2.34平面与平面垂直的性质教案

2.3.4 平面与平面垂直的性质
刘淑芳
教学目标
知识与技能目标:
①进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定,使学生理解和掌握面面垂直的性质定理.
②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题, 应用定理解决相关问题.进一步培养学生空间
观念.
过程与方法目标:
①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问
题中的运用.
②通过“直观感知、操作确认,推理证明”, 培养学生逻辑推理能力.
③发展学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新的精神.
情感、态度与价值观目标:
①学生的合情推理能力和空间想象力 ,培养学生的质疑思辨、创新精神.
②让学生亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数学的兴趣.
教学重点、难点：
重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导.
难点：运用性质定理解决实际问题.
教学过程
一、复习回顾
1、面面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
2、面面垂直的判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 二、引入新课
思考1.(情境导入)
教室的黑板所在的平面与地面是什么关系？能否在黑板上画一条直线与地面
垂直？
思考2.(事例导入)
如图1,,平面,αβ,由可以得到b α⊂,
αβ⊥是否可以得到b α⊥？ 图1 【设计意图】通过简单小实验,在复习面面垂直判定定理的同时,让学生感受到数学知识在生活中的实例.
通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到：垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引
入新课题的同时让学生经历数学发现的过程.
三、探究新知
如图2,设βα⊥,l α
β=,.观察两垂直平面中,一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?
α
图2
当平面α内直线b满足什么条件时,b⊥β
【设计意图】通过简单的实物操作,为新知识找到生长点,让学生直观感知到:垂直于交线即垂直于另一平面,从而在引入新课题的同时让学生经历数学发现的过程.
（1）创设情境:将面面垂直的判定定理的条件和结论互换,得到的新命题是否还成立.
结合黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！
（2）探索新知:
由前面小实验,让学生体会由特殊到一般的数学思想,并总结出直观结论:
面面垂直的性质定理:
两平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言表述
,
l
b
b
b l
αβ
αβ
β
α
⊥⎫
⎪
=⎪
⇒⊥
⎬
⊂⎪
⎪
⊥⎭
注:1学习自然语言转化为数学语言:符号化.
2、揭示定理的内涵:在面内作交线的垂线,体现“平面化”的数学思想.
我们知道,面面垂直也可通过线面垂直来证明,这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法.
练习:已知,l
α⊥βαβ=,判断下列命题的正误
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β（）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β（）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于平面β（）
【设计意图】以小练习的方式,加深学生对性质定理中条件的认识,进一步强调学习中必须注意细节,培养学生养成细致观察的良好学习习惯.
β
两平面垂直的性质定理应注意：
定理的条件有：平面垂直,线在面内,线垂直交线.
下面我们来看一下两个平面垂直的性质的另一个定理,也即课本72页思考.
设平面α
⊥平面β,点P 在平面α内,过点P 作平面β的垂线a ,求证：直线a ⊂平面α.
【设计意图】猜想的结论需要严格的数学证明,教会学生怎样分析条件和结论,找出关键点,解决问题.
这是面面垂直的另一个性质,它的作用是判定直线在平面内.
用语言叙述就是：如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内. 四、理解新知
1.平面与平面垂直的性质定理用文字语言表示为：
2.平面和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：
五、运用新知
例1. 如图4,已知平面,αβ,αβ⊥,直线a 满足a β⊥,a α⊄,试判断直线a 与平面α的位置关系. 在α内作直线b ⊥l
l b b l αβαβα⊥⎫⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭
b β⇒⊥a β⊥又⎫⎬⎭//a b ⇒b a αα⊂⊄⎫⎪⇒⎬⎪⎭//a α
【设计意图】由实际问题提炼出的数学知识,需要经过严格的证明才能成为规律,通过证明培养学生严密的数学思维与知识应用能力.
五、课堂练习：（课本73页练习）
1.下列命题中错误．．
的是（ A ） (A) 如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线垂直于平面β.
(B) 如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β.
(C) 如果平面α不垂直平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.
(D) 如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,l α
β=,那么l γ⊥.
2.已知两个平面垂直,下列命题：
① 一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③ 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是（ B ）
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0
3：如图,已知PA ⊥平面ABC,平面PAB ⊥平面PBC,求证：BC ⊥平面PAB
【设计意图】选取来自教材的两个小题,及一个证明题.来检测学生对面面垂直性质定理的理解程度和应用情况,锻炼面面垂直性质定理的熟练应用,对空间垂直关系有更加深刻的认识,本小块呈现的方式是学生选炸弹图片来解题,既引起学生的兴趣,又起到锻炼的效果.
六、课堂小结
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
2、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法.
【设计意图】系统化总结空间垂直关系,也使学生对知识形成良好的知识网络.加深认识“线面位置关系同面面位置关系相互转化”是解决空间图形问题重要的思想方法.
P
A B C
七、布置作业
必做题：
课本73页习题2.3
A 组2、5
选做题：
如图,AB 是⊙O 的直径,C 是圆周上不同于A,B 的任意一点,平面PAC ⊥平面ABC,
(1)判断BC 与平面PAC 的位置关系,并证明.
(2)判断平面PBC 与平面PAC 的位置关系.
(1)证明：∵ AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的任意一点
∴∠ACB=90°∴BC ⊥AC
∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC, BC ⊂平面ABC ∴BC ⊥平面PAC
(2)又∵ BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC
【设计意图】面向全体学生,夯实基础,面向学有余力的学生,能力提升继续练习“直观感知—操作确认—推理证明”的学习方法,进一步提升学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
B A。