0 B．3－1＝－3 C. 9＝3 D. 2＋ 3＝ 5
解析： 9＝ 32＝3.
10．下列各式计算正确的是( ) A．m2·m3＝m6 B. 1631＝ 16· 13＝43 3
2．二次根式的乘除法
二次根式的乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)；
二次根式的除法： a＝ b
ba(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式.
类型一 平方根、算术平方根、立方根的概念
(1)9的算术平方根是( )
A．3 B．－3 C．±3 D. 3
(2)4的平方根是( )
A. 2 B．2 C．±2 D．± 2
(3)－8的立方根是( )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
【点拨】做此类题的关键是熟练掌握它们的概念及其性质．
【答案】(1)A (2)C (3)B
类型二 二次根式的有关概念及二次根式的有关性质
(1)使 3x－1有意义的x的取值范围是( ) A．x>13 B．x>－13 C．x≥13 D．x≥－13 (2)计算 －32的结果是( ) A．3 B．－3 C．±3 D．9 (3)若 x＋y－1＋(y＋3)2＝0，则x－y的值为( ) A．1 B．－1 C．7 D．－7 (4)下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. 2a2 B. 0.5 C. x2＋1 D. 12
(3)原式＝(3×3
2＋15×5
2－4×
2 2 )÷4
2＝(9
2＋
2－2
2)÷4
2＝8
2÷4
2＝2.
要使 3－x＋ 2x1－1有意义，则x应满足(
)
A.12≤x≤3 B．x≤3且x≠12来自1 C.2<x<3
D.12<x≤3
【解析】要使原式有意义，需满足32－ x－x≥ 1>00，，
解得12<x≤3.
答案：1
8．化简： 48－ 3＝________.
答案：3 3
9．化简： 1－x＋ x－1＝________.
答案：0 10．计算： 8× 2＝________； 8－ 2＝________.
答案：4 2
11．已知x＝ 2－1，求x2＋3x－1的值．
解：方法一：当x＝ 2 －1时，x2＋3x－1＝( 2 －1)2＋3( 2－1)－1＝2－2 2 ＋1＋3 2 －3－1＝ 2－1
所以xy＝＝－4，3， 所以 x－y＝7.
(4)准确把握最简二次根式的概念是做题的关键．
【答案】(1)C (2)A (3)C (4)C
类型三 二次根式的运算
(1)化简：
a(
a＋2)－
a2b .
b
(2)计算：(13)－1－( 5－2)0＋ 18－(－2)2· 2.
(3)计算：(3 18＋15 50－4
方法二：∵x＝ 2－1，∴x＋1＝ 2，∴(x＋1)2＝( 2)2＝2. 即x2＋2x＋1＝2，∴x2＋2x＝1. ∴x2＋3x－1＝x2＋2x＋x－1＝1＋x－1＝x＝ 2－1.
一、选择题
1．要使式子 aa＋2有意义，a的取值范围是(
)
A．a≠0
B．a>－2且a≠0
C．a>－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
解析：当x＝ 2时，原式＝( 2)2－3 2＋3 2＝2，代入法． 答案：2 5．(2010·温州)计算： 8＋(2 010－ 3)0－(12)－1. 解：原式＝2 2＋1－2＝2 2－1.
6．(2010·绍兴)先化简，再求值：2(a－ 3)(a＋ 3)－a(a－6)＋6，其中a＝ 2－1. 解：原式＝2a2－6－a2＋6a＋6＝a2＋6a，当a＝ 2－1时， 原式＝( 2－1)2＋6( 2－1)＝2－2 2＋1＋6 2－6＝4 2－3.
【点拨】(1)当 3x－1≥0 时 3x－1有意义，所以 x≥13.
a a>0， (2)本题考查 a2＝|a|＝ 0 a＝0，
－a a<0，
所以 －32＝|－3|＝3. (3)本题 考查 a 、 a2 的 非负性 ．几 个非负 数的和 为 0 ，则 这几个 数都 为 0， 所 以
x＋y－1＝0， y＋3＝0，
【易错警示】当 a在分母上时，a>0，而不是a≥0.
1. 9的值等于( ) A．3 B．－3 C．±3 D. 3
答案：A
2．要使式子 aa＋2有意义，a的取值范围是(
)
A．a≠0
B．a>－2且a≠0
C．a>－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案：D
3．估算 31－2的值( ) A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
解析：考查二次根式有意义的条件，∴x－2≥0，∴x≥2.
答案：D
3．(2010·嘉兴)设a>0，b>0，则下列运算中错误的是( ) A. ab＝ a· b B. a＋b＝ a＋ b
C．( a)2＝a
D.
ba＝
a b
解析：仔细审题，选的是错误的，考查二次根式的性质．
答案：C
6．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是( ) A．a＋1 B．a2＋1 C. a2＋1 D. a＋1
解析：这个自然数为a2，则和它相邻的下一个自然数是a2＋1.
答案：B
1 2)÷ 32.
【点拨】二次根式的加减实质是合并同类二次根式，因而应先对式子中的每个二次根式
进行化简，然后对同类二次根式进行合并；二次根式的乘除实质是二次根式 ab ＝ a · b
(a≥0，b≥0)和
ab＝
a(a≥0，b＞0)的逆运用． b
【解答】(1)原式＝a＋2 a－a＝2 a.
(2)原式＝3－1＋3 2－4 2＝2－ 2.
知识点五 二次根式的性质
1. a(a≥0)是非负数；
2．( a)2＝a(a≥0)；
3. a2＝|a|＝a－aaa≥ ＜00， ；
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)；
5.
ba＝
a(a≥0，b>0)． b
知识点 六 二次根式的运算
1．二次根式的加减法 先将各根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
C. 3 23＋33＝2＋3＝5 D．(a－1) 1－1 a＝－ 1－a2·1－1 a＝－ 1－a(a<1)
解析：m2·m3＝m5，A错； 答案：D
1631＝
439＝73 3，B错； 3 23＋33＝3 35，C错．
二、填空题 11．16的算术平方根是________． 解析： 16＝4. 答案：4 12．计算： 8－ 1 ＝________.
解析：要使 aa＋2有意义，则aa≠＋02≥0 ，∴a≥－2且a≠0.
答案：D
2．若a<1，化简 a－12－1＝________.( ) A．a－2 B．2－a C．a D．－a
解析：考查 a2＝|a|的性质，原式＝|a－1|－1＝1－a－1＝－a. 答案：D
3．下列计算正确的是( ) A. 20＝2 10 B. 2· 3＝ 6 C. 4－ 2＝ 2 D. －32＝－3
21．计算：|－2 2|－ 8－2－1＋( 3－2)0. 解：原式＝2 2－2 2－12＋1＝12.
22．计算： 3 27＋(
3－1)2－(12)－1＋
4 3＋1.
解：原式＝3＋( 3)2－2 3＋1－
1 1
＋
34＋ 13－31－1＝3＋3－2
3＋1－2＋
4
3－4 32－12
2
＝5－2 3＋2 3－2＝3.
根，记做 a. 2．平方根有以下性质： (1)正数有两个平方根，它们互为相反数； (2)0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根．
3．如果 x3＝a，那么 x 叫做 a 的立方根，记做
3 a.
知识点二 二次根式
式子 a(a≥0)叫做二次根式． 二次根式中被开方数一定是非负数，否则就没意义，并有 a≥0.
23．计算： 8＋
13－2
1 2.
解：原式＝2 2＋13 3－2×12 2＝ 2＋13 3.
24．观察下列各式及其验证过程：
1＋31＝2 13，
验证：
1＋13＝
43＝
232＝2
1 3
2＋41＝3
1 4
验证：
2＋14＝
214＝
94＝3
1 4
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思想，猜想 3＋15的变形结果并进行验证； (2)请你将发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来，并进行验证．
答案：C
4．下列运算错误的是( ) A. 2＋ 3＝ 5 B. 2· 3＝ 6 C. 6÷ 2＝ 3 D．(－ 2)2＝2 答案：A
5．化简 3－ 3(1－ 3)的结果是( ) A．3 B．－3 C. 3 D．－ 3 答案：A
6．2的平方根是________． 答案：± 2
7．若x、y为实数，且|x＋2|＋ y－3＝0，则(x＋y)2 010的值为________．
解析：考查二次根式的性质： 2· 3＝ 2×3＝ 6. 答案：B
4．若a、b为实数，且满足|a－2|＋ －b2＝0，则b－a的值为( ) A．2 B．0 C．－2 D．以上都不对
解析：考查 a≥0，|a|≥0.∵|a－2|＋ －b2＝0，∴a＝2，b＝0，∴b－a＝－2.
答案：C
5．若 x－1－ 1－x＝(x＋y)2，则x－y的值为( ) A．－1 B．1 C．2 D．3
2
3
A. 18 B. 27 C. 3 D. 2
解析：考查同类二次根式的概念．
答案：B
9．下列计算正确的是( ) A．20＝0 B．3－1＝－3 C. 9＝3 D. 2＋ 3＝ 5
解析： 9＝ 32＝3.
10．下列各式计算正确的是( ) A．m2·m3＝m6 B. 1631＝ 16· 13＝43 3
2．二次根式的乘除法
二次根式的乘法： a· b＝ ab(a≥0，b≥0)；
二次根式的除法： a＝ b
ba(a≥0，b＞0)．
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式.
类型一 平方根、算术平方根、立方根的概念
(1)9的算术平方根是( )
A．3 B．－3 C．±3 D. 3
(2)4的平方根是( )
A. 2 B．2 C．±2 D．± 2
(3)－8的立方根是( )
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
【点拨】做此类题的关键是熟练掌握它们的概念及其性质．
【答案】(1)A (2)C (3)B
类型二 二次根式的有关概念及二次根式的有关性质
(1)使 3x－1有意义的x的取值范围是( ) A．x>13 B．x>－13 C．x≥13 D．x≥－13 (2)计算 －32的结果是( ) A．3 B．－3 C．±3 D．9 (3)若 x＋y－1＋(y＋3)2＝0，则x－y的值为( ) A．1 B．－1 C．7 D．－7 (4)下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. 2a2 B. 0.5 C. x2＋1 D. 12
(3)原式＝(3×3
2＋15×5
2－4×
2 2 )÷4
2＝(9
2＋
2－2
2)÷4
2＝8
2÷4
2＝2.
要使 3－x＋ 2x1－1有意义，则x应满足(
)
A.12≤x≤3 B．x≤3且x≠12来自1 C.2<x<3
D.12<x≤3
【解析】要使原式有意义，需满足32－ x－x≥ 1>00，，
解得12<x≤3.
答案：1
8．化简： 48－ 3＝________.
答案：3 3
9．化简： 1－x＋ x－1＝________.
答案：0 10．计算： 8× 2＝________； 8－ 2＝________.
答案：4 2
11．已知x＝ 2－1，求x2＋3x－1的值．
解：方法一：当x＝ 2 －1时，x2＋3x－1＝( 2 －1)2＋3( 2－1)－1＝2－2 2 ＋1＋3 2 －3－1＝ 2－1
所以xy＝＝－4，3， 所以 x－y＝7.
(4)准确把握最简二次根式的概念是做题的关键．
【答案】(1)C (2)A (3)C (4)C
类型三 二次根式的运算
(1)化简：
a(
a＋2)－
a2b .
b
(2)计算：(13)－1－( 5－2)0＋ 18－(－2)2· 2.
(3)计算：(3 18＋15 50－4
方法二：∵x＝ 2－1，∴x＋1＝ 2，∴(x＋1)2＝( 2)2＝2. 即x2＋2x＋1＝2，∴x2＋2x＝1. ∴x2＋3x－1＝x2＋2x＋x－1＝1＋x－1＝x＝ 2－1.
一、选择题
1．要使式子 aa＋2有意义，a的取值范围是(
)
A．a≠0
B．a>－2且a≠0
C．a>－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
解析：当x＝ 2时，原式＝( 2)2－3 2＋3 2＝2，代入法． 答案：2 5．(2010·温州)计算： 8＋(2 010－ 3)0－(12)－1. 解：原式＝2 2＋1－2＝2 2－1.
6．(2010·绍兴)先化简，再求值：2(a－ 3)(a＋ 3)－a(a－6)＋6，其中a＝ 2－1. 解：原式＝2a2－6－a2＋6a＋6＝a2＋6a，当a＝ 2－1时， 原式＝( 2－1)2＋6( 2－1)＝2－2 2＋1＋6 2－6＝4 2－3.
【点拨】(1)当 3x－1≥0 时 3x－1有意义，所以 x≥13.
a a>0， (2)本题考查 a2＝|a|＝ 0 a＝0，
－a a<0，
所以 －32＝|－3|＝3. (3)本题 考查 a 、 a2 的 非负性 ．几 个非负 数的和 为 0 ，则 这几个 数都 为 0， 所 以
x＋y－1＝0， y＋3＝0，
【易错警示】当 a在分母上时，a>0，而不是a≥0.
1. 9的值等于( ) A．3 B．－3 C．±3 D. 3
答案：A
2．要使式子 aa＋2有意义，a的取值范围是(
)
A．a≠0
B．a>－2且a≠0
C．a>－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
答案：D
3．估算 31－2的值( ) A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
解析：考查二次根式有意义的条件，∴x－2≥0，∴x≥2.
答案：D
3．(2010·嘉兴)设a>0，b>0，则下列运算中错误的是( ) A. ab＝ a· b B. a＋b＝ a＋ b
C．( a)2＝a
D.
ba＝
a b
解析：仔细审题，选的是错误的，考查二次根式的性质．