概率知识点整理及其相关习题解析 二
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
概率论第二章知识点
第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。
2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。
两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k k n k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。
记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k e k k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。
5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度： 均匀分布的期望：()2a bE X +=均匀分布的方差：2()()12b a D X -=（2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩则称X 服从参数为λ的指数分布，记为 X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a ab x f ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a ab x f指数分布的期望：1()E X λ=指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()21()x f x ex μσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==2222()()x t xx ex e dt ϕφ---∞=⎰标准正态分布表的使用： （1）0()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数：设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。
高中数学必修二第十章概率总结(重点)超详细(带答案)
高中数学必修二第十章概率总结(重点)超详细单选题1、下列概率模型中不是古典概型的为（ ）A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B ．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排，其中甲，乙相邻的概率答案：C分析：根据古典概型的特点，即可判断出结果.解：古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等. 显然A ､B ､D 符合古典概型的特征，所以A ､B ､D 是古典概型；C 选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：C.2、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14．从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（ ）A ．1320B ．25C ．14D ．15 答案：B解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出．设事件A ：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件B ：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以P (B )=45×34=35，故P (A )=1−P (B )=1−35=25． 故选：B ．小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题．3、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率，“某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D4、从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（ ）A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D ．“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”答案：A分析：根据互斥事件的概念判断即可.“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A 正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，B 不正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至多有一个黑球”与“至少有两个黑球”不可能同时发生，D 不正确．故选:A.5、袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为（ ）A ．0.0324B ．0.0434C ．0.0528D ．0.0562答案：B解析：第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立事件同时发生的概率公式求解.第4次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，∴第4次恰好取完所有红球的概率为：210×(910)2×110+810×210×910×110+(810)2×210×110=0.0434， 故选：B6、饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P 经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A ．116B ．18C ．14D ．12 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.解：点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间Ω={（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件C ，则C ={（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知P (C )=18． 故选：B ．7、若随机事件A ，B 互斥，且P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(43,32]B ．(1,32]C ．(43,32)D ．(12,43) 答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<10<P(B)<1P(A)+P(B)≤1 ，即{0<2−a <10<3a −4<12a −2≤1，解得43<a ≤32，所以实数a 的取值范围为(43,32]. 故选：A.8、两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是A ．16B ．14C ．13D ．12答案：D解析：男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．小提示：本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．多选题9、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1、A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A ．P(B)的值不能确定，因为它与A 1、A 2、A 3中究竟哪一个发生有关B ．P(B|A 1)=511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1、A 2、A 3是两两互斥的事件答案：BD分析：P(B)的值与A1、A2、A3都有关，可以计算，可判断A；由条件概率的计算公式计算可判断B；事件B与A1的发生有关系可判断C；A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件可判断D.A选项，P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=922，所以A错误；B选项，P(B|A1)=510×51112=511，所以B正确；C选项，事件B与A1的发生有关系，所以C错误；D选项，A1、A2、A3不可能同时发生，是互斥事件，所以D正确.故选：BD.10、小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：60分钟”是对立事件B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04答案：BD分析：对于选项A，二者是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，通过计算得到线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率小于线路二所需时间小于45分钟的概率，所以选项C错误；对于选项D，求出所需时间之和大于100分钟的概率为0.04，所以选项D正确. 对于选项A，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项A错误；对于选项B，线路一所需的平均时间为30×0.5+40×0.2+50×0.2+69×0.1=39分钟，线路二所需的平均时间为30×0.3+40×0.5+50×0.1+60×0.1=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，所以选项B正确；对于选项C，线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，小张应该选线路二，所以选项C错误；对于选项D，所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况，概率为0.2×0.1+0.1×0.1+0.1×0.1=0.04，所以选项D正确．故选：BD.小提示：本题主要考查概率的计算和应用，考查随机变量的均值的计算和应用，考查互斥事件和对立事件的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11、以下对各事件发生的概率判断正确的是（）A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为13B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是536D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12答案：BCD分析：A.列举所有的基本事件，得到概率，判断选项；B.首先列举素数，再根据组合数，写出概率；C.列举满足条件的基本事件，求概率；D.根据组合数写出概率，判断选项.A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率P=24=12，故A不正确；B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含(3,11)，则概率为P=1C62=115，故B正确；C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5种，所以点数之和为6的概率P=536，故C正确；D.由题意可知取出的产品全是正品的概率P=C32C42=12，故D正确.小提示：本题考查古典概型，列举法，组合数，属于基础题型，本题的关键是正确列举所有满足条件的基本事件.填空题12、某商店的有奖促销活动中仅有一等奖､二等奖､鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为________.答案：0.39解析：利用互斥事件和对立事件的概率公式即可求解该题.中奖可分为三个互斥事件：一等奖、二等奖和鼓励奖，故中奖的概率为：0.05+0.16+0.40=0.61，中奖与不中奖互为对立事件，故不中奖的概率为：1−0.61=0.39.所以答案是：0.39.13、设随机事件A 、B ，已知P (A )=0.4，P (B |A )=0.3，P (B |A )=0.2，则P (B )=_____________． 答案：0.24分析：根据条件概率的公式即可求解.∵P (A )=0.4，∴P (A )=1−P (A )=1−0.4=0.6，由条件概率公式得：P (BA )=P (A )P (B |A )=0.4×0.3=0.12；P (BA )=P (A )P (B |A )=0.6×0.2=0.12，所以P (B )=P (BA )+P (BA )=0.12+0.12=0.24，所以答案是：0.24.14、有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________．答案：13.分析：计算出甲乙都未能解决的概率相乘可得答案.甲、乙两人都未能解决的概率为(1−12)×(1−13)=12×23=13.所以答案是：13.解答题15、现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：(1)当p=4时，求q的值；(2)已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p的取值范围．答案：(1)q=512(2)35<p≤23分析：（1）根据随机事件概率的性质，由p+13+q=1可得出答案；（2）先设出各个事件后得出C=AB̅∪A B∪AB，由题意得P(C)=12+12p>45，且p+13+q=1，从而解出p的取值范围。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结在我们的日常生活中，概率无处不在。
比如抽奖时中奖的可能性、明天是否会下雨的预测、体育比赛中获胜的概率等等。
概率是研究随机现象规律的数学分支，它能帮助我们更好地理解和应对不确定性。
接下来，让我们通过一些例题来深入了解概率的初步知识。
一、知识点回顾1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
比如掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机事件。
2、概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小的数值度量。
通常用 0 到 1 之间的数来表示，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
3、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间中样本点的总数是有限的；（2）每个样本点出现的可能性相等。
那么这样的随机试验称为古典概型。
在古典概型中，事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的样本点个数与样本空间中样本点的总数之比得到。
4、概率的基本性质（1）对于任意事件 A，0 ≤ P(A) ≤ 1。
（2）必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0。
（3）如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），则P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
二、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3。
所以取出的 2 个球都是红球的概率为 3/10。
例 2：掷一枚均匀的骰子，求点数大于 4 的概率。
解：骰子的点数有 1、2、3、4、5、6，点数大于 4 的有 5、6 两种情况，所以点数大于 4 的概率为 2/6 ＝ 1/3。
例 3：同时掷两枚均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两枚骰子，所有可能的结果有 6×6 ＝ 36 种。
概率知识讲解+习题集
中考内容中考要求ABC事件了解不可能事件、必然事件和随机事件的含义概率了解概率的意义；知道大量重复实验时，可以用频率估计概率会运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩定义列表概率求法树状图用频率估算概率与频数的关系一、与概率有关的定义：1、必然事件：事先能肯定一定发生的事件称为必然事件.2、不可能事件：事先能肯定一定不发生的事件称为不可能事件.3、确定事件：事先能肯定它是否发生的事件称为确定事件，必然事件和不可能事件都是确定事件.4、不确定事件（随机事件）：事先不能肯定它会不会发生的事件称为不确定事件.5、概率：随机事件A 发生的可能性的大小.记为()P A .设n 为事件A 包含的可能结果数，m 为所有可能结果总数，则()nP A m=. 对于任何一个事件A ，它的概率()P A 满足0()1P A ≤≤，必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0.7、（补充）乘法原理：若一件事情需分m 个步骤完成，而且每个步骤的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =⋅⋅⋅.加法原理：若一件事情需分m 种方法完成，而且每种方法的概率分别为：12,,m p p p ，则，完成该事件的概率为：12m p p p p =+++二、求概率的方法：知识精讲中考大纲概率知识网络图1、列表2、画树状图3、用频率估计概率 列举法求概率如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中m 种结果，那么事件A 发生的概率为m n． 用树状图法求概率当一次试验涉及3个或更多因素（例如从3个口袋中取球）时，列举法就不方便了，可采用树状图法表示出所有可能的结果，再根据()mP A n=计算概率． 利用频率估计概率一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率mn稳定于某个常数p ，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记作()()()01P A p P A =≤≤三、概率与频率的关系←⎧⎪↓⎨⎪⎩频率用试验的方法频率与概率（试验次数很多）理论概率1、当一次试验涉及多个因素（对象）时，常用列表法或树状图法求出事件发出的所有等可能的结果，然后找出要求事件发生的结果数，根据概率的意义求其概率．2、当完成事件的层次较多或事件发生的可能性不相等时，求相关事件的概率是困难的，转换视角，从问题的对立面：反面求解，常能化简求值．3、游戏的公平性是通过概率来判断的，在得分相等的前提下，若对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平；在概率不等的前提下，可将概率乘相应得分，结果相等即公平，否则不公平．1、在审题时，看拿出来的东西是否放回．2、答题时需要注意步骤．易错点辨析解题方法技巧如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．（2014北京中考）A．16B．14C．13D．12题型一事件【例1】下列事件中必然发生的是（）A．抛两枚均匀的硬币，硬币落地后，都是正面朝上B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是3C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．阴天就一定会下雨【例2】下列成语所描述的事件是必然发生的是（）A. 水中捞月B. 拔苗助长C. 守株待免D. 瓮中捉鳖【例3】下列事件中是必然事件的是（）A．小菊上学一定乘坐公共汽车B．某种彩票中奖率为1％，买10000张该种票一定会中奖C．一年中，大、小月份数刚好一样多D．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上【例4】下列事件是必然事件的是（）A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上B.打开电视体育频道，正在播放NBA球赛C.射击运动员射击一次，命中十环D.若a是实数，则0a课堂练习真题链接概率习题集题型二简单概率计算【例5】从1~12这十二个自然数中任取一个，取到的数恰好是4倍数的概率是（）．（2014石景山期末）A．112B．14C．13D．12【例6】在12的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，如果第三枚棋子随机放在其它格点上，那么以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为__________．（2014昌平期末）【例7】下列说法正确的是（）．（2014朝阳期末）A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨B．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖D．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”的概率等于“点数为偶数”的概率【例8】不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为（）．（2014大兴期末）A．12B．13C．23D．16【例9】袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列是必然事件的是（）．（2014东城期末）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【例10】小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数小于3的概率为（）．（2014房山期末）A．13B．12C．16D．23【例11】一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是（）．（2014丰台期末）A．12B．13C．23D．16【例12】一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的．从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是__________．（2014丰台期末）【例13】汶川大地震时，航空兵空投救灾物质到指定的区域（圆A）如图所示，若要使空投物质落在中心区域（圆B）的概率为12，则B与A的半径之比为．BA【例14】6张大小、厚度、颜色相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、直角梯形、正方形、正五边形、圆．在看不见图形的条件下任意摸出1张，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）A．16B．13C．12D．23【例15】在今年的中考中，市区学生体育测试分成了三类，耐力类，速度类和力量类。
概率论知识点详解（第二章）
第二章 随机变量及其分布题型归类与解题方法1. 求随机变量的分布1.1 求离散型随机变量分布列或分布函数例 2.1 一盒中装有编号1,2,,5 为的五只球，现从中任取三只球，求被抽取的三只球的中间号码为X 的分布列．解 首先确定X 的取值只能为2，3，４．分析 当X k =时，另两只球中的一只在小于k 的1k -个球中取，余一只球在大于k 的5k -只球中取，故111535{}k kC C P X k C --== (2,3,4)k = 即有例 2. 2 已知X 的概率分布为1{2}{1}{1}{2}4P X P X P X P X =-==-=====，求：（1）2Y X =的分布列； （2）(),X Y 的分布列． 解 （1） 2Y X =的分布列为1{2,4}{2}4P X Y P X =-===-=． 同理1{1,1}{1}4P X Y P X =-=-==-=； 1{1,1}{1}4P X Y P X =====； 1{2,4}{2}4P X Y P X =====．故(),X Y 的联合分布列为评点 对于这一类题，首先确定离散型随机变量的取值，然后求出随机变量取各值的概率，最后写出离散型随机变量的分布律．1.2 求连续型随机变量分布列或分布函数例 2.3 设随机变量X 的概率密度为,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，求X 的分布函数()F x ．解 分析：利用公式()()xF x f x dx -∞=⎰直接计算分布函数．当0x <时，()0F x =；当01x ≤<时，20()()02xxx F x f x dx dx xdx -∞-∞==+=⎰⎰⎰；当12x ≤<时，01211()()0(2)212xx F x f x dx dx xdx x dx x x -∞-∞==++-=--⎰⎰⎰⎰； 当2x ≥时，220,0;,01;2()112,12;21, 2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩．例 2.4 在(),X Y 区域Θ上服从均匀分布，求(),X Y 的分布函数，其中Θ为x 轴，y 及1y x =+围成的三角形．解 当1x <-或0y <时，(,)0f x y = (,)0F x y =； 当10x -≤<，1y x ≥+时，201(,)22(1)(22)y xy F x y dy dx y x y x y y -==+-=-+⎰⎰；当10x -≤<，1y x ≥+时，121(,)2(1)xx F x y dx dy x +-==+⎰⎰；当0x ≥，01y ≤<时，01(,)2(2)yy F x y dy dx y y -==-⎰⎰；当0x ≥，1y ≥时，(,)1F x y =． 故2010;(22),10,01;(,)(1),10,1;(2),0,01;10, 1.x y x y y x y x F x y x x y x y y x y x y <-<⎧⎪-+-≤<≤<+⎪⎪=+-≤<≥+⎨⎪-≥≤≤⎪≥≥⎪⎩，或， 评点 求一维的和二维的连续型随机变量的分布函数，是对概率密度函数进行积分．若()f x ，(,)f x y 分区域定义时，关键就在于积分的上，下限或区域的确定．1.3 确定分布列或密度函数或分布函数中的参数例 2.5 随机变量(,)X Y 的概率密度为222(;(,)0,A k x y k f x y ⎧⎪+≤=⎨⎪⎩其他，，求：（１） 系数A 的值．（２） 222{(,)}P X Y x y r ∈+≤ ()r k ≤． 解 （1）因为1(,)(f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰用极坐标代换得）222(x y k A k dxdy +≤=⎰⎰230()/3kA d k r rdr A k πθπ=-=⎰⎰故33A k π=． （2）222223300332{(,)}()13r r r P X Y x y r d k r rdr k k k πθπ⎛⎫∈+≤=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰．例 2.6设二维随机变量(,)X Y 的分布函数(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭求：（1）A ，B ，C 的值． （2）(,f x y ）．解 （1）因为0A ≠，所以由x ，y 的任意性，得0(0,)arctan 022F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2C π=；0(,0)arctan 023F A B C π⎛⎫⎛⎫-∞=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2B π=；(,)12222F A ππππ⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21A π=，故21(,)arctan arctan 2223y F x y ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．（2）由2(,)(,)F x y f x y x y∂=∂∂，得222(,)6[(4)(9)]f x y x y π=++ (,)x y -∞<<+∞．评点 （1）有几个参数就要找到几个独立的条件； （３） 这里主要用到()0F -∞=，()1F +∞=或()1kf x dx =⎰， (,)(,)(,)0F y F x F -∞=-∞=-∞-∞=，(,)1F +∞+∞=，或2(,)1k f x y dxdy =⎰⎰．2. 求概率2.1 由分布列或密度函数或分布函数，求随机变量落入某集合的概率例 2.7 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(23)6,0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩；其他，求：（1）(,)F x y ． （2）{236}P x y +≤．解 （1）分区域讨论，见图2.1．当0x ≤，0y ≤时，(,)0F x y =； 当0x >，0y >时(23)230(,)6(1)(1)x yx y x y F x y dy e dx e e -+--==--⎰⎰即23(1)(1),0,0(,)0,x y e e x y F x y --⎧-->>=⎨⎩其他．（2） (23)236{236}6x y x y P X Y e dxdy -++≤+≤=⎰⎰32(3)/3(23)0x x y dx e dy --+=⎰⎰6170.9826e -=-≈．例 2.8 随机变量X 的分布函数为20,0(),05251,5,x xF x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，求{36}P x <<的概率．解 直接利用公式计算：916{36}(6)(3)12525P x F F <<=-=-=． 评点 （1）对一般连续型随机变量取值的概率，如果已知密度函数求概率可用{(,)}(,)GP x y G f x y dxdy <=⎰⎰公式法．（2）对于已知分布函数求概率，同样也可以用公式法{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.2 求实际问题的概率例 2.9 某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以ｍｍＨｇ计)，服从2(110,12)N ，在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X ： （1）求{105}P X ≤，{100120}P X <≤． （2）确定最小的x ，使{}0.05P X x >≤． 解 （1）2(110,12)X N ，则105110{105}(0.417)12P X -⎛⎫≤=Φ=Φ- ⎪⎝⎭1(0.417)10.662=-Φ=-=； 120110100110{100120}1212P X --⎛⎫⎛⎫<≤=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0.83)(0.83)2(0.8=Φ-Φ-=Φ-= （2）要使{}0.05P X x >≤，必须1{}0.05P X x -≤≤，即{}10.050.95P X x ≤≥-=，亦即1100.9512x -⎛⎫Φ≥⎪⎝⎭，110 1.64512x -≥，129.74x ≥， 故所求x 必须大于等于129.74．例 2.10 一轰炸机带的三枚炸弹向敌方目标投掷，若炸弹落在目标中心40米内，目标将被摧毁，设在使用瞄准器投弹时，弹着点X 的概率密度函数为(100)/10000,1000;()(100)/10000,0100;0,x x f x x x +-<≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其他，，求投掷三枚炸弹后，目标被炸毁的概率．解 一枚炸弹落在目标中心40米内的概率为4040404001()(100)(100)10000f x dx x dx x dx --⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 4002(100)0.6410000x dx =-=⎰， 则炸弹落在40米外的概率为10.640.36P =-=，所以三枚炸弹都落在目标中心40米外的概率是3(0.36)，于是，目标被炸毁的概率是31(0.36)0.953P =-=．评点 （1）对此类题型，一定要根据实际情况，确定所求概率的范围；（2）然后再根据相应的定义，性质，公式求出符合实际的概率．2.3 求服从二项分布的随机变量取值的概率例 2.11 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在一分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的，为了在任意时刻，使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，至少应有多少电话线路？解 设任意时刻乙地10个用户使用电话的户数为随机变量，记为X ，则每一个电话用户在任意时刻使用电话的概率120.260P ==，即(1,0.2)X b ，又设至少需m 条电话线路，求满足{}0.99P X m ≤=的m ．而1010{}(0.2)(0.8)kk k P X k C -== (0,1,,k =，有10100{}{}(0.2)(0.8)mmkk k k k P X m P X k C -==≤===∑∑，于是1010(0.2)(0.8)0.99mkk k k C-==∑ 即 5m =，故至少应有5条电话线路．评点 对于这类问题要注意：（１） X 是n 次试验中事件A 发生的概率； （２） 在每次试验中事件A 和A 有且仅有一个发生；（３） 利用对立事件来求解问题时，注意随机变量的取值为0,1,2,,n ，n 是试验次数；（４） 当n 较大P 较小时，且np λ=，(1)!k k kn kne C p p k λλ---≈．2.4 求服从泊松分布的随机变量取值的概率例 2.12 实验器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X 服从参数为λ的泊松分布，试求产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率． 解 由题意可知，X 的分布律为{}!kP X k e k λλ-==(0,1,2,k = 而这k 个细菌全部是甲类细菌的概率为(1/2)!kke k λλ-，因此产生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为21(1)!kk P ee ek λλλλ∞---===-∑．评点 当试验次数n →∞时，若事件A 每次出现的概率0n P nλ=→，此时事件A 出现的次数X 服从泊松分布．服从泊松分布的随机变量很多，例如一个时间间隔内某电话交换台收到的电话的呼唤次数，交叉路口单位时间内过往的汽车辆数，一本书1页中的印刷错误数，纺织厂生产的布匹上一定数量的疵点，铸件的砂眼数等．2.5 求服从均匀分布的随机变量取值的概率例 2.13 测量零件时产生的误差(X 单位：cm )是一个随机变量，它服从(0.1,0.1)-内的均匀分布，求误差的绝对值在0.05cm 之内的概率．解 据均匀分布定义，X 的概率密度为1,0.10.1;0.1(0.1)()0,,x f x ⎧-<<⎪--=⎨⎪⎩其他即5,0.10.1;()0,,x f x -<<⎧=⎨⎩其他 故0.050.05{0.05}50.5P X dx -<==⎰．评点 求此类题型的解法一般有两种方法：（１） 利用概率密度的积分计算，即利用公式{}{}{}{}P a X b P a X b P a X b P a X b <<=≤≤=<≤=≤≤()baf x dx =⎰；（２） 直接利用分布函数计算，即利用公式{}{}{}()()P a X b P a X b P a X b F b F a <<=≤≤=<≤=-．2.6 求服从正态分布的随机变量取值的概率例 2.14 设随机变量X 服从正态分布(108,9)N ，求： （1）{101.1117.6}P x <<； （2）常数a ，使{}0.90P X a <=； （3）常数a ，使{||}0.01P X a a ->=．解 （1）117.6108101.1108{101.1117.6}33P x --⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3.2)( 2.3)=Φ-Φ-0.9995110.989280.9888=-+=．（2）108{}0.903a P X a -⎛⎫<=Φ=⎪⎝⎭，查表知108 1.293a -≈，即112.17a =． （3）{||}{2}{0}P X a a P X a P X ->=>+<10821081081083333X a X P P ----⎧⎫⎧⎫=>+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭210810.013a -⎛⎫=-Φ= ⎪⎝⎭，即有21080.993a -⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭，故得21082.333a -=，即 57.4a =． 评点 正态分布是一类非常重要的分布．正态分布的概率计算最终都要查标准正态分布表，表里表明()z Φ和Z 的关系，特别地，当0Z <时，()1()z z Φ=-Φ-．2.7判别随机变量是否相互独立例 2.15设随机变量(,)X Y 的分布律如下表示，试判断X ，Y 是否相互独立．解 利用离散型随机变量边缘分布定义，随机变量(,)X Y 关于X 和Y 的边缘分布律分别为{0}{0}0.80.70.56{0,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {0}{1}0.80.30.24{0,1}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{0}0.20.70.14{1,0}P X P Y P X Y ===⨯==== ； {1}{1}0.20.30.06{1,1}P X PY P X Y ===⨯==== ．由此可见ij i j p p p = ，故X 和Y 是相互独立的．例 2.16 已知联合分布密度,04,0(,)40,Axy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，，求：（1）系数A ；（2）边缘概率密度；（3）讨论X 与Y 是否相互独立．解 （1）由概率密度的性质可知14GA xydxdy =⎰⎰即40014A dx xydxdy =⎰，得38A =．从而二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 3,(,);(,)320,(,);xy x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩ （2）由2033()3264X f x xydxdy x ==，得 23,04;()320,X x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他， 同理438,02;()3220,Y y y y f y ⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其他，（3）取点1(,)1,2x y G ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由于5133131(1)81,216642642X Y f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-≠= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故X 与Y 并不独立．评点 考察随机变量相互独立的判别，实际上（１） 若(,)X Y 是离散型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是ij i j p p p = ； （2） 若(,)X Y 是连续型的随机变量，则X 和Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y = ．2.8 求连续型随机变量的边缘概率密度例 2.17 设(,)X Y 在区域G 内服从均匀分布，G 由直线12xy +=及x 轴，y 轴围成，求；（1）(,)X Y 的联合密度；（2）关于X 和Y 关于的边缘密度．解 （1）G 的面积1()2112L G =⨯⨯=，故 1,(,)1,(,);()(,)0,.0,x y G x y G L G f x y ⎧∈∈⎧⎪==⎨⎨⎩⎪⎩其他其他 （2）当02x ≤≤时，2012012()(,)01012x x X x f x f x y dy dx dy dy +∞-+∞-∞+∞-==++=-⎰⎰⎰⎰， 当0x <或2x >时，(,)0f x y =，所以(0)0X f =．综上所述1,12;()20,X x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,同理可求得2(1),01;()0,Y y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他. 评点 由二维随机变量的概率密度求它的边缘分布是常规题，尤其是要注意 当概率密度是分段函数时，计算时要注意分段函数的段．例如，在求()X f x 时，利用公式()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰计算，必须分x 取不同区间值讨论．。
高中数学必修二第十章概率知识点归纳超级精简版(带答案)
高中数学必修二第十章概率知识点归纳超级精简版单选题1、若随机事件A ，B 互斥，且P (A )=2−a ，P (B )=3a −4，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(43,32]B ．(1,32]C ．(43,32)D ．(12,43) 答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<10<P(B)<1P(A)+P(B)≤1 ，即{0<2−a <10<3a −4<12a −2≤1，解得43<a ≤32，所以实数a 的取值范围为(43,32]. 故选：A.2、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为6的概率为（ ）A ．19B ．536C ．16D ．736 答案：B分析：分别求得基本事件的总数和点数和为6的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6=36种，而点数和为6的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5种，则点数和为6的概率为P =536．故选：B ．3、种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为（ ）A ．pqB ．p +qC ．p +q −pqD ．p +q −2pq答案：D分析：根据题意，结合独立事件和互斥事件概率计算公式，即可求解.由题意，两株不同的花卉的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为P =p(1−q)+(1−p)q =p +q −2pq .故选：D.4、用1，2，3，4编号10个小球，其中1号球4个，2号球2个，3号球3个，4号球1个，则0.4是指1号球占总体的（ ）A ．频数B ．频数/组距C ．频率/组距D ．频率答案：D分析：根据频率定义可得答案.因为1号球的频数为4，所以1号球占总体的频率为410=0.4.故选：D.5、若P(AB)=19，P(A )=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立答案：C分析：结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.∵P(A)=1−P(A )=1−23=13，∴P(AB)=P(A)P(B)=19≠0， ∴事件A 与B 相互独立、事件A 与B 不互斥，故不对立.故选：C6、天气预报说，今后三天中，每一天下雨的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 195 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计今后三天中恰有两天下雨的概率为（ ）A ．0.40B ．0.30C ．0.25D ．0.20答案：D分析：由题意知：在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨通过列举得到共4组随机数，根据概率公式得到结果.由题意知：在20组随机数中恰有两天下雨的有可以通过列举得到：271 932 812 393 共4组随机数∴所求概率为420=0.20 故选：D7、我们通常所说的ABO 血型系统是由A ，B ，O 三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自父亲和母亲，其中AA ，AO 为A 型血，BB ，BO 为B 型血，AB 为AB 型血，OO 为O 型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO ，AB ，则孩子的基因型等可能的出现AA ，AB ，AO ，BO 四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB 型，不考虑基因突变，则小明是A 型血的概率为（ ）A ．116B ．18C ．14D ．12 答案：C分析：根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A 型血的概率作答.因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB 型，则小明父亲的血型可能是AA ，AB ，BB ，它们对应的概率分别为14,12,14， 当小明父亲的血型是AA 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型可能是AA ，AB ，它们的概率均为12， 此时小明是A 型血的概率为14×12=18，当小明父亲的血型是AB 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型是AA 的概率为14，此时小明是A 型血的概率为12×14=18，当小明父亲的血型是BB 时，因其母亲的血型为AB ，则小明的血型不可能是AA ，所以小明是A 型血的概率为18+18=14，即C 正确.故选：C8、10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）A ．35B ．23C ．34D ．415 答案：B分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P =69=23. 故选：B.多选题9、甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件B ．事件A 1与事件B 相互独立C ．P (B |A 2 )=311D ．P (B )=25 答案：AC分析：根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解.由题意得可知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故A 正确；∵P(A 1)=310，P(A 2)=210=15，P(A 3)=12∴P (B |A 2 )=P(BA 2)P(A 2)=15×31115=311，故C 正确；由P (B |A 1 )=P(BA 1)P(A 1)=310×411310=411P(B)=P(BA 1)+P(BA 2)+P(BA 3)=411×310+15×311+12×311=310 P (B |A 1 )≠P(B)事件A 1与事件B 不独立，故B 、D 错误；故选：AC10、(多选题)从装有大小和形状完全相同的5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是A ．至少有1个红球与都是红球B ．至少有1个红球与至少有1个白球C ．恰有1个红球与恰有2个红球D ．至多有1个红球与恰有2个红球答案：CD解析：根据互斥不对立事件的定义辨析即可.根据互斥事件与对立事件的定义判断.A 中两事件不是互斥事件,事件“3个球都是红球”是两事件的交事件;B 中两事件能同时发生,如“恰有1个红球和2个白球”,故不是互斥事件;C 中两事件是互斥而不对立事件;至多有1个红球,即有0个或1个红球,与恰有2个红球互斥,除此还有3个都是红球的情况,因此它们不对立,D 符合题意.故选：CD小提示：本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题型.11、某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则下列说法错误的是：（ ）A ．两人均获得满分的概率为12B ．两人至少一人获得满分的概率为712C ．两人恰好只有甲获得满分的概率为34D ．两人至多一人获得满分的概率为1112 答案：BCD分析：利用独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率公式计算各自的概率，进而作出判定.∵甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立， 分别记甲、乙得满分的事件为M,N ，则P (M )=34,P (N )=23,M,N 独立.∴两人均获得满分的概率为:P (MN )=P (M )P (N )= 34×23=12,故A 正确; 两人至少一人获得满分的概率为:1−P (M ̅N ̅)=1−(1−P (M ))(1−P (N ))=1−(1−34)(1−23)=1112，故B 错误；两人恰好只有甲获得满分的概率为:P (MN ̅)=P (M )(1−P (N ))=34×(1−23)=14，故C 错误； 两人至多一人获得满分的概率为:1−P (MN )=1−12=12，故D 错误. 故选：BCD .填空题12、笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本空间Ω=___________.答案：{0,2,4,6,8}解析：由取动物的次数来确定样本点。
部编版高中数学必修二第十章概率带答案重点知识归纳
(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率带答案重点知识归纳单选题1、关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(x,y )；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y )的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ） A ．4am B ．a+2mC ．a+2m mD ．4a+2m m2、2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为45，34，23，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ） A ．910B ．1920C ．2930D ．59603、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．164、抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ）A ．A 与B 互斥B ．A 与B 对立C ．P (A +B )=23D ．P (A +B )=565、某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是13,12,23，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．7186、素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k ，存在无穷多个素数对(p ，p +2k).其中当k =1时，称(p ，p +2)为“孪生素数”，k =2时，称(p ，p +4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p ､q (p <q )，令事件A ={(p ，q)为孪生素数}，B ={(p ，q)为表兄弟素数}，C ={(p ，q)|q −p ≤4}，记事件A ､B ､C 发生的概率分别为P(A)､P(B)､P(C)，则下列关系式成立的是（ ） A ．P(A)P(B)=P(C) B ．P(A)+P(B)=P(C) C ．P(A)+P(B)>P(C) D ．P(A)+P(B)<P(C)7、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立 8、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100 多选题9、下列关于概率的命题，正确的有（ ）A ．若事件A,B 满足P (A )=13,P (B )=23，则A,B 为对立事件B ．若事件A ，B 满足P(A)=13,P(B)=23,P(AB)=29，则A ，B 相互独立C ．若对于事件A,B,C,P (A )=P (B )=P (C )=12,P (ABC )=18，则A,B,C 两两独立D ．若对于事件A,B,A 与B 相互独立，且P (A )=0.7,P (B )=0.6，则P (AB )=0.42,P (A ∪B )=0.8810、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（ ） A ．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?” B ．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏 C ．该校约有5%的学生迷恋电子游戏 D ．该校约有2%的学生迷恋电子游戏11、某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1,P 2，则（ ）A ．P 1⋅P 2=16B ．P 1+P 2=12C ．P 1+P 2=56D ．P 1>P 2 填空题12、某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别14，13，p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为56，则p 的值为________.部编版高中数学必修二第十章概率带答案(二)参考答案1、答案：D解析：由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数x,y ，满足{0<x <10<y <1，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(x,y )，即{0<x <10<y <1，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x,y 能与1构成钝角三角形三边，则有{x 2+y 2<1x +y >10<x <10<y <1，其面积S =π4−12；则有am =π4−12，解得π=4a+2m m故选：D ．小提示：本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解. 2、答案：D分析：把试验任务成功的事件拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率，然后用互斥事件的概率加法公式计算作答.试验任务成功的事件M 是甲成功的事件M 1，甲不成功乙成功的事件M 2，甲乙都不成功丙成立的事件M 3的和， 事件M 1，M 2，M 3互斥，P(M 1)=45，P(M 2)=(1−45)×34=320，P(M 3)=(1−45)×(1−34)×23=130，所以试验任务成功的概率P(M)=P(M 1+M 2+M 3)=45+320+130=5960.故选：D 3、答案：D分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a，b，c，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛3场，所有基本事件为：(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Bb,Ca),(Ac,Ba,Cb)，共6个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(Ac,Ba,Cb)，仅只1个，所以田忌获胜的概率p=16.故选：D4、答案：C解析：根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A+B，然后计算概率．A与B不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，事件A+B表示向上点数为1,3,4,5之一，∴P(A+B)=46=23．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题P(A+B)≠P(A)+P(B)．5、答案：D分析：把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则P(A)=13,P(B)=12,P(C)=23，汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则M=ABC+ABC+ABC，且ABC，ABC，ABC互斥，而事件A，B，C相互独立，则P(M)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=13×12×(1−23)+13×(1−12)×23+(1−13)×12×23=718，所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为718.故选：D 6、答案：D解析：根据素数的定义，一一列举出不超过30的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，从而可列举出事件A 、B 、C 的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出P(A),P(B)和P(C)，从而可得出结果.解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两个不同的素数p 、q (p <q )，有C 102=45(种)选法，事件A 发生的样本点为(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)共4个， 事件B 发生的样本点为(3，7)、(7，11)、(13，17)、(19，23)共4个， 事件C 发生的样本点为(2，3)、(2，5)、(3，5)、(3，7)、(5，7)、 (7，11)、(11，13)、(13，17)、(17，19)、(19，23)，共10个， ∴P(A)=P(B)=445，P(C)=1045=29，故P(A)+P(B)<P(C). 故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力. 7、答案：B分析：根据独立事件概率关系逐一判断P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=536，P(丁)=636=16， ，P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)， P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)， 故选：B小提示：判断事件A,B 是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立 8、答案：D分析：根据概率的意义判断各选项即可.概率表示事件发生的可能性的大小,并不代表事件发生的频率， “某彩票的中奖概率为1100”意味着购买彩票中奖的可能性为1100.所以答案是：D 9、答案：BD分析：A.举例说明；B.根据P(AB)=P(A)⋅P(B)是判断A ，B 是否相互独立的条件判断； C. 由A,B,C 两两独立，则AB ，AC ，BC 相互独立判断； D.根据独立事件和互斥事件的概率求法判断.A.因为P (A )+P (B )=1，是A,B 为对立事件的必要条件，不是充分条件，如单位圆的一条直径把圆分成两部分，即区域M 和区域N （不包括边界），向这两个区域投一枚绣花针，如针尖落在区域M 内记为事件A ，针尖落在区域N 内记为事件B ，满足P (A )+P (B )=1，但A,B 不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，故错误；B. 若P(AB)=P(A)⋅P(B)，则A ，B 相互独立，故正确；C. 若A,B,C 两两独立，则P(AB)=P(A)⋅P(B),P(AC)=P(A)⋅P(C)，P(BC)=P(B)⋅P(C)，故错误；D.若事件A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=0.42，P (A ∪B )=P (A )+P (B )−P (AB )=0.88，故正确； 故选：BD 10、答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A 正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B 错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”， 故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C 正确.对于D,由C 可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D 错. 故选：AC. 11、答案：ACD分析：利用列举法求出方案一坐到“3号”车的概率P 1，利用古典摡型求出方案二坐到“3号”车的概率P 2，即可得到答案.由题意，分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等坑随机顺序前往酒店接嘉宾， 基本事件有：(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)，共6种，设计两种方案：方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车，则方案一坐到“3号”车包含的基本事件有：(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1)，共有3种， 所以方案一的概率为P 1=36=12；方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为P 2=13， 所以P 1+P 2=56. 故选：ACD . 12、答案：23分析：由概率的乘法公式求三次均不中的概率后列方程求解 该同学在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为： 1−(1−14)(1−13)(1−p)=56，解得p =23．所以答案是：23。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率知识点整理及其相关习题解析二概率知识点整理及其相关习题解析二1.将n只球随机地放入N(N≥n)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）。
解：将n只球放入N个盒子中去，每种放法是一基本事件。
易知，这是古典概率问题，因每一只球都可放入N个盒子中的任一盒子，故知共有N×N×..×N种不同的放法，而每个盒子中至多一只球共有N(N-1)..[N-(n-1)]种不同放法，因而所求的概率为p=N(N-1)..(N-n+1)/(N^n)=N!/(n!(N-n)!(N^n)). 知识点：古典概率。
古典概率【等可能概型】特点：*1试验的样本空间只包含有限个元素；*2试验中每个基本事件发生的可能性相同。
2.设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k(k≤D)件次品的概率？解：在N件产品中抽取n件(这里指不放回抽样)，所有可能的取法共有C[n][N]【上标n下标N】种，每种取法为一基本事件，且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同，又因在D件次品中取k件，所有可能的取法有C[k][D]种，在N-D件正品中取n-k件所有可能取法有C[n-k][N-D]种，由乘法原理知在N件中取n件，其中恰好有k件次品的取法共有C[k][D]C[n-k][N-D]种，于是所求概率p=C[k][D]C[n-k][N-D]/C[n][N]知识点：乘法原理，超几何概率。
3.在1~2000的整数中随机取一数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率？解：设A为事件“取到的数能被6整除”B为事件“取到的数能被8整除”，则所求概率为：P(!A!B)=P(!(A∪B))=1-P(A∪B)【!A为A非，A+B为A与B的和事件】 =1-[P(A)+P(B)-P(AB)]由于333<2000/6<334，故得P(A)=333/2000. 由于2000/8=250，故得P(AB)=83/2000.于是所求的概率为p=1-(333/2000+250/2000-83/2000)=3/4.4.将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。
问1）每个班级各分配到一名优秀生的概率 2）3名优秀生分配在同一班级的概率解：15名新生平均分配到三个班级的分法总数：C[5][15]C[5][10]C[5][5]=15!/(5!5!5!)每种分配法为一基本事件，且由对称性易知每个基本事件发生的可能性相同。
1）将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共3!种，对于每一分法，其余12名新生平均分配到三个班级中分法共有12!/(4!4!4!)种，因此，每一班级各分配到一名优秀生的分法共有3!12!/(4!4!4!)种，于是p=3!12!/(4!4!4!)/(15!/(5!5!5!))=25/91.2)将3名优秀生分配到同一班级的分法共有3种，对于每种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名，另俩班级各5名)有12!/(2!5!5!),因此3名优秀生分配到同一班级的分法共有3!12!/(2!5!5!),于是所求概率为 p=3!12!/(2!5!5!)/(15!/(5!5!5!))=6/915.(小概率事件)某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有12次来访都在周二周四进行的，问是否可推断接待时间是又规定的？解：假设接待站的接待时间没规定，而各次来访在一周的人一天去接待站是等可能的，那么12次接待来访者都是在周二周四的概率为 2^12/7^12=0.000000 3.人们在长期的实践中总结得到“概率很小事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”【实际推断原理】，现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间有规定。
6.在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意抽取7张求其排列结果为ability的概率。
解：a.E：自11个字母中随机接连抽7个字母并，依次排列，将11个字母中两个b看成可分辨的，两个i也看成可分辨的N(S)=A[7][11],以A记事件“排列结果为ability”,则N(A)=4(因b有两种取法，i也有两种取法)，因而P(A)=N(A)/N(S)=4/A[7][11]=2.4×10^(-6).b.以A1，B2，I3，L4，I5，T6，Y7依次表示取得字母a,b,i,l,i,t,y各事件，则所求概率为P(A1B2I3L4I5T6Y7)=P(A1)P(B2|A1)P(I3|A1B2)P(L4|A1B2I3)P(I5|A1B2I3L4)P(T6|A1B2I3L4I5)P(Y7|A1B2I3L4I5T6)=(1/11)(2/10)(2/9)(1/8)(1/7)(1/6)(1/5)=4/A[7][11]注意：在解法a中仅当将两个i看成可区分，两个b看成可区分的，才属于古典概型问题。
【乘法定理】设P(A)>0,则有 P(AB)=P(B|A)P(A)设A,B,C为事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),在这里，注意到由假设P(AB)>0，可推得P(A)≥P(AB)＞0.7.某种产品的商标为(MAXAM),其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为(MAXAM)的概率。
解：以H1，H2，H3，H4，H5依次表示事件“脱落M,M”“脱落A,A”“脱落X,A”“脱落X,M”以G表示事件“放回后仍为MAXAM”,所需求的是P(G)，可知H1，H2，H3，H4，H5两两不相容，且H1，H2，H3，H4，H5为S的一个划分。
P(H1)=C[2][2]/C[2][5]=1/10，P(H2)=C[2][2]/C[2][5]=1/10,P(H3)=C[1][2]C[1][2]/C[2][5]=4/10,P(H4)=C[1][1]C[1] [2]/C[2][5]=2/10,P(H5)=C[1][1]C[1][2]/C[2][5]=2/10,而P(G|H1)=P(G|H2)=1，P(G|H3)=P(G|H4)=P(G|H5)=1/2. 由全概率公式得：P(G)=∑(5，i=1)P(G|Hi)P(Hi)=(1/10)+(1/10)+(2/10)+(1/10)+(1/10)=3/5. 知识点：全概率。
设S为试验E的样本空间，B1，B2，...,Bn为E的一组事件，若(i)BiBj=φ,i≠j,j=1,2，..,n (ii)B1∪B2∪..∪Bn=S,称为B1，B2，..Bn为样本空间S的一个【划分】。
设试验E的样本空间为S，A为E的事件,B1，B2，..Bn为样本空间S的一个【划分】,且P(Bi)>0(i=1,2，...,n),则全概率公式：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)(B2)+...+P(A|Bn)(Bn).8.将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a，而输出为其他一字母的概率都是(1-a)/2,今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1+p2+p3=1),已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率？(设信道传输各个字母的工作是相互独立的)。
解：以A1，B1，C1分别表示事件“输入AAAA”"输入BBBB""输入CCCC"，以D表示事件"输出ABCA",因事件A1，B1，C1两两互不相容,且有P(A1∪B1∪C1)=P(A1)+P(B1)+P(C1)=p1+p2+p3=1，因此全概率公式和贝叶斯公式可使用，由贝叶斯公式有 P(A1|D)=P(A1D)/P(D)=P(D|A1)p1/[P(D|A1)p1+P(D|B1)p2+P(D|C1)p3]输入为AAAA(即事件A)输出为ABCA(即事件D)时,有两个字母为原字母,另两字母为其他字母,所以P(D|A1)=a^2((1-a)/2)^2,同理,P(D|B1)=P(D|C1)=a((1-a)/2)^3.代代入上式并注意到p1+p2+p3=1，得到 P(A1|D)=2ap1/[(3a-1)p1+1-a].知识点：全概率公式和贝叶斯公式，独立独立：设A,B是两事件,若满足等式 P(AB)=P(A)P(B)称事件A,B相互独立,简称A,B独立。
定理一设A,B是两事件，且P(A)>0.若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).反之亦然。
定理二若事件A,B相互独立，则下列各对事件也相互独立； A与/B,/A与B,/A与/B。
定义设A,B,C是三事件,若等式P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立。
9.设随机试验的样本空间为S={e}.X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称X=X{e}为随机变量。
严格地说，“对于任意实数x,集合{e|X(e)≤x}(即：使得X(e)≤x 的所有样本点e所组成的集合)有确定的概率”. (0-1)分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是 P{X=k}=p^k(1-p)^(1-k),k=0,1(0<p<1). X | 0 1 pk|1-p p二项分布（贝努力试验）X~B(n,p)试验E只有两个可能结果：A及/A,称为E为贝努力(Bernoulli)试验.设P(A)=p(0<p<1),此时P(/A)=1-p.在n次试验中A发生k次的概率为C(k,n)p^k(1-p)^(n-k),记q=1-p,即有P(X=k)=C(k,n)p^kq^(n-k),k=0,1,2...,n随机变量X服从参数n,p的二项分布。
泊松分布X~π(λ)(P(λ))P{X=k}=λ^k e^(-λ)/k!,k=0,1,2，...,泊松定理设λ>0是一常数，n是任意正整数，设npn=λ,则对于任一固定的非负整数k,有n k n-k klim Ck Pn(1-Pn) =λe-λ/k! n→∞定理的条件 nPn=λ(常数)意味着当n很大时，Pn必定很小。
分布函数设X使一随机变量，x是任意实数,函数F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞对任意实数x1,x2(x1<x2),有P{x1＜X≤x2}=P(X≤x2}-P{X≤x1}=F(x1)-F(x2). 基本性质：1°F(x)是一不减函数对于任意实数x1,x2(x1<x2),有 F(x2)-F(x1)P{x1＜X≤x2}≥0 2°0≤F(x)≤1,且F(-∞)=0,F(∞)=13°F(x+0)=F(x)，即F(x)是右连续。