离散数学 2.3 一阶逻辑等值式共28页PPT资料
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现
关于全称量词的：
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x) x(BA(x))BxA(x)
等值式与基本等值式
定义 设A、B是一阶逻辑中的任意两个公式，若AB 为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作 AB，
并称AB为等值式.
基本等值式:
命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 如， xF(x) xF(x) xF(x)
xF(x)yG(y) xF(x)yG(y) (xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y)
真值表法, 等值演算法, 主析取范式法及构造证 明法. 前3种方法采用第一种形式结构, 构造证明 法采用第二种形式结构.
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重要的推理定律
第一组 命题逻辑推理定律代换实例 如 xF(x)yG(y)xF(x)为化简律代换实例.
第二组 由基本等值式生成 如 由 xA(x)xA(x) 生成 xA(x)xA(x), xA(x)xA(x), …
第三组
xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x（A(x) B(x)） xA(x) x B(x)） x（A(x) B(x)） xA(x) x B(x)）
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推理规则
(1)前提引入规则 (3)置换规则 (5)附加规则 (7)拒取式规则 (9)析取三段论规则 (11)合取引入规则
(2)结论引入规则 (4)假言推理规则 (6)化简规则 (8)假言三段论规则 (10)构造性二难推理规则
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推理规则(续)
(12) 全称量词消去规则（简记为UI规则或UI）
xA (x) 或xA (x)
A(y)
A(c)
两式成立的条件是：
x是A(x)中的自由出现的个体变项 在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变项. 在第二式中，c为任意个体常项. 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要 在x自由出现的一切地方进行取代.
例 将下面命题用两种形式符号化 (1) 没有不犯错误的人 (2) 不是所有的人都爱看电影
解 (1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) 请给出演算过程，并说明理由. (2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影. x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 给出演算过程，并说明理由.
xF(x)xG(x) xF(x)xG(x) xF(x)yG(y) xy(F(x)G(y)) 两种形式是等值的
（量词否定等值式） （量词分配等值式）
( 代替规则 ) ( 量词辖域扩张 )
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例(续)
(3) xF(x)xG(x)
解 xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)
x(F(x)G(x))
（为什么？）
不是前束范式，
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公式的前束范式
定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公 式都存在与之等值的前束范式 注意:
公式的前束范式不惟一 求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、 置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.
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换名规则与代替规则
换名规则: 将量词辖域中出现的某个约束出现的 个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未 曾出现过的个体变项符号，公式中其余部分不变， 则所得公式与原来的公式等值. 代替规则: 对某自由出现的个体变项用与原公式 中所有个体变项符号不同的符号去代替，则所得公 式与原来的公式等值.
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前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
或 xy(F(x)G(y)) （为什么？）
(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))
解 xF(x)y(G(x,y)H(y))
zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）
zy(F(z)(G(x,y)H(y))) （为什么？）
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例(续)
或 xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则） xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
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公式的前束范式(续)
例 求下列公式的前束范式
(1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
x(M(x)F(x))
（量词否定等值式）
x(M(x)F(x)) 两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.) 解 xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x) x(F(x)G(x)) 另有一种形式
▪ 推理的形式结构 ▪ 判断推理是否正确的方法 ▪ 重要的推理定律 ▪ 推理规则 ▪ 构造证明 ▪ 附加前提证明法
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推理
推理的形式结构有两种：
第一种 A1A2…AkB (*) 第二种 前提：A1，A2，…，Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为一阶逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 否则称推理不正确. 判断方法:
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
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2.4 一阶逻辑推理理论
3
基本的等值式(续)
量词分配等值式 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意：对无分配律，对无分配律
量词等值式 x y A(x,y) y x A(x,y) x y y x A(x,y)
其中A(x,y) 是x,y自由出现的谓词公式
4
基本的等值式(续)
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
2
基本等值式(续)
量词辖域收缩与扩张等值式
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离散数学-2.2-3命题逻辑等值演算.ppt
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2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
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简单析取式与简单合取式
文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, …
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主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111
范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
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范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的,
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主析取范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项
31
实例
例3 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
2.3 范式
• 2.3.1 析取范式与合取范式
– 简单析取式与简单合取式 – 析取范式与合取范式
• 2.3.2 主析取范式与主合取范式
– 极小项与极大项 – 主析取范式与主合取范式 – 主范式的用途
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简单析取式与简单合取式
文字:命题变项及其否定的统称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, …
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主析取范式的用途
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值
例如 (pq)r m0 m2 m4 m5 m6 成真赋值: 000,010,100,101,110; 成假赋值: 001,011,111
范式:析取范式与合取范式的统称
定理2.4 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每一个 简单合取式都是矛盾式 (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每一个简单析取 式都是重言式
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范式存在定理
定理2.5 任何命题公式都存在着与之等值的析取范式与合 取范式. 证 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的,
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主析取范式的用途(续)
(2) 判断公式的类型 设A含n个命题变项，则 A为重言式当且仅当A的主析取范式含2n个极小项 A为矛盾式当且仅当 A的主析取范式不含任何极小项,记作0 A为可满足式当且仅当A的主析取范式中至少含一个极小项
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实例
例3 用主析取范式判断公式的类型:
(1) A (pq)q (2) B p(pq) (3) C (pq)r
一阶逻辑等值式与置换规则ppt
x y（ F（x）∧G（y）∧┐H（x，y）） （4）┐x y（ F（x）∧G（y）∧L（x，y））
x y（ F（x）∧G（y）→┐L（x，y））
2020/4/26
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证明： （1）┐x（M（x）∧F（x））x（M（x）→┐F（x）） ┐x（M（x）∧F（x）） x ┐（M（x）∧F（x）） x（┐M（x）∨┐F（x）） x（M（x）→┐F（x））
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例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
（2）x（F（x）∨yG（y）） xF（x）∨yG（y） （F（a）∧F（b）∧F（c））∨ （G（a）∨G（b）∨G（c））
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解： （1）x（F（x）∧G（x，a）） （F（2）∧G（2，a））∧（F（3）∧G（3，a）） （F（2）∧G（2，2））∧（F（3）∧G（3，2）） （0∧1）∧（1∧1） 0 （2）x（F（f（x））∧G（x，f（x））） （F（f（2））∧G（2，f（2）））∨
（F（f（3））∧G（3，f（3））） （F（3）∧G（2，3））∨（F（2）∧G（3，2）） （1∧1）∨（0∧1） 1
例如：xF（x）┐┐xF（x） xy（F（x，y）→G（x，y））
┐┐xy（F（x，y）→G（x，y）） 等都是A┐┐A的代换实例。
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下面介绍一些一阶逻辑固有的等值式，这些等值式都 与量词有关。
1、消去量词等值式
设个体域为有限集D={a1，a2，…，an}，则有 （1）xA（x） A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an） （2）xA（x） A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an） 2、量词否定等值式
x y（ F（x）∧G（y）→┐L（x，y））
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证明： （1）┐x（M（x）∧F（x））x（M（x）→┐F（x）） ┐x（M（x）∧F（x）） x ┐（M（x）∧F（x）） x（┐M（x）∨┐F（x）） x（M（x）→┐F（x））
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例 设个体域为D={a，b，c}，将下面公式的量词消去。 （1）x（F（x）→G（x）） （2）x（F（x）∨yG（y）） （3）xyF（x，y）
解：（1）x（F（x）→G（x）） （F（a）→G（a））∧ （F（b）→G（b））∧ （F（c）→G（c））
（2）x（F（x）∨yG（y）） xF（x）∨yG（y） （F（a）∧F（b）∧F（c））∨ （G（a）∨G（b）∨G（c））
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解： （1）x（F（x）∧G（x，a）） （F（2）∧G（2，a））∧（F（3）∧G（3，a）） （F（2）∧G（2，2））∧（F（3）∧G（3，2）） （0∧1）∧（1∧1） 0 （2）x（F（f（x））∧G（x，f（x））） （F（f（2））∧G（2，f（2）））∨
（F（f（3））∧G（3，f（3））） （F（3）∧G（2，3））∨（F（2）∧G（3，2）） （1∧1）∨（0∧1） 1
例如：xF（x）┐┐xF（x） xy（F（x，y）→G（x，y））
┐┐xy（F（x，y）→G（x，y）） 等都是A┐┐A的代换实例。
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下面介绍一些一阶逻辑固有的等值式，这些等值式都 与量词有关。
1、消去量词等值式
设个体域为有限集D={a1，a2，…，an}，则有 （1）xA（x） A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an） （2）xA（x） A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an） 2、量词否定等值式
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
离散数学 第二章：一阶逻辑
(1) xF(x) yH(x, y);
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学 第二章一阶逻辑PPT课件
注: 个体变项取值范围:个体域(论域) 有限的事物
无特殊说明
无限的事物
（宇宙间的一切事物称为全总个体域）
谓词常项:具体性质或关系的谓词
谓词 谓词变项:抽象或泛指的谓词
F,G,H,…
个体变项x具有性质F,记作F(x) 谓词符号化
个体变项x,y具有性质F,记作F(x,y)
注:下文中称这种个体变项和谓词的联合体F(x),F(x,y)为谓词.
谓词 用来刻画个体词的性质或个体词之间关系
的词。
例如: ① 2 是无理数.
②王宏是程序员.
③小李比小赵高2厘米.
个体词: 2 , 王宏,小李,小赵
谓词: …是无理数,
个体词性质
…是程序员, …比…高2厘米.
个体词之间关系
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个体常项:具体和特定的个体词 a,b,c,… 个体词
个体变项:抽象或泛指的个体词 x,y,z,…
要求: 1)个体域为有理数集合. 2)个体域为实数集合. 3)个体域为全总个体域.
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谓词中的其它概念:
1).元数:谓词中所包含的个体词数. 一元谓词:个体词性质的.
2).n元谓词 n元谓词:个体词之间关系的.
表示方法定义域:个体词变项的个体域.
P(x1,x2,…xn) 值域:{0,1}
注: n元谓词不是命题,真值无法确定.要使之成为命题,必须:
指定某一谓词常项代替P
用n个个体常项代替n个体变项
注: (1)0元谓词也不是命题.要使之成为命题,必须:指定某一
谓词常项代替L.
(2)命题逻辑中的简单命题,也可以用0元谓词表示.因而 命题可看成是谓词的特殊情况.
例1: 将下列命题用0元谓词符号化.
(1)2是素数且是偶数.
离散数学一阶逻辑命题符号化ppt精选课件
(2)表示抽象或泛指的个体词称为个体变项, 一般用小写字母 x, y, z, … 表示.
个体变项的取值范围称为个体域 (或论域). 个体域可以是有 限集合, 如{1,2,3}或{a,b,c}, 也可以是无限集合, 如自然数集合 N或实数集合R. 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个 体域.
谓词
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b. x F(x)表示个体域中存在个体具有性质 F. 例: 凡偶数都能被2整除.
可符号化为: x(P(x)→S(x))是真命题, 其中x不再起变元的作用, 它 被全称量词 限制住了, 这时我们称 x 被量化了.
一阶逻辑中命题符号化
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例 个体域为人类集合, 将下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸; (2) 有的人用左手写字.
① 特性谓词: 从全总个体域中分离出一个集合, 定义的谓词. ② 在不同个体域中, 同一个命题的符号化形式可能不同.
一般地, 对全称量词, 特性谓词应作为蕴含式的前件. 一般地, 对存在量词, 特性谓词应作为合取式的一项. ③ 同一个命题, 在不同个体域中的真值也可能不同. 如果问题中没有指明个体域时, 默认为全总体域.
量词的引入
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有了个体词和谓词的概念之后, 有些命题还是不能准确 地符号化. 以前面所讨论的三段论为例: 令 P(x): x是偶数. S(x) : x能被2整除. a: 6. 符号化为: (1) P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道, “凡偶数都能被2整除.”是一个真命题, 而“P(x)→S(x)” 不是一个命题. 原因是“P(x)→S(x)”没 有把命题 中“凡”的意思表示出来. 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词. 所以还要 引入量词的概念.
例如: 逻辑学中著名的三段论:
个体变项的取值范围称为个体域 (或论域). 个体域可以是有 限集合, 如{1,2,3}或{a,b,c}, 也可以是无限集合, 如自然数集合 N或实数集合R. 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个 体域.
谓词
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b. x F(x)表示个体域中存在个体具有性质 F. 例: 凡偶数都能被2整除.
可符号化为: x(P(x)→S(x))是真命题, 其中x不再起变元的作用, 它 被全称量词 限制住了, 这时我们称 x 被量化了.
一阶逻辑中命题符号化
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例 个体域为人类集合, 将下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸; (2) 有的人用左手写字.
① 特性谓词: 从全总个体域中分离出一个集合, 定义的谓词. ② 在不同个体域中, 同一个命题的符号化形式可能不同.
一般地, 对全称量词, 特性谓词应作为蕴含式的前件. 一般地, 对存在量词, 特性谓词应作为合取式的一项. ③ 同一个命题, 在不同个体域中的真值也可能不同. 如果问题中没有指明个体域时, 默认为全总体域.
量词的引入
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有了个体词和谓词的概念之后, 有些命题还是不能准确 地符号化. 以前面所讨论的三段论为例: 令 P(x): x是偶数. S(x) : x能被2整除. a: 6. 符号化为: (1) P(x)→S(x) (2)P(a) (3)S(a) 我们知道, “凡偶数都能被2整除.”是一个真命题, 而“P(x)→S(x)” 不是一个命题. 原因是“P(x)→S(x)”没 有把命题 中“凡”的意思表示出来. 即缺少表示个体常项或变项的数量关系的词. 所以还要 引入量词的概念.
例如: 逻辑学中著名的三段论:
2.3 一阶逻辑等值式
Ø Ø Ø
注：一般的，"x$yA(x,y)与$y"xA(x,y)不等值! 思考："x$y(A(x)∨B(y))与$y"x(A(x)∨B(y))呢？ "x$y(A(x)∨B(y))
• • • •
Û "x(A(x)∨$yB(y)) Û "xA(x)∨$yB(y) Û $y("xA(x)∨B(y)) Û $y"x(A(x)∨B(y))
• • •
Ø
"xF(x) Û ØØ"xF(x) F(x)→G(y) Û ØF(x)∨G(y) "x(F(x)→G(y))→$zH(z) Û Ø"x(F(x)→G(y))∨$zH(z) 分别是pÛØØp, p→qÛØp∨q …的代换实例
• Ø
注：换名规则与替换规则中，所得公式与原来的公式 等值。
2.3 一阶逻辑等值式
First-order Logic Ø 2.1 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑合式公式及解释 Ø 2.3 一阶逻辑等值式
Ø 2.2
一阶逻辑推理理论 Ø 2.5 题例分析
Ø 2.4
2.3 一阶逻辑等值式
Ø
Def. 令A和B是Lp中的公式，若A«B为逻辑有效式， 则称A和B是等值的，记为AÛB． 1. 代换实例——由于重言式都是逻辑有效式，故P 的 9 24个等值式及其代换实例都是Lp中的等值式．
量词辖域收缩与扩张th?xaxb?xaxb?xaxb?xaxb?xax?b?xax?b?xb?ax?b?xax?xaxb?xaxb?xaxb?xaxb?xax?b?xax?b?xb?ax?b?xax?其中ax是含x自由出现的公式b中不含x的出现?注
Discrete Math. 离 散 数 学
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
一阶逻辑等值演算与ppt课件
取解释I：个体域为自然数集合N；
〔1〕取F〔x〕：x是奇数，替代A〔x〕； 取G〔x〕：x是偶数，替代B〔x〕。
那么x〔F〔x〕∨G〔x〕〕为真命题，
而xF〔x〕∨ xG〔x〕为假命题。
两边不等值。
;
例5.2
证 明
〔2〕x〔A〔x〕∧B〔x〕〕 <≠> xA〔x〕∧xB〔
x〕
x〔F〔x〕∧G〔x〕〕：有些x既是奇数又是偶数为 假命题；
〔x〕〕 〔2〕┐x〔F〔x〕→G〔x〕〕 x〔F〔x〕∧┐G
〔x〕〕 〔3〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕→H〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧┐H〔x,y〕〕 〔4〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧L〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕→┐L〔x,y〕〕
;
例5.5的证明
〔1〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F 〔x〕〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x┐〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔┐M〔x〕∨┐F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F〔x〕〕
而xF〔x〕∧xG〔x〕：有些x是奇数并且有些x是 偶数为真命题。
两边不等值。
阐明 全称量词“〞对“∨〞无分配律。 存在量词“〞对“∧〞无分配律。
当B〔x〕换成没有x呈现的B时，那么有
x〔A〔x〕∨B〕 xA〔x〕∨B
x〔A〔x〕∧B〕 xA〔x〕∧B
;
例5.3—消去量词
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：
〔双
〔2〕F〔x〕→G〔y〕 ┐F〔x〕∨G〔y〕 〔蕴 涵等值式〕
〔3〕x〔F〔x〕→G〔y〕〕→ zH〔z〕
┐〔x〔F〔x〕→G〔y〕〕∨zH〔z〕
〔蕴涵等值式〕
;
消去量词等值式
〔1〕取F〔x〕：x是奇数，替代A〔x〕； 取G〔x〕：x是偶数，替代B〔x〕。
那么x〔F〔x〕∨G〔x〕〕为真命题，
而xF〔x〕∨ xG〔x〕为假命题。
两边不等值。
;
例5.2
证 明
〔2〕x〔A〔x〕∧B〔x〕〕 <≠> xA〔x〕∧xB〔
x〕
x〔F〔x〕∧G〔x〕〕：有些x既是奇数又是偶数为 假命题；
〔x〕〕 〔2〕┐x〔F〔x〕→G〔x〕〕 x〔F〔x〕∧┐G
〔x〕〕 〔3〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕→H〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧┐H〔x,y〕〕 〔4〕┐xy〔F〔x〕∧G〔y〕∧L〔x，y〕〕
xy〔F〔x〕∧G〔y〕→┐L〔x,y〕〕
;
例5.5的证明
〔1〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F 〔x〕〕 ┐x〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x┐〔M〔x〕∧F〔x〕〕 x〔┐M〔x〕∨┐F〔x〕〕 x〔M〔x〕→┐F〔x〕〕
而xF〔x〕∧xG〔x〕：有些x是奇数并且有些x是 偶数为真命题。
两边不等值。
阐明 全称量词“〞对“∨〞无分配律。 存在量词“〞对“∧〞无分配律。
当B〔x〕换成没有x呈现的B时，那么有
x〔A〔x〕∨B〕 xA〔x〕∨B
x〔A〔x〕∧B〕 xA〔x〕∧B
;
例5.3—消去量词
例5.3 设个体域为D＝{a,b,c}，将下面各公式的量词消去：
〔双
〔2〕F〔x〕→G〔y〕 ┐F〔x〕∨G〔y〕 〔蕴 涵等值式〕
〔3〕x〔F〔x〕→G〔y〕〕→ zH〔z〕
┐〔x〔F〔x〕→G〔y〕〕∨zH〔z〕
〔蕴涵等值式〕
;
消去量词等值式
离散数学---一阶逻辑的等值式
求前束范式例1 求前束范式例
求下列公式的前束范式： 求下列公式的前束范式 ： 1、 ∀x A(x) ∧ ∀x B(x) 1、⇔∀ (A(x) ∧ B(x)) 、 、⇔∀x 2、 ∃x A(x) ∨ ∃x B(x) 2、⇔ ∃x(A(x) ∨ B(x)) 、 、 3、 ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 3、⇔ ∀x A(x) ∨ ∀y B(y) 、 、 4、 ∃x A(x) ∧ ∃x B(x) 、 ⇔ ∀x ∀y (A(x) ∨ B(y))
对于公式∀ ∧∀y ∧∃y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)和∃x A(x)∧∃ B(y) ∧∀ 和 ∧∃ 对于公式∀ ∧∀y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)，由于∀对合取有分配律，所以 ∧∀ ，由于∀对合取有分配律， 可变换为： 可变换为： ∧∀y ∧∀x ∀x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∀x A(x)∧∀ B(x) ⇔ ∀x(A(x)∧B(x)) ∧∀ ∧∀ ∧ 注意运用此变换的前提是B(y)中不出现 ， 如果 中不出现x，如果B(y) 注意运用此变换的前提是 中不出现 中出现x，则可使用换名规则（如果x是约束出现 是约束出现） 中出现 ，则可使用换名规则（如果 是约束出现）或者 是自由出现） 是替换规则（如果x是自由出现 先将x变为其他变换符 是替换规则（如果x是自由出现）先将x变为其他变换符 号。 对于公式∃ ∧∃y 对于公式∃x A(x)∧∃ B(y)，由于∃对合取没有分配律， ∧∃ ，由于∃对合取没有分配律， 所以只能变换为： 所以只能变换为： ∨∃y ∃x A(x)∨∃ B(y) ⇔ ∃x∃y(A(x)∨ B(y)) ∨∃ ∃ ∨ 显然对于公式∀ ∧∃y ∧∀y 显然对于公式∀x A(x)∧∃ B(y)、∃x A(x)∧∀ B(y)都只能变 ∧∃ 、 ∧∀ 都只能变 换为： 换为： ∧∃y ∀x A(x)∧∃ B(y) ⇔ ∀x∃y(A(x)∧B(y))、 ∧∃ ∃ ∧ 、 ∧∀y ∃x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∃x∀y(A(x)∧B(y)) ∧∀ ∀ ∧