2012高三数学特长班总复习 三角函数1
2012届高考数学知识三角函数复习讲义
2012届高考数学知识三角函数复习讲义高中数学复习讲义第三三角函数B第三角函数的图像和性质（一）【考点导读】1能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在，正切函数在上的性质；2了解函数的实际意义，能画出的图像；3了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．【基础练习】1 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期_____6____；初相__________．2 三角方程2sin( －x)=1的解集为_______________________．3 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．4 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移__________个单位．【范例解析】例1已知函数．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．分析：化为形式．解：（I）由．列表，取点，描图：1 1 1故函数在区间上的图象是：（Ⅱ）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．例2已知正弦函数的图像如右图所示．（1）求此函数的解析式；（2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；（3）作出函数的图像的简图．分析：识别图像，抓住关键点．解：（1）由图知，，，，即．将，代入，得，解得，即．（2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，得解得代入中，得．（3），简图如图所示．点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．【反馈演练】1．为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变）；②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的倍（纵坐标不变）；③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）；④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）．其中，正确的序号有_____③______．2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移__ __个单位长度．3．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则__2____；__________．4．在内，使成立的取值范围为____________________．．下列函数：①；②；③；④．其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段时间的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期∴，解得由图示，这时，将代入上式，可取综上，所求的解析式为（）7．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．解：（1）将，代入函数得，因为，所以．又因为该函数的最小正周期为，所以，因此．（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．又因为点在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．第6 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1理解三角函数，，的性质，进一步学会研究形如函数的性质；2在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数研究．【基础练习】1写出下列函数的定义域：（1）的定义域是______________________________；（2）的定义域是____________________．2．函数f (x) = | sin x +s x |的最小正周期是____________．3．函数的最小正周期是_______．4 函数=sin(2x+ )的图象关于点_______________对称．已知函数在（－，）内是减函数，则的取值范围是______________．【范例解析】例1求下列函数的定义域：（1）；（2）．解：（1）即，故函数的定义域为且（2）即故函数的定义域为．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．例2．求下列函数的单调减区间：（1）；（2）；解：（1）因为，故原函数的单调减区间为．（2）由，得，又，所以该函数递减区间为，即．点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．例3．求下列函数的最小正周期：（1）；（2）．解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期．（2）．点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．【反馈演练】1．函数的最小正周期为_____________．2．设函数，则在上的单调递减区间为___________________．3．函数的单调递增区间是________________．4．设函数，则的最小正周期为_______________．．函数在上的单调递增区间是_______________．6．已知函数．（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）若角在第一象限且，求．解：（Ⅰ）由得，即．故的定义域为．（Ⅱ）由已知条得．从而．7．设函数图像的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）画出函数在区间上的图像解：（Ⅰ）的图像的对称轴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）由x0－1010故函数第7 三角函数的值域与最值【考点导读】1掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1函数在区间上的最小值为1 ．2函数的最大值等于．3函数且的值域是___________________．4当时，函数的最小值为4 ．【范例解析】例1（1）已知，求的最大值与最小值．（2）求函数的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：，，则．，当时，有最小值；当时，有最小值．（2）设，则，则，当时，有最大值为．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．例2求函数的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值为．解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3已知函数，．（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．解：（Ⅰ）．又，，即，．（Ⅱ），，且，，即的取值范围是．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．【反馈演练】1．函数的最小值等于____－1_______．2．当时，函数的最小值是______4 _______．3．函数的最大值为_______，最小值为________4．函数的值域为．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．6．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）．因此，函数的最小正周期为．（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，故函数在区间上的最大值为，最小值为．第８解三角形【考点导读】1掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2解三角形的基本途径：根据所给条灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△AB中，已知B＝12，A＝60°，B＝4°，则A＝2．在中，若，则的大小是______________3．在中，若，，，则．【范例解析】例1在△AB中，a，b，分别为∠A，∠B，∠的对边，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．分析：利用转化为边的关系．解：（1）由．（2）由得．由余弦定理得：，解得：或，若，则，得，即矛盾，故．点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．例2在三角形AB中，已知，试判断该三角形的形状．解法一：(边化角)由已知得：，化简得，由正弦定理得：，即，又，，．又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．解法二：(角化边)同解法一得：，由正余弦定理得：，整理得：，即或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3如图，D是直角△AB斜边B上一点，AB=AD，记∠AD= ，∠AB=（1）证明：；（2）若A= D，求．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系（1）证明：，，，（2）解：A= D，，，点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值【反馈演练】1．在中，则B =_____________．2．的内角∠A，∠B，∠的对边分别为a，b，，若a，b，成等比数列，且，则_____．3．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．4．若的内角满足，则= ．．在中，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，．所以．（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，，．．6．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．解：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，所以，（2）因为，所以，当，即时，取得最大值．7．在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ），．又，．（Ⅱ），边最大，即．又，角最小，边为最小边．由且，得．由得：．所以，最小边．第9 解三角形的应用【考点导读】1运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．【基础练习】1．在200 高的顶上，测得下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________ ．2．某人朝正东方向走x 后，向右转10°，然后朝新方向走3，结果他离出发点恰好，那么x的值为_______________ ．3．一船以每小时1的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为．4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于时，测得，，求炮击目标的距离解：在中，由正弦定理得：∴在中，由余弦定理得：∴答：线段的长为．【范例解析】例如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．解法一：如图(2)，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．解法二：如图（3），连结，由已知，，，，．在中，由余弦定理，．．由正弦定理，，即，．在中，由已知，由余弦定理，．，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条简化解题过程．【反馈演练】1．江岸边有一炮台高30，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________．2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___．3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后船沿南偏东方向航行4海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．4．把一根长为30的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________．．设是某港口水的深度（米）关于时间t（时）的函数，其中下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深的关系：t036912118212412111219111914911989121经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ A ）A．B．．D．。
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式篇一sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导篇二sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：半角公式篇三tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式篇四Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))高中数学三角函数知识点总结：和差化积篇五sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)高中三角函数知识点归纳篇六1.做高中数学题的时候千万不能怕难题！有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。
2012届高考数学三角函数概念知识归纳复习教案
2012届高考数学三角函数概念知识归纳复习教案1.三角函数概念一、知识清单1.角的概念2.象限角第I象限角的集合：第II角限角的集合：第III象限角的集合：第IV象限角的集合：3.轴线角4.终边相同的角①与（0°≤②终边在x轴上的角的集合:;③终边在y轴上的角的集合：;④终边在坐标轴上的角的集合：.5.弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角角度制与弧度制的互化：1弧度6.弧度制下的公式扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。
7.任意角的三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在终边上任取一点（与原点不重合），记，则，，，注:⑴三角函数值只与角的终边的位置有关，由角的大小唯一确定,三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、余弦、正切函数的定义域8.各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦典型例题命题方向：角的概念例1（1）写出与终边相同的角的集合M；（2）把的角写成（）的形式；（3）若角，且求；解：（1）（2）（3）∵且∴∴∴又∵∴∴或例2已知“是第三象限角，则是第几象限角?分析由是第三象限角，可得到角的范围，进而可得到的取值范围，再根据范围确定其象限即可也可用几何法来确定所在的象限解法一：因为是第三象限角，所以∴∴当k=3m（m∈Z）时，为第一象限角；当k=3m＋1（m∈Z）时，为第三象限角，当k=3m＋2（m∈Z）时，为第四象限角故为第一、三、四象限角解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域由图可知，是第一、三、四象限角小结：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域命题方向：三角函数符号的判断例3.已知sin=，cos=－，那么α的终边在A.第一象限B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限解析：sinα=2sincos=－＜0，cosα=cos2－sin2=＞0，∴α终边在第四象限.答案：D变式．若且是，则是（C）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角例4.若θ是第二象限的角，则的符号是什么?剖析：确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关键看角所在象限.解：∵2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z），∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0.∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0.∴＜0.命题方向：弧长公式的应用例5、在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：D例6已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R，（1）若，R=，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。
高考数学常用三角函数公式总结_高考数学复习指导整理
高考数学常用三角函数公式总结_高考数学复习指导整理高考数学中涉及的三角函数公式是数学考试中经常考察的内容，弄清楚这些公式对提高解题能力非常重要。
下面是高考数学常用的三角函数公式总结：1.三角函数的定义：正弦函数：sinA = 对边/斜边 = a/c余弦函数：cosA = 邻边/斜边 = b/c正切函数：tanA = 对边/邻边 = a/b2.基本关系：余弦函数与正弦函数的关系：sin^2A + cos^2A = 1正切函数与余切函数的关系：tanA * cotA = 13.三角函数的基本性质：奇偶性：sin(-A) = -sinA，cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA关于y轴对称：sin(-A) = -sinA，cot(-A) = -cotA关于x轴对称：cos(-A) = cosA，tan(-A) = -tanA周期性：sin(A + 2πn) = sinA，其中n为整数cos(A + 2πn) = cosA，其中n为整数tan(A + πn) = tanA，其中n为整数4.初等角的三角函数值：30度特殊角：sin30° = 1/2，cos30° = √3/2，tan30° = 1/√3 45度特殊角：sin45° = √2/2，cos45° = √2/2，tan45° = 1 60度特殊角：sin60° = √3/2，cos60° = 1/2，tan60° = √3 5.和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)6.二倍角公式：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)7.半角公式：sin(A/2) = √[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = √[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = sinA / (1 + cosA) = (1 - cosA) / sinA8.三倍角公式：sin3A = 3sinA - 4sin^3Acos3A = 4cos^3A - 3cosAtan3A = (3tanA - tan^3A) / (1 - 3tan^2A)9.和角公式：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)10.差角公式：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些三角函数的常用公式总结可以帮助高中生更好地复习和理解数学知识，提高解题能力和应对高考的能力。
高三总复习(三角函数重要知识点)
三角函数知识点一、任意角的三角函数1、终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．2．象限角是指： ．3．区间角是指： ．4．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．5．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．6．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .7．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；8．三角函数的符号与角所在象限的关系：910．三角函数线：在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线．二、同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1，1＋tan 2α＝ ，1＋cot 2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝(3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝1 2．诱导公式：－ ＋ －+cos x ,＋ ＋ － － sin x ,－ ＋ ＋ － tan x ,x y O xyO x y O规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．三、两角和与差的三角函数1．两角和的余弦公式的推导方法： 2．基本公式sin(α±β)＝sinα cosβ±cosα sinβ cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 3．公式的变式tanα＋tanβ＝tan (α＋β)(1－tanα tanβ) 1－tanα tanβ＝)tan(tan tan βαβα++4．常见的角的变换： 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝2βα+＋2βα-α＝(α＋β)－β ＝(α－β)＋β 2βα+＝(α－2β)－(2α－β)； )4()4(x x ++-ππ＝2π四、二倍角的正弦、余弦、正切1．基本公式：sin2α＝ ； cos2α＝ ＝ ＝ ； tan2α＝ . 2．公式的变用：1＋cos2α＝ ； 1－cos2α＝ ．五、三角函数的化简和求值1．三角函数式的化简的一般要求：① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式； ④ 次数尽可能低、尽可能求出值． 2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次． 3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．4．反三角函数arcsinα、arccosα、arctanα分别表示[2,2ππ-]、[0，π]、（2,2ππ-）的角．六、三角函数的恒等变形（一）、三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明实质是通过恒等变形，消除三角恒等式两端结构上的差异（如角的差异、函数名称的差异等）．2．证三角恒等式的基本思路是“消去差异，促成同一”，即通过观察、分析，找出等式两边在角、名称、结构上的差异，再选用适当的公式，消去差异，促进同一．3．证明三角恒等式的基本方法有：⑴ 化繁为简；⑵ 左右归一；⑶ 变更问题． （二）、三角条件等式的证明1．三角条件等式的证明就是逐步将条件等价转化为结论等式的过程，须注意转化过程确保充分性成立．2．三角条件等式的证明，关键在于仔细地找出所附加的条件和所要证明的结论之间的内在联系，其常用的方法有：⑴ 代入法：就是将结论变形后将条件代入，从而转化为恒等式的证明． ⑵ 综合法：从条件出发逐步变形推出结论的方法．⑶ 消去法：当已知条件中含有某些参数，而结论中不含这些参数，通过消去条件中这些参数达到证明等式的方法．⑷ 分析法：从结论出发，逐步追溯到条件的证明方法，常在难于找到证题途径时用之．七、三角函数的图象与性质1．用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个 ，将其四等分，分别找到图象的 点， 点及“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状． 2．y ＝sinx ，y ＝cosx ，y ＝tanx 的图象． 函数y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 图象注：⑴ 正弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑵ 余弦函数的对称中心为 ，对称轴为 ． ⑶ 正切函数的对称中心为 ．3．“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋ϕ)(ω>0)的图象．令x'＝ωx ＋ϕ转化为y ＝sinx'，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象． 4．函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象与函数y ＝sinx 的图象关系．振幅变换：y ＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看做是y ＝sinx 的图象上所有点的纵坐标都 ，(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍（横坐标不变）而得到的．周期变换：y ＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的．由于y ＝sinx 周期为2π，故y ＝sinωx(ω>0)的周期为 ．相位变换：y ＝sin(x ＋ϕ)(ϕ≠0)的图象，可以看做是把y ＝sinx 的图象上各点向 (ϕ>0)或向 (ϕ<0)平移 个单位而得到的．由y ＝sinx 的图象得到y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象主要有下列两种方法：或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．后一种方法第二步相位变换是向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平移 个单位．八、三角函数的性质1．三角函数的性质函 数 y ＝sinx y ＝cosx y ＝tanx 定义域 值 域 奇偶性 有界性 周期性 单调性最大(小)值2．函数y ＝sinx 的对称性与周期性的关系．⑴ 若相邻两条对称轴为x ＝a 和x ＝b ，则T ＝ ． ⑵ 若相邻两对称点(a ，0)和(b ，0) ，则T ＝ ．⑶ 若有一个对称点(a ，0)和它相邻的一条对称轴x ＝b ，则T ＝ ． 注：该结论可以推广到其它任一函数．九、三角函数的最值1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标．3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．。
高三总复习 三角函数教案资料
高三数学 三角函数及正余弦定理一、构建知识体系，考点热点一网打尽1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质：函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R { xx ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R单调性)22,22[ππππk k ++-(k ∈Z )上递增；)223,22[ππππk k ++(k ∈Z )上递减[2k π－π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上递减)2,2[ππππk k ++-(k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数偶函数奇函数对称 中心 (k π，0)(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0 (k ∈Z )⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )对称轴 方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ注：（1）.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx . （2）．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期． 2．周期函数 (1)周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期。
2012年高考数学一轮复习资料 第6讲 三角函数篇之三角函数知识点概述1
第一部分：基本知识点回顾第一节：三角函数概念 1. 角的概念2. 象限角第I 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k k ,222ππαπα 任意角三角函数定义单位圆定义： 坐标点定义：象限角的三角函数值的符号 轴线角的三角函数值 三角函数线同角三角函数的基本关系式诱导公式三角函数的图像与性质定义域、值域、周期性、奇偶性、 单调性（最值）、对称性三角函数的图像三角函数的性质函数的图像五点作图法三角函数的图像变换 相关概念的物理意义先相位后周期： 先周期后相位：三角恒等变换1.和、差角公式；2.二倍角公式；3.升、降幂公式；4.半角公式；5.辅助角公式（收缩代换）. 解三角形正弦定理余弦定理及推论解三角形的四种类型三角形的面积公式 角的有关概念任意角定义分类终边相同角的概念按旋转方向分： 按终边位置分：弧度制定义及规定弧度与角度的换算 特殊角的度数与 弧度数的对应表扇形公式第II 角限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,222ππαππα 第III 象限角的集合： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,2322ππαππα 第IV 象限角的集合：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k k ,)1(2232παππα3. 轴线角4. 终边相同的角①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）:{}Z k k ∈+⨯=,360|αββ;②终边在x 轴上的角的集合:{}Z k k ∈⨯=,180| ββ;③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ;④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ.5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化：π=︒1801801π=︒ 1弧度︒≈︒=3.57180π6.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =α，扇形面积公式211||22S R R α== ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。
(完整版)高中数学三角函数复习专题
高中数学三角函数复习专题一、知识点整理 :1、角的看法的推行：正负，范围，象限角，坐标轴上的角；2、角的会集的表示：①终边为一射线的角的会集：x x2k, k Z=|k 360o, k Z②终边为向来线的角的会集：x x k, k Z；③两射线介定的地域上的角的会集：x 2k x2k, k Z④两直线介定的地域上的角的会集：x k x k, k Z；3、任意角的三角函数：（1）弧长公式： l a R R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数， l 为弧长。
（2）扇形的面积公式：S 1lR R 为圆弧的半径， l 为弧长。
2（3）三角函数定义：角中边上任意一点 P 为 ( x, y) ，设 | OP |r 则：sin y, cos x ,tan y r= a 2b2 r r x反过来，角的终边上到原点的距离为r 的点P的坐标可写为：P r cos, r sin 比如：公式 cos()cos cossin sin的证明（4）特别角的三角函数值α032 64322sin α012310-10222cosα13210-101222tan α0313不存不存0 3在在（5）三角函数符号规律：第一象限全正，二正三切四余弦。
（6）三角函数线：（判断正负、比较大小，解方程或不等式等）y T 如图，角的终边与单位圆交于点P，过点 P 作 x 轴的垂线，P 垂足为 M ，则Ao 过点 A(1,0)作 x 轴的切线，交角终边OP 于点 T，则M x。
（7）同角三角函数关系式：①倒数关系： tana cot a 1sin a ②商数关系： tan acosa③平方关系： sin 2 a cos2 a1（ 8)引诱公试sin cos tan三角函数值等于的同名三角函数值，前方-- sin+ cos- tan加上一个把看作锐角时，原三角函数值的- tan-+ sin- cos符号；即：函数名不变，符号看象限+- sin- cos+ tan2-- sin+ cos- tan2k++ sin+ cos+ tansin con tan2+ cos+ sin+ cot三角函数值等于的异名三角函数值，前方2+ cos- sin- cot加上一个把看作锐角时，原三角函数值的3- cos- sin+ cot2符号 ;3- cos+ sin- cot2即：函数名改变，符号看象限 : sin x cos x cos x比方444cos x sin x444.两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：cos() cos a cos sin a sin sin( a) sin a coscosa sintan a(atan a tan注：公式的逆用也许变形)1 tan a tan．．．．．．．．．（2）二倍角公式：sin 2a 2sin acosa cos 2a cos2 a sin 2 a12 sin2 a 2 cos2 a 12 tan atan 2a1 tan2 a(3)几个派生公式：①辅助角公式：a sinx bcosx a2b2 sin(x)a22 cos()b x比方： sinα± cosα＝ 2 sin4＝ 2 cos4．sinα±3 cosα＝ 2sin3＝2cos3等．②降次公式： (sin cos) 21sin 2cos21cos2,sin 21cos222③ tan tan tan()(1 tan tan)5、三角函数的图像和性质：（此中 k z ）三角函数y sin x定义域（- ∞， +∞）值域[-1,1]最小正周期T2奇偶性奇[ 2k,2k]22单调性单调递加[ 2k,2k3 ]22单调递减x k对称性2(k ,0)零值点x ky cosx（- ∞， +∞）[-1,1]T 2偶[( 2k 1) ,2k ]单调递加[( 2k , (2k 1) ]单调递减x k(k,0)2x k2y tan xx k2（-∞，+∞）T奇(k,k)22单调递加k(,0)x kx k2x 2 k，最值点y max1ymax 1；无x k2x(2k 1) ，y min1y min1 6、 .函数y Asin( x) 的图像与性质：（本节知识观察一般能化成形如y Asin( x) 图像及性质）（ 1）函数 y Asin( x) 和 y Acos( x2 ) 的周期都是T（ 2）函数y A tan( x) 和 y Acot( x) 的周期都是T（ 3）五点法作y Asin( x) 的简图，设t x，取0、、、3、2来求相应x22的值以及对应的y 值再描点作图。
高中数学三角函数知识点总结
高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点总结一、锐角三角函数公式sin=的对边/斜边cos=的邻边/斜边tan=的对边/的邻边cot=的邻边/的对边二、倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))三、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 四、降幂公式sin2=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos2=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan2=(1-cos(2))/(1+cos(2))推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina[(3/2)-sina]=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(3/2)]=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)五、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a))/2cos2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))六、三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)七、两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)八、和差化积sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 九、积化和差sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2coscos=[cos(+)+cos(-)]/2sincos=[sin(+)+sin(-)]/2cossin=[sin(+)-sin(-)]/2十、诱导公式sin(-)=-sincos(-)=costan(—a)=-tansin(/2-)=coscos(/2-)=sinsin(/2+)=coscos(/2+)=-sinsin(-)=sincos(-)=-cossin(+)=-sincos(+)=-costanA=sinA/cosAtan(/2+)=-cottan(/2-)=cottan(-)=-tantan(+)=tan诱导公式记背窍门：奇变偶不变，符号看象限十一、万能公式sin=2tan(/2)/[1+tan(/2)]cos=[1-tan(/2)]/1+tan(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan(/2)]十二、其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot( C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*( n-1)/n]=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0以及sin2+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0拓展阅读：学好函数的方法一、学数学就像玩游戏，想玩好游戏，当然先要熟悉游戏规那么而在数学当中，游戏规那么就是所谓的根本定义。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
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高三特长班数学复习 三角函数一
一、任意角的三角函数的定义：在角α的终边上任取点(,)P x y ，设(0)OP r r =≠ 则sin α=
y r ；cos α=x r ；tan α=y x
三角函数在各象限的符号： 跟踪练习：若π
02
α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于（ ） A.第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：22
sin cos x x += （2）倒数关系：sin cos x
x = 关于诱导公式
（2）求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． (3)诱导公式解决常见题型
（A ）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
（B ）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 跟踪练习：1. tan600°= 2.已知3,,sin 25πθπθ⎛⎫
∈=
⎪⎝⎭
，则tan θ= ．
3.
若cos(2)πα-=
且(,0),sin()2
π
απα∈--=则_________ 三、两角和与差及二倍角的三角函数 1两角和与差的三角函数公式
sin()αβ±= cos()αβ±= tan()αβ±=
2.二倍角公式 sin 2α=
cos 2α= = =
tan 2α=
3.降幂公式：
4.辅助角公式：
跟踪练习：1.已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4
πα+=
2.sin 155°cos35°－ cos25°cos235°=____________.
3.
已知cos 23
θ=
44
sin cos θθ+= 4.(,0)2x π∈-，4
cos 5
x =，则=x 2tan （ ）
5.()sin cos f x x x =+=
2cos20x x -=
7.设2tan()5αβ+=
，1tan()44πβ-=，则tan()4π
α+= 8.若1cos()5αβ+=，3
cos()5
αβ-=，则tan tan αβ=
_____． 9.已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，2
2
π
π
θ-
<<
．
（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；
（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．
10.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox
圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为
5
52,102 （1） 求)tan(
βα+的值； （2）求βα2+的值。
四、三角函数的图像与性质
1.结合五点作图画出正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数y
（1）定义域：都是R
（2）值域：都是 对于sin y x =，当x= 时，y 取最大值1；当x= 时，y 取最小值－1；
对于cos y x =，当x= 时，y 取最大值1，当x= 时，y 取最小值－1。
（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是
②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是
4）单调性：
sin y x =在区间 上单调递增，在 单调递减； cos y x =在 上单调递增，在区间 上单调递减，。
（5）奇偶性与对称性：
正弦函数s i n ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π
π⎛⎫
+
∈ ⎪⎝
⎭
，对称轴是直线()x k k Z π=∈
2、正切函数tan y x =的图象和性质：请画图像： （1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：周期是 .
（4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是,02k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k Z ∈， （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-
++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数。
3、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222
ππ
ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
4.函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：
①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位
得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得
到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|ϕ
ω
个单位，
5.研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将
sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，
要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。
跟踪练习：1. ()cos 6f x x πω⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的最小正周期为
5
π
，其中0ω>，则ω= ． 2.若函数2
1()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ）A ．最小正周期为π
2
的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2π的偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
3.将函数x y 4sin =的图像向左平移
12
π
个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图像，则ϕ等于（ ） A 、12π- B 、3π- C 、3
π D 、12π
4.函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6
(π
-和(,0)2π，且该
函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ）
A 、)4
23sin(
2π
+=x y B 、)42sin(2π+=x y C 、)623sin(2π+=x y D 、)62sin(2π+=x y
5.若函数()sin()f x x ωϕ=+的图像（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是（ ）
A 、1,3πωϕ==
B 、1,3πωϕ==-
C 、1,26πωϕ==
D 、1,6
π
ωϕ==-
6.()sin f x x x =∈x (R ).（1）求函数)(x f 的最小正周期; （2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．
7..设2()6cos 2f x x x =．求()f x 的最大值及最小正周期. 8..已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调区间 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-
上的值域 （3）作出()f x 在一个周期内的图像
9.、设向量(sin ,cos )x x =a ，(sin )x x =b ，x ∈R ，函数()(2)f x =+
a a
b . (1) 求函数()f x 的最大值与单调递增区间；
(2) 求使不等式f(x)>=2成立的x 的取值集合.。