0057数学课件：不等式性质及其比较法证明不等式
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《不等式的性质》课件
不等式的可乘性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则ac>bc。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可乘性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已 知a大于b，并且c也大于0，那么在两边同时乘以c后，得到的结果仍然是ac大于bc。
不等式的可除性
总结词
如果a>b>0，且c>0，则a/c>b/c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可除性。它表明当两个正数a和b之间存在一个正数c时，如果已知a大于b， 并且c也大于0，那么在两边同时除以c后，得到的结果仍然是a/c大于b/c。
PART 03
不等式的解法
代数法解不等式
代数法是解不等式最常用的方法 之一，通过移项、合并同类项、 化简等步骤，将不等式转化为容
总结词
如果a>b且b>c，则a>c。
详细描述
这是不等式的基本性质之一，称为传递性。它表明当两个数a和c之间存在一个 中间数b，且已知a大于b且b大于c时，那么a必然大于c。
不等式的可加性
总结词
如果a>b，那么a+c>b+c。
详细描述
这是不等式的另一个重要性质，称为可加性。它表明当两个数a和b之间存在一个 差值c时，如果已知a大于b，那么在两边同时加上c后，得到的结果仍然是a+c大 于b+c。
在经济中的应用
资源配置
市场分析
不等式可以用来描述资源配置问题， 例如在生产过程中如何分配资源以达 到最大效益。
在市场分析中，可以利用不等式性质 来分析市场供需关系，例如分析商品 价格与需求量之间的关系。
决策分析
不等式及其性质ppt课件
1+
0,求证：
3+
>
1
.
3
证明：因 > 0,所以3 + > 0,从而
1+m 1
>
3+m 3
3(1 + m)
> 3+m
又因为已知 > 0,所以结论成立.
m>0
跟踪训练.已知, , 都是正数， >
+
,求证：
+
>
.
证明：因 > 0,所以 + > 0, + > 0从而
的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
综合法
+ > ⟹ + + (−) > + (−) ⟹ > −
推论1：如果 + > ,那么 > −.（移向法则）
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到
结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法
的实数大.
a
b
思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何
来判断这种不等关系呢？
数轴上两点A，B的位置关系有下列三种：
点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧
两实数,的大小有下列三种关系：
= ， > ， <
− <0⇔ <
− =0⇔ =
− >0⇔ >
不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来
学习一下吧.
1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT免费课件(第1课时)
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT免费课件(第1课时)人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT免费课件(第1课时)，共38页。
学习目标1. 掌握不等式的三个性质.2. 能够利用不等式的性质解不等式.3. 通过实例操作,培养学生观察、分析、比较问题的能力.探究新知不等式的性质1等式基本性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立.如果a=b,那么a±c=b±c.不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.不等式的性质2自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个正数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？不等式基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果a > b，c > 0，那么 ac > bc ，a/c>b/c.利用不等式的性质2解答问题设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.（1）a÷3____b÷3;（2） 0.1a____0.1b;（3） 2a+3____2b+3;（4）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数).不等式的性质3自己再写一个不等式，分别在它的两边都乘（或除以）同一个负数，看看有怎样的结果？与同桌互相交流，你们发现了什么规律？不等式两边同乘以-1，不等号方向改变.猜想：不等式两边同乘以一个负数，不等号方向改变.不等式基本性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.利用不等式的性质确定字母的值如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可变形为 x＞1，那么a 必须满足 a＜－1.解析：根据不等式的基本性质可判断，a＋1为负数，即a＋1＜0，可得 a ＜－1.提示：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．课堂小结不等式基本性质1如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c... ... ...关键词：不等式的性质PPT课件免费下载，不等式与不等式组PPT下载，.PPTX格式；。
不等式性质的ppt
x＜-1
例3.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： (1)a-3 b-3 (2) a b (3) -4a -4b
解：(1) ∵a＞b 2 2 ∴两边都减去3，由不等式基本性质1 得 a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0 ∴两边都除以2，由不等式基本性质2 得
(3) ∵a＞b，并且-4＜0 ∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3 得 -4a＜-4b
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是
负数；对于未给定范围的字母，应
分情况讨论.
1. 下列各数中,哪些是不等是x+3>6的 解?哪些不是?
-4; -2.5; 0;
1; 2.5 ;
3; 3.2; 4.8;
2. 用不等式表示: (1)a是正数;
8; 12. (2)y的2倍与1的差大于3;
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6×(-5) ＜ 2×(-5) (4)-2<3, (-2)×6 ＜ 3×6,
(-2)×(-6) ＞ 3×(-6)
由上面规律填空: (1)当不等式两边加上或减去同一个数
(正数或负数)时,不等号的方向 不变 ;
(2)当不等式两边乘同一个正数时,不等号
的方向不变 ;而乘同一个负数时,不等号的方向 ___改__变____
不等式的性质(1)
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？
不等式的基本性质和证明的基本方法
证明方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
不等式的基本性质PPT课件
事实上，如果a>b， c>0，因为ac-bc=c(ab)>0，所以ac>bc.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
(7)将不等式6>-3和-4<-2的两边都乘-3，不等号的 方向是否改变？两边都除以-2呢？
6×3 < (-3)×3; (-4)×3 > (-2)×3; 6÷2 < (-3)÷2; (-4)÷2 > (-2)÷2.
(8)由(7)你发现了什么结论？能用不等式表示 出来吗？
a>b；甲的年龄大，a+c>b+c
（2）在数轴上，点A与点B分别对应实数a，b， 并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a， b之间的大小关系.如果同时将点A，B向右（或 向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′，B ′ （如图）.你能用不等式表示点A′，B ′所对应 的数的大小关系吗？
a>b；a+c>b+c；a-c>b-c
判断下列式子是不是不等式：
（1）-3<0
是
（2）4x+3y>0 是
（3）x=3
不是
（4） x2+xy+y2 不是
（5）x+2>y+5 是
2 不等式的性质
等式具有那些性质？ 不等式是否具有这些类似性质？
等式基本性质1：
等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，等式仍旧成立
如果a=b,那么a±c=b±c
（3）由（1）（2），你发现了有关不等式的什 么结论呢？你能用不等式表示表示出来吗？
如果a>b,那么a±c>b±c.
也就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一数或同一个整式，不等号的方 向不变。
我们把这一性质作为不等式基本性质1.
数学课件：不等式的性质及比较法证明不等式
反证法适用于一些难以直接证 明的不等式，但要注意假设的 正确性和推导过程中的逻辑严
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。
密性。
CHAPTER 03
实际应用举例
代数问题中的不等式应用
代数方程的解
通过比较法证明不等式， 可以确定代数方程的解的 范围，从而找到满足条件 的解。
函数的最值
利用不等式的性质，可以 确定函数的最值，从而解 决一些优化问题。
在学习过程中，我遇到了一些困难，如理解不等式性质的推 导过程和灵活运用不等式证明技巧，但在老师和同学的帮助 下，我克服了这些困难，取得了进步。
下一步学习计划
深入学习不等式的其他性质和 证明技巧，如均值不等式、柯 西不等式等。
练习更多的不等式证明题目， 提高自己的解题能力和思维灵 活性。
学习与不等式相关的其他数学 知识，如函数、导数等，以便 更好地理解和应用不等式。
CHAPTER 05
总结与回顾
本章重点回顾
不等式的性质
01
包括传递性、加法性质、乘法性质等。
比较法证明不等式的基本步骤
02
选取适当的比较对象，利用已知的不等式性质推导所需证明的
不等式。
常见的不等式证明技巧
03
如放缩法、构造法、反证法等。
学习心得与体会
通过本章学习，我掌握了不等式的基本性质和比较法证明不 等式的方法，对不等式证明的思路和方法有了更深入的理解 。
利用不等式的性质，可以比较几何图 形的面积，从而解决一些面积问题。
物理问题中的不等式应用
物理量的范围
在物理问题中，经常需要确定物 理量的范围，如速度、加速度、 力等的范围，通过比较法证明不
等式可以得到这些范围。
物理过程的优化
利用不等式的性质，可以优化物理 过程，如最小作用量原理、最小能 量原理等。