辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
2019年最新辽宁省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
辽宁省高考数学二模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣646．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．98．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．49．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．710．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．112．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于______．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x ﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为______．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x ﹣x2）的最大值为______．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0=______．三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．（1）完成下列2×2列联表：级有关？ （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式：K 2=参考数据： 20．设椭圆C 1：+y 2=1的右焦点为F ，动圆过点F 且与直线x+1=0相切，M （3，0），设动圆圆心的轨迹为C 2． （1）求C 2的方程；（2）过F 任作一条斜率为k 1的直线l ，l 与C 2交于A ，B 两点，直线MA 交C 2于另一点C ，直线MB 交C 2于另一点D ，若直线CD 的斜率为k 2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f （x ）=e 3x ﹣1，g （x ）=ln （1+2x ）+ax ，f （x ）的图象在x=处的切线与g （x）的图象也相切． （1）求a 的值；（2）当x ＞﹣时，求证：f （x ）＞g （x ）；（3）设p ，q ，r ∈（﹣，+∞）且p ＜q ＜r ，A （p ，g （p ）），B （q ，g （q ）），C （r ，g （r ）），求证：k AB ＞k BC （其中k AB ，k BC 分别为直线AB 与BC 的斜率）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+co sθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩（∁U B）等于（）A．（1，2）B．（3，4）C．（1，3）D．（1，2）∪（3，4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|2＜x＜4}=（2，4），B={x|x2﹣x﹣6≤0}=[﹣2，3]，∴∁U B=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），则A∩（∁U B）=（3，4）．故选：B．2．已知z1=m+i，z2=1﹣2i，若=﹣，则实数m的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=m+i，z2=1﹣2i，且=﹣，∴=，∴，解得m=﹣．故选：D．3．已知向量，满足•（+）=2，且||=1，||=2，则与的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件进行数量积的计算求出，从而得出cos=，这样即可得出与的夹角．【解答】解：根据条件，==；∴；∴与的夹角为．故选：B．4．已知，则cos（π+2α）的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式求出，同时化简cos（π+2α）为cosα的形式，然后代入求解即可．【解答】解：由得，，故选B．5．（x3﹣）4的展开式中的常数项为（）A．32 B．64 C．﹣32 D．﹣64【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程求出r的值即可得出展开式的常数项．【解答】解：（x3﹣）4的展开式中通项公式为T r+1=•x3（4﹣r）•=（﹣2）r••x12﹣4r，令12﹣4r=0，解得r=3；所以展开式的常数项为T4=（﹣2）3×=﹣32．故选：C．6．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当m=2，两直线方程分别为：3x+4y+5=0与直线2x+2y﹣6=0此时两直线平行，充分性成立．则当m=0时，两直线方程分别为3x+y+7=0或y=0，此时两直线不平行，当m≠0，若两直线平行，则，即m2+m=6且，解得m=2或m=﹣3，且m≠﹣2，即m=2或m=﹣3，即必要性不成立，“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的充分不必要条件，故选：A．7．由直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．9【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题意，求出积分的上下限，即可得出结论．【解答】解：由，得：或，所以直线y=2x及曲线y=4﹣2x2围成的封闭图形的面积为S==（4x﹣）=9故选：D．8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为1，某几何体的三视图如图中粗线所示，则该几何体的所有棱中最长的棱的长度是（）A．4 B．2C．6 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，其中△PAC是一个等腰三角形，△ABC 是一个直角三角形，AC⊥BC，二面角P﹣AC﹣B的平面角为135°．该几何体的所有棱中最长的棱的长度是PB==2．故选：B．9．若执行如图的程序框图，则输出的k值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=8，k=4时，满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．【解答】解：执行程序框图，有n=3，k=0不满足条件n为偶数，n=10，k=1不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=5，k=2不满足条件n=8，不满足条件n为偶数，n=16，k=3不满足条件n=8，满足条件n为偶数，n=8，k=4满足条件n=8，退出循环，输出k的值为4．故选：A．10．从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5 B．10 C．20 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设处P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：设P（x0，y0）依题意可知抛物线准线x=﹣1，∴x0=5﹣1=4∴|y0|==4，∴△MPF的面积为×5×4=10故选：B11．实数x，y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选：B．12．若函数f（x）=x2﹣2x+alnx存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），则t＜恒成立，则t（）A．有最大值﹣ln2，无最小值B．有最小值﹣﹣ln2，无最大值C．无最大值也无最小值D．有最大值4ln2，且有最小值﹣﹣ln2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．转化成一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根x1，x2，且0＜x1＜x2，根据根与系数的关系，将x1用x2表示，求得的表达式，再求最值．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，∵f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．∴f′（x）=0有两个不同的根x1，x2，且0＜x1＜x2，∴x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+a=0的两个根，由x1+x2=1，x1x2=，则a=2x2（1﹣x2），f（x1）=x12﹣2x1+alnx1=（1﹣x2）﹣2（1﹣x2）+2x2（1﹣x2）ln（1﹣x2）．0＜x2＜1，所以=x2+2（1﹣x2）ln（1﹣x2）﹣．0＜x2＜1，令g（x）=x+2（1﹣x）ln（1﹣x）﹣，0＜x＜1，g′（x）=1﹣2ln（1﹣x）﹣2+=﹣1﹣2ln（1﹣x）+．＞0，所以g（x）是增函数，所以x→0时，g（x）→﹣∞；x→1时，g（x）→0；所以t没有最小值和最大值；故选C．二、填空题13．等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3=39，a2=9，则公比q等于或3 ．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的首项为a1，由已知列关于a1和q的方程组求解．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，由S3=39，a2=9，得，解得：或．∴公比q等于或3．故答案为：或3．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），则该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，利用圆的半径，圆心距，半弦长满足勾股定理求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（3，6），可得渐近线方程为：y=2x，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心与半径分别为（2，0），4，该渐近线与圆（x﹣2）2+y2=16相交所得的弦长为：=．故答案为：．15．定义运算：，例如：3∇4=3，（﹣2）∇4=4，则函数f（x）=x2∇（2x ﹣x2）的最大值为 4 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据新定义，求出f（x）的表达式，然后利用数形结合求出函数f（x）的最大值即可．【解答】解：由x2=2x﹣x2，得x2=x，解得x=0或x=1，由y=2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，由y=2x﹣x2＜0，得x＜0或x＞2，∴由x2（2x﹣x2）≥0时，解得0≤x≤2，由x2（2x﹣x2）＜0解得x＜0或x＞2，即当0≤x≤2时，f（x）=x2，当x＜0或x＞2时，f（x）=2x﹣x2．作出对应的函数图象∴图象可知当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=4．故答案为：4．16．在等差数列{a n}中，4a12=﹣3a23＞0，令b n=，S n为{b n}的前n项和，设S为数列{S n}的最大项，则n0= 14 ．【考点】数列递推式．【分析】设公差为d，4a12=﹣3a23＞0得到a12=﹣d，d＜0，判断出a17＜0，a16＞0，得到b15=＜0，b16=﹣d＞0，即可得到S16＜S15＜S14，问题得以解决．【解答】解：设公差为d，4a12=﹣3a23＞0，∴4a12=﹣3（a12+11d）＞0，∴a12=﹣d，d＜0，∴a17=a12+5d=d＜0，a16=a12+4d=﹣d＞0，∴a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17∴b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18∵b15=＜0，b16=＞0a15=a12+3d=﹣d＞0，a18=a12+6d=d＜0，∴b15=＜0，b16=﹣d＞0，∴b15+b16=d﹣d＜0，∴S16＜S15＜S14，∴S14最大．故答案为：14三、解答题17．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若A=60°，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得sinAcosB=sinBcosA，由此可得的值．（Ⅱ）可求tanA=，由（Ⅰ）得tanB=．利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值．【解答】解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理，可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sinBcosA，可得=．（Ⅱ）若A=60°，则tanA=，得tanB=．∵cosC=，∴==﹣tan（A+B）==﹣．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，PA=AB=BC=2AD，E是PC的中点．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以点A为坐标原点，建立坐标系，证明=0，=0，即可证明DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求出平面PAD的一个法向量、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=∠ABC=90°，AD∥BC，∴PA⊥AB，PA⊥AD⊥AD⊥AB，以点A为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设PA=AB=BC=2AD=2，则P（0，0，2），D（1，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），E（1，1，1），∴=（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，2，﹣2），∴=0，=0，∴DE⊥PB，DE⊥PC，∵PB∩PC=P，∴DE⊥平面PBC；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知平面PAD的一个法向量=（0，2，0）．设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则∵=（1，0，﹣2），=（2，2，﹣2），∴，∴取=（2，﹣1，1），∴cos＜，＞==﹣．19．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A 班和B 班）的网页上，A 班（实验班，基础较好）共有学生60人，B 班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A 班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B 班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频． （1）完成下列2×2列联表：级有关？ （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 参考公式：K 2=参考数据：【分析】（1）根据题目中的数据，完成2×2列联表，计算K 2，对照数表即可得出结论； （2）①利用分层抽样原理求出对应的数值；②计算X 的可能取值以及对应的概率值，列出X 的分布列，求出数学期望值． 【解答】解：（1）根据题目中的数据，完成下列2×2列联表：计算K 2=≈7.5524＞6.635，∴有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关； （2）在A 班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查； ①抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数是6×=4，观看“概率的应用”视频的人数是6×=2；②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X ，则X 的可能取值为1、2、3， 计算P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==；∴X 的分布列为：所以X 的数学期望为EX=1×+2×+3×=2．20．设椭圆C 1：+y 2=1的右焦点为F ，动圆过点F 且与直线x+1=0相切，M （3，0），设动圆圆心的轨迹为C 2． （1）求C 2的方程；（2）过F 任作一条斜率为k 1的直线l ，l 与C 2交于A ，B 两点，直线MA 交C 2于另一点C ，直线MB 交C 2于另一点D ，若直线CD 的斜率为k 2，问，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆方程求出椭圆右焦点，结合题意可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）分别设出AB、AC所在直线方程x=my+1与x=ny+3，联立直线方程与抛物线方程，可得A、B、C的纵坐标的关系，同理得到B、D纵坐标的关系，最后都用A的纵坐标表示，求出AB、CD的斜率（用A的纵坐标表示），可得为定值3．【解答】解：（1）由椭圆C1：+y2=1，得a2=2，b2=1，∴，则F（1，0），由动圆过点F且与直线x+1=0相切，可知动圆圆心的轨迹C2为抛物线，方程为y2=4x；（2）如图，直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4my﹣4=0．∴y1y2=﹣4，则，①设AC所在直线方程为x=ny+3，C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得y2﹣4ny﹣12=0．∴y1y3=﹣12，则．同理求得y2y4=﹣12，②联立①②得，，∴，==，∴．21．已知函数f（x）=e3x﹣1，g（x）=ln（1+2x）+ax，f（x）的图象在x=处的切线与g （x）的图象也相切．（1）求a的值；（2）当x＞﹣时，求证：f（x）＞g（x）；（3）设p，q，r∈（﹣，+∞）且p＜q＜r，A（p，g（p）），B（q，g（q）），C（r，g（r）），求证：k AB＞k BC（其中k AB，k BC分别为直线AB与BC的斜率）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线方程；设出与g（x）图象相切的切点，求得g（x）的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点为（0，0），进而得到a的值；（2）由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，求得导数，可得最小值0；再由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，求得导数，可得最大值0，进而得到证明；（3）由直线的斜率公式可得k AB=，k BC=，构造h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），证明h（q）＞0，可得k AB＞，同理可证：k BC＜，从而可得结论．【解答】解：（1）函数f（x）=e3x﹣1的导数为f′（x）=3e3x﹣1，可得f（x）的图象在x=处的切线斜率为3，切点为（，1），即有切线的方程为y﹣1=3（x﹣），即为y=3x，设与g（x）的图象相切的切点为（m，n），可得n=3m=ln（1+2m）+am，又g′（x）=+a，可得3=+a，消去a，可得（1+2m）ln（1+2m）=2m，令t=1+2m（t＞0），即有tlnt=t﹣1．可令y=tlnt﹣t+1，导数y′=lnt，可得t＞1，函数y递增；0＜t＜1时，函数y递减．则t=1时，函数y=tlnt﹣t+1取得最小值0．则tlnt=t﹣1的解为t=1，则m=0，可得a=1；（2）证明：当x＞﹣时，由m（x）=f（x）﹣3x=e3x﹣1﹣3x，可得m′（x）=3e3x﹣1﹣3，当x＞时，m（x）递增；当﹣＜x＜时，m（x）递减．可得x=处，m（x）取得极小值，且为最小值0．则f（x）≥3x；由n（x）=g（x）﹣3x=ln（1+2x）﹣2x，可得n′（x）=﹣2=，当x＞0时，n（x）递减；当﹣＜x＜0时，n（x）递增．即有x=0处n（x）取得极大值，且为最大值0，则g（x）≤3x，由于等号不同时取得，则f（x）＞g（x）；（3）证明：k AB=，k BC=，令h（q）=（1+2q）（g（q）﹣g（p））﹣（3+2q）（q﹣p），则h′（q）=2 （g（q）﹣g（p））+（1+2q）g′（q）﹣2（q﹣p）﹣（3+2q）=2 （g（q）﹣g（p））﹣2（q﹣p）=2（ln（1+2q）﹣ln（1+2p））∵y=ln（1+2x）在（﹣，+∞）上单调递增，且q＞p，∴ln（1+2q）﹣ln（1+2p）＞0，∴h′（q）＞0．∴h（q）在（p，q）上单调递增，∴h（q）＞h（p）=0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））﹣（3+2q）（q﹣p）＞0，∴（1+2q）（f（q）﹣f（p））＞（3+2q）（q﹣p），∵q﹣p＞0，1+2q＞0，∴＞，即k AB＞；同理可证k BC＜．∴k AB＞k BC．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB；（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由AB是直径，得∠ACB=90°，由此能证明∠BCF=∠CAB．（Ⅱ）由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，由此利用切割线定理和勾股定理能求出⊙O半径．【解答】证明：（Ⅰ）因为AB是直径，所以∠ACB=90°又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°﹣∠CBA=∠CAB因此∠BCF=∠CAB．…解：（Ⅱ）直线CF交直线AB于点G，由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC所以FA=FG，且AB=BG由切割线定理得：（1+FG）2=BG×AG=2BG2…①在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2…②由①、②得：FG2﹣2FG﹣3=0解之得：FG1=3，FG2=﹣1（舍去）所以AB=BG=2，所以⊙O半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρ（sinθ+cosθ）+4=0．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得到直线l的普通方程，再将代入能求出直线l的极坐标方程．（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，能求出l与C交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y﹣2=0，再将代入x+y﹣2=0，得ρcosθ+ρsinθ=2．…（Ⅱ）联立直线l与曲线C的极坐标方程，∵ρ≥0，0≤θ≤2π，∴解得或，∴l与C交点的极坐标分别为（2，0），（2，）．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a为实常数，f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a的解集为{x|﹣4＜x＜0}．（1）求a的值；（2）若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1））解不等式|x+2a|＜4﹣2a，得到4﹣4a=0，求出a的值即可；（2）问题转化为m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+2a|，f（x）＜4﹣2a，∴2a﹣4＜x+2a＜4﹣2a，∴﹣4＜x＜4﹣4a，∴4﹣4a=0，解得：a=1；（2）由（1）得：f（x）=|x+2|，f（﹣2x）=|﹣2x+2|，若f（x）﹣f（﹣2x）≤x+m对任意实数x都成立，即m≥|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x，令h（x）=|x+2|﹣2|x﹣1|﹣x=，x≥1时，h（x）=﹣2x+4≤2，﹣2＜x＜1时，h（x）∈（﹣4，2），x≤﹣2时，h（x）=﹣4，∴h（x）的最大值是2，∴m≥2．。
2020届辽宁省沈阳市郊联体高考数学二模试卷(含解析)
2020届辽宁省沈阳市郊联体高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合，则( )A.B.C.D.2. 复数3−i1−i 等于( )A. 1+2iB. 1−2iC. 2+iD. 2−i3. 已知函数f(x)={−log 2x,x ≥0sin(πx +π6),x <0，则f[f(8)]=( )A. −12B. 12C. √32D. −√324. 如程序框图所示，其作用是输入x 的值，输出相应的y 的值．若要使输入的x 的值与输出的y的值相等，则这样的x 的值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 记∑a i n i=1=a 1+a 2+⋯+a n ，又知f(x)=1x 2+1，则∑f 100i=1(i)+∑f 100i=2(1i )的值为( )A. 100B. 9912C. 99D. 98126. 设平面α、β，直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂α，则“a//β，b//β”是“α//β”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30].根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是()A. 68B. 72C. 76D. 808.设，，，则()A. B. C. D.9.如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，堆成这个几何体的木块共有()A. 1块B. 2块C. 3块D. 4块10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且为增函数，若f(a−2)+f(3−2a)<0，则a的取值范围是()A. (1,+∞)B. (−1,+∞)C. (−∞,+∞)D. (−∞,1)11.抛物线y2=12x的焦点坐标是()A. (−3,0)B. (3,0)C. (0,−3)D. (0,3)12.设a=sin(2015π−π6)，函数f(x)={ax,x>0f(−x),x<0，则f(log216)的值等于()A. 14B. 4 C. 16D. 6二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为等差数列，为等比数列，则．14.双曲线x216−y29=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为．15.在边长为1的正，若，，，则=．16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，a n⋅a n+1=2S n，设b n=a n，若存在正整数p，3a n q(p<q)，使得b1，b p，b q成等差数列，则p+q=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，一船由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为α，前进5km后到达B处，测得岛M的方位角为β.已知该岛周围3km内有暗礁，现该船继续东行．(Ⅰ)若α=2β=60°，问该船有无触礁危险？(Ⅱ)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险？18.湖南省第九届少数民族传统体育运动会于2018年10月16日至20日在湘西龙山举行．运动会期间，湖南省14个市州和17个民族县市区组成的31个代表团2631人参加，来自土家、苗、瑶、侗、白、维吾尔、壮、回、汉等22个民族的1991名运动员分别参加陀螺、射弩、秋千、高脚、板鞋、蹴球、键球、押加、民族健身操及表演项目比赛，是湖南省历届民族运动会规模最大、规格最高、参赛人数最多的一次．对本次运动会中320名志愿者的年龄抽样调查统计后得到样本频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，请完成下面的解答．(1)将频率分布直方图补充完整；(2)估计本次省民运会中志愿者年龄的众数和中位数(结果保留两位小数)；(3)已知样本容量为16，现在需要从样本中30岁以下的志愿者中抽取2名志愿者谈对本次运动会的感想，求被抽中的志愿者中恰有一名志愿者年龄不小于25岁的概率．19.如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BE⊥AC于点E，BF⊥AD于点F．(Ⅰ)求证：BF⊥平面ACD；(Ⅱ)若AB=BC=2，∠CBD=45°，求四面体BDEF的体积．20.已知椭圆(Ⅰ)若椭圆顶点，离心率.求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线:过(Ⅰ)中的椭圆交于不同的两点，且弦的长为时，求的值;21.已知函数f(x)=√2x+1．(1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；x2+x+1≤f(x)≤x+1．(2)当x≥0时，证明：−1222. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =ty =8，(t 为参数)，圆C 的参数方程为{x =2cosϕy =2+2sinϕ(φ为参数)以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)射线OM ：θ=α(其中0<α<π2)与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，求|OP||OM|的取值范围．23. 解不等式：(1)2x 2−3x+2≥1；(2)|x −2|−|2x −1|≥2； 2(x+1)2(x−2)x−3≥0．【答案与解析】1.答案：D解析：试题分析：集合A =.集合B =.所以.故选D ．考点：1.描述法表示集合关注竖线左边的式子表示集合里装的对象.2.集合的交集．2.答案：C解析：解：复数3−i1−i =(3−i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+2i 2=2+i ，故选C ．将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．3.答案：A解析：先求出f(8)=−log 28=−3，从而f[f(8)]=f(−3)=sin(−3π+π6)，再利用正弦函数的诱导公式求解．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数要分类讨论． 解：∵函数f(x)={−log 2x,x ≥0sin(πx +π6),x <0, ∴f(8)=−log 28=−3，f[f(8)]=f(−3)=sin(−3π+π6)=−sin π6=−12．故选：A ．4.答案：C解析：解：这是一个用条件分支结构设计的算法，该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y =y ={x 2,x ≤22x −3,2<x ≤51x ,x >5的函数值，当x ≤2时，令x 2=x ，得x =0或1； 当2<x ≤5时，令2x −3=x ，得x =3； 当x >5时，令1x =x ，得x =±1(舍去)， 故只有3个值符合题意． 故选：C ．根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.答案：B解析：解：f(x)=1x 2+1， 则f(i)+f(1i )=1i 2+1+11i 2+1=1+i 2i 2+1=1．∑f 100i=1(i)+∑f 100i=2(1i)=f(1)+f(11)+f(2)+f(12)+⋯+f(100)+f(1100)−f(1)=100−12=9912． 故选：B ．由f(x)的表达式，求解f(i)+f(1i )的值，然后利用数列求和求解即可．本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的前n 项和，函数的性质的应用，是中档题6.答案：B解析：试题分析：根据面面平行的判断定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断． 根据面面平行的判定定理可知，当a ，b 不相交时，α//β不成立，∴充分性不成立． 若α//β，则必有a//β，b//β，∴必要性成立． ∴“a//β，b//β”是“α//β”的必要不充分条件．故选：B．7.答案：B解析：本题考查利用频率分布直方图求频数，考查运算能力、数据处理能力，是基础题．由频率分布直方图求出每周的自习时间不足22.5小时的频率，由此能求出这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数．解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：(0.02+0.07)×2.5=0.225，∴这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是：0.225×320=72．故选B．8.答案：B解析：A试题分析：由题意知：，所以．考点：函数的值域、图象及性质．9.答案：D解析：解：由三视图的正视图可知，几何体上部木块最多的块数为：2，左视图说明上部的木块的个数只有1块，几何体下部最多4块，俯视图说明下部的块数只有：3，所以几何体木块的数目是4．故选：D．通过三视图的正视图，说明上部木块最多的个数，左视图说明上部的木块的个数，俯视图说明下部的个数，即可得到木块的数目．本题是基础题，考查几何体的三视图，判断几何体的特征是解好本题的关键，注意本题的判断方法．10.答案：A解析：解：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(a−2)+f(3−2a)<0，可化为f(a−2)<−f(3−2a)=f(2a−3)，又f(x)在R 上是增函数， ∴a −2<2a −3，即a >1， 故选：A ．利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f ”，转化为具体不等式，解出即可． 本题考查函数的奇偶性单调性的综合应用，属中档题，解决本题的关键是利用函数的性质化抽象不等式为具体不等式．11.答案：B解析：解：抛物线y 2=12x 的焦点坐标在x 轴上，开口向右，抛物线的焦点坐标是(3,0)． 故选：B ．直接利用抛物线方程，求出焦点坐标即可．本题考查抛物线的焦点坐标的求法，基本知识的考查．12.答案：C解析：解：a =sin(2015π−π6)=sin π6=12， ∴函数f(x)={a x ,x >0f(−x),x <0={(12)x ,x >0f(−x),x <0，f(log 216)=f(−log 216)=f(log 26)=(12)log 26=16． 故选：C ．利用已知条件诱导公式求出a ，然后利用分段函数求解所求函数值．本题考查诱导公式的应用，分段函数以及对数的运算法则的应用，考查计算能力．13.答案：0解析：依题意可知，，∵．考点：1.等差数列与等比数列；2.三角函数的求值．14.答案：13解析：试题分析：设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|=12(a+c+c−a)=c=5，由双曲线的定义能够求出P点到左焦点的距离．由a=4，b=3，得c=5设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|=12(a+c+c−a)=c=5，由双曲线的定义得：|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13．故答案为：13．15.答案：解析：试题分析：依题意有考点：本小题主要考查平面向量的数量积运算．点评：解决本小题时要注意两个向量的夹角是不是16.答案：5解析：解：数列{a n}满足a1=1，a n⋅a n+1=2S n，∴n=1时，a1a2=2S1=2a1，解得a2=2.n≥2时，2a n=2(S n−S n−1)=a n(a n+1−a n−1)，∵a n≠0，∴a n+1−a n−1=2．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+n−1=n．∴b n=a n3a n =n3n．∵存在正整数p，q(p<q)，使得b1，b p，b q成等差数列，∴2b p=b1+b q，∴2p3p =13+q3q(∗)．∵数列{b n}是单调递减数列．当p=1时，由23=13+q3q，解得q=1，舍去．当2≤p<q时，13≥p−13p−1，p−13p−1−2p3p=p−33p．当3≤p时，13≥p−13p−1≥2p3p，q3q>0，∴2p3p<13+q3q，(∗)不成立．∴p=2，可得：49=13+q3q，解得q=3．∴p+q=5．数列{a n}满足a1=1，a n⋅a n+1=2S n，n=1时，a1a2=2S1=2a1，解得a2=2.n≥2时，2a n=2(S n−S n−1)，a n≠0，可得a n+1−a n−1=2.利用等差数列的通项公式可得a n=n.b n=a n3a n =n3n.根据存在正整数p，q(p<q)，使得b1，b p，b q成等差数列，可得2b p=b1+b q，2p3p =13+q3q(∗).根据数列{b n}是单调递减数列，通过分类讨论即可得出．本题考查了数列递推公式、等差数列的通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABM中可知，AB=BM=5，…4分从而MC=5sin60°=52√3>3，没有触礁危险．…8分(Ⅱ)设CM=x，在△ABM中由正弦定理得，5sin(α−β)=xcosαcosβ，解得x=5cosαcosβsin(α−β)，…14分所以当5cosαcosβsin(α−β)>3时没有触礁危险．…16分．解析：(Ⅰ)在△ABM中可知，AB=BM=5，求出MC与3比较，即可得到结论；(Ⅱ)在△ABM中由正弦定理得可得MC，当且仅当MC>3时没有触礁危险．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题轭能力，属于中档题．18.答案：解：(1)由频率分布直方图得[25,30)的频率为：1−(0.025+0.075+0.0375+0.0125)×5=0.25，∴[25,30)的小矩形的高为：0.255=0.05．将频率分布直方图补充完整如右图：(2)由频率分布直方图得[30,35)对应的小矩形最高，∴估计本次省民运会中志愿者年龄的众数为：30+352=32.50．∵[20,30)的频率为：(0.025+0.05)×5=0.375，[30,35)的频率为：0.075×5=0.375，∴估计本次省民运会中志愿者年龄的中位数为：30+0.5−0.3750.375×5≈31.67．(3)由频率分布图图得：样本中年龄在[20,25)的人数为：16×0.025×5=2人，年齡在[25,30)的人数为：16×0.05×5=4人，现在需要从样本中30岁以下的志愿者中抽取2名志愿者谈对本次运动会的感想，基本事件总数n= C62=15，被抽中的志愿者中恰有一名志愿者年龄不小于25岁包含的基本事件个数m=C21C41=8，∴被抽中的志愿者中恰有一名志愿者年龄不小于25岁的概率p=mn =815．解析：(1)由频率分布直方图求出[25,30)的频率，从而得到[25,30)的小矩形的高，由此能将频率分布直方图补充完整．(2)由频率分布直方图求出[30,35)对应的小矩形最高，能估计本次省民运会中志愿者年龄的众数，由[20,30)的频率为：(0.025+0.05)×5=0.375，[30,35)的频率为：0.075×5=0.375，能估计本次省民运会中志愿者年龄的中位数．(3)由频率分布图图得样本中年龄在[20,25)的人数为2人，年齡在[25,30)的人数为4人，现在需要从样本中30岁以下的志愿者中抽取2名志愿者谈对本次运动会的感想，基本事件总数n=C62=15，被抽中的志愿者中恰有一名志愿者年龄不小于25岁包含的基本事件个数m=C21C41=8，由此能求出被抽中的志愿者中恰有一名志愿者年龄不小于25岁的概率．本题考查频率分布直方图、中位数、从数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)证明：∵BC为圆O的直径，∴CD⊥BD，∵AB⊥圆0所在的平面BCD，且CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD，∵BF⊂平面ABD，∴CD⊥BF，又∵BF⊥AD，且AD∩CD=D，∴BF⊥平面ACD．(Ⅱ)∵AB=BC=2，∠CBD=45°，∴BD=CD=√2，∵BE⊥AC，∴E为AC的中点，又由(Ⅰ)知，CD⊥平面ABD，∴E到平面BDF的距离d=12CD=√22．在Rt△ABD中，有AD=√AB2+BD2=√6，∵BF⊥AD，由射影定理得BD2=DF⋅AD，则DF=BD2AD =√63，从而BF=√BD2−DF2=2√33，∴S△BDF=12DF⋅BF=√23，∴四面体BDEF的体积=V E−BDF=13S△BDF⋅d=13×√23×√22=19．解析：本题考查了线面垂直的定义与性质与判定，关键是掌握线面垂直与线线垂直的相互转化：“线线垂直”可由定义来实现，“线面垂直”可由判定定理来实现．考查了三棱锥体积的计算，求解时，应寻找适当的底面与高，使面积和高便于求解，面积可根据三角形形状求解，高可转化为距离的计算．(Ⅰ)由于BF⊥AD，要证BF⊥平面ACD，只需证BF⊥CD，故只需CD⊥平面ABD，由于CD⊥BD，只需CD⊥AB，由AB⊥平面BDC；(Ⅱ)四面体BDEF即三棱锥E−BDF，由CD⊥平面ABD及E为AC的中点知，三棱锥E−BDF的高等于12CD，在Rt△ABD中，根据BF⊥AD，设法求出S△BDF，即得四面体BDEF的体积．20.答案：(1)椭圆的方程为(2)．解析：解：(1)依题意得∴椭圆的方程为.(2)由，化简得.∵点(1,0)在椭圆内，∴直线与椭圆恒有两个交点设，…∴化简得，解得21.答案：解：(1)函数f(x)=√2x+1的导数为f′(x)=12⋅√2x+1⋅2=√2x+1，函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的斜率为k=1，f(0)=1，即有函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处切线方程为y=x+1；(2)证明：由(√2x+1)2−(x+1)2=2x+1−x2−2x−1=−x2≤0，可得f(x)≤x+1；又令t=√2x+1(t≥1)，可得x=t2−12，由y=−12x2+x+1−f(x)=−(t2−1)28+t2−12+1−t=−18t4+34t2+38−t，可得y′=−12t 3+32t −1=−12(t −1)2(t +2)， 由t ≥1，可得y′≤0， 即有函数y 在t ≥1递减， 则y ≤−18+34+38−1=0， 可得−12x 2+x +1≤f(x)，综上可得−12x 2+x +1≤f(x)≤x +1．解析：(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程； (2)运用分析法可得f(x)≤x +1；由t =√2x +1(t ≥1)，可得x =t 2−12，构造函数y =−12x 2+x +1−f(x)=−(t 2−1)28+t 2−12+1−t =−18t 4+34t 2+38−t ，求得导数，判断单调性，即可得证．本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、最值，考查构造函数法和运用分析法证明不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22.答案：解：(1)直线l 的直角坐标方程是y =8，直线l 的极坐标方程为ρsinθ=8，圆C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4，所以圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ． (2)|OP||OM|=4sinα8sinα=12sin 2α，因为0<α<π2，所以|OP||OM|的取值范围是(0,12).解析：(1)先将直线l 和圆C 的参数方程化成普通方程，再将普通方程化成极坐标方程； (2)将|OP|和|OM|转化为M ，N 两点的极径可求得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：(1)2x −3x+2≥1，即2x −3x+2−x 2−3x+2x −3x+2≥0⇒x(x−3)(x−1)(x−2)≤0．即{x(x −1)(x −2)(x −3)≤0x −1≠0x −2≠0，解得x ∈[0,1)∪(2,3]． (2)①当x ≥2时，|x −2|−|2x −1|≥2，即x −2−2x +1≥2⇒x ≤−3，此时无解． ②当12<x <2时，|x −2|−|2x −1|≥2，即−x +2−2x +1≥2⇒x ≤13，此时无解． ③当x ≤12时，|x −2|−|2x −1|≥2，即−x +2+2x −1≥2⇒x ≥1，此时无解．综上，|x −2|−|2x −1|≥2解集为⌀．(3)由分母中含有√x −3可知x >3，故(x +1)2(x −2)√x −3>0， 故2(x+1)2(x−2)√x−3≥0即x 2+x −1≥0，(x >3)，当x 2+x −1=0时有x =−1±√52， 故x 2+x −1≥0有x ≤−1−√52或x ≥−1+√52，又x >3，故解得x >3， 故解集为(3,+∞)．解析：(1)将不等式右边的1移至左边，再利用穿针引线法求解即可； (2)将绝对值不等式写成分段函数求解即可； (3)根据定义域为(3,+∞)直接去分母求解即可．本题主要考查了分式与绝对值不等式的求解，分式不等式需要注意定义域，去分母求解，绝对值不等式需要分段求解，属中档题．。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ） A ．3 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据在关于4X =对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】4μ=Q ，3σ=，(2)(42)(42)(6)()P X P X P X P X P X a ∴≤=≤-=≥+=≥=≥，6a ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()()P X m P X m μμ≤-=≥+．2．已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）A ．[32ln 2,2)-B ．[32ln 2,2]-C ．[1,2)e -D ．[1,2]e -【答案】A 【解析】分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，则1ln(1)12n m +=+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<，当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-， 当0n =时，()022ln12h =-=；当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则m β⊥的一个充分条件是（ ） A ．αβ⊥且m α⊂ B ．//m n 且n β⊥ C ．αβ⊥且//m α D ．m n ⊥且//n β【答案】B 【解析】由//m n 且n β⊥可得m β⊥，故选B. 4．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.5．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题.6．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A ．正三角形 B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【答案】C 【解析】试题分析：画出截面图形如图显然A 正三角形，B 正方形：D 正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C ． 考点：平面的基本性质及推论．7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5 B ．3C ．－12D ．－13【答案】B 【解析】 【分析】由题得15a d +=-，1434162a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =，计算可得6a . 【详解】25a =-Q ，416S =-，15a d ∴+=-，1434162a d ⨯+=-，解得17a =-，2d =， 6153a a d ∴=+=.故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，考查了学生运算求解能力.8．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC V 面积的最大值是( )A B ．15C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r 两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 12s S ab C =，求出ABC V 面积的最大值. 【详解】ABC V 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得22212c a b ab =+-，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 44C C C π=∈=Q . Q D 是AB 的中点，且1CD =，()()222,2CD CA CB CDCA CB ∴=+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，即22242CD CA CB CA CB =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ，即222211542cos 2222b a ba C a b ab ab ab ab =++=++≥+=， 85ab ∴≤，当且仅当a b =时，等号成立.ABC ∴V 的面积118sin 225S ab C =≤⨯所以ABC V 故选：A . 【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.10．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B ．33a b >C ．2a ab <D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误； 对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误； 对B ，对a b >，则33a b >，故B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 11．函数2|sin |2()61x f x x=-+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】 因为22|sin()||sin |22()66()1()1x x f x f x x x--=-=-=+-+ ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |242()61111f πππππ=-=-++11101122<-=-=+,故排除B , 因为2|sin |22()2()621()2f ππππ=-=+426164ππ-+42616444>-+46662425=->-=-=由图象知,排除D . 故选:A 【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.12． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是( )A ．这五年，出口总额之和．．．．比进口总额之和．．．．大B ．这五年，2015年出口额最少C ．这五年，2019年进口增速最快D ．这五年，出口增速前四年逐年下降 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图中数据的含义进行判断即可.对A 项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A 正确；对B 项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B 正确；对C 项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C 正确； 对D 项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D 错误； 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷(理科) (解析版)
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．﹣i C ．1 D ．i3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．124．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A n B n ＝A n ﹣1B n ﹣1﹣B n ﹣1B n ，其中B n ﹣1B n ═…＝B 2B 3＝B 1B 2＝B 0B 1，n ∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A 0B 0＝8m ，B 0B 1＝0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．35mB ．45mC ．210mD ．270m5．已知直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： ①若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ②若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β； ③若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√5157．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C ．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D ．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有[f （x 2）﹣f （x 1）]（x 2﹣x 1）＜0，则（ ） A ．f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3）＜f （log 20.2） B ．f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）＜f （0.3﹣1） C ．f （log 20.2）＜f （0.3﹣1）＜f （2﹣0.3） D ．f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．211．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ） A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．34C ．57D ．23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．二项式（a √x −1√x）6的展开式中，常数项与第五项的系数之比为﹣4，则a 的值为 ．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 ．15．已知函数f （x ）满足f （x2）＝x 3﹣2x ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 ．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝2，△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5（sin2B+sin2C）＝8sin B sin C+5sin2A．（Ⅰ）求tan A的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，求tan B tan C的最小值．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）．参考附表：P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．19．四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，BC∥AD，AD⊥DC，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD，E为PC中点，平面PAD⊥平面ABCD，F为AD上一点，PA∥平面BEF．（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；（Ⅱ）若PC与底面ABCD所成的角为60°．求二面角E﹣BF﹣A的余弦值．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝mlnx ，g （x ）=x−1x（x ＞0）． （Ⅰ）讨论函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m ＝e 时．y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象公切线的条数，并说明理由． 选考题：共10分，请考生在22.23题中任选--题作答，如果多做则按所做的第-题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|． （Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}，B ＝{x |﹣4＜x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．B ＝{x |﹣2≤x ＜2} B ．B ＝{x |﹣4＜x ≤2}C ．{﹣2，﹣1，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】先求出集合A ，再利用集合交集的运算即可算出结果． 解：集合A ＝{x ∈Z|x 2≤4}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∩B ＝{﹣2，﹣1，0，1}， 故选：D ．2．已知复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）（a ∈R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．﹣1B ．﹣iC ．1D ．i【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出． 解：因为复数z ＝（a +i ）（1﹣2i ）＝（a +2）+（1﹣2a ）i ； ∴a +2＝3⇒a ＝1；∴z 的虚部为：1﹣2a ＝﹣1． 故选：A ． 3．已知双曲线C ：x 22−y 22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．√2C ．1D ．12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0， 所以焦点到其渐近线的距离d =2=√2． 故选：B ．4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A 1B 1＝A 0B 0﹣B 0B 1，A 2B 2＝A 1B 1﹣B 1B 2，A 3B 3＝A 2B 2﹣B 2B 3，…，A nB n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝8m，B0B1＝0.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A．35m B．45m C．210m D．270m【分析】根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解．解：根据A n B n＝A n﹣1B n﹣1﹣B n﹣1B n，其中B n﹣1B n═…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，可知{A n B n}是首项为8，公差为﹣0.5的等差数列．、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6倍．所以S=6S5=6[5×8+5×42×(−12)]=210（m）故选：C．5．已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m⊥α，m∥β，则α⊥β；②若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β；③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若m⊥α，m⊥n，则n∥α．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果．解：已知直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m ⊥α，m ∥β，则在β内，作n ∥m ，所以n ⊥α，由于n ⊂α，则α⊥β，故正确； ②若m ⊥α，m ∥n ，所以n ⊥α，由于n ⊂β，则α⊥β；故正确． ③若n ⊥α，n ⊥β，所以α∥β，由于m ⊥α，则m ⊥β；故正确． ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α也可能n ⊂α内，故错误． 故选：C ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．√55B ．√105C ．√1515D ．2√515【分析】建立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可．解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D （0，0，0），O （1，1，0），B 1（2，2，2），M （1，0，2），N （0，2，1）， ∴B 1M →=(−1，−2，0)，ON →=(−1，1，1)， 设异面直线B 1M 与ON 所成角为θ，则cosθ=|B 1M →⋅ON →|B 1M →||ON →||=5×3=√1515． 故选：C ．7．函数f （x ）＝cos x2−√3sin x2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位B ．向左平移2π3个单位 C ．向右平移π3个单位 D ．向右平移2π3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可． 解：f （x ）＝2（12cos x2−√32sin x2）＝2cos （x2+π3），将函数f （x ）向左平移φ的单位，得到y ＝2cos[12（x +φ）+π3]＝2cos （12x +12φ+π3），若f （x ）是奇函数，则12φ+π3=k π+π2，即φ＝2k π+π3，k ∈Z ，当k ＝0时，φ=π3，即可以将函数f （x ）的图象向左平移π3个单位，即可，故选：A ．8．某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（1﹣3年级） 第二阶段（4﹣6年级） 第三学段（7﹣9年级） 合计数与代数 21 28 49 98 图形与几何 18 25 87 130 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践 3 4 3 10 合计4565150260A ．除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B ．在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占4%C．第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D．“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可．解：（1）对于A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的8725≈3.5倍，故A对．（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260≈4%，故B对．（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多．故C对．（4）对于D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D错．故选：D．9．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则（）A．f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）＜f（log20.2）B．f（log20.2）＜f（2﹣0.3）＜f（0.3﹣1）C．f（log20.2）＜f（0.3﹣1）＜f（2﹣0.3）D．f（0.3﹣1）＜f（log20.2）＜f（2﹣0.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），由指数的性质可得2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，据此分析可得答案．解：根据题意，对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有[f（x2）﹣f（x1）]（x2﹣x1）＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为偶函数，则f（log20.2）＝f（﹣log20.2）＝f（log25），又由2﹣0.3＜20＝1＜log25＜3＜103=0.3﹣1，则有f （0.3﹣1）＜f （log 20.2）＜f （2﹣0.3）；故选：D ．10．给定两个长度为2的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°．如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动，则CB →•CA →的最小值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】根据题意，建立坐标系，求出A ，B 点的坐标，并设∠AOC ＝α，则向量OC →=（2cos α，2sin α），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解． 解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0），B （2cos120°，2sin120°）即B （﹣1，√3）， 设∠AOC ＝α，α∈[0°，120°]； 则OC →=（2cos α，2sin α）．∴CB →•CA →=（﹣1﹣2cos α，√3−2sin α）•（2﹣2cos α，﹣2sin α） ＝（﹣1﹣2cos α）×（2﹣2cos α）+（√3−2sin α）•（﹣2sin α） ＝2﹣2cos α﹣2√3sin α＝2﹣4sin （α+30°）； ∵α∈[0°，120°]；∴α+30°∈[30°，150°]⇒sin （α+30°）∈[12，1]；∴当sin （α+30°）＝1即α＝60°时，CB →•CA →取最小值为2﹣4×1＝﹣2； 故选：B ．11．若数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2），若使不等式|a n |≤λ成立的a n有且只有三项，则λ的取值范围为（ ）A ．[133，353） B ．（133，353] C ．[353，613） D ．（353，613]【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围．解：数列{a n }满足a 1=−13，且a n ＝a n ﹣1+（﹣2）n （n ≥2）， 所以：a n −a n−1=(−2)n−1， …，a 2−a 1=(−2)2，所以将上面（n ﹣1）个式子相加得到：a n −a 1=4[1−(−2)n−1]1−(−2)，整理得：a n =1−(−2)n+13．所以a 1=|1−43|=13，a 2=|1+83|=113，a 3=|1−163|=133，a 4=|1+323|=353，易知：|a n |＜|a n +1|，若不等式|a n |≤λ成立的a n 有且只有三项， 则：λ的取值范围为[133，353)．故选：A ．12．设椭圆的左右焦点为F 1，F 2，焦距为2c ，过点F 1的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若|PF 2|＝2c ，且|PF 1|=43|QF 1|，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．34C ．57D ．23【分析】由题意画出图形，由|PF 2|＝2c ，|PF 1|=43|QF 1|，利用椭圆的定义可得：|PF 1|＝2a ﹣2c ，进一步求出|QF 1|，|QF 2|，在等腰△PF 1F 2中，求得得cos ∠PF 1F 2．在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2，利用cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，化简求得5a ＝7c ，则答案可求．解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示， ∵|PF 2|＝2c ，则|PF 1|＝2a ﹣2c ． ∵|PF 1|=43|QF 1|，∴|QF 1|=34（2a ﹣2c ）=32（a ﹣c ）， 则|QF 2|＝2a −32（a ﹣c ）=a 2+32c ，在等腰△PF 1F 2中，可得cos ∠PF 1F 2=12|PF 1||F 1F 2|=a−c 2c． 在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2=94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)，由cos ∠PF 1F 2+cos ∠QF 1F 2＝0，得a−c 2c+94(a−c)2+4c 2−14(a+3c)22×2c×32(a−c)=0，整理得：5a−7c 6c=0，∴5a ＝7c ，∴e =c a =57． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．二项式（a √x x）6的展开式中，常数项与第五项的系数之比为﹣4，则a 的值为 3 ． 【分析】由题意利用二项式展开式的通项公式，求得a 的值． 解：∵二项式（a √x √x）6的展开式中，通项公式为 T r +1=C 6r •a 6﹣r •（﹣1）r •x 3﹣r ． 令3﹣r ＝0，求得r ＝3，可得常数项为﹣20a 3；令r ＝4，可得第五项为C 64•a 2＝15a 2．∵常数项与第五项的系数之比为﹣4，即 −20a 315a 2=−4，则a ＝3，故答案为：3．14．甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为 0.976 ．【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果．解：∵甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次， 则他们都没有投中的概率为（1﹣0.8）（1﹣0.7）（1﹣0.6）＝0.024， 则至少一人命中的概率为1﹣0.024＝0976，故答案为：0.976．15．已知函数f （x ）满足f （x2）＝x 3﹣2x ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 20x ﹣y ﹣16＝0． ．【分析】先利用换元法求出f （x ）的解析式，然后再求出f （x ）的导数，求出切点处的函数值，导数值，最后利用点斜式求出切线方程． 解：令t =x2，则x ＝2t ，所以f （t ）＝8t 3﹣4t ， 即f （x ）＝8x 3﹣4x ，∴f ′（x ）＝24x 2﹣4．∴f （1）＝4，f ′（1）＝20，故切线方程为：y ﹣4＝20（x ﹣1），即20x ﹣y ﹣16＝0． 故答案为：20x ﹣y ﹣16＝0．16．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为E ，若PE ＝1，则此四棱锥的外接球的表面积为28π3．【分析】取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，由题意可得三角形PEF 为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P 在底面的投影的距离，设正方形ABCD 的中心为M ，过M 做MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．解：取AD 的中点F ，连接EF ，PF ，因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，△PAD 为等边三角形，所以PF =√3，EF ＝2，又PE ＝1，所以PF ⊥PE ，设正方形ABCD 的对角线的交点M ，过P 做底面的投影N ，则由题意可得N 在EF 上，由射影定理可得NE =PE 2EF =12，而ME ＝1，所以MN =12，PN =√PE 2−HE 2=√32，MB =12BD =2√22=√2， 过M 做底面的垂线MO ，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上， 设O 为外接球的球心，设球的半径为R ，则OP ＝OB ＝R ，过O 做OH ⊥PN 于H ，则四边形OMNH 为矩形，所以OH ＝MN =12，HN ＝OM ， （i ）若球心在四棱锥的内部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN ﹣HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32−OM ）2，①在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，②由①②可得OM =−√33，不符合，故舍去．（ii ）若球心在四棱锥的外部则可得：在△OPH 中，OP 2＝OH 2+（PN +HN ）2，即R 2＝（12）2+（√32+OM ）2，③在△OBM 中，OB 2＝BM 2+OM 2，即R 2＝（√2）2+OM 2，④ 由③④可得R 2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 综上所述四棱锥的外接球的表面积S ＝4πR 2=28π3． 故答案为：28π3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5（sin 2B +sin 2C ）＝8sin B sin C +5sin 2A ． （Ⅰ）求tan A 的值；（Ⅱ）若△ABC 为锐角三角形，求tan B tan C 的最小值．【分析】（I ）5（sin 2B +sin 2C ）＝8sin B sin C +5sin 2A ．由正弦定理可得：5（b 2+c 2）＝8bc +5a 2，可得：b 2+c 2﹣a 2=85bc ，再利用余弦定理即可得出． （II ）由tan （B +C ）=tanB+tanC 1−tanAtanC =−tan A =−34，可得4tan B +4tan C ﹣3tan B tan C +3＝0，利用基本不等式的性质即可得出．解：（I ）5（sin 2B +sin 2C ）＝8sin B sin C +5sin 2A ．由正弦定理可得：5（b 2+c 2）＝8bc +5a 2，可得：b 2+c 2﹣a 2=85bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =45，A ∈(0，π2)，∴sin A =√1−cos 2A =35，则tan A =34． （II ）由tan （B +C ）=tanB+tanC 1−tanAtanC =−tan A =−34，∴4tan B +4tan C ﹣3tan B tan C +3＝0， ∵tan B ＞0，tan C ＞0，由均值不等式可得：4tan B +4tan C ＝3tan B tan C ﹣3≥2√4tanB ⋅4tanC ，当且仅当tan B ＝tan C ＝3时取等号． 解得tan B tan C ≥9． ∴tan B tan C 的最小值为9．18．随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据．成绩优秀 成绩不够优秀总计 选修生涯规划课 15 10 25 不选修生涯规划课6 19 25 总计212950（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生．求抽到成绩不够优秀的学生人数ξ的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）． 参考附表： P （K 2≥k ）0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． 【分析】（Ⅰ）根据K 2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可．解：（Ⅰ）由题意知，K 2=50×(15×19−6×10)221×29×25×25≈6.650＞6.635，∴有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“． （Ⅱ）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为1−35=25，而随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ＝0）=C 30⋅(25)0⋅(35)3=27125， P （ξ＝1）=C 31⋅(25)1⋅(35)2=54125，P （ξ＝2）=C 32⋅(25)2⋅(35)1=36125， P （ξ＝3）=C 33⋅(25)3⋅(35)0=8125．∴ξ的分布列为ξ 0 123P2712554125361258125∵ξ～B （3，25），∴E （ξ）＝3×25=65． 19．四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PA ＝PD ，E 为PC 中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，F 为AD 上一点，PA ∥平面BEF ． （Ⅰ）求证：平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为60°．求二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AC 交BE 与G ，连接EG ，由已知结合线面平行的性质可得PA ∥EG ，再由E 为PC 的中点，得G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ，得到AF ＝BC =12AD ＝1，即F 为AD 的中点，可得四边形DCBF 为平行四边形，再由AD ⊥DC ，得BF ⊥AD ，可得BF ⊥平面PAD ，进一步得到平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）连接PF ，证明PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设P （0，0，t ），由PC 与底面ABCD 所成的角为60°求解t ，然后分别求出平面ABF 与EBF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：连接AC 交BE 与G ，连接EG ，∵PA ∥平面BEF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF ＝EG ，∴PA ∥EG ， 又E 为PC 的中点，∴G 为AC 的中点，则△AFG ≌△BCG ， 得AF ＝BC =12AD ＝1． ∴F 为AD 的中点，∵BC ∥FD ，且BC ＝FD ，∴四边形DCBF 为平行四边形， ∵AD ⊥DC ，∴BF ⊥AD ，又BF ⊂平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面BEF ， ∴平面BEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）解：连接PF ，∵PA ＝PD ，F 为AD 的中点，∴PF ⊥AD ，又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥底面ABCD ，又BF ⊥AD ，以F 为坐标原点，分别以FA ，FB ，FP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设P （0，0，t ），C （﹣1，1，0），取平面ABCD 的法向量n 1→=(0，0，1)，PC →=(−1，1，−t)，B （0，1，0）， ∴sin60°＝|n 1→⋅PC→|n 1→|⋅|PC →|，即√t 2+2=√32，解得t =√6． 设平面EBF 的法向量为n 2→=(x ，y ，z)，由{n 2→⋅FE →=−12x +12y +√62z =0n 2→⋅FB →=y =0，令z ＝1，得n 2→=(√6，0，1)．设二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角为θ，则|cos θ|=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√77，又θ为钝角，∴cos θ=−√77．即二面角E ﹣BF ﹣A 的余弦值为−√77．20．已知点A （0，2），B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上任意一点，且B 为AC 的中点，设动点C 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）A 关于y ＝x 的对称点为D ，是否存在斜率为12的直线1交曲线E 于M ，N 两点，使得△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出△MDN 的面积；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设C 的坐标，可得AC 的中点B 的坐标，由B 在抛物线x 2＝2y ﹣2上可得E 的方程；（Ⅱ）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由△MDN 为以MN 为底边的等腰三角形可得PD ⊥l ，所以可得k DP •k l ＝﹣1，求出直线l 的方程，及弦长|MN |及|DP |的值，代入面积公式求出面积 解：（Ⅰ）设C （x ，y ），B （m ，n ）， B 是AC 的中点，则{m =x2n =y+22，因为B 为抛物线x 2＝2y ﹣2上，所以m 2＝2n ﹣2， 即x 24=2⋅2+y2−2， 所以x 2＝4y ，故曲线E 的方程为：x 2＝4y ；（Ⅱ）由题意得D（2，0），设直线l：y=12x+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），将l的方程代入x2＝4y得x2﹣2x﹣4t＝0（*），所以x1+x2＝2，x1x2＝﹣4t，△＝4+16t＞0，所以M，N的中点P（1，12+t），因为k DP•k l＝﹣1，所以12+t1−2⋅12=−1，所以t=32符合△＞0，所以直线l存在，所以（*）化为x2﹣2x﹣6＝0，x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，所以：|MN|=√1+14√4+24=√35|DP|=√5，所以S△MND=12×√35×√5=52√7．21．已知函数f（x）＝mlnx，g（x）=x−1x（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）判断当m＝e时．y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，并说明理由．【分析】（Ⅰ）求出导函数F'（x），对m的值分情况讨论，分别利用导函数F'（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）＝elnx在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=x−1x在点（b，1−1b）处的切线方程，判断y＝f（x）与y＝g（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b的方程2elnb+2b−1=0在（0，+∞）上解的个数，令h（x）＝2elnx+2x−1 （x＞0），利用导数得到方程h（x）＝0在（0，1e）及（1e，+∞）上各有一个根，即y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两条公切线．解：（Ⅰ）由题意可知：F（x）＝f（x）﹣g（x）＝mlnx−x−1x，x∈（0，+∞），则F'（x）=mx−1x2=mx−1x2，1°当m≤0时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+∞）上单调递减；2°当m＞0时，由F'（x）＜0得：0＜x＜1m，由F'（x）＞0得：x＞1m，∴函数F （x ）在（0，1m ）上单调递减，在（1m ，+∞）上单调递增， 综上所求：当m ≤0时，函数F （x ）在（0，+∞） 上单调递减；当m ＞0时，函数F （x ）在（0，1m ）上单调递减，在（1m ，+∞）上单调递增； （Ⅱ）函数f （x ）＝elnx 在点（a ，elna ）处的切线方程为y ﹣elna =e a (x −a)，即y =e a x +elna −e ，函数g （x ）=x−1x =1−1x 在点（b ，1−1b ）处的切线方程为y ﹣（1−1b ）=1b 2（x ﹣b ），即y =1b 2x −2b +1，若y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有公切线，则{e a =1b 2①elna −e =1−2b ②， 由①得a ＝eb 2代入②整理得：2elnb +2b−1=0③， 由题意只须判断关于b 的方程在（0，+∞）上解的个数，令h （x ）＝2elnx +2x−1 （x ＞0）， ∴h '（x ）=2e x −2x 2=2ex−2x 2， 令h '（x ）＝0，解得x =1e ，∴当x ∈(0，1e )时，h '（x ）＜0，函数h （x ）单调递减；当x ∈(1e，+∞)时，h '（x ）＞0，函数h （x ）单调递增，∴h （x ）≥h （1e ）＝﹣1， ∵h （1e ）＝﹣4e +2e 2﹣1＞0，h （1）＝1＞0， ∴h （1e ）h （1e ）＜0，h （1）h （1e ）＜0，且h （x ）图象在（0，+∞）上连续不断， ∴方程h （x ）＝0在（0，1e ）及（1e ，+∞）上各有一个根，即y ＝f （x ）与y ＝g （x ）的图象有两条公切线．一、选择题22．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2=123+sin 2θ，直线l 的参数方程为{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点P 为曲线C 上的动点点M 和点N 为直线1上的点，且|MN |＝2，求△PMN 面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d ，利用三角函数求最值可得△PMN 面积的取值范围．解：（Ⅰ）由ρ2=123+sin 2θ，得3ρ2+ρ2sin 2θ＝12， ∴3（x 2+y 2）+y 2＝12，即x 24+y 23=1，∴曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =√3sinθ（θ为参数）． 由{x =2−2√55t y =3+√55t（t 为参数），消去参数t ，可得x +2y ﹣8＝0． ∴直线l 的普通方程为x +2y ﹣8＝0；（Ⅱ）设P （2cos θ，√3sinθ）到直线l 的距离为d ，S △PMN =12×2×d =d ，而d =|2cosθ+2√3sinθ−8|5=|4sin(θ+π6)−8|5． ∴4√55≤d ≤12√55． ∴△PMN 面积的取值范围为[4√55，12√55]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝m ﹣|x ﹣2|，m ∈R ，g （x ）＝|x +3|．（Ⅰ）当x ∈R 时，有f （x ）≤g （x ），求实数m 的取值范围．（Ⅱ）若不等式f （x ）≥0的解集为[1，3]，正数a ，b 满足ab ﹣2a ﹣b ＝3m ﹣1，求a +b 的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用绝对值不等式的性质；（Ⅱ）利用绝对值不等式解法求出m ，代入得到a ，b 的等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解．解：（Ⅰ）由题意得：∵f （x ）≤g （x ）在x ∈R 上恒成立，∴m ≤|x +3|+|x ﹣2|恒成立，即m ≤（|x +3|+|x ﹣2|）min ，又因为|x +3|+|x ﹣2|≥|（x +3）﹣（x ﹣2）|＝5，当且仅当x +3与x ﹣2异号时等号成立． ∴m ≤5，即m ∈（﹣∞，5]；（Ⅱ）令f （x ）≥0，∴m ≥|x ﹣2|；若m ≤0，则解集为∅，不合题意；若m ＞0，则有﹣m ≤x ﹣2≤m ，即x ∈[2﹣m ，2+m ]，又∵解集为x ∈[1，3]，∴m ＝1．∴ab ﹣2a ﹣b ＝2，∴b =2a+2a−1； ∵{a ＞0b ＞0，解得a ＞1， ∴a +b ＝a +2a+2a−1=a ﹣1+4a−1+3， ∴a +b ≥2 √(a −1)4a−1+3＝7， 当且仅当a ﹣1=4a−1，即a ＝3时，等号成立，此时b ＝4， ∴a ＝3，b ＝4时a +b 的最小值为7．。
2020年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．44．已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x（元）与销售量y（万件）之间的数据如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（万件）11 10 8 6 5已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：y=bx+40，若该集团调整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（）A．7.66万件 B．7.86万件 C．8.06万件 D．7.36万件6．已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．4510．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．211．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，） B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是（将你认为正确的序号都写上）．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a= b=女c= d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x0）0.050 0.025 0.010 0.001x0 3.841 5.024 6.635 10.82819．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F 在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2020年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），集合B={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，2），故选：B．2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z1=2+i，则z2=（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由z1得到z1在复平面内对应的点的坐标，结合题意求得z2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵z1=2+i，∴z1在复平面内对应点的坐标为（2，1），由复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z2在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，1），∴z2=﹣2+i，选：B．3．已知向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=（）A．2 B．C．2 D．4【考点】向量的模．【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可．【解答】解：向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．故选：B．4．已知函数，则=（）A．4 B．C．﹣4 D．【考点】函数的值．【分析】由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．【解答】解：f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．5．某集团计划调整某种产品的价格，为此销售部在3月1日至3月5日连续五天对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查，其中该产品的价格x（元）与销售量y（万件）之间的数据如表所示：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日价格x（元）9 9.5 10 10.5 11销售量y（万件）11 10 8 6 5已知销售量y与价格x之间具有线性相关关系，其回归直线方程为：y=bx+40，若该集团调整该产品的价格到10.2元，预测批发市场中该产品的日销售量约为（）A．7.66万件 B．7.86万件 C．8.06万件 D．7.36万件【考点】线性回归方程．【分析】根据线性回归方程过样本中心点（，），求出回归直线方程，利用回归方程求出x=10.2时y的值即可．【解答】解：由题意可知，=（9+9.5+10+10.5+11）=10，=×（11+10+8+6+5）=8，所以8=b×10+40，即b=﹣3.2，∴回归直线方程为y=﹣3.2x+40，当x=10.2时，y=﹣3.2×10.2+40=7.36．故选：D．6．已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：由tanα=2=，α为第一象限角，sin2α+cos2α=1，∴，，所以，故选：C．7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱CD上一点，则三棱锥P﹣A1B1A的左视图可能为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，判断选项即可．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥P﹣A1B1A的左视图中，B1、A1、A 的射影分别是C1、D1、D．故选D．8．将函数f（x）=sin（2x+φ）的图象向右平移个单位后的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得，又图象关于y轴对称，结合范围|φ|＜，解得φ，可得函数解析式，又由已知可得，利用正弦函数的图象和性质即可解得f（x）在上的最小值．【解答】解：∵由题，又∵图象关于y轴对称，∴依题，∴结合范围|φ|＜，解得．这样，又∵x∈，∴，∴可得：，故选：D．9．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．10．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为b，即为圆F的半径，再由MF垂直于x轴，可得a=b，运用a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC 的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵bcosB=acosA，∴sinBcosB=sinAcosA∴sin2A=sin2B∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，即有△ABC为等腰或直角三角形．故选C．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式＜f（1）的解集为（）A．（0，） B．（0，e）C．（，e）D．（e，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f （x）在R上单调递增，从而便得到﹣1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数；∴=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；∴由得，|f（lnx）|＜f（1）；∴﹣f（1）＜f（lnx）＜f（1）；即f（﹣1）＜f（lnx）＜f（1）；又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0]上为增函数；∴f（x）在R上为增函数；∴﹣1＜lnx＜1；∴；∴原不等式的解集为．故选：C．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×2+0=4．即z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．14．在椭圆+=1上有两个动点M、N，K（2，0）为定点，若=0，则的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，运用两点的距离公式，配方运用余弦函数的值域，即可得到所求最小值．【解答】解：M在椭圆+=1上，可设M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），则=•（﹣）=2﹣=2，由K（2，0），可得2=||2=（6cosα﹣2）2+（3sinα）2=27cos2α﹣24cosα+13=27（cosα﹣）2+，当cosα=时，2取得最小值，故答案为：．15．设集合S，T满足S⊆T且S≠∅，若S满足下面的条件：（ⅰ）∀a，b∈S，都有a﹣b∈S且ab∈S；（ⅱ）∀r∈S，n∈T，都有rn∈S．则称S是T的一个理想，记作S＜T．现给出下列3对集合：①S={0}，T=R；②S={偶数}，T=Z；③S=R，T=C，其中满足S＜T的集合对的序号是①②（将你认为正确的序号都写上）．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用新定义逐一核对三个命题得答案．【解答】解：对于①，满足（ⅰ），且r=0∈S，n为实数∈T，则rn=0∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故①满足；对于②，满足（ⅰ），且r为偶数∈S，n为整数∈T，则rn为偶数∈S，∴S＜T，满足（ⅱ），故②满足；对于③，不妨取实数1，复数i，两者相乘后得复数i，不属于实数集，故③不满足．∴满足S＜T的集合对的序号是①②．故答案为：①②．16．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；球内接多面体．【分析】画出图形，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，表示出三棱柱的体积为，0＜h＜2．利用导数求解三棱柱的体积最大时，三棱柱的高．【解答】解：如图所示，设O为外接球球心，三棱柱的高为h，则由题意可知，A'O=B'O=C'O=1，，，，此时三棱柱的体积为，其中0＜h＜2．令y=﹣h3+4h（0＜h＜2），则y′=﹣3h2+4，令y′=0，则，当时，y′＞0，函数y增，当时，y′＜0，函数y减．故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．故答案为：．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4（a3+1），3a3=5a4，数列{b n}是等比数列，且b1b2=b3，2b1=a5．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过令等差数列{a n}的公差为d，联立S4=4（a3+1）、3a3=5a4，计算可得首项和公差，进而可得a n=11﹣2n；通过令数列{b n}的公比为q，联立b1b2=b3、2b1=a5，计算可知首项和公比，进而可得；（2）通过（I）知，，分n≤5与n≥6两种情况讨论即可．【解答】解：（I）令等差数列{a n}的公差为d，∵S4=4（a3+1），3a3=5a4，∴，解得，则a n=11﹣2n；令数列{b n}的公比为q，∵b1b2=b3，2b1=a5，∴，解得，则；（2）通过（I）知，，于是．18．某小学为迎接校运动会的到来，在三年级招募了16名男志愿者和14名女志愿者．调查发现，男、女志愿者中分别各有10人和6人喜欢运动，其他人员不喜欢运动．（Ⅰ）根据以上数据完成以下2×2列联表：喜欢运动不喜欢运动总计男a= b=女c= d=总计n=（Ⅱ）判断性别与喜欢运动是否有关，并说明理由．（Ⅲ）如果喜欢运动的女志愿者中恰有4人懂得医疗救护，现从喜欢运动的女志愿者中抽取2名负责医疗救护工作，求抽出的2名志愿者都懂得医疗救护的概率．附：临界值表（部分）：P（χ2≥x0）0.050 0.025 0.010 0.001x0 3.841 5.024 6.635 10.828【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）根据2×2列联表可得表中的数据；（Ⅱ）求出χ2值，查表，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅲ）列出所有的基本事件，由古典概型求概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得喜欢运动不喜欢运动总计男10 6 16女 6 8 14总计16 14 30（Ⅱ）假设：是否喜欢运动与性别无关，由已知数据可求得：χ2=≈1.1575＜3.841．因此，我们认为喜欢运动与性别无关．（Ⅲ）喜欢运动的女志愿者有6人，设分别为A、B、C、D、E、F，其中A、B、C、D懂得医疗救护，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，其中两人都懂得医疗救护的有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种．设“抽出的志愿者中2人都能胜任医疗救护工作”为事件A，则P（A）==．19．如图（1），在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB=EF=2，CD=6，M为BC中点，现将梯形BEFC沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图（2）所示，N是CD上一点，且．（Ⅰ）求证：MN∥平面ADFE；（Ⅱ）求三棱锥F﹣AMN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．利用中位线定理得出四边形MPQN是平行四边形，故MN∥PQ，于是MN∥平面ADFE；（II）延长DA，FE，CB交于一点H，利用平行线等分线段成比例得出MN与DH的比值，得出△AMN与△CDH的面积比，则三棱锥F﹣AMN与三棱锥F﹣CDH的体积比等于其底面积的比．【解答】解：（Ⅰ）取EF的中点P，连结MP，过点N作NQ∥CF交DF于点Q，连接PQ．则MP∥CE，．，∴NQ=2，∴MP NQ，∴四边形MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ，又PQ⊂平面ADFE，MN⊄平面ADFE，∴MN∥平面ADFE．（Ⅱ）延长DA，FE，CB交于一点H，∵，∴BE=，∴，∵，∴PQ∥DH，且．∵MN=PQ，MN∥PQ，∴MN．∴=，∴．∵，=1．∴V F﹣AMN20．动点P在抛物线x2=2y上，过点P作PQ垂直于x轴，垂足为Q，设．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设点S（﹣4，4），过点N（4，5）的直线l交轨迹E于A，B两点，设直线SA，SB 的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设M的坐标，根据中点坐标公式，将P点坐标代入整理可求得M的轨迹方程；（II）直线l过点N，设l的方程为：y=k（x﹣4）+5，与E联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，根据韦达定理，分类讨论l是否经过点S，并分别求得直线的斜率，即可求得k1k2的值．【解答】解：（I）设点M（x，y），P（x0，y0），则由，得，因为点P在抛物线x2=2y上，所以，x2=4y..（II）：由已知，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y=k（x﹣4）+5，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则联立，整理得：x2﹣4kx+16k﹣20=0，由韦达定理，得，当直线l经过点S即x1=﹣4或x2=﹣4时，当x1=﹣4时，直线SA的斜率看作抛物线在点A处的切线斜率，则k1=﹣2，，此时；同理，当点B与点S重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）直线l不经过点S即x1≠﹣4且x2≠﹣4时，∵，∴，=，=．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性，分离参数a，问题转化为：当x＞1时恒成立，解出即可；（Ⅱ）求出个零点x1，x2，得到．构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（I）因为f（x）=lnx﹣ax，则，若函数f（x）=lnx﹣ax在（1，+∞）上单调递减，则1﹣ax≤0在（1，+∞）上恒成立，即当x＞1时恒成立，所以a≥1．（II）证明：根据题意，，因为x1，x2是函数的两个零点，所以，．两式相减，可得，即，故．那么，．令，其中0＜t＜1，则．构造函数，则．因为0＜t＜1，所以h'（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即．可知，故x1+x2＞1．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且BC=CD，其对角线AC与BD相交于点M．过点B作⊙O的切线交DC的延长线于点P．（1）求证：AB•MD=AD•BM；（2）若CP•MD=CB•BM，求证：AB=BC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用等腰三角形的性质、角分线定理，即可证明结论；（2）证明∠PBC=∠BCA，利用∠PBC=∠BAC，证明∠BAC=∠BCA，即可得出结论．【解答】证明：（1）由BC=CD可知，∠BAC=∠DAC，由角分线定理可知，=，即AB•MD=AD•BM得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由CP•MD=CB•BM，可知=，又因为BC=CD，所以=所以PB∥AC．所以∠PBC=∠BCA又因为∠PBC=∠BAC所以∠BAC=∠BCA所以AB=BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，且曲线C的左焦点F 在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|FA|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；（II）设矩形的顶点坐标为（x，y），则根据x，y的关系消元得出P关于x（或y）的函数，求出此函数的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2﹣2t﹣2=0，∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2=12，∴x=．∴P=4x+4y=4+4y．令f（y）=4+4y，则f′（y）=．令f′（y）=0得y=1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y=1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．2020年8月1日第21页（共21页）。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学仿真第二次备考试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】A 【解析】 【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可. 【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件， 当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±. 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点， 所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知函数32,1()ln ,1(1)x x x f x a x x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪+⎩，若曲线()y f x =上始终存在两点A ，B ，使得OA OB ⊥，且AB的中点在y 轴上，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,)+∞ B ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D ．[e,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据AB 中点在y 轴上，设出,A B 两点的坐标()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >）.对t 分成1,1,1t t t =三类，利用OA OB ⊥则0OA OB ⋅=u u u r u u u r，列方程，化简后求得ln t a t =，利用导数求得ln t t的值域，由此求得a 的取值范围. 【详解】根据条件可知A ，B 两点的横坐标互为相反数，不妨设()32,A t t t-+，(,())B t f t ，（0t >），若1t <，则32()f t t t =-+，由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即()()232320t t t t t -++-+=，方程无解；若1t =，显然不满足OA OB ⊥；若1t >，则ln ()(1)a t f t t t =+，由0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，即()232ln 0(1)a t t t tt t -++=+，即ln t a t =，因为()'2ln 1ln ln t t t t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数ln tt 在()0,e 上递减，在()e,+∞上递增，故在e t =处取得极小值也即是最小值e ln e e =，所以函数ln ty t=在(1)+∞上的值域为[),e +∞，故[e,)a ∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.3．函数()2f x ax =-与()xg x e =的图象上存在关于直线y x =对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],e -∞ D ．(2,e ⎤-∞⎦【答案】C 【解析】 【分析】由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，可得2ln xa x+=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=，对x 分类讨论，得出1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值，进而得出结论. 【详解】解：由题可知，曲线()2f x ax =-与ln y x =有公共点，即方程2ln ax x -=有解，即2ln xa x +=有解，令()2ln x h x x +=，则()21ln x h x x --'=， 则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时，()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当x 趋近于0时，()h x 趋近于-∞，所以a e ≤满足条件． 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法，考查化归与转化等数学思想，考查抽象概括、运算求解等数学能力，属于难题．4．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．10【答案】D 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【详解】解：画出满足条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的平面区域，如图示：如图点坐标分别为()()()0,3,3,1,0,2A B C --， 目标函数22xy +的几何意义为，可行域内点(),x y 与坐标原点()0,0的距离的平方，由图可知()3,1B -到原点的距离最大，故()()x2222ma 0311x y++-==.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．5．如图是计算11111++++246810值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．5k≥B．5k<C．5k>D．6k≤【答案】B【解析】【分析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．【详解】因为该程序图是计算11111246810++++值的一个程序框圈 所以共循环了5次所以输出S 前循环体的n 的值为12，k 的值为6， 即判断框内的不等式应为6k ≥或5k > 所以选C 【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．6．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r，若()//2c a b +r r r ，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +r r ，由平行关系构造方程可求得结果.【详解】()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=rr ()//2c a b +rr r Q 24λ∴=-，解得：2λ=-故选：A 【点睛】本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.7．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-； （4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23yx =-是正确； （4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 8．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-【答案】A 【解析】 【分析】 由()4sin 5πα+=及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】 因为()4sin 5πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=，4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13πααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.9．已知复数z 满足：34zi i =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．43i + B ．43i -C ．43i -+D ．43i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法、除法运算求出z ，再根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】由34zi i =+，则3434431i i z i i +-===--， 所以z =43i +. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念，属于基础题. 10．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.11．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.A ．22S ∉，且23S ∉B ．22S ∉，且23S ∈C ．22S ∈，且23S ∉D ．22S ∈，且23S ∈【答案】D 【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长. 【详解】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体， 如图所示：所以：2AB BC CD AD DE =====，22AE CE ==，22(22)223BE =+=.故选：D.. 【点睛】本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.12．已知函数2()sin cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．2020【答案】C 【解析】 【分析】首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可． 【详解】 解：2()sincos444f x x x x πππ=．1(1cos )222x x ππ=- 1sin()262x ππ=-++，1()sin()262f x x ππ∴=-++，()f x ∴的周期为242T ππ==，()1f ，()21f =， ()3f =，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=． ()()()122020f f f ∴+++L ()()()()5051234f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦5052=⨯1010=．故选：C 【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）
层正六边形的周长总和为（
）
A ． 35m
B． 45m
C． 210m
D． 270m
【分析】根据 A nBn＝ A n﹣1B n﹣ 1﹣ B n﹣1Bn，其中 B n﹣1B n═…＝ B 2B3＝ B 1B 2＝ B0B 1，可知 {A nB n }
．
15．已知函数
f（x）满足
f
（
?? ）＝
x3﹣
2x
，则曲线
y＝ f（ x）在点（ 1， f （ 1））处的切线
2
方程为
．
16．在四棱锥 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AB ＝ 2，△ PAD 为等边三角形，线段
BC 的中点为 E ，若 PE＝ 1，则此四棱锥的外接球的表面积为
．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17．在△ ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 5（ sin 2B +sin 2C）＝ 8sin Bsin C+5sin 2A．
（Ⅰ）求 tan A 的值；
（Ⅱ）若△ ABC 为锐角三角形，求 tan B tan C 的最小值．
C．1
1 D．
2
4．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是
正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的
边长计算方法如下： A 1B 1＝ A0B0﹣ B 0B 1， A2B2＝ A 1B 1﹣ B1B2 ， A3B 3＝ A 2B2 ﹣B 2B 3，…，
的最小值．
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
2020年辽宁省沈阳市郊联体高考数学二模试卷2 (含答案解析)
2020年辽宁省沈阳市郊联体高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={5}，B={4,5}，则A∩B=()A. ⌀B. {4}C. {5}D. {4,5}2.复数z=a+3i的实部与虚部相等，则实数a=()1+2iA. 1B. 2C. √2D. −13.函数y=sinx的图象(),1)对称 B. 关于直线x=π对称A. 关于点(π2C. 关于点(π,0)对称D. 关于y轴对称4.执行如图所示的程序框图，如果输入的m=15，n=12，则输出的n是()A. 15B. 12C. 3D. 1805.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5−a2=10，则S15=()A. 20B. 75C. 150D. 3006.已知三个不重合的平面α，β，γ，一条直线l，要得到α//β，必须满足下列条件中的()A. l//α，l//β，且l//γB. l⊂γ，且l//α，l//βC. α//γ，且β//γD. l与α，β所成的角相等7.下图是1990年～2017年我国劳动年龄(15～64岁)人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确的是()A. 2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B. 2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C. 2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D. 我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6％8.已知两个单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，c⃗=(1−t)a⃗+t b⃗ ，若b⃗ ⋅c⃗=−12，则实数t的取值是()A. 2B. −2C. 12D. −129.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积为()A. 4B. 4√6C. 8D.8√210.函数f(x)=e x+1e x−1⋅sinx的部分图象大致为()A. B.C. D.11. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 且倾斜角为60°的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则|MN|=( )A. 4√33B. √3C. 2√3D. 2√3312. 若函数y =f(x)的图象上存在关于原点对称的两点M ，N ，则称函数f(x)有一组“对点”(“M与N ”和“N 与M ”视为同一组“对点”)，已知f(x)={2x 2+4x,x <0m e x ,x ≥0，有两组“对点”，则非零实数m 的取值范围是( )A. ((4−4√2)⋅e −√2,0)∪(0,(4√2−4)⋅e √2)B. ((2−2√2)⋅e −√2,0)∪(0,(2√2−2)⋅e √2)C. (0,(2√2−2)⋅e √2)D. (0,(4√2−4)⋅e √2)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数a ，b ，c 成等比数列，且a +b +c =1，则a +c 的取值范围是_________．14. 已知Rt △ABC 中，cosC =2√55，则过点C 且以A ，B 为两焦点的双曲线的离心率为______． 15. 现有30件产品，其中有20件是一等品，10件是二等品，则第一个人拿到一等品，紧接着第二个人拿到二等品的概率是__________．16. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在△ABC 中，sinA =sinB =−cosC ．(1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM 的长为√7，求△ABC 的面积．18.环保部门对甲、乙两家化工厂的生产车间排污情况进行检查，从甲厂家的5个生产车间和乙厂家的3个生产车间做排污是否合符国家限定标准的检验．检验员从以上8个车间中每次选取一个车间不重复地进行检验．(1)求前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率；(2)记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角M−PA−C为30∘，求PC与平面PAM所成角的正弦值．,√3)．20.已知椭圆C的一个焦点为(0,√3)，且经过点P(12(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知A(1,0)，直线l与椭圆C交于M，N两点，且AM⊥AN；(ⅰ)若|AM|=|AN|，求直线l的方程；(ⅰ)若AH⊥MN于H，求点H的轨迹方程．+2alnx(a∈R)．21.已知函数f(x)=x−1x(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，其中x2∈[e,+∞)，求f(x1)−f(x2)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；)，点B(2√3,θ)在曲线C2上，求△ABO的面积．(2)设点A的极坐标为(2,π323.设函数f(x)=|x−a|．(1)若关于x的不等式f(x)+b<0的解集为(−1,3)，求a，b的值；(2)若g(x)=2f(x)+2f(x+1)，求g(x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A={5}，B={4,5}，∴A∩B={5}，故选：C．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】解：∵a+3i1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=a+65+3−2a5i，其实部与虚部相等，∴a+6=3−2a，即a=−1．故选D．3.答案：C解析：解：由正弦函数的图象和性质可知，函数y=sinx的图象关于点(kπ,0)，k∈Z对称，得当k=1时，故图象关于点(π,0)对称，故选：C．由正弦函数的图象和性质即可得解．本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得m=15，n=12r=3不满足条件r=0，执行循环体，m=12，n=3，r=0满足条件r=0，退出循环，输出n的值为3．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】利用等差数列的通项公式以及前n项和公式求解即可．【解答】解：由题意得2(a1+4d)−(a1+d)=10,即a1+7d=a8=10，=15a8=150，所以S15=15(a1+a15)2故选C．6.答案：C解析：【分析】本题考查面面平行的判定，利用面面平行的定义求解．【解答】解：A项，其中α与β有可能相交；B项，其中α与β也有可能相交；C项，由α//γ得α与γ没有交点，由β//γ得β与γ没有交点，所以α与β没有交点，所以α//β；D项，α与β有可能相交，错误．故选C．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查统计知识，根据题中图一一作出判断即可．【解答】解：由图可知，从1999年到2000年柱形图和曲线增长均比较陡，所以我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大，A正确，不符合题意；2011年明显比2010年人口数量大，且后面几年变化不大，B不正确，符合题意；2013年柱形图最高，所以我国劳动年龄人口数量达到峰值，C正确，不符合题意；我国劳动年龄人口占总人口比重极差约为74%−67%=7%，D正确，不符合题意，故选B．8.答案：B解析：解：两个单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，则有a⃗⋅b⃗ =1×1×cos60°=12，由c⃗=(1−t)a⃗+t b⃗ ，且b⃗ ⋅c⃗=−12，即有(1−t)a⃗⋅b⃗ +t b⃗ 2=−12，即12(1−t)+t=−12，解得t=−2．故选：B．运用向量的数量积的定义可得a⃗⋅b⃗ =12，再由向量的平方即为模的平方，解方程即可得到t．本题考查向量的数量积的定义和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：根据三视图可得此棱锥的高为SO=4，底面为直角梯形，且CD=12AB=2，AB//CD，且ABCO为正方形，如图所示：故该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面为SCD，它的面积为12CD⋅SO=12⋅2⋅4=4，故选：A．由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，从而求得该四棱锥的四个侧面中面积最小的一个侧面的面积．本题主要考查三视图的应用，由三视图得原到几何体，判断原几何体的形状，是解题的关键，属于中档题．10.答案：B解析：【分析】本题考查函数的图象，根据函数的奇偶性和当x>0且趋近0时y=sinx⋅e x+1e x−1>0可以排除选项，即可求解，属中档题．【解答】解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，由题知f(−x)=sin(−x)⋅e −x+1e−x−1=sinx⋅e x+1e x−1=f(x)，∴函数y=sinx⋅e x+1e x−1为偶函数，图象关于y轴对称，排除A、C，又当x>0且趋近0时sinx>0，e x+1e x−1>0，∴y=sinx⋅e x+1e x−1>0，排除D．故选B．11.答案：A解析：【分析】本题考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，属于较难题．直线方程与抛物线方程联立，求出A，B的纵坐标，从而可得OM，ON的值，进而可得结果．【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的斜率为√3，直线AB的方程为y=√3(x−1)，因为AF，BF为直径的圆分别与y轴相切于点M，N，所以|OM|=12|y1|，|ON|=12|y2|，∴|MN|=12|y1−y2|，将AB方程y=√3(x−1)代入y2=4x，整理得√3y2−4y−4√3=0，y1=2√3，y2=−2√33，|MN|=12|2√3+2√33|=4√33，故选A．12.答案：D解析：【分析】本题主要考查新定义题目，读懂题意，利用数形结合的思想，构造函数结合导数研究函数的最值和极值是解决本题的关键，属于较难题．根据“对点”的定义可知，只需要利用图象，作出函数f(x)=2x2+4x，x<0关于原点对称的图象，利用对称图象在x>0时，满足有两个交点即可得到结论．【解答】解：由题意知函数f(x)=2x2+4x，x<0关于原点对称的图象为−y=2x2−4x，即y=−2x2+4x，x>0，作出两个函数的图象如图，要使函数f(x)存在两组“对点”，则等价为当x>0时，y=−2x2+4x，x>0与f(x)=m在x>0时，有两个交点，e x若m<0，由图象知此时两个图象只有一个交点，不满足条件．若m>0，由−2x2+4x=m得：e xm=(−2x2+4x)e x，设ℎ(x)=(−2x2+4x)e x，则ℎ′(x)=−2(x2−2)e x，由ℎ′(x)=−2(x2−2)e x=0得x2−2=0，得x=√2或x=−√2(舍)，则当x>√2时，ℎ′(x)<0，当0<x<√2时，ℎ′(x)>0，即当x=√2时，ℎ(x)取得极大值ℎ(√2)=(4√2−4)⋅e√2，故当x>0时，要使两个图象只有2个交点，则m<(4√2−4)⋅e√2，综上0<m<(4√2−4)⋅e√2，故选：D．13.答案：[23,1)∪(1,2]解析：【分析】本题考查等比数列的性质，以及一元二次不等式的求解，属于中档题．注意考虑b≠0的情况，依题意设公比为q，则可分别表示出a和c，进而可用q表示出b，对q>0和q<0两种情况分类讨论，利用基本不等式求得b的范围，然后根据a+c=1−b即可求出结果．【解答】解：设公比为q，显然q不等于0，a+b+c=b(1q+1+q)=1，∴b=11+q+1q，当q>0时，q+1q ≥2√q⋅1q=2，当且仅当q=1q，即q=1时等号成立，∴0<b≤13；当q<0时，q+1q≤−2，当且仅当q=1q，即q=−1时等号成立，∴−1≤b<0；又∵a+c=1−b，∴a+c的取值范围：[23,1)∪(1,2]．故答案为：[23,1)∪(1,2].14.答案：√5+2解析：【分析】利用三角形以及双曲线的性质，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．【解答】解：由题意可知：cosC=2√55，故可设BC=2k,AB=k,AC=√5k，又AC−BC=2a=(√5−2)k,AB=2c=k，故ca =k2√5−22k=√5+2，故答案为：2+√5．15.答案：2087解析：【分析】本题主要考查条件概率的计算公式，是基础题．设第一个人拿到一等品为事件A，第二个人拿到二等品为事件B，根据乘法公式即可求解．【解答】解：设第一个人拿到一等品为事件A，第二个人拿到二等品为事件B，由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=23×1029=2087．故答案为2087．16.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1an−1=a n−1−1，∴{a n−1}为周期数列且周期为2，a1−1=2，∴a2014−1=a2−1=1a1−1=12，∴a2014=32．故答案为：32．由题意可知{a n−1}为周期数列且周期为2，a1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵sinA=sinB，且A，B为△ABC的内角，∴A=B，∵A+B+C=π，∴cosC=cos(π−2A)=−cos2A，∴sinA=−cosC=cos2A=1−2sin2A，即(2sinA−1)(sinA+1)=0，∴sinA=12，或sinA=−1(舍去)，∴A=B=π6，C=2π3；(2)设CA=CB=x，则CM=12x，在△ACM中，利用余弦定理得：AM2=AC2+MC2−2AC⋅CM⋅cosC，即7=x2+14x2+12x2，解得：x=2，则S △ABC =12CA ⋅CB ⋅sinC =√3．解析：(1)由sinA =sinB ，得到A =B ，再由诱导公式得到cosC =−cos2A ，代入sinA =−cosC 中，变形求出sin A 的值，由A 为三角形内角求出A 的度数，即可确定出B ，C 的度数；(2)设CA =CB =x ，表示出CM ，在三角形ACM 中，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x 的值，确定出CA 与CB 的长，即可求出三角形ABC 的面积．此题考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率：P =1−58×47×36=2328(2)由题意知ξ可取值1，2，3，4．P(ξ=1)=58，P(ξ=2)=38×57=1556，P(ξ=3)=38×27×56=556P(ξ=4)=38×27×16=156， 随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望Eξ=1×8+2×56+3×56+4×56=2解析：本题考查独立重复试验，对立事件的概率，分布列以及期望的求法，考查计算能力． (1)利用对立事件的概率求解前3次检验的车间中至少有一个是乙厂家的车间的概率；(2)记检验到第一个甲厂家的车间时所检验的车间个数共为ξ，求出ξ的可能值，求出概率得到分布列，然后求解数学期望．19.答案：解：(1)因为PA =PC =AC =4，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC ，且PO =2√3． 连接OB ，因为AB =BC =√22AC ，所以ΔABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2． 由PO 2+OB 2=PB 2 则PO ⊥OB ， ∵OB ∩AC =O ， ∴PO ⊥平面ABC ；(2)建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： A(0,−2,0)，P(0,0，2√3)，C(0,2，0)，B(2,0，0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，设BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2λ,0)，0<λ<1则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,2λ,0)−(−2,−2,0)=(2−2λ,2λ+2,0)， 则平面PAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(1,0，0)，设平面MPA 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−2√3)， 则n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y −2√3z =0，n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ)x +(2λ+2)y =0 令z =1，则y =−√3，x =(λ+1)√31−λ， 即n ⃗ =((λ+1)√31−λ,−√3,1)， ∵二面角M −PA −C 为30°， ∴cos30°=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√32， 即(λ+1)√3λ−1√(1−λ⋅√3)2+1+3⋅1=√32，解得λ=13或λ=3(舍)，则平面MPA 的法向量n ⃗ =(2√3,−√3,1)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2√3)， PC 与平面PAM 所成角的正弦值 sinθ=|cos <PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|√3−2√3√16⋅√16|=4√316=√34．解析：本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．(1)利用线面垂直的判定定理证明PO ⊥AC ，PO ⊥OB 即可；(2)根据二面角的大小求出平面PAM 的法向量，利用向量法即可得到结论． 20.答案：解：(1)由椭圆C 的一个焦点为(0,√3)，焦点在y 轴上，设椭圆C 为：y 2a +x 2b =1(a >b >0)，∵椭圆C 过点P(12,√3)，且一个焦点为(0,√3)，∴{a 2=3+b 23a +14b =1，解得：{a 2=4b 2=1． ∴椭圆C 的标准方程为y 24+x 2=1．(2)(Ⅰ)当l ⊥x 轴时，设l ：x =m ， 代入椭圆得y =±2√1−m 2，∵|MN|=4√1−m 2=2(1−m)，解得m =1(舍去)或m =−35，∴直线l 方程为x =−35．当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =kx +m ． 由{y =kx +m y 24+x 2=1，整理得：(4+k 2)x 2+2kmx +m 2−4=0． △=4k 2m 2−4(4+k 2)(m 2−4)>0，解得：k 2+4>m 2． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，线段MN 的中点为Q(x 0,y 0). 则x 1+x 2=−2km4+k 2，x 1x 2=m 2−44+k 2，∴x 0=−km4+k 2，y 0=kx 0+m =4m4+k 2，由|AM|=|AN|，得AQ ⊥MN ，则k AQ ⋅k =−1， 化简得3km =k 2+4(∗)．由AM ⊥AN ，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0， ∴(x 1−1)(x 2−1)+(kx 1+m)(kx 2+m)=0，化简得：(1+k 2)x 1x 2+(km −1)(x 1+x 2)+1+m 2=0． ∴(1+k 2)(m 2−4)4+k −2km(km−1)4+k +1+m 2=0，化简得5m 2+2km −3k 2=0，解得m =−k 或m =35k ． 当m =−k 时，(∗)式不成立．当m =35k 时，代入(∗)式，得k 2=5，k =±√5． ∴直线l 的方程为y =√5x +35√5或y =−√5x −35√5．综上所述，直线l 的方程为√5x +y +35√5=0或√5x −y +35√5=0，或x =−35． (Ⅱ)当直线l 与x 轴不垂直时，由(Ⅰ)知，AM ⊥AN 时，m =−k 或m =35k ． 当m =−k 时，直线l 为y =k(x −1)过点A(1,0)，矛盾，故舍去． 当m =35k 时，直线l 为y =k(x +35)，且过定点Q(−35,0)． 当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x =−35，也过定点Q(−35,0)． ∴点H 的轨迹就是以AQ 为直径的圆，但不含A 点， ∴点H 的轨迹方程为(x −15)2+y 2=1625(x ≠1)．解析：(1)由题意可知：设椭圆C 为：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，c =√3，将点P(12,√3)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(2)(ⅰ)当l ⊥x 轴时，设l ：x =m ，代入椭圆得y =±2√1−m 2，求得∵|MN|=4√1−m 2=2(1−m)，m =−35，当l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =kx +m 代入椭圆方程，求得x 0=−km4+k 2，y 0=kx 0+m =4m4+k 2，由|AM|=|AN|，得AQ ⊥MN ，则k AQ ⋅k =−1，求得3km =k 2+4(∗).由AM ⊥AN ，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=0，代入即可求得m 的值，求得k ，即可求得直线l 的方程； (ⅰ)当直线l 与x 轴不垂直时，由(Ⅰ)知，AM ⊥AN 时，m =−k 或m =35k ，当l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x =−35，也过定点Q(−35,0)．，点H 的轨迹就是以AQ 为直径的圆，但不含A 点，点H 的轨迹方程为(x −15)2+y 2=1625(x ≠1)． 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，弦长公式的应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．21.答案：解：(1)由题意得f′(x)=1+1x 2+2a x=x 2+2ax+1x 2，其中x >0．设m(x)=x 2+2ax +1，则△=4(a 2−1)． ①当a >1时，令m(x)=0，得x 1=−a +√a 2−1<0，x 2=−a −√a 2−1<0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当−1≤a ≤1时，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增; ③当a <−1时，令m(x)=0，得x 1=−a +√a 2−1>0，x 2=−a −√a 2−1>0，且x 1>x 2， 可知当x ∈(0,−a −√a 2−1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,−a −√a 2−1)上单调递增;当x ∈(−a −√a 2−1,−a +√a 2−1)时，f′(x)<0，f(x)在(−a −√a 2−1,−a +√a 2−1)上单调递减;当x ∈(−a +√a 2−1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(−a +√a 2−1,+∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a <−1时，f(x)在(0,−a −√a 2−1)和(−a +√a 2−1,+∞)上单调递增， 在(−a −√a 2−1,−a +√a 2−1)上单调递减． (2)由(1)知f′(x)=x 2+2ax+1x 2，由题意知x 1，x 2是x 2+2ax +1=0的两根，所以x 1⋅x 2=1，x 1+x 2=−2a ，可得x 2=1x 1，2a =−x 1−1x 1． 因为x 2∈[e,+∞)，所以x 1∈(0,1e ]，所以f(x 1)−f(x 2)=f(x 1)−f(1x 1)=2[x 1−1x 1−(x 1+1x 1)lnx 1].令F(x)=2[x −1x −(x +1x )lnx]，x ∈(0,1e ]， 则有，当x ∈(0,1e )时，F′(x)<0，F(x)在(0,1e ]上单调递减，F(x)的最小值为F(1e )=2(1e −e +1e +e)=4e ，即f(x 1)−f(x 2)的最小值为4e ．解析：本题主要考查函数单调性，极值，最值和导数的关系，求函数的导数，利用构造法是解决本题的关键，属于较难题．(1)求函数的定义域和导数，讨论a 的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可． (2)求出函数g(x)的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解．22.答案：解：(1)由ρcosθ=4得x =4，设P(x,y)，M(4,y 0)，则y 04=y x ，∴y 0=4y x由|OM||OP|=16得√x 2+y 2⋅√42+y 02=16，∴√x 2+y 2⋅√16+16y 2x 2=16，化简得x 2+y 2=4|x|，又因为点P 在线段OM 上，∴x ≥0故点P 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0 (2)点A 的极坐标为(2,π3)，所以点A 的直角坐标为(1,√3)， 点B 的直角坐标为(2√3cosθ,2√3sinθ)，将B 的直角坐标代入x 2+y 2−4x =0可得12cos 2θ+12sin 2θ−4×2√3cosθ=0，解得cosθ=√32，sinθ=±12， ∴θ=π6或θ=11π6，∴S △ABO =12|OA||OB|sin(π3−π6)=12×2×2√3×12=√3或S △ABO =12|OA||OB|sin π2=12×2×2√3×1=2√3，所以△ABO 的面积为√3或2√3．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)由ρcosθ=4得x =4，设P(x,y)，M(4,y 0)，则y 04=y x ，∴y 0=4y x，由|OM||OP|=16得√x 2+y 2⋅√42+y 02=16，∴√x 2+y 2⋅√16+16y2x=16，化简得x 2+y 2=4|x|，又因为点P 在线段OM 上，∴x ≥0故点P 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0； (2)利用极径的几何意义以及面积公式可得．23.答案：(1)解：由f(x)+b >0得，|x −a|<−b ，当b ≥0时，不合题意；当b <0时，a +b <x <a −b ，………………………………(3分) 由已知得{a +b =−1a −b =3，∴{a =1b =−2，综上，a =1，b =−2………………………………(5分)(2)g(x)=2|x−a|+2|x+1−a|≥2√2|x−a|×2|x+1−a|=2√2|x−a|+|x +1−a|≥2√2|(x−a)−(x+1−a)|=2√2………………………(4分)∴当{|x −a|=|x +1−a|(x −a)(x +1−a)≤0，即x =a −12时，g(x)有最小值，最小值是2√2……………(5分)解析：(1)通过讨论b 的范围，得到关于a ，b 的方程组，解出即可； (2)根据基本不等式的性质求出g(x)的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
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辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+D ．2π+ 【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】 画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB V 的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2π， 由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ， 故选A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.2．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时y =±(2,A ±．则直线AF 的斜率k ==±． 故选：D ．【点睛】 本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．3．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐音的是（ ） A ．0.02sin 360000y t =B ．0.03sin180000y t =C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin 540000y t = 【答案】C【解析】【分析】由基本音的谐波的定义可得12()f nf n *=∈N ,利用12f T ωπ==可得12()n n ωω*=∈N ,即可判断选项. 【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波, 由12f T ωπ==,可知若12()f nf n *=∈N ,则必有12()n n ωω*=∈N , 故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.4．已知[]2240a b a b +=⋅∈-r r r r ，，，则a r 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]【答案】D【解析】【分析】 设2m a b =+r r r ，可得[]2240a b a m a ⋅=⋅-∈-r r r r r ，，构造（14a m -r r ）2≤22116m +r ，结合2m =r ，可得113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r ，，根据向量减法的模长不等式可得解. 【详解】设2m a b =+r r r ，则2m =r ，[]22240b m a a b a m a =-⋅=⋅-∈-r r r r r r r r ，，， ∴（14a m -rr ）2212a a =-r r •2116m m +≤r r 22116m +r |m r |2m r =2＝4，所以可得：2182m =r ， 配方可得222111192()428482m a m m =≤-≤+=r r r r ， 所以113422a m ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦rr ，， 又111||||||||||||444a m a m a m -≤-≤+r r r r r r 则a ∈r[0，2]．故选：D ．【点睛】本题考查了向量的运算综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 5．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果.【详解】A正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大B正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102C正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大D错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选：D【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.6．函数y=2x sin2x的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A【解析】【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366 mpn===本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8．已知函数1222,0,()log,0,x xf xx x+⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x的方程[]2()2()30f x af x a-+=有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．163,5⎛⎫⎪⎝⎭B．163,5⎛⎤⎥⎝⎦C．(3,4)D．(]3,4【答案】B【解析】【分析】令()f x t=，则2230t at a-+=，由图象分析可知2230t at a-+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令()f x t=，则2230t at a-+=，如图y t=与()y f x=顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程[]2()2()30f x af x a-+=有六个不相等的实数根，则2230t at a-+=有两个不同的根12,(2,4]t t∈，设2()23g t t at a=-+由根的分布可知，24120(2,4)(2)0(4)0a aagg⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a<≤.故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.9．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用22⨯列联表，由计算得27.218K ≈,参照下表: 20()P K k ≥ 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828得到正确结论是( ) A ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B ．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”【答案】B【解析】【分析】通过27.218K ≈与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解:27.218 6.635K ≈>，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.10．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为$$0.042y x a=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【解析】【分析】 根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可. 【详解】解：1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042yx a =+上 ˆ0.10.0423a=⨯+，ˆ0.026a =- ˆ0.0420.026yx =- 令ˆ0.0420.0260.5yx =-> 13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC FD ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B【解析】【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确；故选：B【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠ 【答案】B【解析】【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值.【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d .所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。