第4单元 第18讲 直角三角形(解析版)

《中考数学总复习指导》第四单元三角形第18讲直角三角形一、考纲解读直角三角形也是一种特殊的三角形，直角三角形的有关概念是了解性知识，对于直角三角形我们需要会探索并掌握直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条件并能体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

同时直角三角形的判定是我们证明线段互相垂直的主要方法之一，同时正确理解直角三角形的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题也是新课标给我们提出的具体要求。

二、命题规律1．三角形：本部分近几年，考查内容越来越综合，涉及的知识点主要有：直角三角形的性质（最广是勾股定理）。

预测2014年本部分内容考查仍旧以综合考查为主，直角三角形的性质为重点，单纯考查直角三角形知识可能性比较小。

三、知识梳理（一）直角三角形的性质1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（二）直角三角形的判定1.在一个三角形中，有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。

，那么这个三角形是直角三角形。

3.在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

四、基础自测1．（2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．．cm-=，则该直角三角2．（2013•巴中）若直角三角形的两直角边长为a、b40形的斜边长为_______________．3．（2013•鞍山）如图，D是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．4．（2013•莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．5．（2013•内江）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠AC B=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．五、题型详解考点一：直角三角形的性质【例1】（2012•安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A.10B.C. 10或D.10或变式题：(2013•雅安)在平面直角坐标系中，已知点A0），B0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．考点二、直角三角形的判定【例2】（2013•包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．变式题：（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁．．离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．的点A处，则壁虎捕捉蚊．．，离容器上沿0.3m与蚊子相对子的最短距离为m（容器厚度忽略不计）.六、课后练习基础巩固一、填空题1.（2013•梅州）如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是．2.（2013•哈尔滨）在△ABC中，AB=BC=1，∠ABC=450，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．思路分析：双解问题，画等腰直角三角形ABD，使∠ABD=900，分两种情况，点D与C在AB同侧， D与C在AB异侧，考虑要全面；, 解：当点D与C在AB同侧，BD=AB=,作CE⊥BD于由勾股定理，当点D与C在AB异侧，BD=AB=,∠BDC=1350，作DE⊥BC于E,BE=ED=2,EC=3，由勾股定理点拨：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一些情况，故解决问题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．3.（2013•包头）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D 点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为．4．（2013•陕西）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ．思路分析：由物理学内容及利用对称性，再结合相似三角形的知识（或者结合一次函数知识）都可以计算出答案。

5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．二、选择题1.（2012•广西）已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③12．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．②B．①②C．①③D．②③2.（2013•绥化）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1 B．C．D．3.（2013•资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804.（2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5，三、解答题1.（2013•包头）如图，一根长米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．2.（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．思路分析：（1）证△BFQ≌△AEQ即可；（2）证△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；（3）证△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，∴QE=QF=QD，即QE=QF．点拨：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．3.（2013•齐齐哈尔）已知等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，点E在AC边的延长线上，且∠DEC=45°，点M、N分别是DE、AE的中点，连接MN交直线BE于点F．当点D在CB边上时，如图1所示，易证MF+FN=12BE（1）当点D在CB边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D在BC边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论．（不需要证明）解答：（1）答：不成立，猜想：FN ﹣MF=12BE ，理由如下：证明：如图2，连接AD ，∵M 、N 分别是DE 、AE 的中点，∴MN=12AD ，又∵在△ACD 与△BCE 中，AC BCACB BCE DC CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∵MN=FN ﹣MF ，4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，求△PEB的周长的最小值？即，5.（2013•吉林）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在每个网格中标注了5个格点．按下列要求画图：（1）在图①中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（2）在图②中，以格点为顶点，画一个正方形，使其内部已标注的格点只有3个，且边长为无理数．能力提升1.（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为．2.（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．157B．125C．207D．215思路分析：根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴5==，∴BC边上的高=12×3×4÷5=65，3.（2013•株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．==，4.（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣BC﹣x．在Rt△AMN中，由勾股定理得：===．。