2019年高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线课时规范练 理
2019高考(押题)数学二轮复习 专题五 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质教案 理
第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第49页[悟通——方法结论]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：|||PF 1|－|PF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B2．(2018·山西四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：∵抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p 4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝4＋9p216，∴sin ∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：C3．如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10. 答案：104．(2018·重庆模拟)从双曲线x 24－y 29＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝4的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|M T|＝________.解析：不妨设点P 在第一象限，双曲线x 24－y 29＝1的右焦点为F ′，连接PF ′，O T.(图略)因为M 为线段FP 的中点，所以|OM |＝12|PF ′|，|FM |＝12|PF |，且|O T|＝2，|OF |＝13，所以|F T|＝|OF |2－|OT |2＝3，由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝4，易知|MF |＞|F T|，所以|MO |－|M T|＝12|PF ′|－(|MF |－|F T|)＝12|PF ′|－12|PF |＋|F T|＝12(|PF ′|－|PF |)＋3＝12×(－4)＋3＝1. 答案：11．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础． 2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质授课提示：对应学生用书第49页[悟通——方法结论]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．3．抛物线方程中p 的几何意义为焦点到准线的距离．[全练——快速解答]1．(2018·南宁、柳州联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，故选B. 答案：B2．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为( )A.12B.22C.33D.23解析：根据题意可取P (c ，b 2a )，Q (c ，－b 2a )，所以tan ∠PAF ＝b 2aa ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a＝1－e ，cos ∠PAQ ＝cos 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAFcos 2∠PAF ＋sin 2∠PAF＝1－tan 2∠PAF 1＋tan 2∠PAF ＝1－(1－e )21＋(1－e )2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，所以1－e ＝12，e ＝12.故选A.答案：A3．(2018·惠州模拟)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c ) ，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M (－bc2a，c2)．因点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故(－bc2a )2＋(c2)2＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得ca ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.答案：A4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得A M →＝(－1－x 1,1－y 1)，B M →＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得A M →·B M →＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.答案：21．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系授课提示：对应学生用书第50页[悟通——方法结论]弦长问题设直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线AB 的斜率存在(设为k )，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)，其中|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2；若直线AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．(1)(2018·山西八校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135˚，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为( )A ．22－2B ．22－1 C.2－1D ．32－4解析：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135˚，所以直线MF 的倾斜角为45˚，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p 2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p 2＝(3＋22)p2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.答案：A(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)(12分)设A ，B 为曲线C ：①求直线AB 的斜率；②设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线且求直线AB的方程．[学审题][规范解答] ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝14，y 2＝24，x 1＋x 2＝4，(2分)于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (4分)②由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2， (6分)于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，(8分)故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1) .(10分)由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7(m ＝－1舍去)．所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.(12分)直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系．[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B. 答案：B2．(2018·洛阳模拟)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →＝0，求直线l 的方程．解析：(1)∵椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1，由11a 2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝t y ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，得(t 2＋3)y 2＋22t y －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3， ①∵OA →＋3OB →－2OC →＝0，∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13(12x 1＋32x 2)2＋(12y 1＋32y 2)2＝14(x 213＋y 21)＋34(x 223＋y 22)＋32(13x 1x 2＋y 1y 2)＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 将x 1＝t y 1＋2，x 2＝t y 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1. 故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.授课提示：对应学生用书第143页一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：在双曲线 x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，而其渐近线方程为y ＝±ba x ，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.答案：D2．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m＞0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.答案：B3．(2018·张掖模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则圆心(0,2)到直线bx －ay＝0的距离为1，所以2aa 2＋b2＝1，即2a c ＝1，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2，故选C. 答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a .由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2aba 2＋b2＝a ，即a 2＝3b 2.又e 2＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝63.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.答案：A6．(2018·长春模拟)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1.故选A.答案：A7．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：由题意，得e ＝c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22，故选D. 答案：D8．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，有下列直线：①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：易知直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.选C.答案：C9．(2018·洛阳模拟)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( )A.34B.45 C ．54D ．无法确定解析：双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y＝±34x .不妨设M 在直线 y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(x －5)，设M (t ，34t)，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M (165，125)．由对称性可得N (165，－125)，所以直线MN 的方程为x ＝165.设P (m ，n )，则d ＝|m －165|，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝(m －5)2＋n 2＝14|5m －16|.故d |PF |＝|m －165|14|5m －16|＝45，故选B.答案：B10．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)， ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D. 答案：D11．(2018·广西五校联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF →1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF →1·NF →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0， 即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0， 故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2 答案：B12．(2018·南昌模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3 B.3π4 C.5π6D.2π3解析：由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)． 所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32()|AF |＋|BF |22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π， 所以∠AFB 的最大值为2π3.答案：D 二、填空题13．(2018·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a＝22＝ 2.答案： 214．(2018·武汉调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝abx ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5b c＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8.答案：815．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：416．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是________．解析：当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥ 3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 答案：(0,1]∪[9，＋∞) 三、解答题17．(2018·辽宁五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为b .(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解析：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6，①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a ，② 又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M (m ，y 0x 0＋2(m ＋2))，又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3(1－x 204)，若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，A 2M →·A 2P →＝0， 所以(m －2，y 0x 0＋2(m ＋2))·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3(1－x 204)x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)(14m －72)＝0.又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以m ＝14.18．(2018·福州模拟)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1＜x ＜4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； (2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解析：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1＜x ＜4)， 故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －a x＝2x －4，因为1＜x ＜4，所以－2＜k PQ ＜4，所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2,4)． (2)证明：法一：P (0，a )(a ≠0)．令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a ＞0，a ＜2，且a ≠0， 解得x ＝1±4－2a2，故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a2，0)两点． 故可设圆E 的圆心为M (1，t)， 由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14， 则圆E 的半径r ＝|MP |＝1＋(14－a 2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2)2，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．法二：P (0，a )(a ≠0)，设抛物线C 与x 轴的两个交点分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Fy ＋G ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋Dx 1＋G ＝0，x 22＋Dx 2＋G ＝0，a 2＋Fa ＋G ＝0.因为x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋a ＝0，即x 2－2x ＋a2＝0的两根，所以x 21－2x 1＋a2＝0，x 22－2x 2＋a2＝0，所以D ＝－2，G ＝a2， 所以F ＝－G －a 2a ＝－(a ＋12)，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．19．(2018·广州模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点(1，263)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B →·F 1H →＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解析：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x234a 2＝1.把点(1，263)代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B (－12k 3k 2＋4，－6k 2＋83k 2＋4)． 设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k ，即M (－1k，1)．设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ，所以k MH ＝－1k ，即1－1k－x H＝－1k.所以x H ＝k －1k ，即H (k －1k，0)．又F 1(0,1)，所以F 1B →＝(－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4)，F 1H →＝(k －1k，－1)．因为F 1B →·F 1H →＝0，所以－12k 3k 2＋4·(k －1k )－4－9k23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。
2019年高考数学大二轮复习专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理ppt版本
＝
23，整理得
c2
＋3a2＝2 3ac，解得 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a.
所以双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A.
答案 A
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例2 (2018·天津)设椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右顶点
A，上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 35，|AB|＝ 13. (1)求椭圆的方程； (2)设直线 l：y＝kx(k<0)与椭圆交于 P，Q 两点，
l 与直线 AB 交于点 M，且点 P，M 均在第四象限．若 △BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍，求 k 的值．
又直线 bx－ay＋2ab＝0 与圆相切，∴圆心到直线
的距离 d＝ a22a＋b b2＝a，解得 a＝ 3b，
∴
b a
＝
1 3
，
∴
e
＝
c a
＝
a2－b2 a
＝
1－ba2 ＝
1－
132＝
36.故选
A.
答案 A
3．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，
过点(－2，0)且斜率为23的直线与 C 交于 M，N 两点，
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◎通关题组
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线 C：xa22－by22＝1(a>0，
b>0)的一条渐近线方程为 y＝ 25x，且与椭圆1x22 ＋y32＝1
有公共焦点，则 C 的方程为
(广东专版)2019高考数学二轮复习-第二部分 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线课件
可得 a＝b，则 a＝b＝2 2， 则该双曲线的方程为x82－y82＝1.
(2)由椭圆的定义及对称性， △PEF2 的周长的最小值为 2a. 所以 2a＝4b，a＝2b，则 c＝ a2－b2＝ 3b， 则椭圆 C 的离心率 e＝ac＝ 23. 答案：(1)A (2)A
由 y1＝kx1－k，y2＝kx2－k 得 kMA＋kMB＝2kx（1x2x－1－3k2（）x（1＋x2x－2）2）＋4k. 将 y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1 得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 所以 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22＋－12. 则 2kx1x2 － 3k(x1 ＋ x2) ＋ 4k ＝ 4k3－4k－2k122＋k3＋1 8k3＋4k＝0.
利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|＝y0＋1，且|FF′|＝ 2|NN′|＝2，
又 2(y0＋1)＝|FF′|＋|NN′|＝3，知 y0＝12. 所以|MF|＝12＋1＝32，从而|NT|＝|FN|＝2|MF|＝3. 答案：(1)C (2)3
[规律方法] 1．凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义 转化到准线的距离处理．如本例充分运用抛物线定义实 施转化，使解答简捷、明快． 2．求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后 计算”．所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”， 就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值，最 后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．
从而 kMA＋kMB＝0，故 MA，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB. 综上，∠OMA＝∠OMB.
1．圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以 选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题．
2．直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其 是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高， 突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查．
2019年高考数学(理科)二轮复习课件：专题五第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质
考点一
C
目 录
ONTENTS
4
考点二
考点三
课后训练 提升能力
考情分析 明确方向
年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养 直线与抛物线的位置关 命题分析 系及应用· T8 1.圆锥曲线的定义、方程与性质是 Ⅰ卷 双曲线的几何性质及直 每年高考必考的内容．以选择、填 空题的形式考查，常出现在第 4～ 线与双曲线的位置关 11 或 15～16 题的位置，着重考查 系· T11 圆锥曲线的几何性质与标准方程， 难度中等． 2018 2.圆锥曲线的综合问题多以解答题 椭圆的离心率· T12 的形式考查，常作为压轴题出现在 双曲线的离心率· T11 第 20 题的位置，一般难度较大． 学科素养 Ⅲ卷 直线与抛物线的位置关 通过对椭圆、双曲线、抛物线的定 义、方程及几何性质的考查，着重 系· T16 考查了数学抽象、数学建模与数学 运算三大核心素养. 双曲线的渐近线方 Ⅱ卷 程· T5
22 2 x2 y2 xb y 5， 根据①②可知 a2＝4， ＝ C. － ＝1 D. － ＝1 5 4 4 3 2 2 x y 所以 C 的方程为 － ＝1. 4 5
考点一
圆锥曲线的定义与标准方程
2． (2018· 山西四校联考)设抛物线 C： y2＝3px(p＞0)的焦点为 F， 点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛 物线 C 的方程为( A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x )
考点一
圆锥曲线的定义与标准方程
[全练——快速解答]
2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题五 2 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 学案 含解析
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程 (1)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55 B.655 C.855D.455(2)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0【解析】 (1)如图，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.(2)不妨设P 为双曲线C 右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，则|PF 2|＝2a 最小，所以∠PF 1F 2＝30°.在△PF 1F 2中，由余弦定理，可得cos 30°＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1||F 1F 2|＝16a 2＋4c 2－4a22×4a ×2c ＝32，整理得c 2＋3a 2＝23ac ，解得c ＝3a ，所以b ＝ c 2－a 2＝2a . 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A. 【答案】 (1)C (2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质①已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，设焦点三角形PF 1F 2中∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝b 2tan θ2.②已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，设焦点三角形PF 1F 2，若∠F 1PF 2最大，则点P 为椭圆短轴的端点．③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为2b2a.(2)双曲线的焦点三角形的几个性质若双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：①设∠F 1PF 2＝θ，则S △F 1PF 2＝b 2tanθ2.特别地，当∠F 1PF 2＝90°时，有S △F 1PF 2＝b 2.②双曲线的焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点．当点P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点P 在双曲线右支上时，切点为右顶点．[对点训练]1．(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1解析：选D.因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.2．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过F 的直线交C 于A ，B 两点，交l 于点E ，直线AO 交l 于点D .若|BE |＝2|BF |，且|AF |＝3，则|BD |＝( )A ．1B ．3C ．3或9D ．1或9解析：选D.分别过点A ，B 作AA 1，BB 1垂直于l ， 且垂足分别为A 1，B 1， 依题意，易证BD ∥x 轴， 所以D 与B 1重合．由已知条件|BE |＝2|BF |得，|BE |＝2|BB 1|， 所以∠BEB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，如图1，|BD ||AA 1|＝|BE ||AE |，所以|BD |3＝2|BD |3|BD |＋3，解得|BD |＝1， 如图2，|BD ||AA 1|＝|BE ||AE |，所以|BD |3＝2|BD ||BD |－3，解得|BD |＝9.综上，|BD |为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中，a ，b ，c 及e 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2018·石家庄质量检测(二))倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a ＋y2b＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.33(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4【解析】 (1)由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1y ＝x －c，所以(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，所以(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，所以－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2－2y 22＝－b4a 2＋b2，所以12＝4c 2a 2＋b 2，所以e ＝23，故选B.(2)因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°.不妨设过点F的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°，又直线MN 过点F (2，0)，所以直线MN 的方程为y ＝－3(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以|OM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3，故选B. 【答案】 (1)B (2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． ②用法：(i)可得b a 或a b的值．(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]1．(2018·福州四校联考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b ，所以菱形的边长为2b ，由勾股定理得4条直线与y 轴的交点到x 轴的距离为4b 2－c 2＝3b 2－a 2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b a ＝3b 2－a2a 2＋b 2，解得a ＝b ，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，故选A.2．(2018·广州综合测试(一))如图，在梯形ABCD 中，已知|AB |＝2|CD |，AE →＝25AC →，双曲线过C ，D ，E 三点，且以A ，B 为焦点，则双曲线的离心率为( )A.7 B ．2 2 C ．3D.10解析：选A.取AB 的中点O 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，|AB |＝2|CD |＝2c ，E (x E ，y E )，则A (－c ，0)，B (c ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，y C ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，y C ，由c 24a 2－y 2C b 2＝1，得y C ＝b 2a b 2－3a 2，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，b 2a b 2－3a 2.因为AE →＝(x E ＋c ，y E )，25AC →＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，b 2a b 2－3a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 5，b5a b 2－3a 2，AE →＝25AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x E ＝－25c ，y E＝b5ab 2－3a 2.又E 在双曲线上，故4c 225a 2－b 225a 2（b 2－3a 2）b2＝1，化简整理得4c 2－b 2＋3a 2＝25a 2，即c 2＝7a 2，故ca＝7.选A.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13D.14解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，因为△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|OF 2|＝c ，所以点P 坐标为(c ＋2c cos 60°，2c sin 60°)，即点P (2c ，3c )．因为点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，所以3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，所以e ＝14，故选D.直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[典型例题]命题角度一 位置关系的判断及应用已知抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点为椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且两曲线有公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.(1)求抛物线C 1与椭圆C 2的方程；(2)若椭圆C 2的一条切线l 与抛物线C 1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，求直线l 的方程．【解】 (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263代入抛物线方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2632＝23×2p ，解得2p ＝4，则抛物线C 1的方程为y 2＝4x ，则焦点为F (1，0)，即c ＝1，所以a 2＝b 2＋1.将⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263代入x 2b 2＋1＋y 2b 2＝1，得49（b 2＋1）＋83b 2＝1，解得b 2＝3(增根舍去)，则a 2＝4，所以椭圆C 2的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线l 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，显然k ≠0，b ≠0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x整理得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0， 所以x 1＋x 2＝－2kb －4k 2，x 1x 2＝b 2k2， 所以y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝4b k，由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2k2＋4b k＝0，整理得b ＋4k ＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1整理得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，即b 2＝3＋4k 2.② 由①②解得k ＝±12，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－2，所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x －2y －4＝0.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可．命题角度二 弦长问题(2018·唐山模拟)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴、y 轴上滑动，CP →＝2PD →.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E 相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，当点M 在曲线E 上时，求四边形AOBM 的面积．【解】 (1)设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )． 所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2（n －y ），得⎩⎨⎧m ＝（2＋1）x ，n ＝2＋12y ，由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋（2＋1）22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由题意知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0， 则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋（y 1＋y 2）22＝1，即4k 2（k 2＋2）2＋8（k 2＋2）2＝1，解得k 2＝2. 这时|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝3[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝322， 原点到直线AB 的距离d ＝11＋k2＝33， 所以平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．命题角度三 定比、分点问题(1)(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55(2)(2018·长春质量检测(一))已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. ①求椭圆C 的方程；②过点F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝λF 1B →，且2≤λ＜3，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)选C.设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4，1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a ＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b ＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32，故选C. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.②由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，Δ＝144k 2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1→＝λF 1B →，所以y 1＝－λy 2，所以y 1y 2＝－λ（1－λ）2(y 1＋y 2)2，则（1－λ）2λ＝43＋4k 2，λ＋1λ－2＝43＋4k 2，因为2≤λ＜3，所以12≤λ＋1λ－2＜43，即12≤43＋4k 2＜43，且k ＞0，解得0＜k ≤52. 故直线l 的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k ＝－b 2x 0a 2y 0(椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1)，k ＝b 2x 0a 2y 0(双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1)，k ＝p y 0(抛物线y 2＝2px )，其中k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，直线y ＝kx －1与该抛物线交于第一象限内的点A ，B ，若|AF |＝3|FB |，则k 的值是( )A. 3B.32C.33D.233解析：选D.显然k ＞0.抛物线的准线l ：y ＝－1，设其与y 轴交于点F ′，则直线y ＝kx －1过点F ′.分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，根据已知，得|AF ||BF |＝|AA ′||BB ′|＝3.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|F ′A ′||F ′B ′|＝x 1x 2＝|AA ′||BB ′|＝3，即x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得x 2－4kx ＋4＝0，则x 1＋x 2＝4k ②，由①②得x 1＝3k ，x 2＝k ，又x 1x 2＝4，所以3k ·k ＝4，即k 2＝43，解得k ＝233(负值舍去)． 2．(2018·惠州第二次调研)已知C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A (1，0)和AP 上的点M ，满足MQ →·AP →＝0，AP →＝2AM →.(1)当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；(2)若斜率为k 的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，与(1)中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且34≤OF →·OH →≤45时，求k 的取值范围．解：(1)由题意知MQ 是线段AP 的垂直平分线， 所以|CP |＝|QC |＋|QP |＝|QC |＋|QA |＝22＞|CA |＝2，所以点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2，长轴长为22的椭圆， 所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， 故点Q 的轨迹方程是x 22＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝kx ＋t ，F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切⇒|t |k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋t得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2－t 2＋1)＝8k 2＞0⇒k ≠0， x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，所以OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（2t 2－2）1＋2k 2＋kt －4kt 1＋2k 2＋t 2＝（1＋k 2）2k 21＋2k 2－4k 2（k 2＋1）1＋2k 2＋k 2＋1 ＝1＋k 21＋2k2， 所以34≤1＋k 21＋2k 2≤45⇒13≤k 2≤12⇒33≤|k |≤22， 所以－22≤k ≤－33或33≤k ≤22. 故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－33∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22.一、选择题1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．(－1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)解析：选 A.由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1＜n ＜3.2．(2018·潍坊模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b 2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝c a＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.3．(2018·石家庄质量检测(一))双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于A ，B 两点，若点A平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3 B ．2＋ 3 C ．2D.2＋1解析：选B.由题意可知A 是F 1B 的中点，O 是F 1F 2的中点(O 为坐标原点)，连接BF 2，则OA 是△F 1BF 2的中位线，故OA ∥BF 2，故F 1F 2⊥BF 2，又∠BF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|BF 1|＝4c ，|BF 2|＝23c ，所以2a ＝4c －23c ，所以e ＝c a＝2＋3，故选B.4．(2018·武汉模拟)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过焦点F 且倾斜角为π3的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝3x B ．y 2＝4x C ．y 2＝6xD ．y 2＝8x解析：选C.因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过点F 且倾斜角为π3的直线方程为y ＝3(x －p 2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px⇒3x 2－5px＋34p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B)，则⎩⎪⎨⎪⎧x A＋x B＝53p ，x A ·x B＝14p 2，所以|AB |＝（x A －x B ）2＋（y A －y B ）2＝1＋k 2|x A －x B |＝1＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫53p 2－4×14p 2＝83p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，故选C.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选 D.法一：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1，2)，N (4，4)，易知F (1，0)，所以FM →＝(0，2)，FN →＝(3，4)，所以FM →·FN →＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8.故选D.6．(2018·贵阳模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM ，切点为M ，交y 轴于点P ，若PM →＝λMF →，且双曲线的离心率e ＝62，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.如图，|OF |＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF |＝b ，根据射影定理得|PF |＝c 2b ，所以|PM |＝c 2b －b ，所以λ＝|PM →||MF →|＝c 2b －b b ＝c 2－b 2b 2＝a 2b2. 因为e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，所以b 2a 2＝12.所以λ＝2.故选B.二、填空题7．(2018·合肥第一次质量检测)抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，过抛物线E 上一点P (在第一象限内)作l 的垂线PQ ，垂足为Q .若四边形AFPQ 的周长为16，则点P 的坐标为________．解析：设P (x ，y )，其中x ＞0，y ＞0，由抛物线的定义知|PF |＝|PQ |＝x ＋1.根据题意知|AF |＝2，|QA |＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＋2＋y ＝16，y 2＝4x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－6(舍去)．所以点P 的坐标为(4，4)． 答案：(4，4)8．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．解析：根据题意可取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，Q ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以tan ∠PAF ＝b 2aa ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a ＝1－e ，cos ∠PAQ ＝cos 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF cos ∠PAF ＋sin ∠PAF＝1－tan 2∠PAF 1＋tan 2∠PAF ＝1－（1－e ）21＋（1－e ）2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0，1)，所以1－e ＝12，e ＝12. 答案：129．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是________．解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2. 又F 1(－1，0)，F 2(1，0)， 则PF 1→＝(－1－m ，－n )，PF 2→＝(1－m ，－n )， PF 1→·PF 2→＝n 2＋m 2－1＝n 2＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－1 ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－1≥a 2－1，当且仅当n ＝0时取等号， 所以PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－1. 由2≤1a ≤4，得14≤a ≤12，故－1516≤a 2－1≤－34，即PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1516，－34三、解答题10．(2018·南昌调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2）， 又120＜k 2≤54， 所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2147.11．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1→·MF 2→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1→·MF 2→＝0，得b ＝c .因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c b 2a ＝22a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2＝1. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)＞0，设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k （2k ＋1）1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －（2k ＋2）×4k （2k ＋1）1＋2k 28k 2＋8k1＋2k 2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.12．(2018·石家庄质量检测(二))已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝94的圆心C 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，圆C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，分别在点A ，B 处作抛物线的两条切线交于P 点，求三角形PAB 面积的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)由已知可得圆心C (a ，b )，半径r ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线y ＝－p2.因为圆C 与抛物线的准线相切，所以b ＝32－p2，且圆C 过焦点F ，又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即b ＝p4，所以b ＝32－p 2＝p 4，即p ＝2，故抛物线的方程为x 2＝4y .(2)易得焦点F (0，1)，直线l 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为y ＝kx ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 对y ＝x 24求导得y ′＝x 2，即k AP ＝x 12，直线AP 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21，同理直线BP 的方程为y ＝x 22x －14x 22.设P (x 0，y 0)．联立直线AP 与BP 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝2ky 0＝x 1x 24＝－1，即P (2k ，－1)，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点P 到直线AB 的距离d ＝|2k 2＋2|1＋k2＝21＋k 2， 所以三角形PAB 的面积S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当且仅当k ＝0时取等号．综上，三角形PAB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为y ＝1.。
高考数学二轮专题复习 专题五 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 新人教版
(2，±2 2)，|OM|＝ 22＋8＝2 3. 答案(dáàn)：
B
第八页，共33页。
(2)已知双曲线的两条渐近线均和圆 C：(x－1)2＋y2＝51相切， 且双曲线的右焦点为抛物线 y2＝4 5x 的焦点，则该双曲线的 标准方程为________． 解析：由题意可知双曲线的c＝ 5.设双曲线xa22－by22＝1(a>0， b>0)的一条渐近线方程为kx－y＝0，根据圆心(1,0)到该直线 的距离为半径 15，得k2＝14，即ba22＝14.又a2＋b2＝( 5)2，则a2 ＝答4案，：b2x4＝2－1，y2＝所1以所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
线与椭圆交于C，D两点．若 AC ·DB＋ AD·CB＝8，求k的值．
第二十页，共33页。
[解]
(1)设F(－c,0)，由
c a
＝
3 3
，知a＝
3 c.过点F且与x
轴垂直的直线的方程为x＝－c，代入椭圆方程有－a2c2＋by22＝
1，解得y＝± 36b，于是2 36b＝433，解得b＝ 2，又a2－c2＝
6k2 2＋3k2
，x1x2＝
3k2－6 2＋3k2
.
因为A(－ 3，0)，B( 3，0)，所以 AC ·DB ＋ AD ·CB ＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3，y2)·( 3－x1，－y1)
第二十二页，共33页。
＝6－2x1x2－2y1y2 ＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋22k＋2＋3k122. 由已知得6＋22k＋2＋3k122＝8，解得k＝± 2.
(2)(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦
高考数学二轮复习 专题六：第二讲《椭圆、双曲线、抛物线》 文 课件
(0，－a) (0，a) (1，＋∞) a 2 b 2 2a 2b
3．实轴和虚轴
y＝±x
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
D．(－4,0)
(2)(2010年湖南卷) 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离
是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
答案：(1)B (2)B
曲线的方程与方程的曲线
四、曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程 f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件： (1)曲线上点的坐标都是________(纯粹性)． (2)以这个方程的解为坐标的点都是________(完备性)．
即4k2－t2＋1＞0，即t2＜4k2＋1，且 x 1 ＋ x 2 ＝ － 1 ＋ ，8 k 4 t k 2 x 1 x 2 ＝ 1 4 ＋ t 2 － 4 k 4 2
高三数学二轮复习-专题五第二讲-椭圆、双曲线、抛物线课件
抛物线的方程及几何性质
(5分)(2011·山东)设M(x0，y0)为抛物线C: x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为 圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交， 则y0的取值范围是
A．(0,2)
B．[0,2]
C．(2，＋∞)
D．[2，＋∞)
【标准解答】 ∵x2＝8y, ∴焦点F的坐标为 (0,2), 准线方程为y＝－2.
∴c2＝a2－b2＝8.∴e＝ac＝2 4 2＝
2 2.
答案 D
4．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该
抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的 距离为
3 A.4
B．1
5
7
C.4
D.4
解析 ∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋12＝3，∴xA＋xB＝52.
解析 由于直线AB的斜率为－ba，故OP的斜率为－ba，
直线OP的方程为y＝－bax.
与椭圆方程ax22＋by22＝1联立，解得x＝±
2 2 a.
因为PF1⊥x轴，所以x＝－ 22a，
从而－ 22a＝－c，即a＝ 2c. 又|F1A|＝a＋c＝ 10＋ 5， 故 2c＋c＝ 10＋ 5，解得c＝ 5， 从而a＝ 10.所以所求的椭圆方程为1x02 ＋y52＝1. 答案 1x02 ＋y52＝1
又双曲线的离心率e＝ a2a＋b2＝ a7，所以 a7＝247， 所以a＝2，b2＝c2－a2＝3， 故双曲线的方程为x42－y32＝1.
答案 x42－y32＝1
圆锥曲线是高考考查的重点，一般会涉及到 圆锥曲线的定义、离心率、圆锥曲线的几何 性质及直线与圆锥曲线的位置关系等. 在命题 中体现知识与能力的综合，一般地，选择题、 填空题的难度属中档偏下，解答题综合性较 强，能力要求较高，故在复习的过程中，注 重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线的综 合问题的强化训练，尤其是对推理、运算能 力的训练.
主题15 椭圆、双曲线的标准方程与几何性质-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析
2019届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】第二篇 主题15 椭圆、双曲线的定义、标准方程与几何性质【主题考法】本主题考题形式为选择题或填空题，与函数、向量、正余弦定理、数列、不等式等知识结合重点考查椭圆与双曲线的定义、标准方程、几何性质，考查运算求解能力、推理论证能力，难度为基础题或中档题，分值5分.【主题考前回扣】1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(122||a F F >).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.2.椭圆的几何性质在焦点在y 轴上3.双曲线的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：(122||a F F <).注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是直线12F F 去掉线段12F F .(2)当122||a F F >时，轨迹不存在.4.双曲线的几何性质5. 等轴双曲线： 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为，离心率为y x =±.6.椭圆的通径（过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径）长度为22b a，是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值.【易错点提醒】1.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．2．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误． 3．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．【主题考向】考向一 椭圆的定义及其标准方程【解决法宝】1.涉及椭圆上的点到两焦点的距离问题时，要灵活运用椭圆的定义与正余弦定理解题； 2.求解椭圆的标准方程的求法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的22,b a 的值，最后代入写出椭圆的标准方程.例1【2019届安徽省六安一中模拟（四)】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题。
(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文新人教A版
（新课标）高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文新人教A 版第2讲 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：选B.由题意得，c a ＝12，所以c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，所以4b2＝3a 2.故选B.2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb＝1⇒bc ＝1，2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12C.14D.18解析：选D.由题意知x 2＝12y ，则F (0，18)，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 20＋（2x 20－18）2＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.4．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a＝5，故选D.5．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A.通解：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b2c2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 优解一：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A.优解二：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.6．已知直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，且与圆x 2＋y 2＝8交于点M ，N ，若|MN |≥25，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，6]B ．(1，62] C ．[62，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选C.设圆心到直线l 的距离为d (d >0)，因为|MN |≥25，所以28－d 2≥25，即0<d ≤ 3.又d ＝21＋k2，所以21＋k2≤3，解得|k |≥33.由直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，得|k |＝b c .所以b c ≥33，即b 2c 2≥13，所以c 2－a 2c 2≥13，即1－1e 2≥13，所以e ≥62，即双曲线的离心率e 的取值范围是[62，＋∞)．故选C.二、填空题7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为______．解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b 2，所以xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案：x 24－y 212＝1 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为点B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：设直线AB ：y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得：3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0， 又因为AM →＝MB →，即M 为A ，B 的中点，所以x B ＋(－p 2)＝2，即x B ＝2＋p2，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)． 答案：29．(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作PA ⊥m ，PM ⊥l ，FN ⊥l ，垂足分别为A ，M ，N .连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|PA |＝|PF |，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF |＋|PM |)min ＝|FN |.点F (1，0)到直线l 的距离|FN |＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min ＝3.答案：3 三、解答题10．(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由题意知，离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265. 11．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.12．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得2k ＋1＝0， 解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。
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2019年高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线课时规范练 理一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ． 1 C.32D ．2解析：因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0)．又因为PF ⊥x 轴，所以P (1， 2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k ＞0)，即k1＝2，所以k ＝2.答案：D2．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233解析：取渐近线y ＝b ax ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b 2，又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2. 答案：A3．(2017·河北衡水六调)已知A (－1，0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 解析：由题意得|PA |＝|PB |，所以|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2.所以点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，所以动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.答案：D4．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )(导学号 54850129)A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：由题知MF ：y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13，x 2＝3，所以M (3，23)．因为MN ⊥l ，所以N (－1，23)． 又F (1，0)，所以直线NF 的方程为y ＝－3(x －1)．故点M 到直线NF 的距离是|3（3－1）＋23|（－3）2＋12＝2 3. 答案：C5．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( )A. 3B.32 C.334D.338解析：由双曲线C ：x 2－y 23＝1，得a 2＝1，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝2，所以A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x . 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)， 代入方程y ＝－3x ，解得B (1，－3)， 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×1×3＝32.答案：B 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________．解析：因为方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，所以(m 2＋n )·(3m 2－n )＞0，解得－m 2＜n ＜3m 2. 又c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，所以|m |＝1. 因此－1＜n ＜3. 答案：(－1，3)7．(2017·邯郸质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________．解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4. 又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ |′＝3. 答案：38．(2017·潍坊三模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，t )(t ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________．解析：由题设1＋p2＝5，所以p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且AM 平行一条渐近线，所以41＋a ＝3a ，则a ＝3.答案：3 三、解答题9．(2017·佛山一中调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1，0)．(导学号 54850130)(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1) 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2. 所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0.所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝± 2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．10．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )， 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n，所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )， 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.11．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(导学号 54850131)(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．(2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。