2.3平方根(2)
苏科版-数学-八年级上册-2.3平方根 开方应用在实际生活
初中-数学-打印版初中-数学-打印版 开方应用在实际生活在实际应用中，许多问题涉及到开平方或开立方运算，解决这些问题的关键是理解平方根和立方根的意义，掌握开方的灵活应用．现举例说明．一、开平方的实际应用例1 小禹家最近购买了一套新房，其客厅有20平方米，经过全家的商议，打算用地板砖铺设地面，小禹计算一下，可以用80块正方形的地板砖铺设面积是20平方米的客厅，你能知道小禹家购买的正方形地板砖的边长吗？分析：本题是一道与实际生活密切相关的实际问题，根据题意可知，80块地板砖的面积和为20平方米，只要计算出一块地板砖的面积，然后再开方即可求到正方形地板砖的边长.解：设一块正方形的地板砖的边长为x 米，则80x 2=20，所以x 2=0.25,所以x =±0.5，因为地板砖的边长不能为负数，所以x =0.5.所以小禹家应购买边长为0.5米的地板砖.例2 学校准备在旗杆附近修建一个面积为81m 2的花坛，现有两种设计方案：方案一：建成正方形.芳案二：建成圆形.如果请你决策，从节省材料的角度考虑，你选择哪一种方案？请说明理由（π取3.14）.分析：从节省材料的角度考虑，就是用料少，即花坛周长小，因此只需要由已知条件计算出两种方案中各图形的周长，然后比较大小即可.解：设正方形的边长为am ，由题意，得a 2=81，则a =±81，即a =±9，又因为a ＞0，所以a =9，4a =36.所以方案一建成正方形的花坛需要用料36米.设圆的半径为rm ，由题意，得πr 2=81，则r =π81±，即r ≈±5.08，又因为r ＞0，所以r ≈5.08，2πr ≈31.90.所以方案二建成圆形的花坛需要用料约31.90米.由于31.90＜36，显然第二种方案用料少一些，所以选用第二种方案.二、开立方的实际应用例3 张师傅打算用铁皮焊制一个密封的正方体水箱，使其容积为1.331立方米，求需要多大的面积的铁皮．分析：求所需铁皮的面积，即求正方体的表面积，需知正方体的边长，根据正方体的容积为 1.331立方米，开立方即可求出边长。
初中数学教案：平方根的计算与应用——掌握开平方的基本方法与应用技巧
初中数学教案：平方根的计算与应用——掌握开平方的基本方法与应用技巧平方根是初中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题、运用数学知识等方面具有广泛的应用。
本教案将着重介绍平方根的计算方法和应用技巧，帮助学生掌握开平方的基本方法，并能灵活运用于实际问题的解决中。
一、平方根的定义与性质1.1 平方根的定义首先，给出平方根的定义：对于非负实数 a，如果存在一个非负实数 x，使得 x 的平方等于 a，那么 x 称为 a 的平方根，记作x = √a。
1.2 平方根的性质平方根具有以下性质：（1）非负实数的平方根仍然是非负实数；（2）平方根可以是一个有理数，也可以是一个无理数；（3）对于两个非负实数 a 和 b，若 a > b，则√a > √b。
二、开平方的基本方法2.1 直接开平方对于一个完全平方数，直接开平方就是将其平方根提取出来。
例如，√25 = 5，√100 = 10。
2.2 近似开平方对于一个非完全平方数，我们需要使用近似开平方的方法来计算。
其中，最常用的方法是不断试探的方法。
例如，要求解的数为 a，我们可以从 1 开始试探 x 的平方等于 a，如果 x 的平方小于 a，则增大 x，如果 x 的平方大于 a，则减小 x，直到找到一个 x，使得 x 的平方与 a 的差值足够小。
2.3 开平方的算法开平方的算法中，最常用且简便的是牛顿迭代法。
牛顿迭代法的基本思想是：选择一个初始的近似值，并通过不断迭代来逼近精确值。
具体步骤如下：（1）选择初始值 x，通常选择 a 的一个近似值；（2）计算 x 的平方与 a 的差值 delta；（3）将 delta 除以 2x，得到一个新的近似值 x1；（4）重复步骤（2）和（3），直到 x 和 x1 差值足够小。
三、平方根的应用技巧3.1 勾股定理勾股定理是三角形中一条重要的定理，涉及到平方根的运算。
根据勾股定理，一个直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
初中生背平方根表1-100
初中生背平方根表1-100
平方根在数学中是一个重要的概念，对初中生来说，背诵平方根表可以帮助他
们快速计算一些常见数的平方根，从而提高计算的效率。
下面是初中生背诵平方根表1-100的方法。
一、平方根的概念
在数学中，一个数的平方根是指另一个数，使得这个数的平方等于该数。
比如，4的平方根是2，因为2的平方等于4。
二、背诵平方根表1-100的方法
1.从1到10的数字，先背诵其平方根，依次是1、1.41、1.73、2、
2.24、2.45、2.65、2.83、3、
3.16。
2.对于10的倍数，如20、30、40等，可以根据已背诵的数字以及倍
数的关系进行计算。
3.对于其他数字，可以估算其平方根值，找到最接近的已知平方根，进
行修正。
4.制作一个平方根表格，将1-100的数字与其平方根对应起来，方便
查阅。
三、背诵平方根表的意义
1.通过背诵平方根表，可以提高初中生的计算速度和准确性。
2.平方根表可以帮助初中生更好地理解数学知识，巩固数学基础。
3.背诵平方根表可以锻炼初中生的记忆力和逻辑思维能力。
四、总结
初中生背诵平方根表1-100对他们的数学学习有着积极的影响，可以提高他们
的计算效率，加深对数学知识的理解。
希望通过不断的练习和巩固，初中生能够掌握更多数学知识，取得更好的成绩。
以上是初中生背诵平方根表1-100的方法，希朥对初中生的数学学习有所帮助。
2.3 平方根(第2课时)
练
=0，则
a b
的平方根
• 6、 64 36 的平方根是 ，算术平方 根是 。 • 7、已知△ABC的三边分别是a、b、c， • 且 a 1 b² -4b+4=0，求c的取值范围。
提
高
• 8、已知y= x 2 + 2 x +3，求xy的算 术平方根。 • 9、在△ABC中，∠C=90°. • (1)如果AC=5,BC=12,求AB; • (2)如果AC=2,BC=1,求AB; • (3)如果AB=25,BC=24,求AC; • (4)如果AC=5,AB=12,求BC;
交
流
1．16的算术平方根的平方根是什么？ 5的算术平方根是什么？ 2、0的算术平方根是什么？ 0的算术平方根有几个？ 3、-2、-5、-6有算术平方根吗？为什么？
例
• • • •
题
例1：求下列各数的算术平方根： （1）625； （2）0.81； （3）6； （4）（-2）² (5) 256 (6) ( 0 . 25 ) 2
初中数学八年级上册 （苏科版）
2.3平方根
导
入
正数a有2个平方根，其 中正数a的正的平方根，也叫 做a的算术平方根。 例如，4的平方根是±2， 2叫做4的算术平方根。
举
例
• 4的平方根是±2，2叫做4的算术 平方根，记作 4 =2， • 2的平方根是“± 2 ”， 2 叫做 2的算术平方根， • 0只有一个平方根，0的平方根也叫 做0的算术平方根，即 0 =0
h
d
应
用
• 例2：“欲穷千里目，更上一层楼”。说的是登 的高看得远。若观测点的高度为h，观测者视线 能达到的最远距离为d≈2 hR ，其中R是地球半 径（通常取6400km），小丽站在海边一块岩石 上，眼睛离地面的高度为20M，她观测到远处一 艘船刚露出海平面，此时该小船离小丽有多远？
初一数学平方根的计算
初一数学平方根的计算平方根是数学中的一个重要概念，它在初中数学学习中经常出现，并且在实际生活中也有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论初一数学中平方根的计算方法，帮助同学们更好地理解和应用它。
1. 平方根的定义数学中，平方根是指一个数的平方等于它自身的非负实数。
可以用符号√来表示平方根，例如√4=2，表示2是4的平方根。
2. 平方根的计算方法初一数学中，求解平方根可以通过以下几种方法进行。
2.1 估算法当我们需要大致计算一个数的平方根时，可以通过估算来得到近似值。
例如，计算√40，我们可以估算它的值在6和7之间，然后通过试算法来逼近准确答案。
2.2 开方法在初一数学学习中，我们通常会使用开方法来计算平方根。
具体步骤如下：(1) 将给定的数进行因数分解；(2) 将因数分解后的每个因数进行一半的次数相乘；(3) 如果存在无法进行完全相乘的因数，则该因数提出纯数的形式；(4) 将上述所得结果相乘。
举个例子，计算√16：(1) 16可以进行因数分解，得到4乘以4；(2) 因数分解后的每个因数为4，因此我们将4乘以4；(3) 由于4没有无法进行完全相乘的因数，所以我们可以直接将结果相乘；(4) 最后得到的结果为4。
2.3 算术平方根法在一些特殊情况下，我们需要计算无理数的平方根，这时可以使用算术平方根法来计算。
算术平方根法基于牛顿迭代法，可以逐步逼近准确答案。
3. 平方根的应用平方根在生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
3.1 几何学中的平方根在几何学中，平方根经常出现在计算图形的面积和周长中。
例如，正方形边长的平方根就是正方形对角线的长度，而三角形斜边的平方根则可以帮助我们计算三角形的面积。
3.2 物理学中的平方根在物理学中，平方根被广泛应用于计算速度、加速度等物理量。
例如，质点的运动速度可以通过速度的平方根来计算。
4. 结语通过本文的探讨，我们了解了初一数学中平方根的计算方法和应用场景，希望对同学们在数学学习中有所帮助。
§2.3平方根2研究课
§2.3平方根（2）—— 研究课班级________姓名____________学习目标：1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根；3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 学习重点：会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 教学过程（一）回顾旧知1．下列说法正确的是…………………………………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9±B ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数D ．2是4的平方根2.一个数的平方根是它本身，则这个数是…………………………………………（ ）A ．1B ．0C ．±1D ．1或0 3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 4．已知3612=x ，则=x ；已知22)41(-=x ，则=x ．探索新知：阅读书本52页最后一段，完成下列问题 1．填空：（1） 0的平方根是_______，算术平方根是______. (2) 25的平方根是_______，算术平方根是______. (3)641的平方根是_______，算术平方根是______.[拓展]⑴25的算术平方根是_______，平方根是_______；(－4)2的平方根是_________⑵若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 516-的算术平方根___________2.判断下列说法是否正确：（1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（ ） （3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()23-的算术平方根是3；（ ） （5）0.01是0.1的算术平方根；（ ） （5）3-的算术平方根是3；（ ） （二）例题研讨例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶412 ⑷16 ⑸30例2． 求下列各式的值： ⑴10000 ⑵225121- ⑶8149±⑷()23- ⑸25.004.0-例3．（1）=2)01.0( ；=2)5( ；=2)7( ；（2）=23 ；=25 ；=216 ；（3）=-2)3( ；=-2)5( ；=-2)16( .思考：① =2)(a ，其中a 0.②发现：当a ＞0时，2a ＝ ；当a ＜0，2a ＝ ；当a = 0时，2a ＝即2a ＝()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000a a a a a a四．课堂反馈1．判断下列说法是否正确：（1）任意一个有理数都有两个平方根.（ ） （2）（－3）2的算术平方根是3.（ ） （3）－4的平方根是－2.（ ） （4）16的平方根是4.（ ） （5）4是16的一个平方根.（ ） （6）416±= （ ）2.填空：⑴169的平方根是______，算术平方根是_______． ⑵1691的平方根是_______，算术平方根是_______．⑶()29-的平方根是________，算术平方根是_______． ⑷64的平方根是________，算术平方根是________．3．计算：____144=-；____0=；____625=±；_____0001.0= ；____94=-； 499±＝______；______416=-.4．2)4(= ；．2)(π= ；_____432=⎪⎭⎫⎝⎛-；()_____22=-．5．若42=x ，则x ＝________；若()412=+x ，则x ＝________.五．课后延伸1. 在0、－4、3、(－2)2、－22中，有平方根的数的个数为…………………………（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.4表示…………………………………………………………………………………（ ） A.4的平方根 B.4的算术平方根 C.±2 D.4的负的平方根3.－0.1是______的平方根，______是9的平方根.4．5的平方根是________，7的算术平方根是_______，81的平方根是 ； 5．若x 的平方根是±2，则x ＝______；6．若数a 有平方根，则a 的取值范围是______，若4-m 没有算术平方根，则m 的取值范围是_______.7.代数式－3－b a +的最大值是 ，这时a 、 b 之间的关系是8．2)5(= ；．2)3(-π= ；_____432=⎪⎭⎫⎝⎛-；_____)3(2=-π．9. 下列各数有没有平方根？若有，请求出它的平方根和算术平方根；若没有，请说明理由. （1）256 （2）()21- （3）91- （4）1.21 （5）2 （6）23-10．求下列各式中的x ：⑴012=-x ⑵2122=x ⑶()3632=-x ⑷()01001252=--x11.已知411+=-+-y x x ，求y x -的值12．已知a+b -1与(a -2b +3)2互为相反数，求a 2+b 2+59．.13．某玩具厂要制作一批体积为100000cm 3的长方体包装盒，其高为40cm ，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？。
2.3平方根(2)
2.3平方根（2）一、精心选一选1．下列说法正确的是（ ）．A ．81-的平方根是9±B ．2是4的平方根C ．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数D ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数2．144的平方根是（ ）．A ．12±B ．12C 12-D ．12±3．下列各数没有平方根的是（ ）．A ．18B ．3)3(-C ．2)1(-D ．11.14．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．35．2)3(-的值是（ ）．A ．3-B ．3C ．9-D ．96．下列说法不正确的是（ ）．A ．2±表示两个数：2或2-B ．3的指数是2C ．在数轴上表示正数的两个平方根的两个点，总是关于原点对称D ．正数的两个平方根的积为负数二、细心填一填1．36的倒数的算术平方根的相反数是________．2．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 3．12+x 的算术平方根是2，x ＝________．4．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1（2）若3=+b a ，则ab ≤23 （3）若6=+b a ，则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________．5．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________．6．一个正数的两个平方根的和是________．7．一个正数的两个平方根的商是________．8．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．9．当2=x 时，=-+2)1(33x x ________． 10．一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________．三、计算：1．914414449⋅ 2．494 3．8116- 4．41613+-四、求下列各式中x 的值．1．0252=-x 2．81)1(42=+x 3．6442=x 4．09822=-x五、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-六、已知12-a 的平方根是3±，13-+b a 的平方根是4±，求b a 2+的平方根．七、如图所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形DFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长；EF 的长；△AEH 的面积．。
八年级数学上册 2.3 平方根练习2 试题
轧东卡州北占业市传业学校平方根1.一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根发和是〔〕.A.大于0B..等于0C.小于0D.大于或等于0⒉以下说法正确的选项是〔〕．A．的平方根是B．任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数D．2是4的平方根3. 以下各数没有平方根的是〔〕．A．18 B． C． D．14. 以下说法不正确的选项是〔〕．A．表示两个数：或B．在数轴上表示正数的两个平方根的两个点，总是关于原点对称C．正数的两个平方根的积为负数D．的指数是25. 12的平方根是〔〕．A． B．12 C D．6.如果x的一个平方根是2，那么另一个平方根是________．7.一个数的平方根等于它本身，那么这个数是________．8.如果，那么x＝________；如果，那么________．9.-9是数a的一个平方根，那么数a的另一个平方根是，数a是。
10.〔-4〕2的算术平方根是。
11.的算术平方根是2，x＝________．12.正数a和b〔1〕假设，那么≤〔2〕假设，那么≤〔3〕假设，那么≤≤________．13.求以下各数的平方根和算术平方根。
⑴36 ⑵42⑶1452-1442⑷14.计算：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕15.与互为相反数，求〔x-y〕2的平方根。
16.２a-1的平方根是±３，３a+b-1的平方根为±４，求a+2b的平方根。
17.求以下各式中x的值．1． 2． 3． 4．。
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三、展示交流 1、 81 的算术平方根是（ A、±9 B、9 2、下列计算正确的是（ A、 1 ） C、±3 ） D、3
9 5 16 4
B、
4
1 1 2 2 2
C、
0.25 0.05
D、
25 5
3、一个数的算术平方等于它本身，这个数是 4、若 x 2 16, 则5 x的算术平方根是 5、计算： 1 ． 。 。
1 . 6
4、 （1.44）（±2）（1.5）（4）. 、 、 、
3 2
（2）2.
6、 （1） 34 （2）4 或 34 。
4
49 144 144 9 1 4 16
2 ． 4 49
3 ．
16 81
4． 3
6、一个边长为 1 的正方形，求它的对角线长。
四、提炼总结 （1）
0.01 =
2
2
（2）
5
2
，
1 （3） 4 =
(5)
(4)
162 =
16 2
， (6)
52 =
。
从这些题目中要引导学生探索发现一般形式：
a 2 _____( 0), a
2 a 2 _____( 0). a
1、下列说法正确的是（
）
A、-8 是 64 的平方根，即 64 8 B、8 是 8 的算术平方根，即
2
82
8
C、±5 是 25 的平方根，即± 25 5 D、±5 是 25 的平方根，即 25 5 2、下列说法错误的是（ ） B、 3 是 3 的算术平方
课题 学 习 目标 学 习 重 难 点
2.3 平方根（2）
了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根，能运用算术 平方根解决一些简单的实际问题，培养转换的思想。 能运用算数平方根解决一些简单的实际问题
自主空间
教学流程 一、动手做一做，看谁做的又快又准确！ 2 1、 如果 x 9 ， 那么 x＝________； 如果 x 9 ， 那么 x ________． 2、一个正数的两个平方根为 m+1 和 m－3，则 m= ______ ，n= _______. 3、 16 的平方根是______. 4、 a 1 2 的最小值是________，此时 a 的取值是________． 二、想一想： 下面两个问题都与平方根有关，每题都有两个解吗？ 问题 1：小明家装修新居，计划用 100 块地板砖来铺设面积为 25 平方米的客厅地面， 请帮他计算： 每块正方形地板砖的边长为多少时， 才正好合适（不浪费）？
b a
⑵若 y= 1 x
x 1 2 ，则 2x＋y 的算术平方根
6、⑴已知直角三角形的 2 条直角边的长分别是 3 和 5，则斜边的长；
⑵已知直角三角形的 2 条边长分别是 3 和 5，则第三边的长；
学习反思：
ห้องสมุดไป่ตู้
（主编人：孟南兰）
3
参考答案
2、C. 3、-
2.3（２）当堂达标：１、B. 5、 （1）±
预 习 导 航
问题 2：求 4 个直角边长为 10 厘米的等腰直角三角形纸片拼合成 的正方形的边长？ 【设计说明：将生活实际与数学联系起来，更能激发学生的兴趣,便 于学生主动发现一个数的算术平方根——正的平方根,为解决问题提 供方便】 一、 概念探究： 正数 a 有两个平方根,其中正的平方根,也叫做 a 的算术平方根. 例如， 的平方根是 2 ， 4 其中 2 叫做 4 的算术平方根， 记作 4 = 2 ； 2 的平方根是 2 ， 其中 2 叫做 2 的算术平方根， 2 2 。 0 只有一个平方根，0 的平方根也叫做 0 的算术平方根， 0 0。 二、例题分析 例 2：求下列各数的算术平方根: （1）625； （2）0.0081； （3）6； （4）0 注：在书写时仍采用结合文字语言叙述的写法，以利于学生加深对开 平方与平方互为逆运算关系的理解。
A、 3 是 3 的平方根之一 根 C、3 的平方根就是 3 的算术平方根
D、 3 的平方是 3
3、36 的倒数的算术平方根的相反数是________． 4、若 a 1.2, 则a ；若 m 2, 则m
2
；
当 堂 达 标
若 2 x 1 的算术平方根是 2，则 x＝_____； 2 （-4） 的算术平方根是 。 5、解答题 ⑴若 a 4 b 9 0, 求 的平方根
合 作 探 究
例 3： “欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远。如图 2—8， 若观
1
测点的高度为 h，观测者能达到的最远距离为 d，则 d
2hr ，其
中 R 是地球半径（通常取 6400Km）.小丽站在海边一块岩石上，眼睛 离地面的高度为 20，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时 d 的值. 分析：此题运用代入法来解题，比较简单。 设计目的：将生活实际与数学联系起来，激发 学生的兴趣,让学生感受算术平方根的魅力。