2017届北京市西城区35中高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

北京市第三十五中学2016-2017年度第一学期期中试卷高三数学（理科）一、选择题（共8个小题，每题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处．）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|,B x x n n A ==∈，则A B =（ ）．A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}9,16【答案】B【解析】∵{}1,2,3,4A =，{}1,4,9,16B =， ∴{}1,4AB =．故选B ．2．cos15cos45cos105sin45︒︒+︒︒的值为（ ）．A ．12BC ．12-D． 【答案】A【解析】∵cos15cos45cos105sin45︒︒+︒︒ sin(1590)cos45cos105sin45=︒+︒︒+︒︒ sin(10545)=︒+︒sin150=︒ 12=． 故选A ．3．曲线24y x =和直线4y =及y 轴所围成图形的面积为（ ）． A ．23B ．43C ．2D ．83【答案】D【解析】如图所示，12301444d 033x x x ==⎰， 484133S =⨯-=阴影．【注意有文字】 故选D ．4．下列命题中错误．．的是（ ）．A ．x ∀∈R ，不等式2243x x x +>-均成立B ．若2log log 22x x +≥，则1x >C ．命题“若0a b >>，0c <，则c ca b>”的逆否命题是真命题 D ．若命题:p x ∀∈R ，211x +≥，命题:q x ∃∈R ，210x x --≤，则()p q ∧⌝是真命题 【答案】D【解析】A 项：∵22224323(1)22x x x x x x +-+=-+=-+≥， ∴x ∀∈R ，不等式2243x x x +>-均成立，A 对；B 项：若2log log 22x x +≥，则221log 2log x x+≥， 则2log 0log 20xx >⎧⎨>⎩，接触：1x >，B 对；C 项：∵()0c c c b a a b ab--=>， ∴00b a c >>⎧⎨>⎩或00b ac <<⎧⎨<⎩， 原命题是真命题，C 对， 则原命题的逆否命题也是真命题．D 项：∵20x ≥恒成立．211x +≥恒成立，命题p 是真命题．又∵221551244x x x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭≥，∴x ∃∈R ，210x x --≤，命题q 是真命题．∴()p q ∧-是假命题．D 错．5．函数y = ）．A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,1]-∞-C ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-【答案】C 【解析】设2t y =，12t m =， 22m x x =-++，由图像可知，该复合函数单调区间为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C ．26．函数ln e1xy x =--的图象大致为（ ）．A．B．C．D．【答案】B 【解析】令12x =，ln21113e 20222y =-=-=>，排除C 、D ． 令2x =，ln 22e 11y =-=， 令3x =，ln33e 21y =-=， 排除A ． 故选B ．7．函数21exax y -=存在极值点，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．1a <- B ．0a > C ．1a ≤-或0a ≥ D ．1a <-或0a >【答案】C【解析】∵21e xax y -=，2222e e (1)210(e )e x x x xax ax ax ax y ---++'===恒有解，∴0a ≠， 2440a a ∆=+≥，4(1)0a a +≥，∴1a -≤或0a >，当1a =-时，2(1)0e xx y -'=≥（舍去）， ∴1a <-或0a >， 故选C ．8．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）．A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C【解析】∵1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =，1(1)12F f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令12x =-，1(0)12F f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴(0)(1)2f f +=， ∴1(0)(1)2a f f =+=， 令112x n =-， ∴11112F f n n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令112x n=-， ∴11112n F f n n -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵1111022F F n n ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得222n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 332n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴1221(n n a n n n+-=+⨯=+∈N ）， 故选CⅡ卷二、选择题（共6个小题，共30分，请将正确答案填在答题纸相应的题号处．）9．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A 在第二象限，3cos 5α=-，则点A 的坐标为__________．【答案】4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】∵3cos 5α=-，∴4sin 5α=，∴43,55A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．极坐标系下，方程πcos 4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2ρ=表示的曲线的公共点个数为__________．【答案】2【解析】∵πcos 4ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin )ρθρθ+= ∴直线方程为20x y +-=．又∵2ρ=，24ρ=，∴曲线方程为圆：224x y +=．圆中心(0,0)到直线20x y +-=的距离2d ，即直线与圆相交．∴两曲线共有两个公共点．11．在ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，已知三个内角度数之比::1:2:3A B C ∠∠∠=，那么三边长之比::a b c 等于__________．【答案】2【解析】∵::1:2:3A B C ∠∠∠=， ∴118030123A ∠=︒⨯=︒++，218060123B ∠=︒⨯=︒++，318090123C ∠=︒⨯=︒++，∴::2a b c =．12．将函数cos2y x =的图象向右平移π4个单位，得到函数()sin y f x x =⋅，则()f x 的表达式为__________．【答案】2cos x【解析】∵cos2y x =， ↓向右平移π4个单位， ππcos 2cos 242y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin2x = ()sin f x x =⋅ ∴sin2()2cos sin xf x x x==．13．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2log n S n =，则数列的通项公式n a =__________． 【答案】12()n n -+∈N 【解析】∵2log n S n = ∴2n n S =， 112n n S --=，∴112()n n n n a S S n --+=-=∈N ．14．定义在区间[],a b 上的连续函数()y f x =，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为区间[],a b 上的“中值点”，下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，在区间[]0,1上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号） 【答案】①④【解析】①∵()3f x '=， ()()3()f b f a b a -=-，∴[]0,1ξ∀∈，均符合题意． ②∵()21f x x '=-， ()()()(1)f b f a b a b a ⋅=-+- ()()b a f ξ'=-．∵b a ≠，∴()1f a b ξ'=+-， ∴211a b ξ-=+-，1()2a b ξ=+不符合题意；③∵1()1f x x '=+，1()()ln 1b f b f a a +⎛⎫-= ⎪+⎝⎭()()f b a ξ'=-∴1ln 11()1b a f b a ξξ+⎛⎫ ⎪+⎝⎭'==-+， ∴11ln 1b ab a ξ-=-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭不符合题意；④∵21()32f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，3311()()22f b f a b a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f b a ξ'=-．∴221111()2222f b a b a ξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2132ξ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．符合题意．三、解答题（共6个小题，共80分，请将解答过程及答案填在答题纸相应的题号处．）15．（满分13分）若二次函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R 满足(1)()41f x f x x +-=+，(0)3f =． （1）求()f x 的解析式．（2）若区间[]1,1-上，不等式()6f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析【解析】（1）∵(0)3f c ==， (1)()41f x f x x +-=+，令0x =，∴(1)(0)1f f -=， ∴(1)(0)143f f a b =+==++， ∴1a b +=，①令1x =-，∴(0)(1)3f f --=-， ∴(1)(0)363f f a b -=+==-+， ∴3a b -=，②联立①②解出2a =，1b =-， ∴2()23f x x x =-+．（2）∵()6f x x m >+在[]1,1-上恒成立， ∴22360x x x m -+-->， ∴22730x x m -+->，又∵函数2273y x x m =-+-的对称轴为771224x -=-=>⨯， ∴函数在[]1,1-上单调递减，∴当1x =时，2730m -+->恒成立， ∴20m +<，2m <-， ∴(,2)m ∈--∞．16．（满分13分）等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （1）求{}n a 的通项公式．（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ （3）试比较n a 与n b 的大小，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）∵{}n a 是等差数列， 121431021022a a a d a a d +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩， ∴解出2d =，14a =， ∴1(1)n a a d n =+-422n =+- 22n =+．（2）∵232328b a ==⨯+=， 3727216b a ==⨯+=，{}n b 是等比数列，322b q b ==， ∴1n n b b q -=⨯ 22n b q -=⨯12n +=．又∵6176222(1)n b a n +====+，∴63n =，∴6b 与数列{}n a 的第63项相等．（3）猜想n n a b ≤，即12(1)2n n ++≤，即12n n +≤， 用数学归纳法证明如下：①当1n =时，1112+=，显然成立，②假设当n k =时，12k k +≤成立，即120k k +-≤成立； 则当1n k =+时，1(1)12k k +++- 2122k k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2122022k k k k k ⎛⎫=+---⨯=-< ⎪⎝⎭≤成立，由①②得，猜想成立． ∴n n a b ≤．17．（满分13分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元． （1）把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数． （2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【答案】见解析【解析】（1）∵速度为x 海里/小时，航行时间为600x小时， 总燃料费为216003002x x x ⋅=元，其余费用为6001250x ⨯元， ∴750000300y x x =+．（2）∵750000300y x x =+≥ 当且仅当750000300x x=时，等号成立， 50x =，即轮船以50海里/小时速度行驶时，全程运输成本最小．18．（满分14分）设函数ππ()sin sin cos 63f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求数()f x 的最小正周期和对称轴方程．（2）锐角ABC △的三个顶点A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若()f A =2a =，b C ∠及边c ．（3）若ABC △中，()1f C =，求2π2cos )4A A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）∵ππππ()sin sin cos sin cos cos cos sin sin 6633f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11sin cos cos 22x x x x x =++ sin cos x x =+π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．()f x 最小正周期2π2π1T ==， 对称轴方程：πππ()42x k k +=+∈Z ，ππ()4x k k =+∈Z ．（2）∵π()4f A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴πsin 14A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ2π()42A k k +=+∈Z ， 又∵ABC △是锐角三角形， ∴π4A =，又∵222cos 2b c a A bc +-= 2a =，b解出1c =1．又∵由正弦定理sin sin a b A B =，∴sin 2sin 2b A B a===， ∴在锐角ABC △中，π3B ∠=， ∴5ππ12C B A ∠=-∠-∠=， ∵在ABC △中，C B A ∠>∠>∠， ∴c b a >>，∴1c ．综上，5π12C ∠=，1c ．（3）∵π()14f c c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 4c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ππ2π44c k +=+或3π2π()4k k +∈Z ， 在ABC △中， π2C ∠=，又∵2π2cos )4A A B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭[]πcos 21(π)4A A C A ⎡⎤⎛⎫=-+--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππcos 21222A A ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令π22A θ=-，原式cos 1θθ=+1cos 12θθ⎫=+⎪⎪⎭π2sin 16θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π2sin 213A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．∵在ABC △中，ππ2A B C B =--=-， π2B A =-，且π02B <<，π02A <<， 代入不等式，解出π02A <<． ∴02πA <<， ππ2π2333A -<-<，πsin 213A ⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤，∴π12sin 2133A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤．19．（满分14分）已知关于x 的函数()(0)e xax a f x a -=≠． （1）当1a =-时，求函数()f x 在点(0,1)处的切线方程．（2）设()e ()ln x g x f x x '=+，讨论函数()g x 的单调区间．（3）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】（1）当1a =-时，1()e xx f x -+=， 2e e (1)112()(e )e ex x x x x x x x f x ---+-+--'===， 002(0)2e f -'==-， ∴12y x -=-， 即()f x 在(0,1)处的切线方程为210y x +-=．（2）∵2e e ()()e ln (e )x x xx a ax a g x x --=⋅+ 2ln (0)ax a x a =-++≠，1()g x a x'=-+， 当0a <时，()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，∴()g x 在(0,)+∞单调递增，当0a >时，令()0g x '>，解得10x a <<， 令()0g x '<，解得1x a>， ∴()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 在1,a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞单调递减． （3）∵e ()0e xxax a F x -+==没有零点， 即e (1)x a x =--无解，∴1e x y =与2(1)y a x =-+两图象无交点，设两图象相交于(,)m n 点，∴e (1)e m m a m a⎧=--⎪⎨=-⎪⎩， ∴2m =，2e a =-．∵两图象无交点，∴2(e ,0)a ∈-，20．（满分13分）若函数()f x 满足：集合{}*()|A f n n =∈N 中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数()f x 是等比源函数．（1）判断下列函数：①2y x =；②1y x=；③2log y x =中，哪些是等比源函数？（不需证明） （2）判断函数()21x f x =+是否为等比源函数，并证明你的结论．（3）证明：d ∀，*b ∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数．【答案】见解析【解析】（1）①当x 取1，2，4时，y 得1，4，16构成等比数列，∴2y x =是等比源函数．②当x 取1，2，4时，y 得1，12，14构成等比数列， ∴1y x=是等比源函数． ③当x 取2，4，16时，y 得1，2，4构成等比数列，∴2log y x =是等比源函数．综上①②③均为等比源函数．（2）函数()21x f x =+不是等比源函数，证明如下：假设存在正整数m ，n ，k ，且m n k <<，是()f m ，()f n ，()f k 成等比数列，∴2()()()f n f m f k =，2(21)(21)(21)n m k +=++，∴2122222n n m k m k +++=++，等式两边同除以2m ，∴2122212n m n m k k m --+-+=++，又∵1n m -≥，2k m -≥，∴等式左边为偶数，等式右边为奇数，∴2122212n m n m k k m --+-+=++不可能成立，故假设不成立，∴()21x f x =+不是等比源函数．（3）证明：∵b ∀，n +∈N ，都有(1)()g n g n d +-=，∴d ∀，b +∈N ，数列{}()g n 都是以(1)g 为首项，公差为d 的等差数列， d ∀，b +∈N ，(1)g ，(1)(1)g d +，2(1)(1)g d +成等比数列， ∴[][](1)(1)(1)(1)11(1)1g d g g d g g +=++-=+， []2(1)(1)(1)2(1)(1)11g d g g g d d +=+++-， []2(1)(1)1g g g d =++∴(1)g ，[](1)1g g +，[]{}2(1)(1)1()|g g g d g n n +++∈∈N ， ∴d ∀，b +∈N ，函数()g x dx b =+都是等比源函数．。