第20讲 直角三角形
(沪科版)中考数学总复习课件【第20讲】解直角三角形
tanB)2＝0，则∠C 的度数是( C ) A．45° B．60° C．75° D．105°
第20讲┃解直角三角形
[ 解析]
1 2 由于 cos A － ≥ 0 ， (1 － tan B) ≥0 ，根据非负数的 2
1 性质，得 cosA＝ ，tanB ＝1，依据特殊角三角函数值求得∠A＝ 2 60°，∠B ＝45°，最后利用三角形内角和定理可求得∠C ＝180 °－60°－45°＝ 75°，故选 C .
点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由 45 °减至 30°， 已知原台阶坡面 AB 的长为 5 m(BC 所在地面为水平面)． (1) 改善后的台阶坡面会加长多少？ (2) 改善后的台阶多占多长一段水平面？ (本大题结果精确到 0.1 m，参考数据： 2 ≈1.41， 3 ≈1.73， 6 ≈2.45)
第20讲┃解直角三角形
核心练习
10． [2014·新疆 ] 如图 20－ 7，在 Rt△ ABC 中，∠C ＝90°，
Hale Waihona Puke 24 ∠B＝ 37°，BC＝ 32，则 AC＝________( 精确到整数) ．
图 20 －7
第20讲┃解直角三角形
11． [2014·宜宾 ] 菱形的周长为 20 cm，两个相邻的内角的度 5 3 数之比为 1∶2，则较长的对角线长度是________cm . 12． [2013·常德] 如图 20 －8， 在△ABC 中， AD 是 BC 边上的高， 1 AE 是 BC 边上的中线，∠C＝45°，sinB＝ ，AD＝1. 3 (1) 求 BC 的长； (2) 求 tan∠DAE 的值．
时到达．已知缆车匀速直线运动速度为 180 m /min ，山路 AC 长为 2430 m， 且测得∠CAB＝45 °，∠CBA＝105°. (参考数据： 2 ≈1.4 ， 3 ≈1.7) (1) 求索道 AB 的长； (2) 求乙的步行速度．
直角三角形
第1章直角三角形§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？（2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? （一）直角三角形性质定理1：直角三角形的两个锐角互余。
练习1（1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数（2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。
练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。
（3）与∠B相等的角有。
（二）直角三角形的判定定理1提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？”归纳：有两个锐角互余的三角形是直角三角形练习3:若∠A= 600，∠B =300，那么△ABC是三角形。
（三）直角三角形性质定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、巩固训练：练习4：在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。
练习5：已知：∠ABC=∠ADC=90O，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB(2)∠EBD=∠EDB（3）图中有哪些等腰三角形？练习6 已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高， M是BC的中点。
如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?§1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）EDCBA提出命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程）推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理：例1、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别AB 、AC 的中点。
2020届中考数学总复习讲义课件：第四单元 第20课时 直角三角形和勾股定理
跟踪训练 1.[2018·湘潭]《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾 股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺， 问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图 20－8 所示，△ABC 中，∠ACB＝90°， AC ＋ AB ＝ 10 ， BC ＝ 3 ， 求 AC 的 长 ， 如 果 设 AC ＝ x ， 则 可 列 方 程 为 x_2_＋___3_2_＝___(1__0_－___x_)．2
第四单元 三角形
第20课时 直角三角形和勾股定理
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边 AB 的长为 2 cm，则 AC 长为( C )
A．4 cm
B．2 cm
C．1 cm
1 D.2 cm
2．[2019·毕节]如图 20－1，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB＝1，EC＝2， 那么正方形 ABCD 的面积为( B )
3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛 藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图 20－15，把 枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺， 有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处．则问题中葛藤的最 短长度是____2_5_____尺．
1．面积法 用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法，即利用某个图 形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论． 2．数形结合思想 在解决一些实际问题时，如立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题， 梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，解决这些问题的过程， 充分体现了数形结合思想，这是中考的热点．
《直角三角形的性质》PPT课件
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD = DB.又∵ DE = CD,
∴四边形ACBE是平行四边形.
又∵ ∠ ACB=90°，
∴四边形ACBE是矩形，
∴ CE = AB,
∴ CD = 1 CE = 1 AB.
2
2
归纳
知1－导
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 是直角三角形的又一条性质，它表述了直角三角 形斜边上的中线与斜边之间的关系．
定理）. 下面我们探索直角三角形的其他性质.
知1－导
知识点 1 直角三角形斜边上的中线的性质
探索：如图，画Rt △ ABC，并画出斜边AB上的中线 CD量一量，看看CD与AB有什么关系.
相信你与你的同伴一定会发现: CD恰好是AB的一半.
下面让我们用演绎推理证明 这一猜想.
知1－导
已知：如图 ,在 Rt ABC 中， ∠ ACB= 90 °， CD 是斜边AB上的中线. 求证：CD = 1 AB
锐角互余”． (2) 当已知直角三角形斜边上的中线时，常用“直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
知2－讲
(3) 当已知直角三角形中一个锐角为30°时，常用 “30°角所对的直角边等于斜边的一半”．反之， 若已知一条直角边等于斜边的一半，我们可以得到 这条直角边所对的锐角为30°，实现了边、角之间 的转化．
知2－练
1 (黄冈)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，
交BC于点D，CD＝3，则BC的长为( )
A．6 B．6 3 C．9
D．3 3
知－练
2 (眉山)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
直角三角形的边角关系讲义
直角三角形的边角关系讲义第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点）1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示（难点 D C B A例3 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD•的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1：2变成i′＝1：2.5，（有关数据在图上已注明）．•求加高后的坝底HD的长为多少？例4在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）例5 方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm ，CD=6cm 斜立在墙上，其中BE=6cm ，DE=2cm ，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。
本节作业：1、∠C=90°，点D 在BC 上，BD=6，AD=BC ，cos ∠ADC=53，求CD 的长。
2、P 是a 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），求sina 、tana 的值。
3、在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD=31，求tanA 的值。
4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=125，周长为30，求△ABC 的面积。
5、（2008·浙江中考）在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB 的值是多少？第2节 30°，45°，60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。
中考数学总复习 第5章 第20讲 直角三角形课件
x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，故线段BN的长为4
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直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方，即有________． 2．勾股定理的逆定理：如果三角形一条(yī tiáo)边的 平方等于另外两条边的________(即满足式子 ________)，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】(1)过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求 得AC的长即可；(2)分别求得乘车时间，然后比较(bǐjiào)即可得到答案．
解：(1)过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 的延长线于 E 点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20，∴BE＝10，CE＝10 3，在△ACE 中，∵AC2＝8100＋300，∴AC＝20 21＝20×4.6＝92(km) (2)乘客车需时间 t1＝8600＝131(小时)；乘列车需时间 t2＝19820＋ 2400＝1910(小时)，∴选择城际列车
因此，当知道直角三角形的两边时，可以求出第 三边；当只知道直角三角形的一边时，列出关系式， 转化(zhuǎnhuà)为方程解决. 求解时应注意辨别哪一 边是斜边．
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勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)及其逆定理的实际
1．(2014·黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通， 便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到 武昌客运站B，现在(xiànzài)可以在A坐城际列车到 武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌 客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝ 120°.请你帮助小明解决以下问题：
中考一轮复习第20讲《解直角三角形》讲学案
中考数学一轮复习第20讲《解直角三角形》【考点解析】知识点一、锐角三角函数的概念.【例1】(浙江丽水)如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示αcos 的值，错误．．的是（ ）A ．BC BD B ．ABBC C ．AC AD D ．AC CD 【分析】由图可知∠α=∠ACD ，所以cos α=cos ∠ACD ，∠α是RT △ABC 、△BCD 的内角，∠ACD 是RT △ACD 的内角，共有三种表示方法，故可做出判断． 【解析】根据ACCD ACD AB BC BC BD =∠===cos cos α，所以选项A 、B 、D 正确，选项C 错误．故选C ．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【点评】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决．【变式】（•怀化）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【分析】根据三角函数的定义求得BC 和AB 的比值，设出BC 、AB ，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，又∵AC2+BC2=AB2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），则BC=4x=8cm，故选：C．【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．知识点二、特殊角的三角函数值【例2】（•天津）sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：sin60°=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．【变式】（•玉林）sin30°=（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：sin30°=．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．知识点三、解直角三角形【例3】1．（·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．：D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′，根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′，∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=0.5A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．【变式】如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=【答案】.【解析】 在Rt△ABC 中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4，． 在Rt△ABC 中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，，∴BD=tan 30AB ==︒. 知识点四、方位角【例4】（江苏苏州）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）A ．4km B．(2+km C．．(4km【答案】B【解析】根据题意中方位角的特点，过点B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，由∠CAB=45°，AB=2km ，可知km ，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22.5°，因此CB 是∠ACD 的角平分线，根据角平分线的性质可知km ，因此CD=AD=AB+BD=（）km.故选B【点评】本题考查了方位角的问题，能正确地识图，选择知识点是解题的关键，属中等题.【变式】（江苏苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）【思路分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=x km，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1 km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=km．【解】（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=x km．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°－45°=45°，∴BD=PD=x km．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°－60°=30°，∴AD=PD=x km．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=－1，∴点P到海岸线l的距离为（－1）km；（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°－∠BAC－∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴点C与点B之间的距离为km．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．【易错警示】不会作辅助线，构造直角三角形，无法解决问题．知识点五、俯角和仰角【例5】盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m 到达E 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°．求电视塔的高度AB ．取1.73，结果精确到0.1m ）【答案】195.3m.【解析】设AG=x ，在Rt△AFG 中， ∵tan∠AFG=AG FG， ∴FG = 在Rt△ACG 中， ∵tan∠ACG=AG CG ，∴tan 30x CG ==︒，224=， 解得：x≈193.8．则AB=193.8+1.5=195.3（米）．答：电视塔的高度AB 约为195.3米．【变式】（·湖北随州·8分）某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D 处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E 点，在点E 处测得雕像顶端A 的仰角为60°，求雕像AB 的高度．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，进行简单计算即可．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，∴EG=DEsin∠D=1620×=810，∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴EF=BF，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，∵tan∠AEF=，∴AF=EF×tan∠AEF，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB的高度为95尺．知识点六坡度和坡角【例6】（•重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米【分析】作BF⊥AE于F，则FE=BD=6米，DE=BF，设BF=x米，则AF=2.4米，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程求出DE=BF=5米，AF=12米，得出AE的长度，在Rt△ACE中，由三角函数求出CE，即可得出结果．【解答】解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度i=1：2.4，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由勾股定理得出方程是解决问题的关键．【变式】（·重庆市B卷·4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=6米，CH=6米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=6+20（米），即可得出大楼AB的高度．【解答】解：延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；故选：D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．【典例解析】【例题1】（2016•兰州）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，故选D【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．【例题2】12．（2016海南）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；解直角三角形及其应用．【分析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，解得：x=4+或x=4﹣，则AB=（6+）米或（6﹣）米．【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【例题3】（2016·云南省昆明市）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴CE===10（m），∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．【例题4】（2016·山东省菏泽市·3分）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C 处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案．【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之间的距离为20海里．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般．【中考热点】【热点1】（2016·四川攀枝花）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A 的一条弦，则sin∠OBD=（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D（0，3），C（4，0），得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD即可．【解答】解：∵D（0，3），C（4，0），∴OD=3，OC=4，∵∠COD=90°，∴CD==5，连接CD，如图所示：∵∠OBD=∠OCD，∴sin∠OBD=sin∠OCD==．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．【热点2】（2016·贵州安顺·3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B． C． D．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．【热点3】（2016·四川宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x 表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在Rt△ACF中，tan∠ACF=，则CF====x，在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米），在直角△ABF中，tan∠AEB=，则BE===（x+4）米．∵CF﹣BE=DE，即x﹣（x+4）=3．解得：x=，则AB=+4=（米）．答：树高AB是米．【热点4】（2016·四川泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，∴BN=15，DN=15，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=60﹣15=45，在RT△ABM中，tan∠ABM==，∴AM=27，∴AC=AM+CM=15+27．。
中考总复习数学20-第一部分 第20讲 锐角三角函数及解直角三角形(精练册)
解:如图，过点D作DG⊥EF于点G,则A,D,G三点共线,BC=AD=20米,
AB=CD=FG=1.58米,设DG=x米,则AG=(20+x)米,
在Rt△DEG中,∠EDG=60°,tan
60°= = =
3,
解得EG= 3x,
在Rt△AEG中,∠EAG=30°,tan
3
3
30°= =
3 2 1 6+
+ × =
2 2
2
4
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×
2
−
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,则sin 15°的值为_________.
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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
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6.(2022·黑龙江牡丹江)如图，小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小
明在坡比为5:12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,则
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4.(2022·广东)sin 30°=________.
5.(2022·黑龙江绥化)定义一种运算:sin(α+β)=sin αcosβ+cos αsin β,sin(αβ)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如:当α=45°,β=3时,sin(45°+30°)=
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第20讲 锐角三角函数及解直角三角形
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2．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( D ) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
28．(2019·大庆)如图，一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 10km 至 B 港，然后再沿北偏西 30°方向航行 10 km 至 C 港．
(1)求 A，C 两港之间的距离(结果精确到 0.1 km，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)；
(2)确定 C 港在 A 港的什么方向？
13．(2018·吉林)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 C，则点 C 的坐标 为 (－1，0) ．
14．(2019·南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为 20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm.
考点 5 等腰直角三角形
9．(2019·成都)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一
起．若∠1＝30°，则∠2 的度数为(B )
A．10°
B．15°
C．20°
D．30°
10．(2019·枣庄)把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式 放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 A， 且另外三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝2，则 CD＝ 6－ 2 ．
考点 2 直角三角形的两个锐角互余
3．(2019·赤峰)如图，点 D 在 BC 的延长线上，DE⊥AB 于点 E，交 AC
于点 F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB 的度数为( B )
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
考点 3 含 30°角的直角三角形的性质
4．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则 BC＝(A )
23．【易错】(2019·绵阳)在△ABC 中，若∠B＝45°，AB＝10 2，AC＝ 5 5，则△ABC 的面积是 75或25 ．
24．(2019·西藏)如图，把一张长为 4，宽为 2 的矩形纸片，沿对角线折 叠，则重叠部分的面积为 2.5 ．
25 ． (2019·北 京 ) 如 图 所 示 的 网 格 是 正 方 形 网 格 ， 则 ∠PAB ＋ ∠PBA ＝ 45 °(点 A，B，P 是网格线交点)．
A．2 B．3 C．4 D．5
21．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为(B )
A．(1，1)
B．(1， 3)
C．( 3，1)
D．( 3， 3)
22．(2018·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm， 在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁， 离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最 短距离为 20 cm.(杯壁厚度不计)
考点 7 勾股定理的逆定理 17．(2019·滨州)满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为(C ) A．AB＝ 41，BC＝4，AC＝5 B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．|cosA－12|＋(tanB－ 33)2＝0
18．(2019·益阳)已知 M，N 是线段 AB 上两点，AM＝MN＝2，NB＝1，
考点 6 勾股定理 11．(2019·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上．若 EB＝1， EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为( B )
A. 3 B．3 C. 5 D．5
12．(2019·西藏)若实数 m，n 满足|m－3|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是 直角三角形的两条边的长，则该直角三角形的斜边长为 5或4 ．
A．6
B．6 2
C．6 3
D．12
5．如图，在△ABC 中，∠B＝30°，BC 的垂直平分线交 AB 于点 E，
垂足为 D.若 CE＝8，则 ED 的长为( C )
A．2
B．3
C．4
D．6
6．(2018·广安)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB 于点 C.若 EC＝1，则 OF＝ 2 ．
15．(2019·邵阳)公元 3 世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时， 创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面 积是 4 ．
16．(2019·巴中)如图，等腰直角三角板如图放置，直角顶点 C 在直线 m 上，分别过点 A，B 作 AE⊥m 于点 E，BD⊥m 于点 D.
解：(1)由题意可得，∠PBC＝30°，∠MAB＝60°， ∴∠CBQ＝60°，∠BAN＝30°. ∴∠ABQ＝30°. ∴∠ABC＝90°. ∵AB＝BC＝10 km， ∴AC＝ AB2＋BC2＝10 2≈14.1(km)． 答：A，C 两港之间的距离约为 14.1 km.
(2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°.∴∠CAM＝15°. ∴C 港在 A 港北偏东 15°方向上．
(1)求证：EC＝BD； (2)若设△AEC 三边长分别为 a，b，c，利用此图证明勾股定理．
证明：(1)∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCD＝90°. ∵BD⊥m，AE⊥m， ∴∠CDB＝90°，∠AEC＝90°. ∴∠ACE＋∠CAE＝90°.∴∠CAE＝∠BCD. 在△AEC 和△CDB 中， ∠AEC＝∠CDB，
以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，
两弧交于点 C，连接 AC，BC，则△ABC 一定是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
19．(2019·呼和浩特节选)如图，在△ABC 中，内角∠A，∠B，∠C 所 对的边分别为 a，b，c.若a－ab＋c＝12（a＋cb＋c），求证：△ABC 是直角三 角形．
证明： ∵a－ab＋c＝12（a＋cb＋c）， ∴ac＝12(a＋b＋c)(a－b＋c)． ∴2ac＝(a＋c)2－b2. ∴b2＝a2＋c2. ∴△ABC 是直角三角形．
20．(2018·枣庄)如图是由 8 个全等的小矩形组成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点 P 是某个小矩形的顶点，连接 PA，PB， 那么使△ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是( B )
考点 4 直角三角形斜边上的中线的性质 7．(2019·株洲)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CM 是斜边 AB 上的中线，E，F 分别为 MB，BC 的中点．若 EF＝1，则 AB＝ 4 ．
8．(2019·吉林)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝10，BD⊥AD.若将△BCD 沿 BD 折叠，点 C 与边 AB 的中点 E 恰好重合，则四边形 BCDE 的周长为20．
29．【关注数学文化】(2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之 一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图 1，以直角三角形的各边 为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图 2 的方式放置在最 大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C )
A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
∠CAE＝∠BCD， AC＝CB， ∴△AEC≌△CDB(AAS)．∴EC＝BD.
(2)由①知 BD＝CE＝a，CD＝AE＝b， ∴S 梯形 ABDE＝12(a＋b)(a＋b)＝21a2＋ab＋12b2. 又∵S 梯形 ABDE＝S△AEC＋S△BCD＋S△ABC＝12ab＋21ab＋12c2＝ab＋12c2， ∴21a2＋ab＋12b2＝ab＋12c2.∴a2＋b2＝c2. ∴直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
26．(2019·苏州)如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝90°.P 为A︵B上的一点， 过点 P 作 PC⊥OA，垂足为 C，PC 与 AB 交于点 D.若 PD＝2，CD＝1，则 该扇形的半径长为 5 ．
27．(2019·鄂州)如图，已知线段 AB＝4，O 是 AB 的中点，直线 l 经过 点 O，∠1＝60°，P 点是直线 l 上一点，当△APB 为直角三角形时，则 BP ＝ 2 或 2 3或 2 7 ．