基于matlab的Lorenz系统仿真研究
matlab lorenz模型的状态方程
matlab lorenz模型的状态方程Lorenz模型是一种混沌系统模型，是由Edward Lorenz在1963年提出的。
该模型可以描述一个物理系统中的非线性动力学过程，常常被用来研究气象学和流体力学等领域的相关问题。
在matlab中，Lorenz模型的状态方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z分别表示三个物理量的状态变量，例如温度、速度等。
σ、ρ和β则是三个控制参数，用来调节系统的演化过程。
这些参数的选择可以决定系统的稳定性、周期性或混沌性质。
这个状态方程的含义是，三个状态量的变化是由它们之间的相互作用和所受力的影响所决定的。
其中，dx/dt和dy/dt分别表示x和y的变化率，dz/dt则表示z的变化率。
在Lorenz模型中，随着时间的演化，x、y和z的值会不断发生变化，难以预测，从而呈现出混沌的特征。
matlab作为一种强大的数学软件，可以用来求解Lorenz模型的状态方程。
通常情况下，我们可以通过matlab的ODE求解器来求解这个系统，具体步骤如下：1. 定义状态方程和初始条件：我们需要在matlab中利用函数句柄来定义状态方程，同时确定初始条件。
2. 设置ODE求解器：用户需要根据系统的特性来选择最适合的ODE求解器，例如ode45、ode23s等。
3. 求解ODE：利用所选求解器来求解ODE。
通常情况下，matlab还提供了许多其他的函数和工具箱，可以用来展示和分析所得到的结果。
总之，Lorenz模型的状态方程是一种常见的非线性动力学模型，它可以用来描述许多物理系统中的复杂行为。
利用matlab求解Lorenz模型的状态方程，可以帮助我们更好地理解这个系统的演化过程，并且研究它的混沌特性。
基于matlab的Lorenz系统的仿真研究
MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过电脑模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。
Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。
Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩〔1〕其中，a ，b ，c 为正的实常数。
本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。
2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45〔Runge-Kutta 算法〕命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,〔a〕为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，〔b〕为其在y-z平面上的投影，〔c〕为其在x-y平面上的投影，〔d〕为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法
Lorenz模型论文稳定性论文：一个Lorenz模型的数值解法摘要：lorenz方程是描述混沌现象的第一例有名的方程。
本文从气象学和解的稳定性两方面对lorenz模型进行概述，然后对此模型作了数值分析，基于稳定性讨论了程序设计并用matlab语言编写程序进行了求解，对数值解在图形上进行了描绘，最后对数值解的收敛性及稳定性进行了分析。
关键词：lorenz模型数值解收敛性稳定性第一章 lorenz模型概述本文要研究的lorenz方程形式如下：其中参数a=10,b=,c=28，初值条件为。
当时，原点是lorenz方程的唯一平衡点。
取李雅普诺夫函数，容易验证，因定正、定负，原点是渐进稳定的。
lorenz方程的所有轨迹均趋于原点。
当时，原点仍是lorenz方程的唯一平衡点。
但，，，出现叉式分支，原点不稳定。
而当时，原点不稳定。
且此时除原点外还出现两个异于原点的平衡点（，，），（,,），对称于轴。
对此两平衡点，考虑在平衡点处线性化lorenz方程，可求得特征方程为。
因，特征方程系数均大于0，实特征根必为负根。
知平衡点，渐近稳定的条件是，或，，其中。
当时，，特征方程有一对共轭纯虚根，出现分支；当时，特征方程除一负根外有一对共轭复特征根，其实部为正，对空间线性微分方程，这种空间平衡点为鞍焦点，空间轨迹投映于平面上为焦点和鞍点状。
固定a=10,b=进行讨论，易知此时=24.7368。
当时，lorenz方程的所有轨线趋于原点；当时，存在原点和平面上三个平衡点。
当时，平衡点是稳定的；当时，平衡点不稳定，属鞍焦点。
因为此时=28，所以平衡点不稳定，属鞍焦点。
取参数的不同值，我们可以通过数值解画出lorenz方程在相空间的轨迹图貌。
当时，由原点出发的两条轨迹各自分别趋于两平衡点，；在处，出现同宿轨；当时，出现由原点出发的两条轨线各自分别绕过一平衡点趋于另一平衡点，并在相空间中可能存在闭轨线或其他复杂轨线；当时，由于两平衡点，属鞍焦点，相空间中的轨线更为复杂。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
z
20 0 20
50 40 30
z
20 10 0 -20 -10 x 0 10
z
20 10 0 -20 -10 0 y 10 20
4.初值敏感性： 保持初值 x0 和 y0 不变，即 x0＝y0＝1，改变 z0 为 1.001，千分之一的变化会引起系统 行为的显著改变，如下图所示：
y
Rossler 方 程 X-Z平 面 相 图 (较 短 时 间 后 ) 50 40 30
6. 吸引子: 指相空间的这样的一个点集 s (或一个子空间) , 对 s 邻域的几乎任意一 点, 当 t 时所有轨迹线均趋于 s, 吸引子是稳定的不动点。 7. 奇异吸引子: 又称混沌吸引子, 指相空间中具有分数维的吸引子的集合。 该吸引集 由永不重复自身的一系列点组成, 并且无论如何也不表现出任何周期性。 混沌轨道就运行在 其吸引子集中。 8. 分叉和分叉点: 又称分岔或分支。 指在某个或者某组参数发生变化时, 长时间动力 学运动的类型也发生变化。 这个参数值(或这组参数值)称为分叉点, 在分叉点处参数的微小 变化会产生不同性质的动力学特性, 故系统在分叉点处是结构不稳定的。 9. 周期解: 对于系统 xn 1 f ( xn ) , 当 n 时,若存在 xn i xn , 则称该系 统有周期 i 解 。不动点可以看作是周期为 1 的解, 因为它满足 xn 1 xn 。 10. 初值敏感性： 对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征， 也有人用它来定义混沌： 混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。 敏感依赖性的一个严重后 果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。
引言． 混沌探秘
混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科 学和社会科学的几乎每一个分支。1972 年 12 月 29 日，美国麻省理工学院教授、混沌学开 创人之一 E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第 139 次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文， 提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷 风，并由此提出了天气的不可准确预报性。为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！ “混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌 则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。 混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的 海洋中。一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的 烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就 是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。一面旗帜在风中飘扬， 一 片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为 伴。
基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真
基于matlab的Lorenz系统模拟实验仿真
赖宏慧;陈澜祯
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2010(002)017
【摘要】非线性系统的研究难度一直较大,借助数学工具matlab进行模拟实验是目前研究的趋势.本文选取Lorenz系统为实验模型,探讨了采用matlab对Lorenz 系统实验的方法,快速求解能够获得实验结果以及模拟实验仿真图,最后使用matlab的动态建模环境simulik模拟仿真出的系统相图与前面实验比较.实验证明了模拟实验的可行性和通用性.
【总页数】2页(P850,1242)
【作者】赖宏慧;陈澜祯
【作者单位】赣南医学院,江西,赣州,341000;赣南医学院,江西,赣州,341000
【正文语种】中文
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基于Matlab混沌系统的数值仿真
2
几类混沌系统的数值仿真
1023 收稿日期： 2012基金项目： 宁夏师范学院创新团队资助项目（ zy201207 ） ； 宁夏自然科学基金资助项目（ NZ12225 ） ； 宁夏师范学院本科教学工程资助项目 （ JXGC2012B01 ） 作者简介： 杨纪华（ 1983 － ） ， 男， 讲师， 硕士研究生， 主要研究方向： 微分方程的稳定性与分支理论．
第 32 卷 2． 1 Lorenz 系统
绵阳师范学院学家洛伦兹（ E． N． Lorenz） 于 1963 年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引子的动力 ［5 ］ 学系统． 该系统模型可以用下列微分方程组描述 dx = ay － ax， dt dy （ 1） dt = cx － y － xz， dz = － bz + xy， dt 8 b， c ＞ 0 为参数． 通常取 a = 10 ， b= ， 其中 a， 则系统（ 1 ） 成为 3 dx = 10 y － 10 x， dt dy （ 2） dt = cx － y － xz， dz = － 8 z + xy， dt 3 A， B， 容易得到， 当 0 ＜ c1 时， 原点是系统（ 2 ） 的唯一平衡点； 当 c ＞ 1 时， 系统（ 2 ） 有三个平衡点 O， 分 别是 8 8 8 8 （ c － 1） ） ， － （ c － 1） ， c － 1） ， （ （ c － 1） ， （ c － 1） ， c － 1） ， 3 3 3 3 从而 c = 1 是系统的一个叉分支点． 在平衡点 O 处， 系统（ 2 ） 的线性化方程为 dx = 10 y － 10 x， dt dy dt = cx － y， dz = － 8 z + xy． dt 3 其相应的特征方程为 8 （ λ2 + 11 λ + 10 － 10 c） = 0 λ+ 3 （ 0， 0， 0） ， （ －
Matlab画Lorenz系统的最大李雅普诺夫指数图
Lorenz 系统文档分两个文件方程m文件和计算L指数m文件分开写，复制粘贴即可运行matlab2012a，改写方程文件和参数即可算自己的系统，其中最大L指数用的是经典的柏内庭（G.Benettin）计算方法，准确快速无误！附计算结果图！！方程m文件：function dX = Loren(t,X)global a; % 变量不放入参数表中global b;global c;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量% 输出向量的初始化dX = zeros(6,1);% Lorenz吸引子dX(1)=a*(y-x);dX(2)=x*(b-z)-y;dX(3)=x*y-c*z;end计算最大L指数文件Z=[];global a;global b;global c;a=10;c=8/3;d0=1e-7;for b=linspace(0,500,500)lsum=0;x=1;y=1;z=1;x1=1;y1=1;z1=1+d0;for i=1:100[T1,Y1]=ode45('Loren',1,[x;y;z;16;b;4]);[T2,Y2]=ode45('Loren',1,[x1;y1;z1;16;b;4]);n1=length(Y1);n2=length(Y2);x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3);x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3);d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);y1=y+(d0/d1)*(y1-y);z1=z+(d0/d1)*(z1-z);if i>50lsum=lsum+log(d1/d0);endendZ=[Z lsum/(i-50)];endb=linspace(0,500,500);plot(b,Z,'-');title('JD_{1} 系统最大lyapunov指数')xlabel('parameter b'),ylabel('The largest Lyapunov exponents'); grid on;结果图欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
Lorenz混沌系统的电路仿真
毕业论文（设计）题目Lorenz混沌系统的电路仿真指导教师：学生：学生学号：信息工程系一电气自动化专业一08自动化2班2011年04月15日摘要混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。
许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。
计算机仿真结果表明: 在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。
这个控制法则来源于雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。
电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现ABSTRACTChaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeatesand affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to usetiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.Key Words: Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.目录ABSTRAC.T (II)第一章绪论. (1)1.1选题的目的及意义. (1)1.2混沌学 (2)1.2.1混沌的发展. (2)1.2.2混沌的定义. (3)1.2.3通向混沌的道路. (5)1.3奇怪吸引子 (5)1.3.1洛伦兹吸引子. (5)1.3.2伊侬吸引子. (6)1.3.3奇怪吸引子特性. (6)第二章混沌的同步研究及其应用 (8)2. 1 混沌的同步 (8)2.1.1同步的定义. (8)2.1.2广义同步的定义. (9)2.1.3相位同步的定义. (9)2.2谈谈几种典型的同步方法. (10)2.2.1驱动响应同步法. (10)2.2.2变量反馈微扰同步方法. (11)2. 2. 3 相互祸合的同步方法. (12)2.2.4自适应同步方法. (13)2.3 混沌同步的研究进展. (13)2.4混沌同步的应用. (14)第三章针对Lorenz 系统的混沌同步控制电子电路设计 (15)3.1Loren: 系统的科学价值和历史意义 (15)3.2Lorenz 系统的动力学行为. (15)3.2.1L orenz 系统的基本动力学行为 (15)3.2.2平衡点和分岔. (17)3.3 电子电路的应用设计. (17)3.3.1简单混沌现象研究. (20)4.3.2电路图 (21)第四章计算机仿真与电路的实现 (22)4.1软件设计 (22)4.1.1软件设计的基本原则. (22)4.1.2软件选择 (22)4.1.3电路的实现. (23)4.2 仿真与分析 (23)4.2.1M atlab 仿真. (23)4.2.2结果分析 (24)论文总结与展望 (26)致. (27)参考文献. (28)第一章绪论1.1选题的目的及意义混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70 年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。
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基于Matlab的Lorenz系统仿真研究摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。
首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。
这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。
Lorenz方程的表达式如下：{dxdt=σ(y−x) dydt=(μ−z)x−y dzdt=−bz+xy其中，σ、μ、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)') >> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')运行上述程序，可得到如下波形：其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
可以看到，混沌吸引子在各平面上的投影类似于横写的“8”字形。
由于参数σ=10，μ=30，b=8/3时为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统行为的显著改变。
因此，将初值改为x=z=0.1,y=0.11,绘制此时混沌吸引子在x-z 平面上的投影，并与初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z 平面上的投影放在同一张图中比较。
为了区别两者，初值为x=y=z=0.1时混沌吸引子在x-z 平面上的投影用蓝色，初值改为x=z=0.1,y=0.11时混沌吸引子在x-z 平面上的投影用红色。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3)) >> hold on>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> x0=[0.1,0.11,0.1];(a)(b)(c)(d)>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0); >> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')得到的图形如下所示：可以看到，虽然初值只有0.01的改变，红色与蓝色图形明显不重合，这证明了系统的敏感性。
3.matlab 对Lorenz 系统仿真首先利用matlab 的Simulink 功能，搭建Lorenz 系统的模型，仿真模型如下图所示：0102030405060在仿真模型中，取参数σ=10，b=8/3，观察参数μ取不同值时系统的运行状态。
根据文献[1]的分析，当参数0<μ<1时，只有一个稳定平衡点O（0,0,0）。
取初值为x=y=z=2,参数μ=0.5，仿真停止时间取为50，运行仿真。
得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：050100150 00.511.522.53可见，系统很快地趋向并稳定在O （0,0,0），验证了前面所述。
根据文献[1]，当μ>1时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和P+，P-。
此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。
当1<μ<13.926时，不稳定流形最终螺旋地趋于与之同侧的平衡点P+或P-；当μ=13.926时，不稳定流形刚好无限趋于原点O ，即出现同宿轨；当μ>13.926时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的P+或P-。
可见，μ是一个同宿分岔点。
因此，取初值x=y=z=2，μ=8，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：05010015020025030035023456715020025030035040045023456710020030040050060070024681012可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点P+或P-。
取初值x=y=z=2，μ=18，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：050010001500-20-15-10-50510150500100015001015202530可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点P+或P-。
为了观察μ=13.926的同宿分岔点现象，在μ=13.926附近不断尝试，最终在μ=15.39682328时观察到比较明显的过渡迹象。
取初值x=y=z=2，μ=15.39682328，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：050010001500-10-5510152050010001500-15-10-5510155001000150020002500300005101520253035404550可以看到，虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点P+或P-，但有着明显的过渡迹象。
可以推测，当μ取15.39682328到15.39682330间的某一个数值时，会出现同宿轨现象。
根据文献[1]，当μ>24.74时，P+与P-变为不稳定的，也就是说系统进入“混沌区”。
此时三个平衡点O、P+、P-都不稳定。
取初值x=y=z=2，μ=30，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：0500100015002000250030003500400045005000-20204060801000500100015002000250030003500400045005000-40-20204060801005001000150020002500300035004000450050000102030405060708090100可以看到，上述图形中，轨线绕着P+若干圈后，又绕着P-若干圈，如此循环，符合文献[1]的描述。
为了观察由系统趋向于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的过渡现象，在μ=24.74附近反复不断尝试，最终发现当μ=23.299时，可以观察到明显的过渡迹象。
因此，取初值x=y=z=2，μ=23.299，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：5001000150020002500-20-101020304005001000150020002500-20-1010203040500100015002000250005101520253035404550可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条围绕与之异侧的平衡点的轨道上。
仅从仿真运行的这段时间，无法判断系统是处于混沌状态还是会趋向于与之异侧的平衡点，可以看出明显的过渡迹象。
4.对Lorenz 系统的反馈控制系统的稳定是系统的基本要求。
为了使Lorenz 系统的不稳定平衡点变为稳定平衡点，根据文献[2]，可以通过加入反馈控制的方法实现。
加入反馈后，Lorenz 方程变为：{ dx dt =σ(y −x)dy dt =(μ−z )x −y dz dt =−bz +xy+ky 由上式可以看出，第二个方程加入了简单的线性反馈ky 。
建立加入反馈后的系统仿真模型，如下图所示：根据文献[2]的分析，当k<-35.1时，可以满足使系统稳定的要求。
取初值x=y=z=2，μ=30，仿真停止时间为100，k=-36，运行仿真，得到x 、y 、z 的相图以及x-z ，y-z ，x-y 的图形依次如下所示：010020030040050060002468101202004006008001000120005101520250100200300400500600024681012可以看到，系统很快趋于原点O(0,0,0)并稳定下来，这验证了通过加入反馈使Lorenz系统变得稳定的这一方法的正确性。
5.结论本文直观地观察了Lorenz混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性，比较分析了在不同参数下的Lorenz系统仿真结果，最后验证了添加反馈控制这一方法可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
通过使用matlab对Lorenz系统仿真，直观地观察到了Lorenz系统的运行轨迹，加深了对Lorenz方程和混沌现象的理解。
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