2019高中数学人教a版必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和含答案

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高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.3知识点总结含同步练习及答案

{ a = 7, 或 { a = 7, d = 4, d = −4.
因为数列{an }为单调递增的数列，所以 d > 0．因此
{ a = 7, d = 4.
所以
an = 4n − 1.
在等差数列{an }中，前 n 项和为 S n ：（1）a2 = 1 ，a4 = 5 ，求数列{an }的前 5 项和 S 5 ；（2）S 5 = 25，a8 = 15 ，求 a21 ．解：（1）因为 {an }为等差数列，所以 a2 + a4 = 2a3 = 6 ，即 a3 = 3 ．所以
S5 =
（2）设首项为 a1 ，公差为 d ，则
5(a1 + a5 ) 5 × 2a3 = = 15. 2 2
5×4 ⎧ d = 25, S 5 = 5a1 + ⎨ 2 ⎩ a8 = a1 + 7d = 15. { a1 = 1, d = 2.
解方程组，得
所以a21 = a1 + 20d = 41 ．在等差数列 {an } 中，a1 = 25 ，S 17 = S 9 ，求前 n 项和 S n 的最大值．解：因为 a1 = 25 ，S 17 = S 9 ，所以
四、课后作业
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1. 在等差数列 {an } 中，已知 a5 + a7 = 10，S n 是数列 {an } 的前 n 项和，则 S 11 = ( A．45
答案： C 解析：
)
B．50
C．55
D．60
S 11 =
10 a1 + a11 a + a7 × 11 = 5 × 11 = × 11 = 55. 2 2 2 )
25 × 17 +

人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案

等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ，解得d ＝－2， [法一公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

高中数学必修五课件：2.3-2《等差数列的前n项和》(人教A版必修5)

3 11
n
n
7
2
3 7 11
∴当n=7时,Sn取最大值49.
5
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法3 由S3=S11得 d=－2
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
aann1
0
0
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B)
A.63 B.45 C.36 D.27
例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且
a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=A( )
A.85 B.145 C.110 D.90
12
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和为－110 .
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明
理由.
a1+2d=12
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
15
(2)
∵
Sn

na1

1 2

1)
(2)
n2 14n (n 7)2 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.
4

高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列前n项和(一)课件(共19张PPT)

a通n ”a工n1程中5的0 总投S1入0 是多此少处？暂停3分a1钟思50考0
例题1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?
结论: 当r 0时为数列{an}等差数列, 当r 0时数列{an}不是等差数列
课堂小结
1.等差数列的前n项和公式1：
Sn
n(a1 2
an
)
2.等差数列的前n项和公式2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
3.数列中an与Sn的关系： an=Sn-Sn-1（n ≥ 2）
此处暂停2分钟思考
解：由题意知S 10
310, S20
1220
方程组思想
将它们代入公式Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
10a1 20a1
45d 310 190d 1220
解得
ad1
4 6
Sn
=4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
例题3 数列中an与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n①2
1 2
n
[(n
1)2
1 2
(n
1)]
2n
1 2

人教A版高中数学必修5《二章数列 2.3 等差数列的前n项和》示范课课件_18

(2n 1) 3n
（1）
3Sn
1 32 3 33 5 34
（1）-（2）可得：
(2n 3) 3n (2n 1) 3n+1
（2）
－2Sn 3 2 32 2 33
2 3n－(2n 1) 3n1
－2Sn 3 2 (32 33
10
张掖市第二中学
二〇一七年五月十六日
错位相减法的一般步骤：
（1）根据定义写出数列的前n项（必须写出倒数第二项）；（2）等式两边同乘以等比数列的公比，错位；（3）两式相减(最后一项为负)；（4）等比数列用公式法求和(确定项数)；（5）计算、化简.
练习1 . 求数列an (2n 1) 3n 的前n项和Sn.
Sn 1 3 3 32 5 33 7 34
人教版高中数学(必修五)
第二章数列§2.Fra bibliotek 数列求和一、公式法(适用于已知数列类型的情况)
1、等差数列的前n项和公式：
n（a1＋an）
Sn＝_______2_____ ＝
_n_a__1＋ ___n_（ __n__－ 2__1_） _．d
2、等比数列的前n项和公式：
当q＝1时，Sn＝___n_a__1____
9
3.裂项相消法：若一个数列具备有如下特征:它的各项都是分数，分母可写成两个因式之积，把数列的通项拆成几项之差,使在求和时能出现隔项相消(正负相消),剩下（首尾）若干项求和. 4.错位相减法：若一个数列具备有如下特征:它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的,其求和则用错位相减法 (此法即为等比数列求和公式的推导方法)；
a1（1－qn） a1－anq

高中数学必修五2.3.1等差数列的前n项和课件人教A版

��(��-1) ��(��+1) = . 2 2
答案:D 【做一做2-2】在等差数列{an}中,已知an=2n-1,则其前n项和 Sn= . 解析:易知a1=1,故
Sn=
��(��1 +�� ) 2
=
��(1+2��-1) = 2
��(��-1) �� . 2
【做一做2-1】在等差数列{an}中,a1=1,d=1,则Sn等于( A.n B.n(n+1)
��(��+1) C.n(n-1) D. 2 ��(��-1) 解析:Sn=na1+ �� = 2
).
�� +
��2.
-5-
答案:n2
第1课时等差数列的前n项和
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HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
等差数列前n项和公式与函数的关系
剖析等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ 可以写为Sn= ��2 + ��1 �� 2 �� 2 �� 2 �� 2
2.3
等差数列的前n项和
-1-
第1课时
等差数列的前n项和
-2-
第1课时等差数列的前n项和
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D典例透析
IANLITOUXI
1.掌握数列前n项和的概念. 2.理解等差数列前n项和公式的推导过程. 3.掌握等差数列前n项和公式及其应用.

2019-2020人教A版数学必修5第2章 2.3 第2课时等差数列前n项和的综合应用课件PPT

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等差数列前 n 项和计算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式 Sn＝n（a12＋an），设法求出整体 a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用 Sn 是关于 n 的二次函数，设 Sn＝An2＋ Bn(A≠0)，列出方程组求出 A，B 即可，或利用Snn是关于 n 的一次函数，设Snn＝an＋b(a≠0)进行计算．
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(2)因为 an＝2n＋1，所以 a1＝3. 所以 Sn＝n（3＋22n＋1）＝n2＋2n，所以Snn＝n＋2，所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列，所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75.]
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等差数列前n项和Sn的函数特征 [探究问题] 1．将首项为 a1＝2，公差 d＝3 的等差数列的前 n 项和看作关于 n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前 n 项和为 Sn＝3n2＋n，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？
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1．在项数为 2n＋1 的等差数列中，所有奇数项的和为 165，所
有偶数项的和为 150，则 n 等于( )
A．9 B．10
C．11
D．12
B [∵SS奇偶＝n＋n 1，∴116550＝n＋n 1.∴n＝10.故选 B 项．]
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2．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则 S6＝________． 15 [由 S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列得 2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)，解得 S6＝15.]
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[解] (1)在等差数列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列． ∴30，70，S3m－100 成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. (2)ab55＝1212（（ab11＋＋ab99））＝99（（ab1122＋＋ab99））＝TS99＝7×9＋9＋3 2＝6152.

2018-2019版高中数学第二章数列2.3.2等差数列前n项和的性质与应用课件新人教A版必修5

��(��-1) �� 2 d= n + 2 2
��1 -
�� 2
n,因此
从二次函数的角度看,当 d>0 时,Sn 有最小值;当 d<0 时,Sn 有最大值; 且当 n 取最接近对应函数图象对称轴的正整数时,Sn 取得最值. (6)对于公差不为 0 的等差数列{an},使得其前 n 项和 Sn 取得最值的 n 的值可能有 1 个或 2 个.
��偶 ��
奇
=
��+1 . ��
(5)若等差数列{an}的项数为 2n+1,则 S2n+1=(2n+1)an+1, S 偶-S 奇=-an+1,
��偶 ��
奇
=
�� . ��+1
2.做一做: (1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30, 则其公差为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则 S6= . 解析(1)设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得 d=3. (2)∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列, ∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15. 答案(1)C (2)15
第2课时等差数列前n项和的性质与应用
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.掌握等差数列前 n 项和的性质及其应用. 2.掌握等差数列前 n 项和的最值的求法. 3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法. 等差数列前 n 等差数列前 n 项和的性质项和的性质等差数列前 n 项和的最值等差数列各项的绝对值的和

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等差数列的前n项和
(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？
1．数列的前n项和
对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.
2．等差数列的前n项和公式
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和( )
(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式( )
(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1( )
解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，
∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误．
(3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd. 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( )
A ．n
B ．n(n ＋1)
C ．n(n －1)
D.n (n ＋1)2 解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2
＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2
，故选D. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12
，S 4＝20，则S 6等于( ) A ．16
B ．24
C ．36
D ．48 解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，
由已知得4a 1＋4×32
d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，
∴S 6＝6×12＋6×52
×3＝3＋45＝48. 4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________. 解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.
答案：12
等差数列的前n 项和的有
[典例] 已知等差数列{a n }．
(1)a 1＝56，a 15＝－32
，S n ＝－5，求d 和n ； (2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d.
[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16
. 又S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)．
(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2
＝172，解得a 8＝39，
又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.。