07 第七节 二重积分的概念与性质
二重积分基础数学资料
用若干个小平 顶柱体体积之 和近似曲顶柱 体的体积，
曲顶柱体的体积
先分割曲顶柱体的底，
积分区域
积分和
被积函数
积分变量
被积表达式
面积元素
2、二重积分的概念
性质１
性质２
（——与定积分有类似的性质）
3、二重积分的性质
性质３
性质４
4、二重积分的几何意义
例 求
，其中区域
为由直线
所围区域。
答案：2
区域的特征，其次需要考虑被积函数
的特点，在积分区域中为二次积分即两个定积分来计算。
例 计算二重积分
其中
区域
一、在直角坐标系下计算
1、积分区域为矩形域
例 计算二重积分
其中
答案：
二重积分的计算 (D是矩形区域)
y
0
x
z
y
a
b
c
d
D
D是矩形区域 [a,b ; c,d]
输出：ans= 3
所围成的区域。
例
解：
X-型
例 计算二重积分
是由直线
所围成的
闭区域。
答案：
例 计算 其中D是由直线
解法1 把D看成X型域,则
y=1, x=2 及 y=x 所围区域.
解法2 把D看成Y型域，则
要将按X型域确定的积分限改为按Y型域确定积分限.为此，应根据定限的方法先将题中所给的积分限还原成平面区域D，然后再按Y型域重新确立积分限，得到二次积分.
第一节 二重积分的概念和性质
1、问题的提出 2、二重积分的概念 3、二重积分的性质 4、二重积分的几何意义
第七章 二重积分
柱体体积=底面积×
二重积分的概念与性质
b
n
f (i )xi ———积分和.
i 1
n
下页
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi . a f (x)dx 0
i1
b
n
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A f (x)dx . a 变速直线运动的路程为 S T v(t)dt .
i 1 i 1 b n n b
下页
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直 线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x) 及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
0 i 1
n
A lim f ( i )xi .
0 i 1
n
下页
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx | | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
b b
b
b
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
二重积分的概念与性质
第七节 二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示★ 曲顶柱体的体积★ 二重积分的概念★ 二重积分的性质★ 二重积分的中值定理 ★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 例4★ 例5 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题6-7★ 返回内容提要：一、 二重积分的概念定义1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ, 作乘积),,2,1(,),(n i f i i i =∆σηξ并作和,),(1∑=∆ni ii i f σηξ 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分, 记为,),(⎰⎰Dd y x f σ 即⎰⎰D d y x f σ),(∑=→∆=ni i i i f 10),(lim σηξλ (7.2) 其中),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式, σd 称为面积微元, x 和y 称为积分变量,D 称为积分区域, 并称∑=∆n i i i i f 1),(σηξ为积分和.对二重积分定义的说明:(1) 如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(存在，则称函数),(y x f 在区域D 上是可积的. 可以证明，如果函数),(y x f 区域D 上连续，则),(y x f 在区域D 上是可积的. 今后，我们总假定被积函数),(y x f 在积分区域D 上是连续的;(2) 根据定义，如果函数),(y x f 在区域D 上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于x 轴和y 轴的两组直线来分割积分区域D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域i σ∆的边长为i x ∆和j y ∆，于是j i i y x ∆∆=∆σ. 故在直角坐标系中，面积微元σd 可记为dxdy . 即dxdy d =σ.进而把二重积分记为⎰⎰Ddxdy y x f ),(，这里我们把dxdy 称为直角坐标系下的面积微元.二、 二重积分的性质类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似.例题选讲：二重积分的性质例1不作计算,估计σd eI D y x ⎰⎰+=)(22的值,其中D 是椭圆闭区域:12222≤+b y a x ().0a b <<例2（讲义例1）估计二重积分⎰⎰+++=D xy y x d I 16222σ的值, 其中积分区域D 为矩形闭区域}20,10|),{(≤≤≤≤y x y x . 例3 判断dxdy y x y x r ⎰⎰≤+≤+1||||22)ln(的符号. 例4 积分dxdy y x D ⎰⎰--3221有怎样的符号, 其中.4:22≤+y x D例5（讲义例2）比较积分⎰⎰+D d y x σ)ln(与⎰⎰+D d y x σ2)][ln(的大小， 其中区域D是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限.1lim 112222∑∑==++∞→n i n j n j i n e n。
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
二重积分的概念
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１ 当k为常数时，
kf ( x, y )d k f ( x, y )d .
D D
性质２ [ f ( x , y ) g( x , y )]d
D
f ( x , y )d g( x , y )d .
二重积分的几何意义
当f ( x , y ) 0
当f ( x , y ) 0
f ( x, y )d 曲顶柱体体积 f ( x, y)d 曲顶柱体体积的负值
D
当在D 上，f ( x , y )在若干部分为正 , 若干部分为负 , . f ( x, y )d 柱体体积的代数和
z f ( x , y ) 积分区域为平面上一区 域 u f ( x , y , z ) 积分区域为空间一区域
这就是重积分的概念
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
z
曲顶柱体指: 以xoy面上 的有界闭区域 D为底, 侧 而母线平行z轴的柱面, 顶是曲面 : z f ( x , y ) ( 0)且在D上连续
播放
基本思想：
先分割曲顶柱体的底， z 并取典型小区域，
用若干个小平顶柱体 体积之和近似表示曲 顶柱体的体积，
z f ( x, y)
o
DnΒιβλιοθήκη y( i ,i )
i
x
曲顶柱体的体积
V lim f ( i ,i ) i .
0
i 1
具体步骤如下：
1、 分割
把D任意分成 n 个小闭区域 1 2 , …， n , 其中 i 表示 第i个小闭区域，也表示它的面 积. 对应的小曲顶柱体体积为 Vi .
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第七节 二重积分的概念与性质
与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.
内容分布图示
★ 曲顶柱体的体积
★ 二重积分的概念
★ 二重积分的性质
★ 二重积分的中值定理 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5 ★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-7
★ 返回
内容提要：
一、 二重积分的概念
定义1 设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域,,,,21n σσσ∆∆∆ 其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，在每个i σ∆上任取一点),(i i ηξ, 作乘积
),,2,1(,),(n i f i i i =∆σηξ
并作和
,),(1∑=∆n
i i
i i f σηξ 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分, 记为,),(⎰⎰D
d y x f σ 即
⎰⎰D d y x f σ
),(∑=→∆=n
i i i i f 10),(lim σηξλ (7.2) 其中),(y x f 称为被积函数,σd y x f ),(称为被积表达式, σd 称为面积微元, x 和y 称为积分变量,D 称为积分区域, 并称
∑=∆n i i i i f 1),(σηξ为积分和.
对二重积分定义的说明:
(1) 如果二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(存在，则称函数),(y x f 在区域D 上是可积的. 可以证
明，如果函数),(y x f 区域D 上连续，则),(y x f 在区域D 上是可积的. 今后，我们总假定被积函数),(y x f 在积分区域D 上是连续的;
(2) 根据定义，如果函数),(y x f 在区域D 上可积，则二重积分的值与对积分区域的分割方法无关，因此，在直角坐标系中，常用平行于x 轴和y 轴的两组直线来分割积分区域D ，则除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域i σ∆的边长为i x ∆和j y ∆，于是j i i y x ∆∆=∆σ. 故在直角坐标系中，面积微元σd 可记为dxdy . 即dxdy d =σ.
进而把二重积分记为⎰⎰D
dxdy y x f ),(，这里我们把dxdy 称为直角坐标系下的面积微元.
二、 二重积分的性质
类似于一元函数的定积分，二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质的证明类似.
例题选讲：
二重积分的性质
例1不作计算,估计σd e
I D y x ⎰⎰+=)(22的值,其中D 是椭圆闭区域:12222
≤+b y a x ().0a b <<
例2（讲义例1）估计二重积分⎰⎰+++=D xy y x d I 16222σ的值, 其中积分区域D 为矩
形闭区域}20,
10|),{(≤≤≤≤y x y x . 例3 判断
dxdy y x y x r ⎰⎰≤+≤+1||||22)ln(的符号. 例4 积分dxdy y x D ⎰⎰--3221有怎样的符号, 其中.4:22≤+y x D
例5（讲义例2）比较积分⎰⎰+D d y x σ)ln(与⎰⎰+D d y x σ2
)][ln(的大小， 其中区域D
是三角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).
课堂练习
1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.
2.试用二重积分表示极限.1lim 112222∑∑==++∞→n i n j n j i n e n。