2.3.2 平面与平面垂直的判定定理ppt课件
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人教版高中数学必修2(A版) 2.3.2平面与平面垂直的判定 PPT课件
类似地，下面的这个二面角应该如何表示？
Q l
B P
二面角的表示
(1)二面角－AB－ (2)二面角P AB Q (3)二面角 l (4)二面角P l Q
A
三.新知的探索 思考4：我们常说“把门开得大一些”，是指哪个角
大一些？
三.新知的探索
在上述变化过程中，图形在变化，形成的二面角也在变化， 我们应该怎样刻画二面角的大小？
2.3.2平面与平面垂直的判定
一.复习与回顾
1.1如何作出两条异面直线的夹角？ 1.2如何作出斜线与平面的夹角？ “空间问题平面化” 1.3在研究上述两个问题时，我们采用了相同的方法，即将 空间角的问题转化为平面角进行处理.
P
a
a
O
a
b/
A
B
b
二.新知的引入
三.新知的探索
我们知道直线上的一点将直线分割成两部分， 每一部分分别叫射线. 那么平面上的一条直线将整个平面一分为二， 每一部分应该叫做什么呢？
（2）角的两边分别在两个面内
（3）角的两边都要垂直于二面角的棱
三.新知的探索 观察：
1.教室相邻的两个墙面分别与地面所成的二面角是多少度？ 相邻的两个墙面所成的二面角又是多少度？
2.教室相邻的两个墙面分别与地面有什么样的位置关系？ 相邻的两个墙面又有什么位置关系呢？
三.新知的探索 3.4定义：
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3.转化与化归思想：空间问题平面化处理 习题2.3 必做题A组 第1题、第2题 选做题B组 第1题
P
PA BC PA AC A
BC AC
§2.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1. 理解和掌握二面角和二面角的平面角的相关概念； 2. 掌握平面与平面垂直的判定定理. 【重点难点】 1.二面角的平面角； 2.面面垂直的判定定理. [自主感知] 1. 二面角及其相关定义？ 2. 两个平面互相垂直的判定定理: 文字语言：若一个平面过另一个平面的 ,则这两个 平面 .简称：若线面垂直，则面面垂直 符号语言：若_______________________________，则 . [深入探究] 探究一：二面角大小的表示往往利用二面角的平面角例 2 如图所示，已知三棱锥D ABC -中，满足A B A C D B ==DC == 2,BC DA ==，求二面角A B C D --的大小. 探究二：面面垂直判定定理的考察 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC PBC ⊥平面.……………………………………装…………………………………订…….…………………………………线……….………………………………...................................…[拓展运用]例3 如图，在正方体''''ABCD A B C D-中，求证：平面''ACC A⊥平面'A BD．【课堂小结】1.二面角的平面角；2.面面垂直的判定定理.【当堂检测】1.已知直线l⊥平面α，则经过l且和平面α垂直的平面有（）A.1个B.2个C.有无数个D.不存在2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C. 2D. 33.直线l是平面α的斜线，则经过l且和平面α垂直的平面有个.4.四边形ABCD是矩形，P为平面ABCD外一点，P A⊥平面ABCD，且P A=AB，则二面角P—BC—D的大小为.【课下作业】复习导学案，并完成相应学科练.【预习指导】请同学们提前预习下一节课课本内容和导学案.。
2.3.2-平面与平面垂直的判定定理
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上有进一步的认识.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的． 在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 直． 注 ① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
C
l
二面角C－AB－ D B
A
B
D
1.二面角的概念
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A A
l
O B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上有进一步的认识.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的． 在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂 直． 注 ① a , a ②该定理作用：“线面垂直面面垂直” ③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, (1)求证：平面A1C⊥平面B1D (2)E、F分别是AB、BC的中点， 求证：平面A1C1FE⊥平面B1D (3)G是BB1的中点， 求证：平面A1C1G⊥平面B1D
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
C
l
二面角C－AB－ D B
A
B
D
1.二面角的概念
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
2.3.2《平面与平面垂直的判定》课件(新人教A版必修2)
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注意:
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（1）在表示二面角的平面角时，要求 “OA⊥L” ，“OB⊥L”； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面 角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。 （4）二面角的平面角的范围是: [0 ,180 ]
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4
研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 棱为AB，面分别为α ，β 的二面角记作二面角α － AB－β 。有时为了方便， 也可在α ，β 内（棱以外的 半平面部分）分别取点P， Q，将这个二面角记作二面 角P－AB－Q。如果棱记作l， 那么这个二面角记作二面角 α ―l―β 或P―l―Q。
10
品质来自专业 金太阳教育网 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 信赖源于诚信 这两个平面互相垂直．
求证：α ⊥β ． 证明：设a∩β =CD，则B∈CD． ∴AB⊥CD． β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD， 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角，又AB⊥BE，即二面角α CD-β 是直二面角． ∴α ⊥β ．
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8
4、两个平面垂直的判定 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面 的判定定理．
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两个平面垂直的判定定理：如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直．
2
创设情景，揭示课题
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问题1：平面几何中“角”是怎样定 义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成 的角”、“直线和平面所成的角”又是 怎样定义的？它们有什么共同的特征？
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（1）在表示二面角的平面角时，要求 “OA⊥L” ，“OB⊥L”； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关； （3）二面角的平面角是多少度，就说这个二面 角是多少度，平面角是直角时叫直二面角。 （4）二面角的平面角的范围是: [0 ,180 ]
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研探新知 1、二面角的有关概念及其记法与表示 棱为AB，面分别为α ，β 的二面角记作二面角α － AB－β 。有时为了方便， 也可在α ，β 内（棱以外的 半平面部分）分别取点P， Q，将这个二面角记作二面 角P－AB－Q。如果棱记作l， 那么这个二面角记作二面角 α ―l―β 或P―l―Q。
10
品质来自专业 金太阳教育网 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么 信赖源于诚信 这两个平面互相垂直．
求证：α ⊥β ． 证明：设a∩β =CD，则B∈CD． ∴AB⊥CD． β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD， 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角，又AB⊥BE，即二面角α CD-β 是直二面角． ∴α ⊥β ．
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8
4、两个平面垂直的判定 判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面 的判定定理．
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两个平面垂直的判定定理：如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直．
2
创设情景，揭示课题
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问题1：平面几何中“角”是怎样定 义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成 的角”、“直线和平面所成的角”又是 怎样定义的？它们有什么共同的特征？
2.3.2 两平面垂直的判定与性质(公开课)
若 l ⊥ m ， l ⊥ n ， m ∩ n ＝B， m ， n ， P, 则 l ⊥ .
图形语言：
教学目标
知识与技能
（பைடு நூலகம்）理解二面角的有关概念，会作二面角的平面 角，能求简单二面角平面角的大小； （2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定 定理，初步学会用定理证明垂直关系； （3）熟悉线线垂直、线面垂直的转化．
表示法
2、二面角的平面角
在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O ，以点 O 为垂足， 在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA, OB ，则射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角.
A A
l
10
O
B
l
B
O
2、二面角的平面角
注 意
1）平面角的顶点在棱上； 2）平面角的两边分别在两个半平面内； 3）平面角的边都要垂直于二面角的棱.
学做导过程
角
1、二面角的定义及记法
二面角
A
图形 顶点 O
边
边 B
A 棱l B
面 面
定义
从一点出发的两条射线 （半直线）所组成的图 形叫做角. 边—点—边 （顶点） ∠AOB
从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫 做二面角. 面—直线—面 （棱） 二面角—l— 或二面角—AB—
构成
α
你发现了 什么？
大胆猜想： 一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直. α 已知AB , AB ，求证： A
证明：∵AB⊥β,CD在β内 ∴AB⊥CD
β C B D E
在平面β内过点B作直线BE⊥CD
∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角
2.3.2平面与平面垂直的判定(上课稿)ppt课件
P
A
C
B
15
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
16
例3 如图，四棱锥P-ABCD的底面
为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M
为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
17
4
2
一、二面角的定义
A
B
从一直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
5
3
二、二面角的画法
平卧式
l
直立式
A
B
l
A
B
6
三、二面角的记法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
l
B
C
l
二面角C－AB－ D
2.3.2平面与平面垂直的判定
1
1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？ 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样 定义的？
2
二面角引入 日常生活中我们应该能体会到打开的门与墙之间的 关系 打开的书 页面与页面之间的关系
3
新课引入
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面
例4 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
A
C
B
15
例2:如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在 的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：
平面PAC 平面PBC.
P
C
A
•O
B
16
例3 如图，四棱锥P-ABCD的底面
为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M
为AB的中点，求证：平面PMC⊥平面
PCD.
P
F
E
D
C
A
M
B
17
4
2
一、二面角的定义
A
B
从一直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
5
3
二、二面角的画法
平卧式
l
直立式
A
B
l
A
B
6
三、二面角的记法
二面角－AB－
A
二面角－ l－
l
B
C
l
二面角C－AB－ D
2.3.2平面与平面垂直的判定
1
1.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样 定义的？ 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样 定义的？
2
二面角引入 日常生活中我们应该能体会到打开的门与墙之间的 关系 打开的书 页面与页面之间的关系
3
新课引入
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面
例4 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD， ∠ BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°， 求证：平面ABC⊥平面ACD.
2.3.2平面与平面垂直的判定定理(典型)
又 PB=PC，F为BC的中点， PF BC 而 PF EF=F， BC 面PEF. BC PE 故由PE AC，PE BC，AC BC=C， PE 面ABC. PE 面PAC， 面PAC 面ABC.
定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平互相垂直 符号语言： 图形语言：
a B a A
a
作用：线面垂直面面垂直
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
P
证明： 正方形ABCD中，A C BD
PA 平面ABCD PA BD BD 平面ABCD
A
D
O
B C
BD 平面PAC 平面PAC 平面PBD。 BD 平面PBD
例3： ABCD是正方形，边长为2，O是正方形
的中心，PO⊥平面ABCD ，PO=√2， E是PC的
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
PA 平面ABC PA BC BC 平面ABC BC AC PA AC A
C A
B
P
BC 平面PAC
BC 平面PBC
O
平面PAC⊥平面PBC
练习
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。
求证：平面PAC平面PBD。
P E D A O B C
中点，求证：平面PAC⊥BDE.
练习（P69）
1.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D
高一数学必修二 2.3.2 平面与平面垂直的判定
二图 面示 角
的 平
ห้องสมุดไป่ตู้
符 号
OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l⇒∠AOB 是二面角 的平面角
面 角
范 围
0°≤∠AOB≤180°
规 定
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角 是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面 角叫做直二面角
知识梳理
12
名师点拨 1.二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置唯 一确定的,与选择棱上的点的位置无关.
重难点突破
12
2.处理翻折问题的关键 剖析:处理翻折问题的关键是对翻折前的平面图形与翻折后的立 体图形进行对比,有哪些位置关系和相关量发生了变化;如果发生 变化,那么发生了怎样的变化,还有哪些没有发生变化,切不可混淆 不清. 例如:在正三角形ABC中,E,F,P分别是AB,AC,BC边上的点,满足
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B, 所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1, 所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
重难点突破
12
1.理解二面角及其平面角 剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形, 二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平 面图形转化的思想. (2)二面角的平面角的定义是两条射线的夹角,不是两条直线的夹 角,因此,二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°. (3)两个平面相交,可以构成四个二面角,其中相对的两个二面角 相等,相邻的两个二面角互补.
高一数学必修二教学课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
1.了解二面角及其平面角的概念. 2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法. 3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关面面垂直 的问题.
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2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
精品课件
1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
思路分析：①找基面 平面BCD
D1
E
C1
②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
③作平面角 作FG⊥BD于G，连结EG A1
解：过E作EF⊥CD于F， ∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体， A ∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，
D
B1 C
GF
M
B
过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
精品课件
3
在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如： 修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成 适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的 轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.
于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．
∵BC = 1，CD = 2， ∴ GF1BCCD121 2 BD 25 5
而EF = 1，在△EFG中 tanEGFEF 5 GF
精品课件
练11习
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二 面角. 求证: B D C, D BA 6C 00
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
精品课件
C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
二面角的范围为：[0。，180。]
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8
1.二面角的概念
(5) 二面角的平面角的作法：
A
①定义法
②垂线法
A
OB
l
③作棱的垂面法
l
O
B
A B ,A ,B
过A作AOl
连 接 OB,则 OBl
o
B
A
ll
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，
且与两半平面的交线分别是射线 OA、
OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角
A'
A
l
B'
O' O B
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
精品课件
7
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A
A
l
O
O
B
B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
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4
1.二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平ห้องสมุดไป่ตู้
面
面
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面
面
棱l
5
1.二面角的概念
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
直注．2：① a ,a
②该定理作用：“线面垂直面面垂直”
③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
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15
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1)求证：平面A1C⊥平面B1D
(2)E、F分别是AB、BC的中点，
求证：平面A1C1FE⊥平面B1D
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
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C
F Ｂ G GG G
C1
B1
练16习
例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面 于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
精品课件
练13习
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
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14
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是
直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：[ 0o, 90o ]．
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2
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上有进一步的认识.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
-l- 的平面角．
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补9充
例 正方体ABCD—A1B1C1D1中， 二面角B1-AA1-C1的大小为__4_5_°_， 二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_， 二面角C1-BD-C的正切值是___2____.
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练10习
练 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．
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1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
思路分析：①找基面 平面BCD
D1
E
C1
②作基面的垂线 过E作EF⊥CD于F
③作平面角 作FG⊥BD于G，连结EG A1
解：过E作EF⊥CD于F， ∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体， A ∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点，
D
B1 C
GF
M
B
过F作FG⊥BD于G，连结EG，则EG⊥BD．（三垂线定理）
解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们 将三维空间的角转化为二维空间的角，即平面角来刻画.接下来， 我们同样来研究平面与平面的角度问题.
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3
在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角．如： 修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成 适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的 轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.
于是，∠EGF为二面角E－BD－C的平面角．
∵BC = 1，CD = 2， ∴ GF1BCCD121 2 BD 25 5
而EF = 1，在△EFG中 tanEGFEF 5 GF
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练11习
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二 面角. 求证: B D C, D BA 6C 00
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
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C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
二面角的范围为：[0。，180。]
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8
1.二面角的概念
(5) 二面角的平面角的作法：
A
①定义法
②垂线法
A
OB
l
③作棱的垂面法
l
O
B
A B ,A ,B
过A作AOl
连 接 OB,则 OBl
o
B
A
ll
一个平面垂直于二面角 -l- 的棱 l，
且与两半平面的交线分别是射线 OA、
OB，O 为垂足，则∠AOB 为二面角
A'
A
l
B'
O' O B
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
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1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
A
A
l
O
O
B
B
注1： ①当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°； ②平面角是直角的二面角叫做直二面角，此时称两半平面所在的两 个平面互相垂直.
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4
1.二面角的概念
(1) 半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做 半平面．
(2) 二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．
半
半
平
l平ห้องสมุดไป่ตู้
面
面
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面
面
棱l
5
1.二面角的概念
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
直注．2：① a ,a
②该定理作用：“线面垂直面面垂直”
③应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.
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15
练 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1)求证：平面A1C⊥平面B1D
(2)E、F分别是AB、BC的中点，
求证：平面A1C1FE⊥平面B1D
(3)G是BB1的中点，
A
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
总结:
直线A1C1 ⊥平面B1D，则过直线 A1C1 的平面都垂直于平面B1D
A1
D E
D1
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C
F Ｂ G GG G
C1
B1
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例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面 于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
600 H
300
AC
G
B
答:沿这条路向上走 100 米,升高约 43.3 米.
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思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
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14
2.平面与平面垂直的判定
(1) 定义法：两个平面相交，如果它们所成的二面角是
直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作
a
a
(2) 面面垂直的判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角. 范围：[ 0o, 90o ]．
精品课件
2
空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论 上有进一步的认识.
两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的．
-l- 的平面角．
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补9充
例 正方体ABCD—A1B1C1D1中， 二面角B1-AA1-C1的大小为__4_5_°_， 二面角B-AA1-D的大小为___9_0_°_， 二面角C1-BD-C的正切值是___2____.
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练10习
练 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ， E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．