高一数学平面与平面垂直2
高一数学教学课件人教A版必修二 平面与平面垂直的性质
二、怎样证线线垂直：
1.利用平面几何中的定理：半圆上的圆周角是
直角、勾股定理的逆定理……
2.利用平移：a⊥b,b∥ca⊥c；
3.利用线面垂直定义：a⊥α,bαa⊥b；
4.利用三垂线定理或其逆定理（以后学）；
……
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2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面 垂直。
a
a a
探究
A1 A
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面面垂直的性质
D1
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α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
规律小结
一、怎样证线线平行：
1.利用平面几何中的定理：三角形（或
梯形）的中位线与底边平行、平行四边形的 对边平行、利用比例、…… 2.利用公理4； 3.利用线面平行的性质定理； 4.利用面面平行的性质定理； 5.利用线面垂直的性质定理；
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例 , a , a , 判断a与 位置关系 α 解：设 l
在α内作直线b⊥l
b l a β l b b 又a a // b a // b bl
在γ内过A点作直线 a ⊥n， 在γ内过A点作直线 b⊥m，
l β α
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a γ
m b A
n
2.3.2.2平面与平面垂直的判定定理
C是圆周上不同于A、B的任意一点，
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
证明: 设⊙O所在平面为
∵
PA , BC ∴ PA BC
又∵ AB为圆的直径 ∴ AC BC
∵ PA AC A
C
A
O
B
PA 面PAC, AC 面PAC
∵ BC 面PBC ∴ 面PAC 面PBC
“线面垂直，则面面垂直”
课堂作业
P74 习题2.3 B组 1
练习：
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的
正方形,侧棱 PD a, PA PC 2a:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求证:∠PCD为二面角P-BC-D的平面角.
2. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形， PA⊥底面ABCD，PA=AD，M为AB的中点， 求证：平面PMC⊥平面PCD.
C β α A B D
E
则∠ABE是二面角-CD-的平面角，
而AB⊥BE，故-CD-是直二面角． ∴⊥ .
注意：两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个
平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据． 如：建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检 查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据 这个原理．
P
F
E
D A M B
C
3. 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N 分别是AB、PC的中点 MN CD; （1）求证： （2）若PDA 45 ，求证：平面AMN 面PCD
P E N A
D
C
M
B
4.在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
北师大版高一数学必修2《垂直关系的性质》
6.2 垂直关系的性质知识点一：直线和平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．知识点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．知识点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c．（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E 是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E 作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【变式2】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF ⊥平面ACE。
6.5.2第2课时平面与平面垂直的判定课件高一下学期数学北师大版
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
思考：判断下列命题是否正确，并简要说明理由.（1）若a∥α，a⊥β，则α⊥β；（2）若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β；（3）经过已知平面的垂线，有且只有一个平面与已知平面垂直.
体验
（1）正确，理由如下：∵a∥α，∴α内必存在一条直线b∥a.又a⊥β，∴b⊥β.又b⊂α，∴α⊥β.（2）正确，理由如下：∵a⊥b，a⊥α，∴b∥α或b ⊂α.又b⊥β，∴结合（1）中结论可得α⊥β. 错误.理由如下：不妨设平面α的垂线为a，显然，过直线a的平面有无数个.根据面面垂直的判定定理，过直线a的平面都与平面α垂直，故命题错误.
学生实践
温故知新
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
学生实践
温故知新
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
猜定理
证定理
定理表达
简单应用
综合应用
温故知新
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
温故知新
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
1.答案②③.①若α⊥β，⊥β，则∥α或⊂α，①错误；②∵m⊥β，∥m，∴⊥β，又⊂α，∴α⊥β，②正确；③∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又⊂β，∴⊥m，③正确；④若α∩β=m，∥α，则∥m或、m异面，④错误.故真命题有②③.
温故知新
情境引入
新知探求
新知应用
归纳小结
检测达标
4.如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=4，AA′=3√2，M、N分别是A′C′、AC的中点，E在侧棱AA′上，且A′E=2EA，求证：平面MEB⊥平面BEN.
高一数学面面垂直的性质2
b b
b
平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直,则一个平面 观察两垂直平面中,一 内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直. 个平面内的直线与另 一个平面的有哪些位 符号表示： 置关系?
Ⅱ.概括结论 b b b
“同一法”
利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问 证明：设α∩β＝c，过点P在平面α内 题的情形下所采用的一种数学方法， 作直线b⊥c， 面面垂直的性质推论： ∵α⊥β,∴b⊥β.而a⊥β，P∈a, 如果两个平面互相垂直，那么经过 ∵经过一点只能有一条直线与 平面β垂直,∴直线a应与直线b重合. 第一个平面内的一点垂直于第二个平面 那么a α.
b
l
该命题正确吗？ 线面垂直
简述为： b l 面面垂直 b l
定理证明
一般地，平面α⊥平面β，α∩β＝MN，AB在β内, AB⊥MN于点B，这时，直线AB⊥平面α 证明： 在平面α内作BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β 的平面角 ∵平面α ⊥平面β ∴∠ABC＝90° 即AB⊥BC 又AB⊥MN ∴AB⊥α
AD 的中点．
求证：(1)直线 EF∥平面 PCD；
(2)平面 BEF⊥平面 PAD
BF ⊥AD ⇒BF⊥面PAD( 因为平面PAD⊥平面 ABCD)⇒平面BEF⊥平面PAD(因为 BF⊂平面BEF)．前者利用面
面垂直的性质定理，后者利用面面垂直的判定定理．
面面垂直性质探究一：
设平面α⊥平面β, 点P∈α,P∈a, a⊥β,请同学们 讨论直线a与平面α的关系. 如图,已知α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β. 求证：a α
8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理课件高一下学期数学人教A版
探究新知
观察 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与水平 面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为 墙面垂直于水平面，否则他就认为墙面不垂直于水平面．你能 明白这种方法的道理吗？
No
Image
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
已知：AB , AB (图１) 求证：
受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
β
α
以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
探究新知
二面角的平面角说明:
(1)角的顶点在棱上;
B
(2)角的两边分别在两个面内;
β
(3)角的边都垂直于二面角的棱。
lO
A α
A
A
l
O
B
O B
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
5．平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面垂直.
a a
简记：线面垂直
a
面面垂直
例题讲解
例1:已知：如图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A′BD⊥平面ACC'A'.
使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体S-EFG中
必有( ).
A.SG⊥△EFG所在平面
S
G3
B.SD⊥△EFG所在平面 F
C.GF⊥△SEF所在平面
D
D.GD⊥△SEF所在平面 G1
人教版高一数学《2.3.4平面与平面垂直的性质》课件
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
高一数学平面与平面垂直的判定
2、课后思考。
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用
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小结
作业
别浪费了，留着这坛子好酒给店里赚钱吧！天儿这么晚了，咱们随便吃点儿就行了！”耿英和耿直也都坚持不让开酒坛。酒店 老板和伙计们对这三兄妹更加刮目相看。老板说：“那咱就不用喝酒了。这些饭菜，咱们随意吃吧！”大家愉快地吃饭不提。 饭毕告辞时，老板对耿正兄妹三人说：“今儿个熬得太晚了，又是这么个情况，你们一定很累了。明儿个就不用来上班了，咱 们的契约今天就算是终止了。好好歇息一下，准备你们以后的创业途径吧！还有啊，你们在以后创业的过程中，如果遇到什么 难处了，请一定来和我说一声。咱们酒店还有些个实力，一定会倾力相帮的！”耿正说：“多谢您！可酒店里明天就没有”老 板说：“放心，已经说好了，明儿个一早，就会有一家子献艺的人来应试的！我看他们人挺不错，先试用几天吧！”那个机灵 的演唱台伺应生伙计赶快跑到台后的乐器存放柜里取来二胡。老板接过来拿在手里小心地摸一摸，一边将其递到耿正的手上， 一边说：“耿兄弟啊，你的这把二胡非同寻常哇，你拉二胡的手法也真是少见的好，简直就是人胡合一，美妙得很哪！让人听 得，啧啧，我无法用语言来说得清楚呢！”耿正伸双手接过二胡来，谦逊地说：“您过奖了！只要学一学，谁都能拉得很好听 的。”老板说：“不，这不一样！唉，咱不说这些了，你们快回去休息吧！这天儿太晚了，你们又住得偏僻，让两个伙计护送 你们回去吧！”耿正说：“多谢老板关心，但不用护送了，我们三个人呢！”有两个伙计说：“我俩就住在那一带呢，咱们一 起走吧！”老板将五人送出酒店，对两个伙计说：“你俩可一定要把他们送到出租房的门口啊！巷子太深，这么晚了怕是不安 全呢！”两个伙计都说：“老板放心，我俩一定会把他们送到出租房门口的！”走在路上时，其中的一个伙计对耿正说：“耿 兄弟啊，你这个妹妹可真厉害，不但现编现唱来得那么快，表演得那么好，而且那个气势，啧啧，真正少见呢！”另一个伙计 也说：“是啊！耿妹子，你怎么就那么有把握呢？知道唱完了就一准儿能赢得满堂大喝彩！”耿英说：“因为有大多数客人们 的支持啊！我看得出来，他们早就看不下去了！只要我们能坚持唱下去，大家就肯定能为我们喝大彩的！”耿正说：“正如那 位做证人的老先生所言，邪不压正啊！”一个伙计说：“是这样的！”另一个伙计说：“不过这耿妹子还真是很了不起呢！还 有啊，耿兄弟你和你的这个小弟弟也很了不起！你们兄妹三个不但有志向能吃苦，而且实在是具有超人的智慧和胆识呢！佩服， 佩服啊！”耿英说：“您就别夸我们了。唉，什么智慧啊胆识的，都是被逼出来的啊！”耿正也说“确实是被逼出来的！这人 啊，想要活得好很难，想要做成一些事情就更难嘞！”说着摸摸耿直
人教新课标版数学高一必修2讲义 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质1．理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点) 3．理解“平行”与“垂直”之间的相互转化．(易错点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的性质定理 阅读教材P 70的内容，完成下列问题．文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( ) (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( )(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．()【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．【答案】(1)√(2)√(3)√教材整理2平面与平面垂直的性质定理阅读教材P71“思考”以下至P72“例4”以上的内容，完成下列问题．文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l⇒a⊥β图形语言在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF 与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直D[在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．][小组合作型]线面垂直性质定理的应用如图2-3-31所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N 是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.图2-3-31求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．【精彩点拨】(1)要证线线平行，则先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可证ON＝AM，ON＝12AB.【自主解答】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC. 又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1. (2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON綊12DC綊12AB，∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM.∵ON＝12AB，∴AM＝12AB，∴M是AB的中点．1．直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行的相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．2．当题中垂直条件很多，但又需证平行关系时，就要考虑垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．[再练一题]1．如图2-3-32，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.图2-3-32【证明】因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a ∥l .面面垂直性质定理的应用如图2-3-33所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a 的菱形且∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .图2-3-33(1)若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .【精彩点拨】 (1)菱形ABCD ，∠DAB ＝60°―→△ABD 为正三角形―→BG ⊥AD ―――――――→面PAD ⊥底面ABCDBG ⊥平面PAD(2)要证AD ⊥PB ，只需证AD ⊥平面PBG 即可．【自主解答】 (1)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，由已知∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形， ∵G 是AD 的中点， ∴BG ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴BG⊥平面PAD.(2)如图，连接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG.∴AD⊥PB.1．证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)．2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．[再练一题]2．如图2-3-34，四棱锥V-ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.图2-3-34【证明】∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥平面VBC，∵VA⊂平面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.[探究共研型]垂直关系的综合应用探究1如图2-3-35，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB＝2，AC ＝BC＝2，等边△ADB以AB为轴转动．当平面ADB⊥平面ABC时，能否求CD的长度？图2-3-35【提示】取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE，由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.探究2在上述问题中，当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．【提示】①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由探究1知AB⊥DE.又因AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.探究3试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．【提示】垂直问题转化关系如下所示：如图2-3-36，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA ⊥底面ABCD；图2-3-36(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.【精彩点拨】(1)利用性质定理可得PA⊥底面ABCD；(2)可证BE∥AD，从而得BE∥平面PAD；(3)利用面面垂直的判定定理．【自主解答】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.1．证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．2．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[再练一题]3．如图2-3-37，在三棱锥P-ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.图2-3-37【证明】(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．【答案】 D2．已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作ME⊥AB于E，则()A．ME⊥平面ACB．ME⊂平面ACC．ME∥平面ACD．以上都有可能【解析】由于ME⊂平面AB1，平面AB1∩平面AC＝AB，且平面AB1⊥平面AC，ME⊥AB，则ME⊥平面AC.【答案】 A3．如图2-3-38，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE ＝________.图2-3-38【解析】因为AF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC为直角三角形，CE＝ED2＋CD2＝13.【答案】134．如图2-3-39，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________.图2-3-39【解析】过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.【答案】45°5．如图2-3-40，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.图2-3-40【证明】在矩形ABCD中，AD⊥CD，因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PCD.。
平面与平面垂直 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
(C) a//β，a//α
(D) a//α，a⊥β
练习
－ － － － － － － － － － 教材158页
3. 如下页图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，
为什么?
解：平面ABC⊥平面BCD，
平面ABD⊥平面BCD
平面ABC⊥平面ACD
理由如下：AB
平面BCD
平面ABC
平面BCD.
变式 若 P 是△ABC 所在平面外一点，而△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的
正三角形，PA＝ 6，那么二面角 P-BC-A 的大小为____9_0_°____．
解：如图，取 BC 的中点 O，连接 OA，OP，
P
则∠POA 为二面角 P-BC-A 的平面角，
∵OP＝OA＝ 3，PA＝ 6， ∴△POA 为直角三角形，∠POA＝90°.
当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示
B
二面角的两个半平面展开成一个平面.
β
lO
因此，二面角的平面角的取值范围为__[0_°_,_1_8_0_°_]_.
注意区分各种角的取值范围：
异面直线所成角：__(_0_°_, _9_0_°]___，线面角：__[_0_°_, _9_0_°]____.
1. 复习 (3) 直线与平面垂直的性质：
b
a
c
性质1：若a⊥α，m⊂α，则a⊥m. 性质2：若a⊥α，b⊥α，则a//b. (性质定理) 直线与平面垂直的性质定理：
m
垂直于同一平面的两条直线平行.
l
性质3：若a⊥α，c α，且c⊥a，则c//α.
性质4：若α//β，l⊥α，则l⊥β.
β
接下来我们将要探索平面与平面垂直的判定与性质. α
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记得中学时代，叔叔当时在林业队里当保管员。有一次，我到坡里搂草的时候，经过老驴崖果园小屋的时候，忽然，叔叔叫了我乳名，我顺声望去，感到真亲切，两眼里也透着怀疑的目光，心想， 叔叔不是在林业队里当保管员吗？怎么会在老远的坡里和林业队员一起打药？难道叔叔不当保管员了？待停下一会一看，叔叔到小屋里拿出一袋袋药来，用小称称量着倒进水桶里，在水桶里勾兑好，再 倒进一个个大缸里。十几个队员一桶桶往大缸里倒水，搅拌，再从大缸里舀出一桶一桶地打药，分布在果园的各个角落，男男女女，嘻嘻哈哈，按喷雾器的，举着杆子打药的，真是大场面。我在那果园 小屋前，见到了大世面，从此，我就记住了那小屋，记住了叔叔在那里勾兑药的场面。
365备用登陆 回家跟父母一说，母亲听了接着说：“那可能就是荆XX，他家就在供销社南面住，我在供销社干的时候，他常去买东西，也常站下说说话，老人不错。”听了母亲的话，我恍然。我猜，可能我常到
供销社去找母亲，他有时见过我，认得了。
老人给过我几次苹果我早已忘记，可老人给我苹果的那一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、一幕，常常浮现在我眼前。