格林函数以及拉普拉斯方程

格林函数

格林函数的概念及其物理意义

格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。

从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。

物体中的温度分布随时间的变化是由于热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的震动问题）。在此仅讨论用格林函数法求解非稳态导热问题。

用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。本方法的第二个要点是确定有热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用，再推广到更为一般的情况。

“瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉δ分布函数，简称δ函数，来表示。δ函数的定义为

空间变量的三维δ函数δ)'(r r -在直角坐标系中等同于三个坐标量的δ函数的乘积，即δ)'x x -（δ)'y y -（δ)'(z z -。这样，τ´时刻作用在空间某一点r ´、强度在数量上等于ρc[J]的瞬时点热源可写作

或在直角坐标系中表示为

因此，作用在'x x =处的强度为ρc 的瞬时面热源应为ρc δ)'x x -（δ（τ—τ´）。由这样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布

称为格林函数。其中自变量第一部分表示该温度分布是空间坐标r 和时间τ的函数，第二部分r ´和τ´表示瞬时点热源的位置和释放时间。 大平壁中的非稳态导热

首先从一个简单的一维稳态问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x ）和热源),(),(τρτx cg x q =，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流)(f τ的作用。

该问题的数学描述为

)

'-()'-( v ττρδr r c δq =)'-()'-()'-()'-( z z δy y δx x δr r δ=)

',',(ττr r G

首先该导热系统的格林函数G，它满足以下的辅助问题：

τ´时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应维持为0，而τ´时刻的瞬时热源的作用等同于τ´时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为

一半空间阈中的格林函数法

拉普拉斯变换求解非稳态导热

拉普拉斯变换的基本概念 定义

=）s (F

ττd f st F )()s (0

⎰

∞

-=

为函数）（τf 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为：

)()]([s F f L =τ

)(τf 称为拉氏变换的原函数，）（s F 称为)(f τ的象函数。式中s 可以是重复变量。 拉普拉斯变换存在的基础就是：

拉普拉斯变换的基本性质

由拉普拉斯变换法求解导热问题时，首先得到的是象函数，要通过反变换才能得到温度分布的表达式。许多象函数的反变换可以从拉普拉斯变换中查得。为了充分发挥已有变换表的作用，要注意应用拉普拉斯变换的有关定理。由于象函数的多样性和复杂性，有时不可能从变换表中直接求得所需的反变换。这时，就得自己进行反变换运算，部分分式法和回路积分法。

杜哈美尔定理

求解边界条件和热源项随时间变化的热传导问题与求解边界条件和热源项不随时间变化的同一热传导问题之间的关系，可以通过杜哈美尔定理把它们联系起来。

杜哈美尔定理的表述参见ppt。