三次函数常见的性质及应用
三次函数常见的性质及应用 在数学中，三次函数是把实数当做自变量的函数，其形式为： f(x)=ax+bx+cx+d 其中，a≠0，b、c、d为常数。 三次函数是最常用的幂函数之一，也是处理数学实际问题的重要函数。它可以通过它的性质及应用，来提高我们的数学认知水平。 二、三次函数的性质 1、三次函数的一阶导数 根据定义，一阶导数是指函数的斜率。设f(x)=ax+bx+cx+d，其一阶导数为： f(x)=3ax+2bx+c 综上所述，可以看出，三次函数的导数为二次函数。 2、三次函数的局部极值 三次函数的局部极值问题可以使用一阶导数法来解决。即求出f(x)=3ax+2bx+c的极值，再根据其值判断f(x)的极值情况。也就是求出f(x)=0的解，即可找出f(x)的极大值和极小值。 3、三次函数的对称轴 若令f(x)=0，即可得出f(x)的对称轴，它是函数图像的对称轴。当b=0时，它可以是x轴，当b≠0时，它可以是一条直线。 三、三次函数的应用 1、三次函数在求解复杂函数中的应用 复杂函数是指有交叉部分的函数，如正弦函数、余弦函数等。在
求解这类复杂函数中，三次函数可以帮助我们把函数分解成几个子函数，并将其组合起来。这样可以更方便地求解，也更容易理解。 2、三次函数在物理中的应用 在物理学中，三次函数可以用来描述力学系统中物体的运动轨迹。比如在动量定理中，物体在受外力作用时，其运动可以用三次函数来进行描述。此外，三次函数还可以用于喷气发动机的设计中，是一种非常有效的工具。 四、总结 以上就是三次函数的常见性质及应用。它不仅可以把复杂的函数分解成若干个子函数，同时还可以在物理学中得到重要的应用。只要我们熟悉三次函数的性质和应用，就可以更好地利用它来进行数学实际问题的解决，提高我们的数学认知水平。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第六讲 二次函数(含答案)(全国通用版)
第六讲 二次函数 专项一 二次函数的图象和性质 知识清单 一、二次函数的概念 一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质 1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ） 2+k 的形式，其中h=2b a -，k=244ac b a -． 2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质 3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系
ab ＜0（a ，b 异号） 对称轴在y 轴右侧 c 决定抛物线 与y 轴的交点 c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0 交点在y 轴负半轴 考点例析 例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ） A ．-5 B ．-3 C ．-1 D ．5 分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ） A B C D 分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧． 例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x= 1 2 B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0 C ．a+c=b D ．a+b ＞-c 图2 分析：由图可知，对称轴是x= 1+22-=1 2 ，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误． 例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝ 1 2，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252 y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2； 图1
三次函数的性质及导函数研究函数的应用
专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题 前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。 一、三次多项式函数的中心 理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有 )(2)()(021x f x f x f =+。②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ， 则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。 例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫ ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫ += ⎪⎝⎭ A -8046 B -4023 C -2013 D -2012 （2）若321151()31 3 2 122 g x x x x x =-+-+-，则1234 2010 ()()()()()2011201120112011 2011 g g g g g ++++ += （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值 理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆； 函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。 例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 【 】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 （2）已知函数f (x )＝13x 3－1 2 x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为 【 】 A ．c ＜14 B ． c ≤14 C ．c ≥14 D ．c ＞1 4 （3）133)(23++-=x ax x x f 。（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。 解：（i ）0)14(3)(136)(2 /23>+-=⇒++-=x x x f x x x x f ，故)(x f 在) 32,(--∞和),32(+∞+上是增函数，在)32,32(+-上是减函数。 (ii)由题设)12(3)(2 / +-=ax x x f 有两个零点21,x x 且至少有一个分布在)3,2(上。发现： 121=x x 即两零点同号且一零点必须满足1||1<>-=∆a f f a 。 （4）412)63(3)(2 3-+-++=a x a ax x x f 。（i ）证明：曲线)(x f y =在0=x 处的切
三次函数及其应用
高考数学复习点拨：三次函数及其应用 三次函数及其应用 湖南徐树成 近几年高考卷中陆续出现考查三次函数的最值、极值、单调性、图象等内容，导数为这类问题的解决提供了新的方法．这类问题虽不难，但具有内容新、背景新、方法新等特点，且它交汇了函数、不等式、方程等众多知识点，以它为载体的试题具有一定选拔功能，且随着新课程的不断深入，考查的力度将不断增大． 一、三次函数的性质 对于三次函数，其导函数为，方程的两根为，，判别式．1．（1）当时，，则；，则； （2）当时，，则；，则； 2．为在轴上的截距，，是的两个极值点，则，； 3．单调性：（设） （1）当时，①若时，则在上是增函数；②若时，则在上是减函数． （2）当时，①若时，则的增区间为和，减区间为为极大值，为极小值；②若时，则的减区间为和，增区间为为极小值，为极大值．（相应的草图如上） 二、应用举例
1．三次函数的图象问题． 例1 图1是函数的图象，试判断的符号？ 简解：易知，， ，方程的两根为，，且，， ，．，． 2．三次函数的极值、切线、单调性问题． 这类问题主要是利用导数的性质来解决． 例2（合肥市模拟试题）已知实数，，函数，有极大值32，（1）求实数的值； （2）求函数的单调区间． 简解：（1）， 由，得或． 在上有极大值32，即． ． （2）， 函数的单调增区间是和，单调减区间为． 例3 已知函数在处取得极值， （1）讨论和是函数的极大值还是极小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线方程． 简解：（1），依题意．且．，．． 易知是极小值，是极大值． （2）点不在曲线上，设切点，则，
①，切线方程为． 又点在切线上， ． ② 由①②得．的坐标是． 切线方程为． 3．三次函数与其它知识的综合问题． 例4 如图2所示，已知曲线与曲线 交于点，，直线与曲线，分别相交于点，． （1）写出四边形的面积与的函数关系式； （2）讨论的单调性，并求的最大值． 简解：（1）由得交点，的坐标分别是，，，即． （2），令，得． 在时，函数有最大值为． 总之，导数给三次函数以新的活力，为三次函数与其它知识点的交汇提供了一个良好的 平台，以三次函数为背景的综合性试题也将成为高考试题的一道风景线．
三次函数选讲
三次函数选讲 三次函数，也被称为二次函数，是形如y=ax^3+bx^2+cx+d的 函数，其中a、b、c、d是常数，且a≠0。三次函数是一种非 线性函数，它在数学和实际生活中都具有广泛的应用。下面是对三次函数的选讲，包括定义、性质、图像、求解等方面的内容。 一、定义： 三次函数是指函数y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c、d是常数，且a≠0。这个函数中的x是自变量，y是因变量。三次函 数的定义域为全体实数集R，值域也是全体实数集R。 二、性质： 1. 对称性：三次函数是奇函数，即关于原点对称。这意味着 f(-x)=-f(x)，即当x取相反数时，函数值取相反数。 2. 解析式的特点：三次函数的解析式中包含了四个常数a、b、 c、d。这些常数的取值将决定函数的图像、性质等。 3. 导数与极值：对于三次函数，它的导数是一个二次函数。通过求导可以找到函数的拐点和极值点，从而揭示函数的凹凸性和最值。 4. 零点和交点：三次函数可能有一个、两个或三个零点，即函数值为0的点。通过求解方程f(x)=0，可以确定这些零点。而 两条三次函数的交点则是使得两个函数值相等的点，通过求解方程f(x)=g(x)，可以找到这些交点。 三、图像： 1. 对称轴：三次函数的对称轴与x轴平行，即y轴是对称轴。
对称轴的表达式为x=-b/(3a)，这个值也是函数的顶点。 2. 凹凸性：三次函数的凹凸性取决于导函数的符号。当导函数大于0时，函数凹向上；当导函数小于0时，函数凹向下。 3. 零点：三次函数的零点是指函数值为0的点。根据零点的个数，可以判断函数是否与x轴相交。当零点个数为0时，函数与x轴没有交点；当零点个数为1时，函数与x轴相切；当零 点个数为2时，函数与x轴相交两次；当零点个数为3时，函 数与x轴相交三次。 四、求解： 1. 零点的求解：要求解三次函数的零点，可以使用因式分解、配方法、根的定理等方法。其中，配方法是常用的一种方法，通过将三次函数转化为二次函数的形式来求解。 2. 极值的求解：对于三次函数，极值点可能存在于函数的拐点和导数为0的点。可以通过求解导数的方程f'(x)=0，来确定这些极值点。 五、应用： 三次函数在实际生活中具有广泛的应用。例如，它可以用来描述物体的运动、经济学中的成本和收益、工程中的曲线等。三次函数的性质和图像可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。 在学习三次函数时，学生可以通过练习题和例题加深对概念和性质的理解。同时，带着问题思考和实际应用的角度，有助于提高对三次函数的理解能力和解题能力。同时，可以借助计算工具和绘图工具，通过具体的数据和图表来观察和分析三次函数的特点，进一步加深对其的认识。
三次函数知识点讲解全集高一
三次函数知识点讲解全集高一三次函数知识点讲解全集高一 一、定义与基本性质 1、三次函数的定义 三次函数是指函数的最高次项是三次方的函数，通常表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中 a、b、c、d 是实数，且a ≠ 0。 2、三次函数的图像特点 - 三次函数的图像是一条平滑的曲线，可能上升也可能下降； - 当 a > 0 时，图像开口向上，当 a < 0 时，图像开口向下； - 三次函数的图像可能有零点、极值点和拐点。 二、零点与方程 1、零点的定义 零点是使得函数值等于零的横坐标，即 f(x) = 0。 2、求解三次函数的零点
- 当函数为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，使用因式分解、配方法或求根公式可以解得零点； - 一般情况下，三次函数有3个零点。 3、三次函数的方程 三次函数的方程形式为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0。 三、极值点与单调性 1、极值点的定义 极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。 2、求解三次函数的极值点 - 先求出导函数 f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c； - 令 f'(x) = 0，解出 x 的值； - 根据得到的 x 值，代入原函数 f(x) 中求 y 值，即可得到极值点。 3、三次函数的单调性判断
- 当 a > 0 时，函数递增，即左侧为负无穷趋向于正无穷； - 当 a < 0 时，函数递减，即左侧为正无穷趋向于负无穷； - 即当函数的导函数 f'(x) > 0 时，函数递增，f'(x) < 0 时，函数 递减。 四、拐点与凹凸性 1、拐点的定义 拐点是指函数曲线由凹转凸或由凸转凹的点，具有 y 坐标的局 部最大值或最小值。 2、求解三次函数的拐点 - 先求出二阶导函数 f''(x) = 6ax + 2b； - 令 f''(x) = 0，解出 x 的值； - 根据得到的 x 值，代入原函数 f(x) 中求 y 值，即可得到拐点。 3、三次函数的凹凸性判断 - 当 a > 0 时，函数在拐点左侧上凹、右侧下凹； - 当 a < 0 时，函数在拐点左侧下凹、右侧上凹。
三次函数与四次函数的图像
三次函数与四次函数的图像 在高中数学中，我们经常学习各种不同类型的函数。其中，三次函数和四次函 数是两种常见的多项式函数。本文将介绍三次函数和四次函数的图像特征以及它们在数学中的应用。 首先，让我们来了解三次函数。一个三次函数的一般形式为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d是实数且a不等于零。三次函数的图像通常表现为一种弯 曲的形状。以下是三次函数的几个关键特点： 1. 零点和极值：与其他多项式函数一样，三次函数可以有零点和极值。零点是 函数曲线与x轴相交的点，在函数图像中表现为函数曲线穿过x轴的点。而极值则代表函数的最高点或最低点。 2. 对称性：三次函数可以是奇函数或偶函数。如果一个三次函数关于y轴对称，即f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。如果一个三次函数关于原点对称，即f(-x) = f(x)，则函数为偶函数。 3. 变化趋势：当x的值改变时，三次函数的曲线可能会上升或下降。曲线的上 升或下降趋势与函数的系数有关。例如，当a的值为正时，曲线向上凸起，而当a 的值为负时，曲线向下凸起。 接下来，让我们看看四次函数的图像。一个四次函数的一般形式为y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e，其中a、b、c、d、e是实数且a不等于零。四次函数的图像 一般呈现更加复杂的形态，以下是它的一些关键特点： 1. 零点和极值：与三次函数类似，四次函数也可以有零点和极值。在函数图像中，零点是函数曲线与x轴相交的点，而极值则代表函数的最高点或最低点。 2. 对称性：四次函数可以是奇函数或偶函数，同样的奇偶性定义也适用于四次 函数。奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
三次函数揭秘三次函数的定义和性质
三次函数揭秘三次函数的定义和性质三次函数是由幂次为3的多项式所表示的函数。它是一种非线性函数，具有许多特殊的性质和表现形式。在本文中，我们将深入探讨三 次函数的定义和性质，并分析其在数学和实际应用中的重要性。 一、定义 三次函数的一般形式可表示为：f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d为实数，且a不等于零。这个函数拥有四个系数，分别对应 着三次、二次、一次和常数。 二、特殊形式 1. 单位三次函数 当a=1，b=0，c=0，d=0时，三次函数的特殊形式为f(x) = x^3。这 称为单位三次函数，它的图像关于原点对称，过原点，斜率逐渐增大，具有一个拐点。 2. 正三次函数 当a大于零时，三次函数的图像呈现出从左下方向右上方的上凸弧形。这种形式的三次函数被称为正三次函数。 3. 负三次函数 当a小于零时，三次函数的图像呈现出从左上方向右下方的下凸弧形。这种形式的三次函数被称为负三次函数。
三、性质 1. 奇函数偶函数性质 三次函数的奇偶性取决于其各项系数的奇偶性。当a、c为奇数次幂系数，且b为偶数次幂系数时，三次函数为奇函数；当a、c为偶数次 幂系数，且b为奇数次幂系数时，三次函数为偶函数。 2. 零点、极值和拐点 三次函数可能具有1至3个零点。其中，零点是函数与x轴交点的 横坐标，可以通过化简方程组或者使用数学软件进行求解。 三次函数的极值点可能有2至3个。它们分别对应函数的最大值、 最小值和可能存在的一个拐点。极值点可以通过求导数等方法进行计算。 3. 对称性 三次函数的图像可能具有关于y轴对称、关于x轴对称或者关于原 点对称的特点。对称性可以通过函数的系数来确定。 四、应用 三次函数在数学和实际应用中发挥着重要作用。它们常常用于建模 和问题求解，如物理学和经济学中的曲线拟合、数据分析和趋势预测等。 在物理学中，三次函数可以用于描述物体的运动和变化规律。例如，弹簧的伸长长度与加载力之间的关系可以使用三次函数来表示。
x三次方的导数定义式_解释说明
x三次方的导数定义式解释说明 1. 引言 1.1 概述 在微积分中，导数是一个核心概念，用于描述函数在每个点处的变化率。对于一次函数、二次函数以及常见的多项式函数，我们可以通过导数定义式来求出它们的导数，从而研究函数的性质和特点。本文将重点讨论x三次方函数及其导数定义式，并展示推导过程和高阶导数计算方法。 1.2 文章结构 本文将按照以下结构进行阐述： 第二部分将介绍x的三次方函数的定义与性质，以及导数的概念和常见计算方法。 第三部分将详细解释x三次方函数导数定义式的推导过程，包括使用极限定义和幂函数求导法则。 第四部分将探讨x三次方函数高阶导数的计算方法，回顾一阶导数计算方法并推广至二阶和三阶导数，并介绍更高阶导数的递归计算方法。 最后，在结论部分对x三次方函数及其导数定义式进行总结与拓展思考，分析其
理解与应用意义，并探讨其他类型函数类比思考与推广讨论。同时给出一个综合案例分析：x四次方和更高次方函数的导数定义式解释说明。 1.3 目的 通过本文的阐述，我们旨在帮助读者更深入地理解x三次方函数及其导数定义式。同时，本文也将为读者提供进一步研究其他类型函数导数定义式和高阶导数计算方法的思路和启示。希望读者能通过这篇长文，对微积分中函数的导数概念有更全面和深入的认识。 2. x的三次方函数 2.1 定义与性质 x的三次方函数是指形如f(x) = x^3的函数。它是一个二次多项式函数，由x的立方项构成。在数学中，我们通常将其称为立方函数或三次函数。 x的三次方函数具有以下性质： - 定义域为全体实数，即对于任意实数x都可以计算出对应的函数值； - 值域也是全体实数集合，因为无论x取任何实数值，其立方都是一个实数； - 函数图像关于原点对称，在第一象限、第三象限上呈现正增长趋势，在第二象限、第四象限上呈现负增长趋势； - 当x>0时，函数值随着自变量x的增大而增大；当x<0时，函数值随着自变
三次函数与四次函数
三次函数与四次函数 一、学习目标 三次函数已经成为中学阶段一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁出现有关 它的单独 命题。近年高考中，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中都出现了这个函 数的单独命题，不仅仅如此， 通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。近年高考有多个省份出现了四 次函数高考题，更应该引起我们的重视。单调性和对称性最能反映这个函数的特性。下面 我们就来探讨一下它的单调性、对称性以及图象变化规律。二、知识要点：第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况 a对图象的影响三次函数图象说明可以根据极限的思想去分析当a＞0时，在x?+∞右向上伸展，x?-∞左向下伸展。当a＜0时，在x?+∞右向下伸展，x?-∞左向上伸展。与x轴有三个交点若b2?3ac?0,且既两个 极f(x1)?f(x2)?0，值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点若 b?3ac?0,且既有一f(x1)?f(x2)?0，个极值为0，图象与x轴有两个交点 2 与x轴有一个交点 1。存在极值时即b?3ac?0,且2既两个极f(x1)?f(x2)?0，值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。 1.f(x)?0根的个数 三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d 导函数为二次函数:f/(x)?3ax2?2bx?c(a?0)，二次函数的判别式化简为： △=___________， (1) 若_____________，则f(x)?0恰有一个实根； (2) 若b2?3ac?0,且_________，则f(x)?0恰有一个实根； (3) 若b2?3ac?0,且 __________，则f(x)?0有两个不相等的实根； (4) 若b2?3ac?0,且____________，则 f(x)?0有三个不相等的实根. 说明(1)(2)f(x)?0含有一个实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴只相交一次，即f(x)在R上为单调函数（或两极值同号），所以b2?3ac?0（或b2?3ac?0，且f(x1)?f(x2)?0）. (3)f(x)?0有两个相异实根的充要条件是曲线y?f(x)与X轴有两个公共点且其中之一 为切点，所以 b?3ac?0，且f(x1)?f(x2)?0.
安徽省中考数学复习 第3单元 函数及其图象 第14课时 二次函数教案-人教版初中九年级全册数学教案
第三单元函数及其图像 第14课时二次函数 教学目标 【考试目标】 1.了解二次函数的意义，根据已知条件确定二次函数的表达式，会用待定系数法求函数表达式. 2.会画二次函数的图象，根据二次函数的图象和解析表达式理解其性质，会用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴. 3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【教学重点】 1.了解二次函数的概念，以及二次函数解析式的三种形式. 2.掌握二次函数的图象与性质. 3.掌握用待定系数法求二次函数的解析式. 4.掌握二次函数系数与图象的关系. 5.掌握二次函数图象的平移，了解二次函数图象的对称，旋转. 6.掌握二次函数与一元二次方程的关系. 教学过程 一、体系图引入，引发思考
二、引入真题，深化理解 【例1】（2016年贺州）抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示， 则一次函数y =ax +b 与反比例函数 在同一平面直角坐标系 内的图象大致为 （B ） 【解析】根据二次函数图象的性质可以看出a ＞0，b ＜0，cy =ax +b 图象经过一、三、四象限，反比例函数 经过二、四象限.只有B 选项符合题意，故选择B 选项. 【考点】此题考查了二次函数图象，反比例函数图象与一次函数图象的关系，先根据二次图象的性质判断出各个系数的符号，再利用一次函数图象、反比例函数图象的性质筛选出满足题意的选项. 【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-1,0）， 与y 轴的交点B 在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x =1，下列结论：（D ） ①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0 ③4ac -b 2 ＜8a ④ ⑤b ＞c A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤ c y x 1233＜＜a
全国高中数学 青年教师展评课 三次函数的图象和性质教学设计(青海西宁五中)
“三次函数的图象与性质”教学设计 一、教学内容解析： 三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。 本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为： 重点： （1）探究系数a,b,c,d 的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。 难点： 根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。 二、教学目标设置： 根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力： ①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。 ②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。 ③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。 2、过程与方法： 通过对函数)0(,)(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观： 通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。 三、学生学情分析： 本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具和图形技术（几何
三次函数与四次函数的概念与计算
三次函数与四次函数的概念与计算在数学中，函数是一种将一个或多个输入值映射到唯一输出值的关系。而三次函数和四次函数则是指函数中最高次项为三次和四次的多项式函数。本文将详细介绍三次函数与四次函数的概念，并探讨它们的计算方法。 一、三次函数的概念与计算 三次函数，也被称为三次多项式函数，是指最高次项为三次的多项式函数。它的一般形式可以表示为： f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 其中，a、b、c和d分别表示函数中各项的系数，x表示自变量。 对于三次函数的计算，常见的需要进行的操作包括函数值计算、零点求解和作图。下面将逐一介绍这些计算方法。 1. 函数值计算 要计算三次函数在某个特定点的函数值，只需将该点的自变量代入函数表达式中即可。例如，若要计算三次函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 在 x = 2 的函数值，将 x 替换为 2，得到： f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 4(2) - 1 = 15 因此，该三次函数在 x = 2 的函数值为 15。 2. 零点求解
三次函数的零点即为函数与 x 轴相交的点，也就是函数取值为 0 的自变量值。为了求解三次函数的零点，常用的办法是使用因式分解、配方法或牛顿法等。以牛顿法为例，求解三次函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 的零点： 首先，取一个初始近似值 x0。假设取 x0 = 1。 计算切线方程的截距：f(x0) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 4(1) - 1 = 2 计算切线斜率：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4，同样代入 x0 得到 f'(1) = 4 计算切线与 x 轴的交点坐标：(1 - f(x0) / f'(x0)) = (1 - 2 / 4) = 0.5 将新的交点坐标作为新的近似值，继续迭代计算，直到满足精度要求或收敛。 通过迭代计算，可得到该三次函数的零点近似值为x ≈ 0.548。 3. 作图 为了直观地展示三次函数的图像，可绘制函数的函数图。可以选择一定范围的 x 值，计算相应的函数值，然后在坐标系中绘制这些点，通过连接这些点，得到函数的图像。 二、四次函数的概念与计算 四次函数，也被称为四次多项式函数，是指最高次项为四次的多项式函数。它的一般形式可以表示为： f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
初三数学讲义：二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 责编:康红梅 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣ ⎦ 2 2424b ac b a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
三次函数与四次函数
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三次函数与 三次函数与四次函数
大连市红旗高中 王金泽 wjz9589＠https://www.360docs.net/doc/7b19328328.html, 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接 触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与 x 轴交点个数”等类似问题。三次函 数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008 年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数 中的应用
第一部分：三次函数的图象特征、以及与 x 轴的交点个数（根的个数） 、极值情况
三
次 函
数
图
象
说
明
可以根据极限的思想去分析 当 a＞0 时，在 x → +∞右向上 伸展， x → -∞左向下伸展。 伸展， x → -∞左向上伸展。
a 对图象 的影响
当 a＜0 时，在 x → +∞右向下
(可以联系二次函数 a 对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 若b
2
− 3ac > 0 ,且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) < 0 ，既两个极
与 x 轴有三 个交点
值异号；图象与 x 轴有三个交点
若b
2
− 3ac > 0 ,且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) = 0 ，既有一
与 x 轴有二 个交点
个极值为 0，图象与 x 轴有两个 交点
1。存在极值时即 b
2
− 3ac > 0 ,
且
f ( x1 ) ⋅ f ( x 2 ) > 0 ，既两个
与 x 轴有一 个交点
极值同号， 图象与 x 轴有一个交点。 2。不存在极值，函数是单调函数 时图象也与 x 轴有一个交点。
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