解直角三角形的知识和题型点整理

解直角三角形的知识点整理
知识考点梳理
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：0
9090C A B ∠=⇒∠+∠=
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
可表示如下：00901
230C BC AB A ⎫∠=⇒=⎬∠=⎭
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可表示如下：0901
2D AB ACB CD AB BD AD ⎫∠=⇒===⎬⎭
为的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2
2
2
a b c +=.
5、射影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。

2
2
2
90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB
⎧=⋅⎫∠=⎪⇒=⋅⎬⎨⊥⎭⎪=⋅⎩
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD AC BC ⋅=⋅
考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2
2
2
a b c +=，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念
1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ， 即sin A a
A c
∠=
=的对边斜边
②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ， 即cos A b
A c
∠=
=的邻边斜边
③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ， 即tan A a
A A b
∠=
=∠的对边的邻边
④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ， 即cot A b
A A a
∠=
=∠的邻边的对边
2、锐角三角函数的概念
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30°
45°
60°
90° sinα
12
2 23
1
cos α
1
22
12
tan α
1
3 不存在
cot α 不存在
1 33
4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
22sin cos 1A A +=
（3）倒数关系
0tan tan(90)1A A ⋅-=
（4）弦切关系
sin tan cos A A A =
；cos cot sin A
A A
=
5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据
在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：2
2
2
a b c +=（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：
sin ,cos ,tan ,cot ;sin ,cos ,tan ,cot a b a b b a b a A A A A B B B B c c b a c c a b
=
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解直角三角形的精典例题整理
1.锐角三角函数
知识考点：
本节知识的考查一般以填空题和选择题的形式出现，主要考查锐角三角函数的意义，即运用sin a 、cos a 、tan a 、cot a 准确表示出直角三角形中两边的比（a 为锐角），考查锐角三角函数的增减性，特殊角的三角函数值以及互为余角、同角三角函数间的关系。

精典例题：
【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。

（1）求AB 的长；
（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。

变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=
a ，2=
b ，则sinA ＝ 。

（2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。

【例2】计算：0
20045sin 30cot 60sin +⋅
【例3】已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，2
5
tan =
B ，那么cosA （ ） A 、25 B 、35
C 、5
5
2 D 、32
变式：已知α为锐角，且5
4
cos =α，则ααcot sin +＝ 。

【例4】已知3cot tan =+αα，α为锐角，则αα22cot tan +＝ 。

2.解直角三角形
知识考点：
本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。

精典例题：
【例1】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝900，sinA ＝5
2
，D 为AC 上一点，∠BDC ＝450，DC ＝6，求AB 的长。

变式：如图，在△ABC 中，∠B ＝900，C 是BD 上一点，DC ＝10，∠ADB ＝450，∠ACB ＝600，求AB 的长。

【例2】如图，在△ABC 中，∠A ＝300，E 为AC 上一点，且AE ∶EC ＝3∶1，EF ⊥AB 于F ，连结FC ，则cot ∠CFB ＝（ ）
A 、361
B 、321
C 、334
D 、34
1
例1图
D C
B
A 例1变式图 D C
B A
例2图
【例3】已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝
35
2
，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝1200，试求AB 的长。

分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。

探索与创新：
【问题】如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b 。

证明：C ab S ABC sin 2
1
=∆
例3图 G F E O D
C B A 问题图
D C
B A。